LOS NUMEROS DECIMALES EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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– Número decimal y fracción decimal.
– Comparación de números decimales.
– Números decimales exactos y periódicos.
– Sumas y restas. Redondeo y estimación.
– Multiplicación y división de decimales.
– Tanto por ciento de una cantidad.
– Sistema monetario.
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La mayor parte de los sistemas de numeración de las antiguas civilizaciones son de base decimal: egipcios, griegos, romanos, chinos, indios, árabes… El uso de la base decimal proviene, sin duda, de contar con los dedos de las manos.
Los indios, en el siglo vii, añadieron a la base decimal una notación posicional. Para llegar a este grandioso avance, un paso importantísimo fue la invención del cero, pues con él se señalan las posiciones en las que no hay cantidad: esto que ahora nos resulta tan sencillo y natural, como poner 907 para indicar 9 centenas y 7 unidades, necesitó de muchísimos años para consolidarse.
El sistema de numeración decimal-posicional se usó en Europa solo para designar números enteros. Fue
en el siglo xvi cuando se hizo extensivo, también, para cuantificar partes de la unidad. Los símbolos para escribir los diez dígitos han variado a lo largo del tiempo, cambiando de pueblo en pueblo, de cultura en cultura. Aun ahora los árabes tienen otra forma de expresarlos.

Los órdenes de unidades decimales
Para expresar cantidades más pequeñas que la unidad, utilizamos las cifras
decimales.
En el sistema de numeración decimal, una unidad de cualquier orden se
divide en diez unidades del orden inmediato inferior.
Para leer un número decimal:
— Se nombra la parte entera expresada en unidades.
— Se nombra la parte decimal expresada en el orden de unidades de la
cifra decimal que queda a la derecha.

Entre dos decimales siempre hay otros decimales
• Elijamos dos números cualesquiera; por ejemplo 5,1 y 5,4. Es evidente que
entre ellos hay otros decimales:
5,1 < 5,2 < 5,3 < 5,4
• Busquemos, ahora, un número decimal comprendido entre 5,2 y 5,3. Estos
dos números se diferencian en una décima, y esa décima se puede dividir en
diez centésimas
Los decimales se representan, ordenados, en la recta numérica.
• Entre dos decimales cualesquiera, siempre se pueden encontrar otros números
decimales.

Aproximación por redondeo
En algunas ocasiones se nos presentan números con demasiadas cifras decimales
y preferimos, o nos vemos obligados, a sustituirlos por otros más manejables de
valor aproximado.

Para aproximar un número a un determinado orden de unidades:
• Se suprimen todas las cifras a la derecha de dicho orden.
• Si la primera cifra suprimida es igual o mayor que cinco, se suma uno a la
Ten en cuenta cifra anterior.

Escribe cómo se leen.
a) 0,7 b) 0,05 c) 0,002
d) 1,2 e) 12,56 f ) 5,184
g) 1,06 h) 5,004 i) 2,018
2 Escribe con cifras.
a) Ocho décimas.
b) Dos centésimas.
c) Tres milésimas.
d) Trece milésimas.
e) Tres unidades y cuatro décimas.
f ) Doce unidades y veinticinco centésimas.
g) Seis unidades y ocho centésimas.
h) Una unidad y trescientas once milésimas.
i) Cinco unidades y catorce milésimas.
3 Escribe cómo se leen.
a) 0,0007 b) 0,0042 c) 0,0583
d) 0,00008 e) 0,00046 f ) 0,00853
g) 0,000001 h) 0,000055 i) 0,000856
4 Escribe con cifras.
a) Quince diezmilésimas.
b) Ciento ochenta y tres cienmilésimas.
c) Cincuenta y ocho millonésimas.

Operaciones con números decimales
Para sumar o restar números decimales:
• Se colocan en columna haciendo corresponder las comas.
• Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas, etc.
Todo lo que se dijo sobre los números negativos en las operaciones con
enteros sirve también para las operaciones con decimales.

1 Calcula mentalmente.
a) 0,8 + 0,4 b) 1 – 0,3
c) 1,2 + 1,8 d) 2,4 – 0,6
e) 3,25 + 1,75 f ) 2,5 – 0,75
g) 4,08 + 0,12 h) 3 – 0,15
2 Calcula con lápiz y papel.
a) 6,12 + 0,87 + 1,342
b) 124,75 + 86,287 + 5,3408
c) 132 – 26,53
d) 12,8 – 1,937
e) 175,4 – 86,9207
3 Añade tres términos a estas series:
a) 3,25 – 4 – 4,75 – 5,5 – …
b) 8,65 – 8,5 – 8,35 – 8,2 – …
c) 1,5 – 1,62 – 1,74 – 1,86 – …
4 Recuerda las operaciones con números positivos y negativos
y calcula.
a) 0,5 – 0,75 b) 1,2 – 1,5
c) 0,25 – 1 d) 2 – 1,95
e) 0,4 + 0,8 – 1,6 f ) 2,7 – 0,95 – 1,04
5 Roberto mide 1,66 m; Macarena, 0,38 m más, y Miguel,
0,23 m menos que Macarena. ¿Cuánto mide Miguel?

Multiplicación
También conoces la multiplicación de decimales. Por eso, al igual que en la
suma y en la resta, solo la repasaremos.
Para multiplicar números decimales:
• Se multiplican como si fueran enteros.
• Se coloca la coma en el producto, apartando tantas cifras decimales como
las que reúnan entre todos los factores.
Recuerda también que para multiplicar por 10, por 100, por 1000, …, se
desplaza la coma hacia la derecha uno, dos, tres, … lugares.

División de números decimales
Divisor entero. Aproximación del cociente
Vamos a repasar la forma de obtener las cifras decimales del cociente hasta conseguir
la aproximación deseada.
Para obtener el cociente decimal:
• Al bajar la cifra de las décimas del dividendo, se pone la coma decimal en
el cociente y se continúa la división.
• Si no hay suficientes cifras decimales en el dividendo, se añaden los ceros
necesarios para lograr la aproximación deseada

1 Escribe con cifras.
a) Veintiocho milésimas.
b) Dos unidades y siete centésimas.
c) Ciento treinta y dos diezmilésimas.
d) Nueve millonésimas.
2 Ordena de menor a mayor y representa en la recta.
2,07 – 0,27 – 2,71 – 2,7 – 2,17
3 Completa con un número decimal en cada caso:
a) 2 < … < 3 b) 4,5 < … < 4,6 c) 0,1 < … < 0,11
4 Redondea a las décimas y a las centésimas.
a) 2,726 b) 5,6
)
5 Calcula.
a) 2,8 – 3,75 + 1,245
b) 2,8 · 3,75
c) 3 · 2,6 – 1,75 · 4,2
6 Calcula con dos cifras decimales.
a) 7 : 13
b) 54,5 : 12
7 El melón se vende a 1,75 €/kg. ¿Cuánto costará un melón
de 2,800 kilos?

NÚMEROS DECIMALES

OBJETIVOS
Escribir la expresión polinómica de un número decimal exacto y calcular la fracción decimal asociada .
Comparar y ordenar números decimales.
Obtener la expresión decimal exacta o periódica de una fracción cualquiera.
Reconocer el tipo de decimal que corresponde a una fracción determinada según sea su denominador.
Hacer sumas y restas de decimales de forma ordinaria o en forma de fracción decimal.
Hacer multiplicaciones y divisiones de decimales.
Estimar el resultado de operaciones con números decimales mediante el cálculo mental y redondeo con diversos niveles de aproximación.
Comprobar mediante una estimación si el resultado de una operación con decimales es correcto o no.
Calcular el tanto por ciento de una cantidad.
Resolver problemas cotidianos en los que aparezcan aumentos o disminuciones porcentuales.

CONTENIDOS
Conceptos
Número decimal y fracción decimal.
Comparación de números decimales.
Números decimales exactos y periódicos.
Sumas y restas. Redondeo y estimación.
Multiplicación y división de decimales.
Tanto por ciento de una cantidad.
Aumentos o disminuciones porcentuales.

Procedimientos
Expresión de un número decimal como fracción decimal.
Cálculo de la expresión de una fracción cualquiera.
Comparación entre dos números decimales.
Realización de sumas y restas de números decimales mediante fracciones decimales y por el método usual.
Multiplicación y división de números decimales.
Redondeo y estimación del resultado de operaciones con números decimales.
Cálculo del tanto por ciento de una cantidad.
Cálculo de los aumentos y disminuciones porcentuales aplicándolos a la resolución de problemas de la vida real.

Actitudes
Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Escribir correctamente la expresión polinómica de un número decimal exacto.
Calcular la fracción decimal asociada a un número decimal.
Comparar y ordenar números decimales.
Obtener adecuadamente la expresión decimal exacta o periódica de una fracción cualquiera.
Reconocer el tipo de decimal que corresponde a una fracción determinada.
Calcular correctamente sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números decimales.
Estimar de manera adecuada el resultado de operaciones con números decimales mediante el cálculo mental y el redondeo con diversos niveles de aproximación.
Comprobar mediante una estimación el resultado de una operación.
Calcular correctamente el tanto por ciento de una cantidad.
Resolver problemas cotidianos en los que aparezcan aumentos o disminuciones porcentuales.

METODOLOGÍA
La utilización de los números decimales y porcentajes aparece en gran variedad de situaciones, y no está alejada de la realidad de los alumnos. Conviene trabajarlas mediante actividades variadas, de manera que los alumnos superen con éxito los objetivos marcados en la unidad.
La realización de operaciones con decimales (suma, resta, multiplicación y división) debe practicarse hasta ser dominada por los alumnos, así como las técnicas de estimación y aproximación. Es importante que aprendan a estimar y aproximar correctamente, por su uso común en la vida diaria.
Conviene tener presentes las siguientes sugerencias metodológicas con el fin de garantizar una adecuada motivación de los alumnos:
Explicar a los alumnos la utilidad de los números decimales en la resolución de diversas situaciones reales: calcular el precio de determinados artículos cuando se le aplica un descuento, comprobar las vueltas de una compra, …
Pedirles que piensen en qué contextos de la vida cotidiana utilizamos los números decimales y los porcentajes para intercambiar información y resolver problemas, de forma que sean conscientes de su importancia.
Basándose en los ejercicios del proyecto, hacer que los alumnos calculen la equivalencia de su peso y altura, moneda, distancia del colegio a casa, … con otras unidades de medida reales o inventadas.

ACTIVIDADES
Actividades de desarrollo
Las actividades de desarrollo consistirán en la realización de las actividades propuestas en el libro de texto, tanto las que aparecen en las distintas tareas como las que se proponen al final de la unidad. La selección de las actividades estará en relación con la evaluación inicial de los alumnos, con el objetivo de cumplir los objetivos previstos.
Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como sugerir a los alumnos gran variedad de contextos reales en los que se han de utilizar los números decimales y los porcentajes, y seleccionar aquellos en los que se ven envueltos con más frecuencia, para practicar ejemplos concretos. Pedirles que aporten algunos ejemplos propios.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
Actividades de refuerzo
Es muy importante que los alumnos operen correctamente con los números decimales.
Debido a su mayor dificultad, insistir en las técnicas de estimación y aproximación que se estudian a lo largo de la unidad.
Realizar actividades de redondeo y estimación utilizando los decimales y los porcentajes. así como resolver problemas reales para los que se precise la utilización de las cuatro operaciones básicas: suma , resta, multiplicación y división.
Actividades de ampliación
Trabajar con los alumnos ejemplos en diferentes contextos para decidir sobre qué operaciones son adecuadas en la resolución de problemas con números decimales.
Una vez comprobado que los alumnos conocen perfectamente las operaciones básicas con los números decimales, introducir el concepto de fracción generatriz. Resolver de manera conjunta con los alumnos diferentes ejercicios para obtener la fracción generatriz de los decimales exactos y periódicos.

CONTENIDOS TRANSVERSALES
Educación del consumidor
Saber operar con decimales es necesario para resolver problemas reales y particularmente para las situaciones de compra y venta, como se aprecia en diferentes actividades de la unidad.
Al hilo de su realización, el profesor puede comentar con los alumnos la importancia de un consumo responsable y crítico.
Educación multicultural
La educación multicultural viene exigida por la creciente intercomunicación de las culturas. En el proyecto de la unidad se trata un viaje al Reino Unido. Aprovechar su realización para despertar en los alumnos el interés por conocer otras culturas distintas y la necesidad de respetarlas.
Educación vial
En distintas actividades se abordan temas relacionados con el tráfico, tanto en el Proyecto como en las actividades de refuerzo. Señalar la importancia de conocer y respetar las normas de circulación por parte de todos.

NÚMEROS DECIMALES
Son aquellos números que resultan de dividir los términos de una fracción.




Todo número decimal presenta dos partes:

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
DECIMALES
Para esto trabajaremos con la fracción propia e irreductible:
1. Decimal exacto
F genera un decimal exacto si y solamente si B admite como únicos divisores primos 2 y/o 5.
Ejemplo:



2. Decimal inexacto
2.1 Periódico Puro
F genera un decimal inexacto periódico puro si B no admite como divisores primos ni a 2 ni a 5.
Ejemplo:



2.2 Periódico Mixto
F genera un decimal inexacto periódico mixto si B admite como divisores primos a 2 y/o 5 y otro más.
Ejemplo:



GENERATRICES
• Decimal exacto
Ejemplo:

• Decimal inexacto periódico puro

• Decimal inexacto periódico mixto

EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
0,236 Número exaval exacto
0,2121…(4) Número tetraval periódico puro
0,23131…(5) Número pentaval periódico mixto

CAMBIOS DE BASE
• Expresar 0,25 en el Sistema Senario
Procedimiento:

• Expresar 0,6 en el Sistema Cuaternario

Procedimiento:

• Expresar 0,666… en el Sistema Quinario
Procedimiento:
0,666… = 0,abcd…(5). Como

1. La suma de un número y dos veces su inversa es 8,25. ¿De qué número se trata?

Rpta.:

2. La suma del numerador y del denominador de la fracción equivalente a:
es:

Rpta.:

3. Simplificar:

Rpta.:

4. Hallar la última cifra del desarrollo decimal de:

Rpta.:

5. ¿Cuál será la última cifra del periodo de ?

Rpta.:

6. Si y . Hallar x si:

Rpta.:

7. Si: , determinar la cantidad de cifras no periódicas de la fracción:

Rpta.:

8. Se escribe el número en la base 5, la cifra de orden (–4 ) es:

Rpta.:

9. Sea a, b, c, d, e ; además:

Calcular la suma de la cantidad de cifras no periódicas y periódicas que origina la fracción:

Rpta.:

10. Hallar un número decimal periódico mixto tal que su parte no periódica sea 20 veces la parte periódica y su generatriz sea una fracción propia con 2200 en el denominador.

Rpta.:

1. Efectuar y simplificar:

A) B) C)
D) E)

2. Indicar verdadero (V) o Falso (F):
I. Si un número es periódico puro en una base, entonces en cualquier otra base es siempre periódico puro.
II. El número 0,999… es racional.
III. La suma de dos números irracionales siempre será otro número irracional.
A) FFF B) VVV C) FVF
D) VFF E) FVV

3. Dar (a + b) en:
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

4. ¿Cuántas cifras tiene el periodo de ?
A) 6 B) 4 C) 3 D) 12 E) 24

5. Determine la cantidad de cifras no periódicas de:

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

6. Hallar el valor de la expresión:

A) B) C)
D) E)

7. Si la diez milésima parte de x es , entonces la décima parte de es:
A) 102 B) 10 C) 10 –1
D) 1 E) 10 –2

8. Determine las tres últimas cifras del periodo que genera y dé cómo respuesta la suma de estas cifras.
A) 16 B) 10 C) 14 D) 13 E) 20

9. Al repartir la fracción decimal en dos partes proporcionales a , una de las partes es:
A) B) C)
D) E)

10. Si a y b son números naturales, hallar la suma de todos los valores posibles de a de modo que:

A) 7 B) 21 C) 30 D) 15 E) 45
NÚMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES
ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE DECIMALES EN PRIMARIA
A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido
tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos:
a) Resuelve los problemas propuestos.
b) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la
solución.
c) Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas.
d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de
la tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil.
e) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los
alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no
te parezcan suficientemente claros para los alumnos.
f) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de
problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian.
Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria
1. ¿Qué quiere decir 3’2 mm? ¿Podrías medir esa longitud con tu regla? ¿Por qué?
2. ¿Qué significa el punto que separa las cifras 62.3 y 36.4 en una báscula y un
termómetro?
3. Expresa en forma de número decimal: 6/10, 23/10, 63/100.
4. Expresa las siguientes cantidades en centésimas:
a) 8’43; b) 0’7; c) 20’5; d) 26’3
5. ¿Qué número decimal está representado en cada caso:
a) 2 decenas 3 unidades 2 centésimas y 3 milésimas;
b) 0’02 + 0’5 + 70 + 400
c) 1 unidad 1 décima y 1 milésima.
6. Indica cuáles de estas fracciones son fracciones decimales:
24/10 5/8 26/1000 32/25 13/100 4/20 7/10 25/1000
7. ¿Qué fracción decimal representa cada número?:
a) 0’25; b) 0’007; c) 0’45; d) 0’05; e) 0’06 f) 0’004
8. Ordena de mayor a menor: 15,56 10,257 36,2 15,65 10,57 3,62
9. Entre qué parejas de números está comprendido 5,345
 entre 5,33 y 5,34
 entre 53,3 y 53,4
 entre 5,34 y 5,35
 entre 5,35 y 5,36
10. Aproxima estos números a la unidad: 3,69 5,27 31,19 15,4 13,6 27,85
11. Escribe con cifras estas fracciones decimales:
a) Cuatro milésimas; b) Seis décimas; c) Veinte centésimas; d) Trece milésimas.
12. Con las teclas de tu calculadora escribe: . 0 3 6 9
a) el mayor número posible menor que 100
b) el número más próximo a 1
c) el número mayor posible
dI El número menor posible.
13. Realiza estas sumas: 2,36+1,34; 15,36+4,64
14. Calcula mentalmente, anota los resultados y comprueba con tu calculadora:
 1,5+0,01
 02,55-36,7
 16,25-5,3
15. Calcula el cociente exacto: 23,64:4
16. En España, cada persona adulta consume al año, por término medio, 65’5 kg de
carne, 29’53 kg de pescado y 6’89 kg de legumbres. ¿Cuántos kilos consume al año,
en total, de estos alimentos?
17. En un salto un león recorre 3,25 metros. ¿Qué distancia habrá recorrido en 30
saltos? ¿Y en 2000 saltos?
18. Mariano está en cama con anginas. La doctora le ha recetado una dosis de 5
centímetros cúbicos de un jarabe (aproximadamente una cucharada) tres veces al
día. En el prospecto dice que cada centímetro cúbico de jarabe tiene 6’25 mg de
“amoxicilina”. ¿Cuánta “amoxicilina” toma Mariano en una dosis? ¿Y al día?
19. Un coche consume 8,4 litros de gasolina cada 100 km. ¿Cuántos kilómetros puede
recorrer con 25,2 litros?
B: Conocimientos Matemáticos
1. FRACCIONES DECIMALES. NÚMEROS DECIMALES
Decimos que una fracción es decimal si su denominador es una potencia de 10.
Llamaremos números decimales1 a los racionales para los cuales se puede encontrar una
fracción decimal representante.
Ejemplos: El racional 7/4 es decimal porque la fracción 7/4 es equivalente a
175/100.
Sin embargo, 7/3 no es decimal porque cualquiera de sus fracciones equivalentes
tiene un denominador con el factor primo 3 y, por tanto, no puede ser una potencia
de 10. La descomposición en factores del denominador de una fracción irreducible
representante de un número decimal no puede contener factores primos distintos de
2 o de 5.
En 1585 el matemático belga Simón Stevin, en su libro La Disme, propuso,
fraccionar la unidad en décimas, centésimas, milésimas, etc. para medir cantidades de
magnitudes menores que la unidad. Con este sistema, el resultado de una medida
vendría siempre expresado mediante un número entero y fracciones decimales. Por
ejemplo,
3 5
7
10 100
  metros, en el caso de una medida de longitud.
También sugirió que, en lugar de usar los denominadores para expresar las partes
de la unidad en la parte fraccionaria del número, se podría adoptar un criterio de
posición. Este criterio desembocó rápidamente en el actual, que consiste en poner una
coma (o un punto) a la derecha de las unidades y escribir a continuación los
numeradores de las fracciones decimales siguiendo el orden de décimas, centésimas,
milésimas, etc., poniendo ceros cuando falta alguna de esas fracciones.
Ejemplo. El número
3 5
7
10 100
se escribe 7’35. Sabemos que 3 hace referencia a
décimas porque esa cifra ocupa el primer lugar a la derecha de la coma y que 5 se
refiere a centésimas porque ocupa el segundo lugar a la derecha de la coma.
 De esta manera para las fracciones decimales podemos usar un sistema de
representación decimal posicional equivalente al definido para los números
naturales. La parte situada a la izquierda de la coma es la ‘parte entera’ del número
decimal y la situada a la derecha de la coma la ‘parte decimal’.
 Los números naturales admiten un representante decimal cuya parte decimal es cero.
 Un número decimal admite un representante cuya notación decimal tiene un número
1 Algunos autores llaman números decimales a cualquier número real expresado en forma decimal.
Nosotros preferimos seguir el criterio de autores como Centeno (1988) o Socas (2001) y llamar números
decimales únicamente a los números racionales que tienen como representante una fracción decimal. De
este modo, diferenciamos entre las expresiones decimales de un número (que también existen para los
reales) y los números decimales D que es un subconjunto de Q.
finito de cifras2.
El interés de la representación decimal de las fracciones decimales se debe a la
posibilidad que proporcionan de utilizar los algoritmos de cálculo definidos para los
números naturales. Desde el momento en que la parte decimal de un número decimal se
construye siguiendo las mismas reglas que se usan para la parte entera podemos
trasladar los algoritmos de suma, resta, multiplicación y división entera al caso de los
números decimales sin más que añadir algunas consideraciones acerca de la colocación
de las comas. Esto permite abreviar los cálculos con fracciones decimales. Si además el
sistema de unidades de medida es decimal, todas las medidas pueden expresarse
mediante números decimales y las operaciones entre ellas se hacen más fáciles. Esto
último se puso en práctica a partir de la instauración del Sistema Métrico Decimal,
creado en Francia a finales del siglo XVIII.
Ejercicios
1. Si la fracción a/b es irreducible, a < b y b= 2x54, ¿Cuántos dígitos decimales aparecen a la derecha de la coma al expresar esta fracción en forma decimal? 2. LOS NÚMEROS DECIMALES COMO SUBCONJUNTO DE Q. EXPRESIONES DECIMALES 2.1. Distinción entre expresión decimal y número decimal La expresión 0’75 designa un número decimal, que también se puede escribir en forma de fracción, 75/100, la cual a su vez es equivalente a la fracción irreducible ¾. Son tres formas de escribir y de hablar sobre un número decimal particular. La expresión o notación decimal con un número finito de cifras decimales se puede usar en todos los racionales que pueden ser representados por una fracción cuyo denominador es una potencia de diez3. Este subconjunto (D) de números racionales (Q) recibe el nombre de “conjunto de los números decimales” (D  Q). Los números decimales, y la notación decimal con la que se expresan son de gran importancia en las matemáticas y sus aplicaciones prácticas debido a una propiedad importante: se trata de un conjunto denso en Q y en R (números reales), lo que quiere decir que cualquier número real x se puede acotar por medio de números decimales tan próximos a x como se desee (existe un número decimal cuya diferencia con x es tan pequeña como se quiera) Observación: Se tiene tendencia a llamar 'número decimal' a un número cuya expresión tiene una parte decimal “visible”. Pero los números naturales son también números decimales, 2 Ejemplo, 1/5 = 2/10 = 0'2. Pero veremos después que el número decimal 0'2 se puede escribir también con infinitas cifras (0'199999 ...). Por tanto, la longitud de la expresión decimal no determina el carácter de decimal o no de un número racional. 3 Posteriormente ampliaremos la representación decimal a otros racionales cualesquiera y a los números irracionales. Sin embargo, mientras que en los números decimales hay un representante cuya representación decimal es finita, en los demás casos esto no es posible. simplemente su parte decimal (la escrita a la derecha de la coma) se reduce a 0 (o también a '9999... ), y no se escribe. Por otro lado, existen racionales no decimales.  Se llama número decimal a aquellos racionales que tienen una fracción representante con denominador potencia de 10 (fracciones decimales).  Todos los números decimales son racionales, pero no todos los racionales son decimales.  No obstante, cualquier racional no decimal se puede expresar en notación decimal, aunque el número de cifras a la derecha de la coma es infinito, con cifras que se repiten. El número de cifras decimales es una característica de la expresión decimal (numerales) no de los números, ya que un mismo número se puede representar mediante diferentes expresiones decimales: 34’1 = 34’10 = 34’100, ... = 34'0999... Los números decimales se pueden expresar también “en forma polinómica”, con potencias de base 10 (si se usa dicho número como base del sistema de numeración) usando exponentes positivos y negativos. Por ejemplo: 1 0 1 2 10 5 10 23'75 2.10 3 7 2.10 3.10 7.10 5.10 2           que se lee, dos decenas, 3 unidades, 7 décimas y 5 centésimas. La notación decimal para expresar los números racionales es importante ya que es más fácil trabajar con ella que con la notación de fracción. Por ejemplo, al comparar dos racionales es más rápido comparar las expresiones decimales que las fracciones: Ejemplo: Para comparar 7/8 con 22/25 hay que reducir las fracciones a común denominador y comparar los numeradores. Sin embargo, si los expresamos en notación decimal, 7/8 = 0’875, y 22/25 = 0’88, vemos en seguida que 22/25 es mayor. La notación decimal es también cómoda para encontrar un número racional comprendido entre otros dos dados. La mayor ventaja es en la realización de operaciones aritméticas, ya que se pueden usar algoritmos similares a los desarrollados para trabajar con números enteros. 2.2. Caracterización de los números decimales Proposición: Si r es un racional representado por su fracción irreducible n/d, para que r sea un número decimal la descomposición del denominador d en factores primos sólo debe tener potencias de 2 y/o de 5. En efecto, si el denominador tiene sólo los factores 2, 5 o ambos, podemos obtener una potencia de 10 en el denominador multiplicando numerador y denominador de dicha fracción por una potencia conveniente de 2 y/ o de 5. Podemos probar que también es cierto el teorema recíproco, o sea que la condición es necesaria, por reducción al absurdo. Supongamos que la fracción tenga un factor distinto, por ejemplo 3 (a/3). En este caso, n a x 3 10  Factorizando 10n en números primos tenemos: n n a x 3 2 .5  lo cual conduce a: a. 2n . 5n = 3. x Este resultado contradice el teorema de factorización única de la aritmética según el cual todo número natural admite una descomposición única en factores primos. En este caso el factor 3 figura en el segundo miembro y no en el primero. Esto lleva a rechazar el supuesto de que la fracción a/3 corresponda a un número decimal. 3. TÉCNICA DE OBTENCIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES 3.1. Caso de los números racionales decimales Para encontrar la expresión decimal de un número decimal se busca una fracción equivalente a la dada cuyo denominador sea una potencia de 10 y se descompone en parte entera, décimas, centésimas, etc. Ejemplo. Si queremos expresar en notación decimal el número decimal 17/8, primero examinamos su denominador 8 = 23 y vemos que es necesario multiplicarlo por 53 para obtener una potencia de 10. A partir de ahí se hace lo siguiente: 17 17 125 2125 2000 100 20 5 1 2 5 2 2'125 8 8 125 1000 1000 1000 1000 1000 10 100 1000 x x           Primera técnica Una primera técnica consiste en encontrar la fracción equivalente a la dada cuyo denominador sea una potencia de 10, escribir el numerador, contar en el numerador, empezando por la derecha, tantas cifras como ceros tiene el denominador y colocar la coma decimal. Segunda técnica Se basa en la relación entre fracción y división entera. Sabemos que en una fracción impropia la división del numerador por el denominador permite encontrar la parte entera de la fracción. Por tanto, dividiendo 17 entre 8 se obtiene como parte entera 2 y resto 1 lo que nos da el número mixto 1 8 2 . Para calcular cuántas décimas hacemos lo siguiente: 1 10 1 10 1 2 1 2 (1 ) 8 80 10 8 10 8 10 80        y queda 17 1 1 2 2 2 8 8 10 80      . Para saber cuántas centésimas hay en 2/80 volvemos a utilizar el procedimiento anterior: 2 20 1 20 1 4 2 4 (2 ) 80 800 100 8 100 8 100 800       y resulta 17 . 1 2 1 2 4 2 2 8 10 80 10 100 800        Volviendo a hacer lo mismo con la fracción 4 800 se obtiene: 4 40 1 40 1 5 5 800 8000 1000 8 1000 1000       con lo que ya tenemos expresada la fracción inicial en forma decimal: 17 1 2 4 1 2 5 2 2 2'125 8 10 100 800 10 100 1000          En el desarrollo anterior se produce una división entera entre el numerador y denominador de la fracción y sucesivamente se dividen los restos multiplicados por 10. Esto justifica una segunda técnica de obtención de la expresión decimal de un número decimal expresado como fracción consistente en efectuar la división entera entre numerador y denominador, colocar una coma en el cociente una vez que la división entera ha terminado, añadir un cero al resto y proseguir la división siguiendo este procedimiento hasta obtener resto 0. El cociente obtenido es la notación decimal correspondiente al número decimal. 17 10 20 40 0 8 2’125 La técnica pone de manifiesto una interpretación del número decimal como cociente exacto de dos números enteros: el numerador y el denominador de una fracción. A la técnica de dividir consistente en añadir ceros a los restos para seguir dividiendo se le llama ‘división decimal’. 3.2. Expresión decimal de números racionales no decimales. Expresiones decimales periódicas Si aplicamos la técnica anterior a números racionales no decimales obtendremos sucesivamente la parte entera, décimas, centésimas, milésimas, etc., correspondientes a la fracción usada como representante. Con los números racionales no decimales nunca se obtiene resto cero, por lo que la división podría proseguir indefinidamente. Pero como los restos tienen que ser menores que el divisor, sólo existen un número finito de restos diferentes. Por tanto, en algún momento habrá de repetirse un resto. A partir de ahí, una parte de la división se repetirá. Esto produce un cociente en el que la parte situada a la derecha de la coma se compone de infinitas cifras algunas de las cuales se repiten indefinidamente. Ejemplo, si dividimos el numerador por el denominador en la fracción 2/11 se obtiene: 20 90 20 90 2 11 0’1818 si seguimos dividiendo, las cifras 18 se repetirán indefinidamente dando lugar a un cociente con infinitas cifras, 0’18181818181818 ... Al conjunto de cifras que se repiten se le llama ‘periodo’ y al cociente de la división ‘expresión periódica’. Dada la imposibilidad de escribir infinitas cifras, las expresiones decimales periódicas se notan escribiendo la parte no periódica y a continuación el periodo con un pequeño arco encima, en el ejemplo anterior 0'18 . En una expresión decimal periódica, que corresponde a un racional no decimal, y al igual que en los números decimales, la parte situada a la izquierda de la coma se llama ‘parte entera’ y la parte situada a la derecha ‘parte decimal’. La representación en un sistema posicional decimal de los números racionales no decimales es siempre periódica. Aunque estos números no son números decimales, podemos obtener números decimales que se aproximen a ellos tanto como queramos. Ejemplo: el número decimal 0’181 se diferencia del número no decimal 0'18 en menos de una milésima. Si esta aproximación no es suficiente, podemos elegir, por ejemplo, el número decimal 0’181818 que se diferencia de 0'18 en menos de una millonésima, etc. Es decir, la representación decimal de un racional no decimal es periódica, pero podemos encontrar un número decimal que represente dicho racional con una cota de error tan pequeña como queramos. Es esta última propiedad la que permite sustituir los cálculos con racionales por cálculos aproximados con números decimales. 3.3. Expresiones decimales periódicas puras y mixtas. Fracción generatriz de los racionales representados por estas expresiones Cuando la parte decimal de una expresión decimal periódica consiste únicamente en la repetición indefinida del periodo, la expresión decimal se llama ‘periódica pura’. Si además existe una parte no periódica se dice que la expresión decimal es ‘periódica mixta’. Ejemplo: 0’181818... es una expresión decimal periódica pura. 0’43181818... es una expresión decimal periódica mixta. Llamamos fracción generatriz de una expresión decimal la fracción que la genera, es decir, aquella fracción tal que dividido el numerador por el denominador, da lugar a la expresión dada.  Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal finita (que representa por tanto un número decimal), bastará tomar una fracción cuyo numerador es la expresión decimal del número sin la coma y cuyo denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Ejemplo: la fracción generatriz del número decimal 23’76 es 2376 100  Para hallar la fracción generatriz de un número cuya expresión decimal es periódica se multiplica el número por potencias de diez elegidas de tal forma que al restar dos de esas expresiones la parte decimal desaparezca. De ahí se obtiene el valor del número como cociente de enteros. Ejemplo 1. Supongamos que queremos encontrar la fracción generatriz de 23'102 . Sea x = 23 . Multiplicando x por 1000 obtendremos otro número con la misma parte decimal que x, '102 1000x  23102'102 . Restamos las dos expresiones, se obtiene: 1000x –x= 23102'102  23'102 999x = 23079, de donde se deduce que 23079 7693 999 333 x  y, por consiguiente,  7693 23'102 333  . Ejemplo 2: Si queremos hallar la fracción generatriz del número cuya expresión es periódica mixta 2'675  . Sea x el número. Multiplicando x por 1000 y por 100 para obtener dos números con la misma parte decimal, obtenemos 1000x = 2'675  ; 100x  267'5  . Restando se obtiene 900x = 2408, es decir, 2408 602 900 225 x  , con lo cual 602 225 2'675   . Observaciones: 1. Los números decimales, como por ejemplo 3/4, que tienen una expresión decimal finita 0’75, se pueden representar también con expresiones decimales periódicas: basta escribir una serie ilimitada de ceros después del 5, 0’7500000 ... También podemos comprobar que se pueden representar como 074999... 2. Incluso los números naturales se pueden expresar con una notación decimal con infinitas cifras decimales; por ejemplo, 1=0’9999... 3. En la práctica, no obstante, los números decimales se expresan de la forma más simple posible, es decir con un número finito de cifras decimales. 4. En cambio todo número racional que no sea decimal, requiere un número ilimitado de cifras en su expresión decimal, que se repetirán en períodos (puros o mixtos). Todo número racional tiene una representación decimal finita o periódica; todos los números cuya expresión decimal es finita o periódica son números racionales. 5. Más adelante veremos que también se usan “expresiones decimales no periódicas” para los números irracionales (por ejemplo,  = 3'14159 ...) 6. Una desventaja teórica de la expresión decimal es que no es única para los números decimales. Por ejemplo: 2’6 = 2’5999... Los cálculos con números decimales se operan de manera ventajosa si se usa las expresiones decimales finitas. 7. La expresión decimal de los racionales no decimales sí es única, pero las notaciones periódicas para los racionales no decimales son incómodas para operar con ellas o incluso imposibles de realizar. Ejercicios: 1. Decir si los siguientes racionales son decimales. Para los casos en que sean decimales expresarlos en escritura decimal. Cuando no lo sean dar una aproximación decimal indicando el periodo correspondiente: 28/625; 38/64; 321/600; 36/675; 3/6250; 118/925; 52794/875 2. a) Encontrar una escritura decimal para los siguientes números racionales. 1/13, 1/19, 1/23 1/29, 1/31, 1/37, 1/41 b) ¿Cuál es el período en cada caso? c) ¿Qué tienen en común los denominadores? 3. Escribir en notación decimal en base 12 el racional (10 (10 4712 144 . 4. Representar mediante una fracción irreducible los racionales decimales siguientes: 1’04; 2’581; 0’0372; 10-5; 0’0005 5. Representar mediante una fracción irreducible los racionales no decimales siguientes: 0’333...; 0’00666...; 0’123123...; 123’458888...; 0’346666... 4. LA INTRODUCCIÓN DE LOS DECIMALES A PARTIR DE LA MEDIDA4 Los números decimales se introducen habitualmente a partir de las medidas con diferentes unidades –generalmente de longitud: metros, decímetros, centímetros, milímetros. Los múltiplos y submútiplos de la unidad elegida, por ejemplo, el metro (m), se representan en forma decimal, insistiendo en las multiplicaciones o divisiones por 10 que relacionan unos con otros. La “expresión decimal” aparece como un medio cómodo de representar medidas complejas. Ejemplo: “2 dam, 3 m, 1dm y 3 cm”, se conviene en expresarlo como 23’13 m si se ha elegido el metro como unidad principal, mientras que se escribe como 231’3 cm si se elige el centímetro. Esta introducción sólo requiere nociones con las que los niños están familiarizados, como cantidades de longitud y sus distintas unidades de medida. Permite también plantear el problema de los ceros necesarios y los que no lo son, una de las primeras diferencias entre los enteros y los decimales. Los ceros a la izquierda de un número entero se pueden suprimir (04 = 4), pero son indispensables si están a la derecha de la coma, ya que indican el rango de las restantes cifras en la escritura de un decimal (indican el orden de los submúltiplos de la unidad). Ejemplo: 8 cm se expresan en metros como 0’08 m, o como 0’00008 km. 4 Maurin y Johsua (1993), pags. 154-56. Esta regla es inversa de la que rige para los enteros; en ellos los ceros de la derecha son los que indican el rango de las cifras no nulas, y no se pueden suprimir: 60 y 600 no representan el mismo entero, 0’6 y 0’60 o 0’600 sí representan el mismo decimal. La introducción de los números decimales en el contexto de la medida tiene el inconveniente de presentar los decimales como números que podrían ser enteros siempre que se tome una unidad suficientemente pequeña. Esto enmascara una de las diferencias esenciales entre los enteros y los decimales, que es precisamente la principal utilidad de los decimales: la propiedad de que el conjunto D de los decimales es denso, o sea, que entre dos números decimales distintos, siempre se puede encontrar otro decimal distinto y, por tanto, existen una infinidad de tales números decimales intermedios. El desconocimiento por parte de los niños de esta propiedad puede explicar las dificultades que tienen para proponer números comprendidos entre dos decimales. Ejemplo: Los niños pueden proponer 1’215 como número decimal comprendido entre 1’21 y 1’22 si interpretan estos números como medidas expresadas en centímetros (1’215 supone pensar en términos de milímetros). Pero tendrán dificultades para proponer otro número entre 1’215 y 1’216, ya que no conocen unidades inferiores al milímetro. Desligando los números decimales del contexto de medida resulta fácil encontrar números entre 1’215 y 1’216: basta escribir 1’215 y 1’216 como 1’21500 y 1’21600 para encontrar rápidamente 99 números intermedios. La propiedad de la densidad del conjunto de los números decimales D atribuye a estos números otras características importantes y diferentes respecto de los números enteros:  Dado un decimal, no existe otro que le preceda o que le siga.  Tampoco existe en un intervalo abierto (5, 6) un número decimal menor o mayor que todos los comprendidos en dicho intervalo. Otro obstáculo en la comprensión de la representación decimal nace de la manera en la que se habla de ella: primero se pronuncia la parte entera y después la parte decimal. Por ejemplo, 256’431 se pronuncia como “doscientos cincuenta y seis, coma, cuatrocientos treinta y uno”; o también, “doscientos cincuenta y seis unidades, cuatrocientos treinta y un milímetro”. Esta práctica lleva a pensar en la representación decimal como dos números enteros separados por una coma, lo que puede explicar ciertos errores en la comparación de números expresados en forma decimal.  Cuando se quieren comparar dos números decimales la comparación de las partes enteras proporciona un método eficaz y correcto cuando las partes enteras son diferentes. Por ejemplo, 247 “y algo más” es mayor que 246 “y algo más”.  Si las partes enteras son iguales se corre el riesgo de aplicar este mismo procedimiento para comparar las partes decimales, lo que no es en general correcto. Así 247’5 es mayor que 247’123, a pesar de que 5 es menor que 123.  La aplicación del “orden lexicográfico” en la comparación de enteros y decimales requiere que los números tengan las mismas cifras, lo que en el caso de los decimales se logra completando con ceros. Así, para la comparación de 247’5 y 247’123 debe hacerse expresando 247’5 como 247’500; de este modo se ve claramente que 500 > 123.
A pesar de estas dificultades, la comparación de racionales expresados mediante
notación decimal es más sencilla que usando la notación con fracciones.
5. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
El gran interés de la notación decimal se deriva de que todos los algoritmos
desarrollados para realizar las operaciones aritméticas se extienden casi sin problema al
conjunto D de los decimales. Esto es posible gracias a las propiedades del sistema de
numeración decimal.
5.1. Adición y sustracción
El procedimiento consiste en transformar los dos números decimales para que
tengan el mismo número de cifras después de la coma, añadiendo ceros a la derecha del
número que tenga la parte decimal más corta. De esta manera, si se disponen los dos
números en columnas, la coma debajo de la coma, sólo queda aplicar el algoritmo
habitual de la adicción o de la sustracción en N. De esta regla puede surgir el obstáculo
de considerar los decimales como “dos enteros separados por la coma”,
Ejemplo:
205’8 174’402 = 205’800 174’402 ,
y se aplica el algoritmo como para dos números enteros de seis cifras. Se comienza por
la última cifra de la derecha de la parte decimal, y se deja la coma en su lugar entre la
tercera y la cuarta columna.
La justificación de esta manera de proceder se puede hacer pasando los decimales a
las fracciones correspondientes.
5.2. Multiplicación
El procedimiento consiste en realizar la multiplicación de los dos números como si
fueran enteros, prescindiendo de la coma, para colocar finalmente la coma en el
producto contando (a partir de la derecha) el número de cifras igual a la suma de las
cifras de las partes decimales de los dos factores.
La realización de estos cálculos muestra a los niños que “la multiplicación no
siempre hace aumentar” a los números, por ejemplo: 5’3 . 0’2 = 1’06
La justificación de este modo de operar la proporciona el sistema de numeración
decimal:
5’3 = 5 + 3.10-1
0’2 = 2.10-1
5’3 . 0’2 = [5 + 3.10-1]. [2.10-1] = 10. 10-1 + 6. 10-2 = 1’06
Se ha aplicado la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición,
la fórmula del producto de dos potencias de igual base y la escritura polinómica de los
decimales.
Se puede justificar este algoritmo sin utilizar las operaciones con exponentes
negativos. En primer lugar, es necesario aprender a multiplicar y dividir por potencias
de la base 10. Se observará especialmente las consecuencias de estas operaciones sobre
el desplazamiento de la coma.
A continuación es necesario aprender a escribir los números decimales como
fracciones o divisiones (si antes no se han introducido los racionales):
5’3 = 53/10; o bien, 5’3 =53:10 =53.0’1
Esto equivale a explicitar la idea de que multiplicar por 0’1 es como dividir por
diez. Finalmente es necesario recordar la definición del producto para mostrar que una
décima por una décima da como resultado una centésima –propiedad que se habrá
tratado antes, si ya se han abordado los racionales.
Después de esto se podrá escribir:
5’3 x 0’2 = (53 x 0’1) x (2 x 0’1) = (53 x 2) x (0’1 x 0’1) = 106 x 0’01
5.3. División
La división de dos decimales se puede reducir siempre a la de un dividendo decimal
y un divisor entero, ya que si el divisor tuviera decimales se puede transformar en entero
multiplicando por la potencia de diez conveniente ambos números.
El algoritmo que se aplica es el mismo que el de la división entera. Se traslada la
coma al cociente cuando se la encuentra en el dividendo. Cuando se agotan las cifras del
dividendo se continúa la división “bajando ceros” ¿Cuándo se debe detener este
proceso? Esto plantea el problema de la aproximación decimal.
Ejercicios:
6. Calcular la diferencia, 1’53- 0’716.
6. Calcular los productos:
a) 0’93 x 0’4 b) 0’495 x 0’
8. Sumar 0’6 + 0’3. ¿La suma de dos números decimales periódicos, es siempre un decimal
periódico?
9. Estima el producto 7.123×105 x 2.124 x105 y comprueba la respuesta con tres cifras
significativas usando una calculadora.
6. LA APROXIMACIÓN DECIMAL DE RACIONALES. NÚMEROS REALES
Los racionales decimales admiten una expresión decimal finita. Basta realizar la
división del numerador por el denominador de la fracción irreducible que lo representa
para obtenerla. Si el racional no es decimal admite una expresión decimal, pero tenemos
que utilizar una serie ilimitada de números (2/3 = 0’6666… ) a la derecha de la coma,
números que se repiten a partir de un cierto momento.
El hecho que hace a los números decimales útiles es que permiten “aproximar” con
el grado de precisión que deseemos a cualquier número racional. Para ello basta truncar
la serie ilimitada de la expresión decimal periódica en un punto más o menos alejado a
la derecha de la coma; de este modo se obtiene un decimal finito que aproxima al
decimal infinito cuanto queramos.
Desde un punto de vista práctico, por tanto, se puede evitar siempre el uso de
expresiones decimales infinitas realizando los cálculos con aproximaciones decimales
finitas. Esta propiedad se expresa diciendo que D es denso en Q:
Hay un número decimal tan próximo como se quiera a cualquier número
racional
Ejercicios:
10. Encontrar un decimal con dos cifras decimales que esté a menos de una centésima del
número 1/3
11. Encontrar un decimal con tres cifras decimales que difiera de 15/7 menos de una milésima.
Expresar el resultado en forma polinómica.
Números irracionales:
Existen números cuya expresión decimal es infinita y no periódica. Por ejemplo,
imaginemos la siguiente expresión decimal potencialmente infinita:
0’717117111711117 …
donde, después de cada número 7, se va poniendo sucesivamente un número 1
adicional. Por tanto, no será posible encontrar aquí ninguna periodicidad.
Es decir, podríamos imaginar la siguiente sucesión de números decimales finitos,
ordenados de menor a mayor:
0’7 < 0‘71< 0’717 < 0’7171<0’71711< ... Esta sucesión no crece ilimitadamente, ya que está acotada por 0’72. Por otra parte, por muchos términos que escribamos no podemos encontrar un racional al que corresponda la expresión, ya que ni es finita ni periódica. Llamamos números irracionales a aquellos cuya representación decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Por tanto un número irracional surge como resultado de continuar potencialmente una sucesión acotada de números decimales. Como vemos en este ejemplo, los números decimales permiten también manejar aproximaciones finitas, con el grado de aproximación que deseemos, de los números irracionales. Llamaremos conjunto de números reales al conjunto que se obtiene al unir los números racionales e irracionales. “Número real” es una manera abreviada de referirnos a las sucesiones estrictamente crecientes o decrecientes acotadas de números decimales. Ejercicios: 12. Entre dos números reales cualesquiera hay un número decimal finito (D es denso en R). Encontrar un número decimal finito entre los siguientes números reales: a)  y !10b) !99 y !100 13. Probar que la escritura decimal siguiente no corresponde a un número racional: 0’1234567891011121314151617181920 21..... 7. NOTACIÓN CIENTÍFICA. REPRESENTACIÓN DECIMAL EN LAS CALCULADORAS Cualquier número expresado en forma decimal se puede escribir como producto de un número comprendido entre 1 y 10 y una potencia entera de 10. Por ejemplo: 2305 = 2’305.103; 0’0321 = 3’21.10-2; 7’4 = 7’4.100; Esta manera de escribir los números se conoce como notación científica, o también coma flotante normalizada. La forma general es: d.10n, siendo d un número decimal comprendido entre 1 y 10, y n la potencia necesaria para situar la coma en el lugar que corresponda según el número representado. Es particularmente conveniente para expresar números muy grandes o muy pequeños, y es la utilizada en las calculadoras un poco sofisticadas (calculadoras científicas). Basta sólo mostrar en la pantalla el número d y el exponente n, ya que la base 10 de la potencia se sobreentiende. Ejemplos: -542’2568 = -5’422568. 102, se muestra como, -5’422568 02 0’000005689 = 5’689.10-6, se muestra como, 5’689 -06 El uso de la notación científica en las calculadoras es una necesidad derivada del hecho que las pantallas de estos dispositivos sólo pueden mostrar un número pequeño de dígitos (8 o 10 cifras, por lo general). Sin estos convenios de representación sería imposible hacer el siguiente cálculo: 0’000 000 005 872 x 0’000 000 000 025 8 ya que daría como resultado 0’00000000 en una calculadora con 10 posiciones de memoria en la pantalla. Sin embargo, en notación científica el resultado se daría como: 1’514976 -19, que significa, 1’514976 x 10-19 = 0’000 000 000 000 000 000 151 497 6 lo que permite dar todas las cifras significativas del cálculo. Conviene tener en cuenta que en las calculadoras la coma decimal se indica con un punto, y no con una coma o con un apostrofe ( ' ) como suele ser habitual en la escritura a mano. Ejercicios 14. Efectuar los siguientes cálculos sin calculadora. Comprobar los resultados usando la calculadora. a) 0'85 + 0'2; b) 0'002 + 0'32 +1'5; c) 6'801 - 0'999; d) 2'8 x 0'49; e) 0'003 x 0'002; f) 0'0'48 " 6 g) 0'048 " 0'6; h) 0'048 " 0'06; I) 0'048 " 0'000006 j) 0'22459 " 0'037 k) 0'015989 "5'9 Buscar situaciones concretas en las que sea necesario hacer cada una de estas operaciones. 15. Una calculadora da el valor 0'0000001 como respuesta para la multiplicación 0'00037 x 0'00054. a) ¿Cuál es la respuesta correcta? b) ¿Cómo se puede hallar la respuesta correcta con la calculadora? c) Otra calculadora da como respuesta 1998 -07. Interpretar esta respuesta. 8. TALLER MATEMÁTICO 1. Escribir en forma simplificada como “número con coma” las siguientes expresiones de dos números expresados de forma polinómica en base b >6. ¿Cuál de ellos es mayor?
d1 = 2b2 + 0b1 + 1b0 + 5b-1 +1b-2 +6b-4
d2 =2b2 + 0b1 + 1b0 + 5b-1 +6b-3
2. Dar la escritura decimal, eventualmente aproximada, de los números que se escriben
del siguiente modo:
214’23 (en base cinco) y 214’23 (en base seis)
3. Si escribimos los números racionales en un sistema de base 12,
a) ¿Qué fracciones podrán escribirse con una escritura “duodecimal” finita?
b) ¿Qué fracciones tendrán una escritura “duodecimal” ilimitada periódica?
c) ¿Qué fracciones tendrán una escritura duodecimal ilimitada no periódica?
4. Si al usar la calculadora para dividir 4 entre 9 obtienes como resultado 0.4444444,
¿significa eso que 4/9 es un número racional con expresión decimal periódica?
5. Escribe las siguientes fracciones en expresión decimal:
1/11
1/111
1/1111
¿Puedes adivinar la expresión decimal de 1/11111? Comprueba tu conjetura hallando su
fracción generatriz.
Describe la expresión decimal de 1/N donde N el un número formado por n unos:
111…..1
6. ¿Cuáles son las fracciones generatrices de las siguientes expresiones?
0’7474747474…
0’235235235235…
0’ababababab…
0’abcabcabc…