CONJUNTOS NUMERICOS PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

· Tiene un número infinito de elementos.

· Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 0, un antecesor.
NÚMEROS ENTEROS
Es una ampliación de los números naturales que surge como respuesta al intentar dar medidas negativas.
El conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales (por ejemplo: 7 – 13 =  ¿?).

Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero.

Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Un número es racional si y sólo si puede expresarse como división de dos números enteros, cuyo divisor es distinto de cero. Esta división se representa como fracción, donde el dividendo recibe el nombre de numerador y el divisor de denominador.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos (o periódicos mixtos) que sí pueden transformarse en una fracción.

L CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
El conjunto formado por los racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales, y se designa por lR

En la presente secci´on se hace una revisi´on de los principales conjuntos n´umericos,
que se necesitan en un primer curso de Matem´atica de nivel universitario.
Conjunto de los n´umeros naturales El conjunto de los n´umeros naturales, N , es el
primer conjunto de n´umeros conocido y estudiado:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
Es un conjunto con un primer elemento, ordenado e infinito. Tambi´en se conoce
como el conjunto de los n´umeros enteros positivos.
Claramente el resultado de sumar o multiplicar dos n´umeros naturales, es un n´umero
natural. Esta situaci´on no se cumple para el caso de la sustracci´on ni de la divisi´on.
Al no ser la sustracci´on una operaci´on cerrada en N, ecuaciones del tipo x + 7 = 4 no
tienen soluci´on en este conjunto, debido a que no existe un n´umero natural que sumado
con 7 de como resultado el n´umero 4. Situaciones de este tipo, hacen necesario extender
el conjunto de los n´umeros naturales al
Conjunto de los n´umeros enteros
El conjunto de los n´umeros enteros, Z, es:
Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}
En este nuevo conjunto, el problema reci´en planteado tiene soluci´on, ya que el n´umero
entero −3 es la soluci´on de la ecuaci´on x + 7 = 4.
En el conjunto de los n´umeros enteros, existen algunos conceptos que es necesario
tener presente:
• Un n´umero entero a se dice factor o divisor de otro entero b, cuando existe un
entero c, tal que: b = a · c. Cuando esto sucede, tambi´en se dice que b es m´ultiplo
de a. Por ejemplo: 2 es un factor de 18 (o, 18 es m´ultiplo de 2), pu´es 18 = 2 · 9.
• Un n´umero entero p, distinto de 1, se dice primo, cuando sus ´unicos factores son
±1 y ±p. As´ı, por ejemplo, 2, −3, 5, −7 y 11 son n´umeros primos; mientras que,
por ejemplo, 4, −6, 8, −10 y 1256 no son n´umeros primos. Cuando un n´umero
entero no es primo, se dice compuesto.
• Un n´umero entero se dice par, cuando es divisible por 2. As´ı, por ejemplo, −6, 34
y 7772 son n´umeros pares. Si un n´umero entero no es par se dice impar.
Observaciones:
– Si a es n´umero par, entonces existe un n 2 Z tal que a = 2n.
– Si a es n´umero impar, entonces existe un n 2 Z tal que a = 2n + 1.
As´ı como el sistema de n´umeros naturales es insuficiente para resolver ciertos tipos
de ecuaciones, tambi´en los n´umeros enteros son insuficientes para resolver ecuaciones
del tipo ax = b con a y b enteros y a 6= 0. Es claro que esta ecuaci´on s´olo tiene soluci´on
en Z, si b es m´ultiplo de a. Para que las ecuaciones de este tipo tengan siempre soluci´on,
se hace necesario ampliar el sistema de los n´umeros enteros al
Conjunto de los n´umeros racionales
El conjunto de los n´umeros racionales, Q, es:
Q = {a
b / con a y b enteros, b 6= 0}
Observaciones:
1. El conjunto de los n´umeros racionales est´a constitu´ıdo por todas las fracciones de
enteros, con denominador distinto de 0.
2. Dos racionales a
b y c
d son iguales siempre y cuando a · d = b · c. Es decir,
a
b
=
c
d
() a · d = b · c
3. Todo n´umero racional a
b se puede representar como un n´umero decimal finito o
infinito peri´odico. Ello se logra simplemente efectuando la divisi´on entre a y b.
Rec´ıprocamente, todo decimal finito o infinito peri´odico equivale a una fracci´on de
enteros.
4. De la observaci´on precedente, se tiene que los n´umeros decimales infinitos no
peri´odicos, no son n´umeros racionales.
Aunque en la pr´actica siempre se trabaja con n´umeros racionales o con su equivalente
decimal (redondeado convenientemente), hay un problema que no tiene soluci´on en el
conjunto de los n´umeros racionales; se trata de la ecuaci´on x2 = a con a racional y tal
que a no sea cuadrado perfecto de otro racional. Es posible demostrar que la soluci´on
de tal ecuaci´on no es un n´umero racional. Tal n´umero forma parte del conjunto de los
n´umeros irracionales.
Conjunto de los n´umeros irracionales
El conjunto de los n´umeros irracionales, Qc, est´a constitu´ıdo por todos los n´umeros
decimales infinitos y no peri´odicos.
Los siguientes son n´umeros irracionales:
0.12345678910111213… 12.101001000100001…. 126.122333444455555…
Todos los n´umeros contenidos en los conjuntos comentados, constituyen el universo
est´andar, para la mayor parte del trabajo en matem´atica. Por esta raz´on ellos se reunen
en un nuevo conjunto num´erico:
Conjunto de los n´umeros reales
El conjunto de los n´umeros reales, R, es la uni´on del conjunto de los n´umeros
racionales, (por lo tanto contiene a los n´umeros naturales y enteros), y de los n´umeros
irracionales. Es decir:
R = Q [ Qc
La tabla siguiente describe los conjuntos num´ericos y algunos ejemplos de n´umeros
en ellos.
S´ımbolo Sistema num´erico Descripci´on Ejemplos
N´umeros para contar
N N´umeros naturales (tambi´en llamados 1,2,3,…
enteros positivos)
Conjunto de n´umeros …,−2,−1, 0,
Z N´umeros enteros naturales, sus negativos 1,2,3,…
y el 0
Cualquier n´umero
que puede represen- −4; 15
;
Q N´umeros racionales tarse como a/b, 1.5
donde a y b son 0; 3.67;
enteros y b 6= 0 -0.121212…
Cualquier n´umero
que no puede represen-
p
2; ;
Qc N´umeros irracionales tarse como a/b, 1.123456…;
donde a y b son
p
5;
enteros y b 6= 0 -0.1223334444…
Conjunto de todos los
R N´umeros reales n´umeros racionales e
p
2; 0.33…;
irracionales −3; ; 5.79
Un diagrama de los n´umeros reales y sus principales subconjuntos es:

1. Establecer cu´ales de las siguientes sentencias son verdaderas y cu´ales son falsas. En
las falsas proporcionar un contraejemplo. En las verdaderas justificar adecuadamente.
(a) N  Q
(b) Si a2 = 1, entonces a = 1
(c) Si x < 1, entonces x2 < 1
(d) 0.999… = 1
(e) Si a · b = a · c, entonces b = c
Soluci´on:
(a) V , pu´es si a 2 N ) a = a1
2 Q.
(b) F, ya que para a = −1 se tiene que: a2 = 1, pero a 6= 1.
(c) F, ya que para x = −4 se tiene que: x < 1, pero x2 = 16 no es menor que 1.
(d) V , pu´es si a = 0.999… ) 10a = 9.999… ) 10a − a = 9 ) 9a = 9 ) a = 1.
(e) F, ya que 0·3 = 0· 5, pero 3 6= 5. Nota: Recordar que esta propiedad es v´alida
justamente cuando a 6= 0.
2. Responder las siguientes preguntas. Justificar su respuesta.
(a) ¿Cu´anto debe a˜nadirse a 29
para obtener la unidad?
(b) ¿Cu´al es la mitad de 12
?
(c) ¿Por cu´anto hay que dividir 53
para obtener 2?
(d) ¿Cu´al es el n´umero cuyos 25
corresponden al n´umero 36?
Soluci´on:
(a)
7
9
, pues 29
+ 79
= 1.
(b)
1
4
, la mitad de 12
= 12
· 12
= 14
.
(c)
5
6
. En efecto: 53
÷ 56
= 53
· 65
= 2.
(d) 90. En efecto: 25
· 90 = 36.
3. M es menor que N, P es igual a Q, P es mayor que N y Q es menor que S. ¿C´omo
es M en relaci´on a S?.
Soluci´on:
Ordenemos la informaci´on entre los n´umeros en una recta real:
Por lo tanto, M < S.
4. Comprobar que la suma de dos n´umeros pares es un n´umero par.
Soluci´on:
Sean x, y dos n´umeros pares por lo tanto existen n,m 2 Z tales que x = 2n, y =
2m luego:
x + y = 2n + 2m
= 2(n + m)
como (n + m) 2 Z , entonces 2(n + m) es un n´umero par.
5. Verificar que si a 2 Z, entonces a es par () a2 es par.
Soluci´on:
=)) Si a es par, existe un n 2 Z tal que a = 2n. De donde a2 = 4n2 = 2(2n).
Luego a2 es par.
(=) En este caso se tiene que a2 es par, por demostrar que a es par.
Demostraci´on (Indirecta)
Supongamos que a es impar, entonces 9n 2 Z tal que a = 2n + 1, luego a2 =
(2n+1)2 = 4n2+4n+1 = 2(2n2+2n)+1, de donde a2 es impar, lo que contradice
nuestra suposici´on. Luego a no es impar, es decir, a es par.
6. Un antiguo problema es encontrar una f´ormula que s´olo entregue n´umeros primos.
Tal problema a´un permanece sin soluci´on.
Considerar la expresi´on P = n2 − n + 41
(a) Calcular P para n = 1, 2, 3, · · · , 10
(b) De los valores calculados en (a), ¿cu´ales de ellos son primos?, ¿qu´e conjetura
sugiere este resultado?
(c) Calcular P para n = 41. Comentar.
Soluci´on:
(a)
n · · · P = n2 − n + 41
1 ! 41
2 ! 43
3 ! 47
4 ! 53
5 ! 61
6 ! 71
7 ! 83
8 ! 97
9 ! 113
10 ! 131
(b) Todos son primos!
La conjetura sugerida es que: la f´ormula propuesta, representa un n´umero primo
para cada n 2 N
(c) Para n = 41, P = 1681 = 41 · 41 que no es primo. Luego la conjetura sugerida
en (b) es incorrecta.
7. Una regla de divisibilidad por 9 es:
”Un n´umero N es divisible por 9 siempre y cuando la suma de sus d´ıgitos es divisible
por 9”.
Demostrar esta regla para el caso de un n´umero natural de 4 d´ıgitos.
Soluci´on:
Sea adcd un n´umero natural de 4 d´ıgitos, luego se quiere demostrar que
abcd es divisible por 9 () a + b + c + d es divisible por 9.
)) Sea
N = abcd
N = 1000a + 100b + 10c + d
N = 999a + 99b + 9c + d + a + b + c
N = 9(111a + 11b + c) + a + b + c + d
como N es divisible por 9: N = 9n, n 2 Z. Luego:
9n = 9(111a + 11b + c) + a + b + c + d
de donde:
a + b + c + d = 9n − 9(111a + 11b + c) = 9(n − 111a − 11b − c)
Es decir, a + b + c + d es divisible por 9.
() An´alogo.
8. Encontrar una fracci´on de enteros equivalente al decimal 76.123
Soluci´on:
Sea x = 76.123 / · 1000
1000 · x = 76123 / 1
1000
x = 76123
1000
Por lo tanto 76.123 =
76123
1000
9. Encontrar una fracci´on de enteros equivalente al decimal 5.777… = 5.7
Soluci´on:
Sea x = 5.777… / · 10
10 · x = 57.777… restando:
10 · x − x = 57.777… − 5.777… de donde:
9 · x = 52 / · 1
9
x = 52
9
Por lo tanto 5.7… =
52
9
10. Encontrar una fracci´on de enteros equivalente al decimal 35.42737373… = 35.4273
Soluci´on:
Sea x = 35.42737373… de donde
10000 · x = 354273.737373…
100 · x = 3542.737373… restando
10000 · x − 100 · x = 350731 de donde:
9900 · x = 350731 / · 19
x = 350731
9900
Por lo tanto 35.4273… =
350731
9900
11. La soluci´on x de la ecuaci´on x2 = 2 es un n´umero irracional.
Soluci´on:
Suponer que la soluci´on de la ecuaci´on x2 = 2 sea un n´umero racional. Luego,
existen enteros a y b, con b 6= 0, tal que a
b = 2. Es posible que los n´umeros enteros
a y b tengan factores comunes, de ser as´ı, simplificar la fracci´on a
b hasta que no
haya factores comunes entre su numerador y denominador. Sea c
d la fracci´on as´ı
obtenida. Observar que
• a
b = c
d, y
• c y d no tienen factores en com´un.
Ahora bien,
c
d
2
= 2
c2
d2 = 2
c2 = 2 · d2 ()
De donde c2 es par. Luego, ver Ejercicio resuelto 5, c es par. Por lo tanto existe
un n 2 Z tal que
c = 2 · n ()
Reemplazando () en (), se tiene:
(2 · n)2 = 2 · d2
4 · n2 = 2 · d2
2 · n2 = d2
Luego, d2 es par, y por lo tanto, d es par. De aqu´ı, existe un m 2 Z tal que
d = 2 ·m. Este resultado junto a (), muestran que c y d tienen al n´umero 2 como
factor com´un. Esto contradice el hecho que c y d no ten´ıan factores comunes.
Por lo tanto, es imposible expresar x como un cuociente de enteros, es decir, x,
soluci´on de la ecuaci´on x2 = 2, no es un n´umero racional.
12. Un abogado recupera el 60% de una demanda de M$700 y cobra por sus servicios
el 15% de la suma recuperada. ¿Qu´e cantidad recibir´a su cliente?
Soluci´on:
El abogado recupera el 60% de M$700 que es M$420. Como ´el cobra el 15% de lo
recuperado (M$420), se queda con M$63. Por lo tanto el cliente se queda con la
suma de M$357.
1. En cada una de las siguientes relaciones se˜nalar la propiedad de los n´umeros reales
que la justifica.
(a) 5 + 0 = 5
(b) (−2) · 1 = −2
(c) −
p
7 +
p
7 = 0
(d) (a + b) · (a + b)−1 = 1, con a + b 6= 0
(e) 0 + 0 = 0
(f) 3 +
p
3 =
p
3 + 3
(g) 5 · (4 · a) = (5 · 4) · a
Respuesta: (a) 0 neutro aditivo (b) 1 neutro multiplicativo (c) Inverso aditivo
(d) Inverso multiplicativo (e) 0 neutro aditivo (f) Conmutatividad de la adici´on
(g) Asociatividad de la multiplicaci´on
2. A continuaci´on se entrega un desarrollo num´erico que concluye con un hecho falso
(¡4 = 5!). Encontrar el paso en el cual se ha cometido el error.
16 − 36 = 25 − 45
Paso (1) 16 − 36 + 81
4 = 25 − 45 + 81
4
Paso (2) 16 − 36 +