LOGICA DE CLASES-CUANTIFICADORES E INFERENCIAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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La lógica estudia el orden que en la ciencia introduce nuestro entendimiento. Orden que no tiene nada de arbitrario, sino que se ajusta a leyes muy precisas y rigurosas. Este orden y leyes se manifiestan especialmente en los razonamientos o argumentaciones, que tienen en la ciencia el importantísimo papel de proporcionarnos conocimientos mediatos. La verdad de algunos de nuestros conocimientos es captada inmediatamente, verbigracia cuando afirmamos que hoy llueve. Por el contrario, tenemos conocimientos cuya verdad no puede captarse inmediatamente por medio de la experiencia, sino que proceden mediatamente de otros anteriormente admitidos. Por ejemplo, cuando decimos que somos mortales, cosa que afirmamos por saber que todo hombre es mortal y que nosotros somos hombres, no porque hayamos tenido experiencia directa de tan desagradable característica.
La lógica de clases
investiga no ya las formas o estructuras que se dan entre proposiciones dentro del razonamiento, sino que llevando más allá su análisis, considera también las relaciones formales existentes entre los términos dentro de cada proposición.
En el capítulo anterior vimos cómo algunos razonamientos muestran su corrección con sólo considerar la estructura existente entre sus proposiciones, sin necesidad de analizar dichas proposiciones en sus términos. Por ejemplo, la siguiente argumentación, ya mencionada: «Si el sol calienta sube el termómetro, y el sol calienta, luego sube el termómetro», que no es sino una aplicación del modus ponendo ponens de la implicación.
Pero hay razonamientos que exigen considerar las relaciones existentes entre los términos de la proposición, pues de sus relaciones mutuas surge la corrección del razonamiento. Verbigracia, el citado razonamiento:
Todo hombre es mortal.
Todo chino es hombre,
luego todo chino es mortal,
debe la validez de su conclusión al llamado término medio (hombre en este caso) que es el argumento o enlace entre los otros dos términos (chino y mortal). Por ende, si queremos conocer las leyes que rigen esas argumentaciones habrán de tenerse en cuenta las relaciones formales entre los términos.
Desde dos puntos de vista podemos considerar los conceptos y los términos (que son su expresión lógica): la extensión y la comprensión o intensión

LOGICA PREDICATIVA O LOGICA DE CLASES
Hemos visto anteriormente las diferentes formas de relacionar proposiciones mediante los conectivos lógicos. Ahora veremos o analizaremos la estructura interna de cada proposición, es decir, la relación existente entre el sujeto y predicado.

NOCIONES PREVIAS
Proposición Categórica
Es un enunciado o proposición que afirma o niega una relación de inclusión o exclusión, total o parcial entre conjuntos o clases (sujeto y predicado)

Ejemplo 1
* Todos los hombres son mortales.
Nos indica que todos los elementos del conjunto o clase de hombres está incluído totalmente en el conjunto o clase de mortales.

Ejemplo 2
* Algunas personas son sinceras.
Nos indica que sólo algunos elementos del conjunto personas son también elementos del conjunto de personas sinceras.

Ejemplo 3
* No todos los niños son felices.
Nos indica que algunos elementos del conjunto niños son no felices, es decir, es una exclusión parcial.

Observacion:
Entendiéndose por clase o conjunto a cualquier agrupación o colección de elementos u objetos concretos o abstractos que tienen propiedades comunes.
Inferencia
Es un razonamiento en la cual a partir de una o más proposiciones llamadas premisas se deriva una nueva proposición llamada conclusión.

Ejemplo:
* Todos los peruanos son honestos.
* Todos los limeños son peruanos.
De ambas podemos deducir que todos los limeños son honestos.

TIPO DE INFERENCIAS
Inductivas
A partir de casos o hechos particularmente se llega a una conclusión de carácter general. La conclusión en toda inferencia inductiva es problable con respecto al conjunto de premisas.

Ejemplo:
* Juan es del Callao y le gusta la salsa.
* María es del Callao y le gusta la salsa.
* Rubén es del Callao y le gusta la salsa.
Entonces:
Es muy probable que a todos los que son del Callao les gusta la salsa.

DEDUCTIVAS
Cuando a partir de ciertas premisas (que pueden ser generales) se obtiene una conclusión (particular) que se deriva necesariamente de ellas

Ejemplo:
* Todos los carnívoros son mamíferos.
* Todos los caninos son carnívoros
Entonces:
Todos los caninos son mamíferos.

Inmediatas:
Son aquellas inferencias que están formadas por sólo una premisa y su correspondiente conclusión.

Ejemplo:
* Todos los ingenieros son matemáticos.
Entonces:
Algunos ingenieros son matemáticos.

Mediatas
Son aquellas inferencias que están conformadas por dos o más premisas y su respectiva conclusión.

Ejemplo:
* Todos los limeños son sinceros.
* Algunas mujeres son limeñas
Entonces
Algunas mujeres son sinceras.

OBSERVACIÓN:
Las inferencias deductivas mediatas que tengan dos premisas adoptan el nombre de silogismo.

EXTENSIÓN DE LAS PROPOSICIONES
De Acuerdo a su Cantidad

Universal
* Todos los perros son caninos.
* Todos los gatos son peces.

Particular
* Algunas personas son cariñosas.
* Algunas plantas son comestibles

De Acuerdo a su Calidad

Afirmativa
* Marcos es varón.
* Algunos hombres son obreros.

Negativa
* Ningún pez es plantígrado
* Algunos marsupiales son no canguros

REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Una clase A puede ser representada mediante un área (generalmente, un círculo) inscrita en una superficie dada, la cual representa la clase universal o el llamado universo del discurso. Así, la representación gráfica de la clase A será el diagrama:

Así, la inclusión de una clase A en una clase B puede representarse mediante dos círculos concéntricos inscritos en la superficie dada antes referida:

Con ello se muestra gráficamente que todos los miembros de A son miembros de B. El diagrama 2 es conocido con el nombre de diagrama de Euler, por suponerse que su inventor fue el matemático suizo Leonhad Euler (1707-1783). De hecho, según indica G. Vacca (apud L. Couturat), tal diagrama fue ya empleado antes por Leibniz.
La suma de dos clases, A y B, puede ser representada mediante el área total de dos círculos que se intersecan:

Con ello se muestra graficamente la clase compuesta de todas las entidades que pertenecen a A o a B o a ambas.
El producto de dos clases, A y B puede representarse mediante el área (marcada x) de intersección de dos círculos.

Con ello se muestra graficamente la clase compuesta de todas las entidades que perteneces a la vez a A y a B.
Dado un círculo que representa la clase A, el complemento de A, , se representa mediante el área exterior a A.

Con ello se muestra graficamente que es la clase de todos los miembros que no perteneces a A.
La representacion gráfica de la identidad de dos clases, A y B, se efectúa mediante dos círculos que coinciden en todos sus puntos. El resulta es un solo círculo inscrito en una superficie:

Dos clases. A y B, mutuamente exclusivas se representan mediante dos círculos sin ningún punto común.

EL SILOGISMO EN EL ÁLGEBRA
DE CLASES

La representación gráfica de las clases nos permite reintroducir el silogismo, y presentar un método para comprobar mecanícamente la validez o no validez de cualquier razonamiento silogístico.
Cualquiera de los llamados términos del silogismo puede, en efecto, ser considerado como expresando una clase. Asi, las ya mencionadas letras “S”, “P” y “M” designarán clases. Si acptamos como principio que cada una de ellas puede ser representada gráficamente mediante uin círculo, y queremos dar los diagramas de las proposiciones A, E, I y O, tendremos las siguientes figuras:

Para la construcción de estas figuras nos hemos atenido a las convenciones siguientes:
(a) Para indicar falta de información sobre una clase dejamos en blanco el área que la representa;
(b) Para negar la existencia de una clase sombreamos el área que la representa;
(c) Para afirmar la existencia de una clase insertamos x en el área que la representa.
De acuerdo con dichas convenciones, los diagramas han sido dibujados como sigue:
Diagrama 1. Se ha sombreado el área de S que se halla al exterior de P, afirmando así que todos los S que restan son P.
Diagrama 2. Se ha sombreado el área de intersección de S y P, afirmando así que ninguno de los S que quedan son P.
Diagrama 3. Se ha marcado con x el área de intersección de S y P, afirmando así que algunos S son P.
Diagrama 4. Se ha marcado con x el área de S que se halla fuera de P, afirmando así que algunos S no son P.
El mismo método puede usarse para representar graficamente los silogismos. Para ello hay que introducir un tercer círculo, que representará otro de los términos. Como ejemplo, representaremos gráficamente las dos premisas de dos silogismos: uno en modo Barbara y otro en modo Darii.
Las dos premisas del modo Brabara son:
Todos los M son P
Todos los S son M
Según ello, dibujaremos la siguiente figura:

De acuerdo con el citado método, para indicar “Todos los M son P” se ha sombreado toda el área de M que se halla fuera de P; para indicar “Todos los S son M” se ha sombredao toda el área de S que se halla fuera de M.
Las dos premisas del modo Darii son:
Todos los M son P
Algunos S son M.
Segun ello, dibujaremos la siguiente figura:

De acuerdo con el citado método, para indicar “Todos los M son P” se ha sombreado toda el área de M que se halla fuera de P; para indicar “Algunos S son M” se ha maracdo con x el espacio en blanco donde S interseca con M.
La conclusión de Barbara, “Todos los S son P” y la conclusión de Darii, “Algunos S son P” deben estar lógicamente implicados en las premisas respectivas. A la vez, tales conclusiones deben quedar indicadas en las representaciones gráficas correspondientes. Comprobaremos que así sucede. En el diagrama 5, “Todos los S son P” queda indicado por el hecho de que toda el área de S exterior a P está sombreada. En el diagrama 6, “Algunos S son P” queda indicado por el hecho de que hay x en una parte del área común a S y P.
Daremos a continuación seis ejemplos de silogismos y comprobaremos si las conclusiones están o no indicadas en los correspondientes diagramas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Si “Algunos filósofos son materialistas” entonces podemos concluir que:
A) no ocurre que ningún filósofo sea materialista.
B) ningún filósofo es materialista.
C) ningún materialista es filósofo.
D) todos filósofo es materialista.
E) algunos filósofos no son materialistas.

8. Si “No todo profesional es amoral” entonces:
A) es falso que ningún filósofo sea materialista.
B) algunos profesionales son morales.
C) algunos profesionales no son morales.
D) todo profesional es no moral.
E) algunos morales no son profesionales.

9. Si afirmamos que: “Ningún molusco es mamífero” entonces:
A) todo mamífero es molusco.
B) algún no mamífero es molusco.
C) ningún molusco es no mamífero.
D) algún mamífero es no molusco.
E) todo molusco es mamífero.

10. Si se afirma que:
* Todos los animales con cola son mamíferos.
* Todos los perros tienen cola.
Entonces:
A) el perro es carnívoro.
B) ningún perro es mamífero.
C) todos los perros son mamíferos.
D) algunos perros son no mamíferos.
E) sólo algunos perros son mamíferos.

1. Si:
• Ningún hombre es inmortal
• Todo racional es hombre
Entonces:
A) Ningún racional es inmortal.
B) Todo racional es inmortal.
C) Ningún irracional es inmortal.
D) Todo irracional es mortal.
E) Ningún mortal es irracional

2. Si:
• Todos los insectos son invertebrados
• Algunos insectos son coleópteros
Entonces:
A) Todo coleóptero es invertebrado.
B) Algún coleóptero es invertebrado.
C) Ningún coleóptero es insecto.
D) Todo insecto es coleóptero.
E) Algún coleóptero es vertebrado

3. Si:
• Algunos mamíferos son rumiantes.
• Todo mamífero es vertebrado
Entonces:
A) Algunos rumiantes son invertebrados.
B) Todo rumiante es vertebrado.
C) Algunos vertebrados son rumiantes.
D) Algunos vertebrados son mamíferos.
E) Algunos rumiantes son mamíferos.

4. Si:
• Ningún filósofo es acrítico
• Ciertos filósofos son racionalistas
Entonces:
A) Algunos críticos son filósofos.
B) Algunos racionales son acríticos.
C) Algunos críticos son irracionales.
D) Algunos racionales son críticos.
E) Algunos críticos no son racionales.
5. Si:
• Los médicos son profesionales
• Algunas personas no son profesionales
Entonces:
A) Toda persona es médico.
B) Ningún médico es persona.
C) Es falso que los médicos sean personas.
D) Ciertas personas no son médicos.
E) Ningún no persona es no médico.

6. Si:
• Los infantes son preescolares.
• Cada bebé es un infante
Entonces:
A) Ningún bebé es preescolar.
B) No existe preescolar que sea bebé.
C) Los bebés son preescolares.
D) Algún escolar es bebé.
E) Algún bebé es escolar.

7. Si afirmamos:
• Ningún vietnamita es americano.
• Muchos valientes son vietnamitas.
Entonces:
A) Todo valiente es no americano.
B) Ningún americano es valiente.
C) Muchos valientes mueren.
D) Todo americano no es valiente.
E) Muchos valientes no son americanos.

8. • Algunos estudiosos van a fiestas
• Todos los que van a fiestas pierden tiempo
Entonces:
A) Los que van a fiestas no son estudiosos
B) Los que van a fiestas son estudiosos.
C) Algunos estudiosos pierden tiempo
D) Todos los estudiosos pierden tiempo
E) No todos los que van a fiestas aprovechan el tiempo

9. Si:
• Ningún francés es americano
• Algún americano es peruano
Entonces:
A) Algún peruano es francés
B) Algún francés es no peruano
C) Algún no peruano es francés
D) Algún peruano es no francés
E) Algún francés es peruano

10. Partiendo de las siguientes premisas:
• Todo lo digno humaniza
• Algún trabajo es digno
Entonces:
A) Todo trabajo humaniza.
B) No todo trabajo humaniza.
C) Algún trabajo no humaniza.
D) Algún trabajo humaniza.
E) Algún trabajador no es humano.

1. “Un país no puede gastar dinero en distracciones como el fútbol si no puede cubrir las necesidades primarias de su gente. Sin embargo es muy cierto que al cubrir las necesidades primarias de su gente entonces los aficionados se sentirán más contentos al ver un partido”. Del argumento anterior podemos afirmar que:
A) Si un país gasta dinero en distracciones como el fútbol entonces cubre las necesidades de la gente.
B) Un país no puede gastar dinero en distracciones como el fútbol salvo que cubra las necesidades de la gente.
C) Si las necesidades primarias de la gente se ven satisfechas entonces los aficionados se sentirán más contentos.
D) Los aficionados se sienten más contentos si el país gasta dinero en distracciones como el fútbol.
E) Los aficionados se sienten más contentos si las necesidades primarias son cubiertas.

2. Si:
• Todos los niños son juguetones
• Todo juguetón es travieso.
Entonces:
A) No todos los niños son traviesos.
B) Todos los niños son traviesos.
C) No es cierto que todos los niños son traviesos
D) No es cierto que todo travieso es juguetón.
E) Todos los traviesos son juguetones.
3. Si:
• Todo hombre es racional.
• Ningún animal es un ser que razona.
Entonces:
A) Algún animal es hombre.
B) Algún no animal no es hombre.
C) Ningún animal es hombre.
D) Todo animal es siempre animal.
E) Cierto no hombre no es hombre.

4. Si:
• Muchos filósofos son críticos
• Todo crítico es intrépido
Entonces:
A) Ningún filósofo es crítico.
B) Ningún filósofo es intrépido.
C) Algunos filósofos son intrépidos.
D) Todo filósofo es intrépido.
E) Muchos filósofos no son intrépidos.

5. Se afirma que:
• Todos los que habitan en Marte son inteligentes
• Algunos que habitan en Marte son caníbales
Entonces podemos afirmar que:
A) Algunos que son inteligentes y habitan en Marte son caníbales.
B) Todos los que habitan en Marte son caníbales.
C) Algunos caníbales no habitan en Marte.
D) Todos los inteligentes son caníbales.
E) Algunos inteligentes son caníbales.

6. Si:
• Algunos jóvenes son alienados
• Todo alienado es inmaduro
Entonces:
A) Todos los jóvenes son inmaduros.
B) Todos los jóvenes son alienados.
C) Es falso que algunos jóvenes son no alienados.
D) No todo joven es inmaduro.
E) Algún joven es maduro

7. Si afirmamos que:
• Ningún ave tiene las alas
• Algunos mamíferos tienen alas.
Entonces:
A) Ningún mamífero es ave.
B) Algunas aves tienen alas.
C) Algunos mamíferos son aves.
D) Algunos mamíferos no son aves.
E) Algunos aves son mamíferos.

8. Si:
• Todos los biólogos son científicos
• Los científicos son racionales
Entonces:
A) Todos los racionales son científicos.
B) Todos los científicos son biólogos.
C) Algunos biólogos no son racionales.
D) Todos los biólogos son racionales.
E) Algunos no biólogos no son racionales.

9. Si:
• Todas las serpientes son reptiles
• Algunas serpientes no son venenosas
Entonces:
A) Todos los reptiles son venenosos.
B) Todas las serpientes son venenosas.
C) Algunos reptiles no son venenosos.
D) Algunas serpientes no son reptiles.
E) Todos los reptiles y algunas serpientes son venenosas.

10. Si:
• Todas las hormigas tienen cuatro patas.
• Todos los seres de cuatro patas no tienen antenas.
Entonces:
A) Todos los seres de cuatro patas son hormigas.
B) Algunas hormigas tienen antenas.
C) Todas las hormigas no tienen antenas.
D) Todas las hormigas tienen antenas.
E) Ningún ser de cuatro patas es hormiga.

1. Si:
• Una persona que estudia con esfuerzo, logrará sus objetivos.
• Todo joven estudia con esfuerzo.
Entonces:
A) Ningún joven logra sus objetivos.
B) Todo joven logra sus objetivos.
C) Toda persona es joven.
D) Ninguna persona es joven.
E) Todo el que no logra sus objetivos no es joven.

2. Si afirmamos que:
• Algunos reptiles son de sangre caliente
• Todo animal de sangre caliente es ovíparo
Entonces:
A) Todo reptil es ovíparo.
B) Ningún reptil es ovíparo.
C) Algunos reptiles son ovíparos.
D) Todo reptil no es de sangre caliente.
E) No es cierto que algunos reptiles son ovíparos.

3. Si:
• Algunos poetas son fantasiosos.
• Todo fantasioso no es realista.
Entonces:
A) Todos los poetas son realistas.
B) No es cierto que muchos poetas no son realistas.
C) Muchos poetas no son escritores.
D) Muchos poetas no son realistas.
E) Ningún poeta es realista.
4. Si:
• Muchos de los que ofrendan la vida son valientes.
• Todos los valientes van a la gloria.
Entonces:
A) Nadie que ofrenda la ida va a la gloria.
B) Todos los valientes van a la gloria.
C) Muchos de los que ofrendan la vida van a la gloria.
D) Todo aquel que ofrenda la vida va a la gloria.
E) Algunas personas van a la gloria.

5. De la falsedad de deduce el valor de verdad de:
a)
b)
c)
A) FVF B) FFF C) VVV
D) VVF E) FFV

6. La proposición es verdadera, teniendo r y s valores veritativos opuestos, se afirma que son ciertas:
a)
: verdadera
b)
: falsa
c)
: verdadera
d)
: verdadera
A) a y b B) b y c C) c y d
D) a y d E) c
7. La proposición es verdadera, teniendo r y s valores veritativos opuestos, se afirma que son ciertas:
a)
: verdadera
b)
: falsa
c)
: verdadera
d)
: verdadera
A) VVV B) VVF C) FFF
D) VFF E) FFV

8. Si la proposición es verdadera y es falsa. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a)
b)
c)
A) VVV B) VVF C) FFF
D) VFF E) FFV
9. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones es equivalente a ?
a) b)
c) d)
A) sólo a B) sólo b C) sólo c
D) a y b E) todos

10. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es equivalente entre sí?
a)
b)
c)
A) a y b B) b y c C) a y c
D) todas E) ninguna