LONGITUD DE LA CURVA POR INTEGRALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA PLANA
Cálculo de la longitud del arco de una curva plana
En coordenadas rectangulares
Longitud del arco de curva en coordenadas polares

Ejemplo
Encuentre la longitud de la circunferencia del círculo x2 + l = a
Ejemplo
Halle la longitud de la parábola y = 2~ desde x= O hasta x= 1.
Ejemplo
Halle la longitud de un arco completo de la cicloide
Ejemplo
Calcule la longitud del arco de la espiral
p=a eme
desde el origen hasta el punto
Problemas resueltos
Problema 1
Halle la longitud de la astroide (hipocicloide)
Problema 2
Halle la longitud del arco de la parábola semicúbica a/ =} , desde el origen al
punto cuya abscisa es x = 5a.
Problema 3
Encuentre la longitud del arco de la parábola l = 4 px desde el vértice hasta un
extremo del lado recto.
Problema 4
Calcule la longitud del arco de la curva y= In secx desde el origen hasta el punto
Problema5
Encuentre la longitud del arco de la catenaria y=!!.(ex
Problema 6
Calcule la longitud del arco de la curvay=ex entre los puntos (0, 1) Y (1 , e)
Problema 7
Halle la longitud del arco de la curva
x = L – – In desde y= 1 hasta y= e.
Problema 8
Calcule la longitud del arco de la curva y=lnx desde x = J3 hasta x =.J8.
Problema 9
Encuentre la longitud del lazo de la curva 9a/=x(x- 3a)2.
Problema 10
Halle la longitud del arco de la curva
Problema 11
Halle la longitud del arco de la curva
x=a(cos t+tsen t),y=a(sent-tcost)
desde t= O hasta t= T.
Problema 12
Encuentre la longitud total de la curva
x=a(2 cos t-cos2t), y=a(2 sent-sen2t)
Problema 13
Calcule la longitud del arco de la curva
{
X = /t sent
desde t=O hasta t=n/2.
Problema 15
Calcule la longitud de la primera vuelta de la espiral de Arquímedes p = ae.

Problema 16
Encuentre la longitud del arco de la curva
e=l(p+~) desdep=l hastap=3
Problema 17
Halle la longitud de la cardiode p = a(1 + cos8).
Problema 20
Encuentre la longitud de la espiral logarítmica
a
p = – desde (PI’ el) hasta (P2′ e2)

Definición
Seaf(x) una función definida en el intervalo cerrado [a, b]. Si existe un número L
tal que
entonces L se llama la longitud del arco de la curva y= f(x) del punto A = (a, f(a)) al
punto B= (b,f(b)) o
Interpretación geométrica
La figura muestra la gráfica de una curva y = f(x) definida sobre el intervalo
cerrado [a; b] o
Cuando II~II = máx ~X es muy pequeño, las abscisas Xi_l Y Xi se encuentran muy
cerca, la poligonal asociada a tales puntos se “ajusta” a la curva, y por lo tanto, intuitivamente
pensamos que el límite de las longitudes de las poligonales así obtenidas
representa la longitud del arco de la curva.
Teorema 1
Seay=y(x) una función tal que dy es continua en el intervalo cerrado [a, b].
dx
Entonces la longitud del arco de la curva entre dos puntos con abscisas x= a y
x= b, es dada por la fórmula
Teorema 2
Sea x=x(y) una función tal que dx es continua en el intervalo cerrado [e, di.
dy
Entonces la longitud del arco de la curva entre dos puntos con ordenadas y= e
e y=d es dada por la fórmula
Teorema
Si una curva es definida mediante las ecuaciones paramétricas {x = x(t) ,
y = y(t)
donde dx y dy son funciones continuas en un intervalo [tI’ t2], entonces la
dt dt
longitud del arco de la curva con extremos
PI=(x(tl),y(tl)) y P2=(X(t2), y(t2)),es dada por
Teorema
x
Si una curva es definida mediante la ecuación en coordenadas polares p=p(e),
donde dp es una función continua, entonces la longitud del arco de la curva cuyos
de
extremos tienen ángulos polares e} y e 2, respectivamente, es dada por