LÍNEAS DE SIMETRÍA , ÁREAS Y MEDIDAS EN GRADOS DE ÁNGULOS NOTABLES EJERCICIOS DE MATEMATICA 9–NOVENO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Transformaciones isométricas o movimientos , Simetrías , Áeas , didas en grados de ángulos notables en los cuatro cuadrantes , Razones trigonométricas de un ángulo agudo , Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera ,
Objetivo del módulo
Resolver problemas de áreas de prismas y cilindros y analizar sus soluciones para profundizar y relacionar
conocimientos matemáticos.
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Destrezas con criterios de desempeño
• Reconocer líneas de simetría en figuras geométricas.
• Construir pirámides y conos a partir de patrones en dos dimensiones.
• Calcular áreas laterales de prismas y cilindros en la resolución de problemas.
• Reconocer medidas en grados de ángulos notables en los cuatro cuadrantes con el uso de instrumental
geométrico.
• Afrontar problemas geométricos con confianza en las propias capacidades

Para la activación de conocimientos previos
• Algunos alumnos tienen dificultades para asimilar el concepto de movimiento en geometría, sobre todo
en el caso de las simetrías. Para superarlas, es útil el uso de figuras planas recortadas en cartulina.
• Este tipo de material manipulativo permite visualizar los momentos intermedios del proceso de transformación,
insistiendo en el hecho de que en geometría éstos no se consideran.
• Así, el profesor/a puede proponer actividades en las que, por grupos, los alumnos compartan sus experiencias
al efectuar movimientos en el plano con diversas figuras recortadas.
• Adicionalmente, es recomendable que el profesor/a informe de que las simetrías axiales también reciben
el nombre de reflexiones, y que les sugiera experimentos sencillos con espejos.
• Este tipo de experiencias permite comprender más fácilmente algunas propiedades de las simetrías
axiales; por ejemplo, que la transformación inversa de una reflexión es ella misma. Y a continuación, si
el profesor/a lo considera conveniente, introducir ya el concepto de transformación inversa.

Para la construcción del conocimiento
• Definir los conceptos de transformación geométrica, transformación isométrica, vector y sentido de una
figura, y utilizarlos para efectuar movimientos en el plano.
• Las transformaciones geométricas son la o las operaciones geométricas que permiten crear una nueva
figura a partir de una previamente dada. La nueva figura se llamará “homólogo” de la original.
• Hay varios tipos de transformaciones geométricas; de estas, analizaremos la simetría, la traslación y la
rotación

SIMETRIA :correspondencia biunívoca entre dos puntos del plano o del espacio, situados a uno y otro lado del centro, eje o plano de simetría y a la misma distancia de él.
TRASLACION : es un movimiento en el plano que puede ser entendido como un deslizamiento en línea
recta sin que se produzcan giros.
ROTACION :es el movimiento al rededor de un punto fijo o de una recta fija realizando un giro.
• Analizar el procedimiento para construir la figura simétrica de una dada. Estudiar las propiedades que
se cumplen en una simetría central y en una simetría axial.
• Observar en un ejemplo el procedimiento para trasladar una figura plana. Analizar las propiedades que
se cumplen en una traslación.
• Analizar el procedimiento al rotar un segmento AB al rededor de un punto A, un ángulo determinado.

Para la aplicación del conocimiento
Existe una variedad de actividades referentes a la simetría; por ejemplo se puede dibujar, en una hoja doblada
por la mitad, la mitad de una figura geométrica y luego cortarla; dibujar triángulos dados segmentos
simétricos; identificar los ejes de simetría en figuras dadas. A continuación presentamos una actividad interesante

Movimientos sobre huella
El objetivo es que los alumnos conozcan la definición y las características generales de la simetría y la
ubiquen. Además sepan diferenciar la simetría rotacional de la axial, y comprueben cuántos órdenes de
simetría tienen.
Necesitan una cartulina de forma poligonal (por ej. rombo), cartón, tijeras, marcadores.
El modelo se detalla a continuación. Se recorta la cartulina con la forma poligonal y se identifican los vértices
por ambas caras, de manera que se ponga la misma letra en cada vértice en las dos caras en que se
puede postrar la “huella de la figura” sobre la hoja. Se cuenta el número de movimientos en que se puede
encajar sin que se repitan, y ese será el número de líneas de simetría que tiene.
En este ejercicio los alumnos comprueban otra manera de describir ejes de simetría en un plano; hay tantas
líneas de simetría como maneras diferentes en que se pueda mover la figura para que vuelva a coincidir
con su “huella”.

Para la evaluación

Motive a sus estudiantes a que realicen las actividades y problemas planteados en este módulo y que hacen
referencia a la simetría de las figuras. Podría usar el tangram.
Solicite que realicen un trabajo práctico similar al que se planteó en la sección anterior. Los elementos
deberán ser los del entorno. La creatividad es uno de los recursos que más debe ser considerado.

Para la aplicación del conocimiento
• Reconozcan, a través de ejemplos, las aplicaciones de la trigonometría en otras ciencias. Así: En
Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre
de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada
vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador
situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la
punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño,
comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación
y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.
• En la aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo y siguiendo
en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos.

Medidas en grados de ángulos notables
Prerrequisitos
En este módulo ampliarás tus conocimientos sobre transformaciones de figuras planas: traslaciones, simetrías y
áreas. También aprenderás sobre las medidas en grados de los ángulos notables.

Recuerda
• Un ángulo es la región del plano barrida por una
semirrecta al girar respecto de su origen desde una
posición inicial hasta una posición final. Esta
semirrecta que gira se denomina semirrecta
generatriz.
• Los polígonos regulares son los que tienen todos
sus lados y ángulos iguales.
• Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo
recto. Sus lados reciben nombres especiales:
Hipotenusa: lado opuesto al
ángulo recto.
Catetos: cada uno de los
lados que forman el ángulo
recto.
Evaluación diagnóstica
• Describe un procedimiento para trazar rectas
paralelas con la regla y la escuadra.
• Dibuja un segmento AB y traza su mediatriz. ¿Qué
propiedad cumplen los puntos de la mediatriz?
• Representa los siguientes ángulos valiéndote del
graduador de ángulos: 30°, 45°, 90°, 130° y 270°.
• Observa los ángulos poliedros de estos cuerpos
e indica cuál de ellos es convexo y cuál es cóncavo.
• Escribe las fórmulas que permiten calcular las
áreas de las figuras planas sencillas.
• Calcula el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 25 cm y 32 cm.
• Enuncia los criterios de semejanza de triángulos.
— ¿Cómo se enuncian estos criterios en el caso
de triángulos rectángulos?
• Calcula las medidas que faltan en la figura de la
derecha.
Cateto
Hipotenusa
Cateto

1 Transformaciones isométricas
o movimientos
Diremos que hemos aplicado una transformación geométrica si a partir de
un punto obtenemos otro aplicando una regla precisa.
Si aplicamos esta transformación a todos los puntos de una figura, obtendremos
una nueva figura llamada figura transformada.
Si al aplicar la transformación la figura transformada conserva las dimensiones, y
por ello, la forma y el tamaño, habremos aplicado una transformación isométrica.
Antes de describir los movimientos en el plano, definiremos el concepto de
vector y el sentido de una figura plana.
En la figura 1 puedes observar dos segmentos de igual longitud con la misma dirección.
Fíjate en que uno de ellos tiene una punta de flecha que indica su sentido. Se trata
de un vector y se representa mediante una letra con una flechita encima, .
Observa que dos vectores pueden tener la misma dirección y mismo sentido
o la misma dirección pero sentido contrario.
Fíjate en cómo se establece el sentido de una figura plana.
Si nombramos consecutivamente los vértices de un pentágono, le proporcionamos
una ordenación, es decir, un sentido.
En la figura 2 se observa que en el plano podemos considerar el sentido de las manecillas
del reloj (horario) o el sentido contrario (antihorario).
v
Una transformación isométrica, o movimiento, es aquélla en que la figura
transformada conserva las dimensiones de la figura original.
Un vector es un segmento orientado.
Misma dirección y
mismo sentido
Misma dirección y
sentido contrario
Indica cuáles de los siguientes vectores tienen la misma
dirección y el mismo sentido, y cuáles cuentan
con la misma dirección y el sentido contrario.
Indica el sentido de los vértices de cada una de estas
figuras planas.
1 2
Actividades
a
b
c
d
e
f
i
j
h
g
D
A
F D
A C
B C
B
E
Transformación isomórfica: se
mantiene la forma.
Transformación isométrica: se
mantienen las distancias y, por
ello, también la forma.
FÍJATE
v
Fig. 1
E D B C
A
B E
A C D
Fig. 2
1.1. Simetrías
A continuación, estudiaremos dos tipos de simetría: la simetría central y la simetría
axial.
Simetría central
Observa la figura 3. Fíjate en que los vértices homólogos equidistan del centro
O y están alineados con éste. Por lo tanto, diremos que los triángulos
ABC y A′B′C′ son simétricos respecto al punto O, llamado centro de simetría.
Luego:
Aprende con el ejemplo siguiente un procedimiento para construir la figura simétrica
a otra respecto a un punto.
En una simetría central se cumple que:
• Toda recta determinada por dos puntos homólogos pasa por el centro de
simetría.
• Las rectas que contienen segmentos homólogos son paralelas.
• El sentido de las figuras se conserva, luego decimos que la simetría central
es un movimiento directo del plano.
Una simetría central de centro O es un
movimiento en el plano que transforma un
punto A en otro A′ alineado con O y A,
de modo que OA = OA′.

A′
A
O
ejemplo 1
A
B
C
O
D
A′
B′
C′
D′
— Repetimos el proceso con los otros vértices,
B, C y D, y determinamos sus homólogos,
B′, C′ y D′.
— Unimos dichos puntos y obtenemos el
cuadrilátero A′B′C′D′ simétrico u homólogo
del cuadrilátero ABCD, respecto
al punto O.
Construye el cuadrilátero simétrico
de ABCD considerando el punto
O como centro de simetría.
— Trazamos, con origen en cada uno de los vértices, las semirrectas
que pasan por el centro O.
Sobre la semirrecta con origen en el vértice A determinamos
el vértice A′, homólogo de A, al otro lado del centro O y a una
distancia de O igual que la distancia de O a A.
O
D
C
A
B
O
D
C
A
A′
B
A
B
C
O
A′
B′
C′
■ Fig. 3
Observa el triángulo ABC de la derecha
y fíjate en que si le aplicamos la simetría
central con centro en el punto C, este
punto de la figura se transforma en sí mismo.
Diremos, entonces, que es un punto
invariante o un punto doble.
A continuación, observa el cuadrado
ABCD y fíjate en que si le aplicamos la simetría
central con centro en el punto O,
la figura se transforma en sí misma. Diremos,
entonces, que es una figura invariante
y que el centro O es el centro
de simetría de dicha figura.
• Observa, a continuación,
diferentes objetos invariantes
por una simetría
central.
A
B
C – C′
B′
A′
O
 Un punto es invariante o doble si éste se transforma en sí mismo.
 Una figura es invariante si ésta se transforma en sí misma.
O
A – C′
B – D′
D – B′
C – A′
Dados el pentágono ABCDE y el punto O, construye
el pentágono simétrico considerando el punto O
como centro de simetría.
¿Dónde debería situarse el centro de la simetría central
que nos permite pasar de la figura de la izquierda
a la de la derecha?
Construye la figura simétrica del pentágono
ABCDE, si queremos que el punto D se mantenga
invariante.
Indica, si existe, el centro de simetría de cada una
de estas figuras.
6
5
4
3
Actividades 
A
B
C
O
E D
E
A
C
B
D
G
D
F E
B C
A
G′
A′
C′ B′
E′ F′
D′
El cuadrado ABCD es invariante
por una simetría central con centro
en el punto O. Observa, sin
embargo, que sus vértices no son
puntos dobles pues no se transforman
en ellos mismos.
A′ = C
B′ = D
C′ = A
D′= B
 FÍJATE
a b
Simetría axial
Observa la figura 4. Fíjate en que los vértices homólogos equidistan del eje e y se
encuentran sobre rectas perpendiculares a éste. Por lo tanto, los triángulos ABC y
A′B′C′ son simétricos respecto a la recta e, llamada eje de simetría. Luego:
Aprende con el ejemplo siguiente un procedimiento para construir la figura simétrica
a otra respecto a un eje.
Una simetría axial de eje e es un movimiento en
el plano que transforma un punto A en otro A′ situado
a la misma distancia del eje y de modo
que la recta AA′ es perpendicular al eje.

A A′
e
ejemplo 2
D
C
A
B
D′
C′
A′
B′
e
— Repetimos el proceso con los otros vértices,
B, C y D, y determinamos sus homólogos,
B′, C′ y D′.
— Unimos dichos puntos y obtenemos el cuadrilátero
A′B′C′D′ simétrico u homólogo del
cuadrilátero ABCD respecto al eje e.
Construye el cuadrilátero simétrico a ABCD
considerando la recta e como eje de simetría.
— Trazamos, con origen en cada uno de los vértices, las semirrectas
perpendiculares al eje e.
Sobre la semirrecta con origen en el vértice
A determinamos el vértice A′, homólogo
de A, al otro lado del eje e y a
una distancia de e igual que la distancia
de A a e.
e
D
C
A
B
e
A′
D
C
A
B
En una simetría axial se cumple que:
• El eje de simetría es la mediatriz de cada uno de los segmentos que unen puntos homólogos o simétricos.
Observa el cuadrilátero ABCD de la derecha y fíjate en que si le aplicamos la simetría
axial con eje de simetría en la recta e, los puntos de la figura situados sobre esta recta
se transforman en sí mismos. Se trata, por lo tanto, de una recta invariante.
B C – C′ B′
A A′
D – D′
e
• Observa, a continuación, diferentes
elementos invariantes por
una simetría axial.
e e
Dados el cuadrilátero
ABCD y el eje
e, construye el cuadrilátero
simétrico
considerando el eje
e como eje de simetría.
Traza todos los ejes de
simetría de los siguientes
elementos.
7 8
Actividades 
e
B C
D
A
e
B B′
A
C C′
A′
■ Fig. 4
a b
 Un recta es invariante si ésta se transforma en sí misma.
2 Áreas
Como ya sabes, el área de un cuerpo geométrico es la medida de la superficie
que lo delimita.
Hay cuerpos geométricos, como la pirámide o el prisma, que tienen varias caras
laterales y una o dos bases. En estos casos se distinguen el área lateral y
el área total.
• El área lateral se obtiene sumando las áreas de todas las caras laterales.
• El área total se obtiene sumando el área lateral y el área de la base o bases.
Si recortamos el cuerpo geométrico de la figura 5 por las aristas indicadas en
rojo y lo desplegamos hasta hacerlo coincidir con un plano, obtenemos su desarrollo
plano. Observa que el área del desarrollo plano coincide con el área del
cuerpo geométrico.
2.1. Áreas de prismas, pirámides y troncos de pirámide
Veamos cómo calcular el área lateral y el área total de un prisma, de una pirámide
y de un tronco de pirámide a partir de sus patrones planos.
Figura Desarrollo plano Área lateral y área total
• Área lateral: la superficie lateral está formada por
paralelogramos.
Alateral = Área de sus caras laterales
• Área total: se obtiene sumando el área lateral y el
área de las dos bases.
A total = Alateral + 2Abase
• Área lateral: la superficie lateral está formada por triángulos.
Alateral = Área de sus caras laterales
• Área total: se obtiene sumando el área lateral y el
área de la base.
A total = Alateral + Abase
• Área lateral: la superficie lateral está formada por
trapecios.
Alateral = Área de sus caras laterales
• Área total: se obtiene sumando el área lateral y el
área de las dos bases.
A total = Alateral + Ab1 + Ab2
Tronco de pirámide
Pirámide
Prisma
Desarrollo plano
■ Fig. 5
2.2. Áreas de cilindros, conos y troncos de cono
Veamos cómo calcular el área lateral y el área total de un cilindro, de un cono
y de un tronco de cono a partir de sus patrones planos.
Figura Área lateral y área total
• Área lateral: la superficie lateral es un rectángulo
de base la longitud de la circunferencia de la base
y de altura la generatriz del cilindro.
A lateral = 2 π r ⋅ g
• Área total: se obtiene sumando el área lateral y
el área de las dos bases.
A total = 2 π r ⋅ g + 2 π r 2 = 2 π r ⋅ (g + r)
• Área lateral: la superficie lateral es un sector circular
de radio la generatriz del cono y de longitud
de arco la longitud de la circunferencia de la base.
A lateral =
• Área total: se obtiene sumando el área lateral y
el área de la base.
A total = π r ⋅ g + πr 2 = πr ⋅ (g + r)
2
2
πr π
g
= r ⋅ g
• Área lateral: la superficie lateral es un trapecio
circular.
A lateral= =πg ⋅ (R + r )
• Área total: se obtiene sumando el área lateral y
el área de las dos bases.
A total = πg ⋅ (R + r ) + πR2 + π r 2
(2 2 )
2
π R + π r ⋅ g
Cilindro
Cono
Tronco de cono
g
r
2 π r
g
r
r
r 2 π r
g
g
r
r
g
R
g
R
r
Desarrollo plano
Relaciona cada poliedro regular con su desarrollo plano
y con la fórmula que permite calcular su área.
Calcula el área lateral y el área total de cada uno de
estos poliedros.
Calcula las áreas laterales y las áreas totales de estos
cuerpos de revolución.
11
9 10
Actividades 
dodecaedro octaedro cubo
icosaedro tetraedro
a
a
a
ap
a
a
a b
c
d
e
6 cm
6 cm
5 cm
5 cm
5 cm
7 cm
3 cm 4 cm
7 cm
2 cm
a b c
3 cm 3 cm 4 cm
3 cm
10 cm
12 cm
10 cm
a b c
A a A aap A a
A a A a
= = ⋅ =
= =
5 3 30 2 3
6 3
2 2
2 2
3 Medidas en grados de ángulos notables
en los cuatro cuadrantes
Un ángulo es la abertura entre dos semirrectas unidas en un punto llamado vértice.
En el primer cuadrante del plano cartesiano podemos graficar un ángulo tomado
como vértice al punto (0, 0) y como recta de origen el eje de las abscisas.
Para encontrar la segunda semirrecta, usamos un graduador y contamos los grados
de abertura del ángulo. Luego, unimos este punto con el origen del plano, así
se forma la segunda semirrecta.
Se puede encontrar algunos ángulos que son múltiplos y submúltiplos de otros,
por ejemplo, para hallar el ángulo de 135° es posible sumar tres veces el ángulo
de 45°. Observa:
Primero, graficamos círculos de cualquier radio en dos cartulinas.
Después, dibujamos planos cartesianos con su origen, en el centro de los
círculos.
Con un graduador, medimos la longitud de un ángulo de 45° y recortamos la porción
del círculo con este ángulo, formando así una plantilla.
Finalmente, trasladamos la sección de círculo desde el lado origen, del segundo
círculo, hasta completar el ángulo que deseemos.
Con el método indicado anteriormente podemos construir ángulos que sean
múltiplos y submúltiplos de cualquier ángulo construido en el primer cuadrante.
También podemos graficar ángulos en los cuatro cuadrantes, usando como lado
origen el eje de las abscisas y una plantilla.
Grafica estos ángulos usando plantillas y un graduador.
a. 30° b. 60° c. 45° d. 90°
Grafica, a mano alzada, los ángulos: 270°, 120° y 360°. Compara tus dibujos con otros que realices utilizando el
graduador.
Dibuja en los cuatro cuadrantes los siguientes ángulos.
a. 30° b. 60° c. 270° d. 150°
14
12
13
Actividades 
El ángulo central subtendido
por un arco es el mismo, independiente
del radio de la
circunferencia.
 FÍJATE
90º
45º
45º
45º 45º
45º
135º
135º
180º 0º
Aplicamos el teorema de Pitágoras a uno de estos triángulos para hallar
el valor de d.
Así pues, las razones trigonométricas del ángulo de 45º son:
3.1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo
En un triángulo rectángulo pueden establecerse ciertas relaciones entre un ángulo agudo y sus lados. La trigonometría
es la parte de las matemáticas que trata de la relación entre las longitudes de los lados y las amplitudes
de los ángulos de un triángulo.
Fíjate en el ángulo agudo que hemos indicado del triángulo rectángulo OAP de la
figura de la derecha. Los cocientes entre las longitudes de dos lados cualesquiera de
este triángulo se denominan razones trigonométricas de .
La razón entre la longitud del cateto
opuesto al ángulo y la de la hipotenusa
se llama seno del ángulo y
se escribe sen .
La razón entre la longitud del cateto
contiguo al ángulo y la de la hipotenusa
se llama coseno del ángulo
y se escribe cos .
La razón entre la longitud del cateto
opuesto al ángulo y la del cateto
contiguo se llama tangente del ángulo
y se escribe tan .
Seno Coseno Tangente
sen  =
AP
OP
cos  =
OA
OP
tan  =
AP
OA
Razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º
Existen tres ángulos agudos cuyas razones trigonométricas pueden obtenerse a partir de construcciones geométricas
sencillas. Son los ángulos de 30º, 45º y 60º.
Y, las razones trigonométricas del
ángulo de 60º son:
Así pues, las razones trigonométricas
del ángulo de 30º son:
Consideremos un triángulo equilátero de
lado la unidad. La altura lo divide en dos
triángulos rectángulos iguales, cuyos ángulos
agudos miden 30º y 60º.
Aplicamos el teorema de Pitágoras a uno
de esos triángulos para hallar el valor de h.
Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º
h  1   
1
2
3
4
3
2
2
2
sen 30
1
2
1
1
2
  
cos 30
3
2
1
3
2
  
sin 45 cos tan
1
2
2
2
45
1
2
2
2
45
2
2
2
2
         1
1
2
3
2
1
3
3
3
   
Razones trigonométricas del ángulo de 45º
sen 60
3
2
1
3
2
  
cos 60
1
2
1
1
2
  
3
2
1
2
   3
Consideremos un cuadrado de lado la unidad.
La diagonal del cuadrado lo divide en
dos triángulos rectángulos iguales cuyos
ángulos agudos miden 45°.
d  12  12  2
tan 30 tan60
x x
x
Ángulo sen cos tan
0° 0 1 0
30°
1
2
3
2
3
3
45° 2
2
2
2
1
60° 3
2
1
2
3
90° 1 0 –
La forma en que hemos definido
las razones trigonométricas en
este apartado coincide con las
dadas anteriormente en el caso
de un ángulo agudo, ya que si
P(x, y) es un punto del lado extremo
de un ángulo agudo, el
origen de coordenadas O, el
punto P y la proyección de P
sobre el eje de abscisas son los
vértices de un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden x e y,
y cuya hipotenusa mide r.
FÍJATE
Fig. 7
Tabla 1. A partir de las definiciones
de esta página, podemos hallar las razones
trigonométricas de 0° y 90° para
completar la tabla.
4 Razones trigonométricas de un ángulo
cualquiera
Una vez definidas las razones trigonométricas de un ángulo agudo, veamos cómo
podemos definir las razones trigonométricas de otros ángulos.
Representamos el ángulo en un sistema de coordenadas cartesianas y consideramos
un punto cualquiera P de su lado extremo.
En particular, podemos considerar un punto P de su lado extremo situado sobre
una circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas (fig. 6). Esta
circunferencia recibe el nombre de circunferencia goniométrica.
Vamos a ver cómo la circunferencia goniométrica nos permite obtener gráficamente
de forma sencilla las razones trigonométricas de cualquier ángulo.
x
x
x
Veamos que estas definiciones no dependen del punto
P escogido.
En efecto, si consideramos otro punto P del lado extremo
del ángulo , obtenemos el triángulo OP A semejante al
OPA (fig. 7); entonces se verifica:
Es decir, el valor de las razones trigonométricas no varía.
Seno Coseno Tangente
El seno del ángulo coincide
con la ordenada del
punto del lado extremo
del ángulo cuya distancia
al origen vale 1.
El coseno del ángulo
coincide con la abscisa
del punto del lado extremo
del ángulo cuya
distancia al origen vale 1.
La tangente del ángulo
coincide con la ordenada
del punto del lado extremo
del ángulo cuya
abscisa vale 1.
x
Fig. 6
sen
1
y
r
y
y cos
1
x
r
x
x tan
1
y
x
y
x
y
y
La figura siguiente muestra cómo podemos obtener segmentos representativos
del seno, del coseno y de la tangente de ángulos de cualquier cuadrante.


y
r


x
r


y
x
sen cos tan
Indica sobre una circunferencia goniométrica los segmentos representativos del
seno, del coseno y de la tangente del ángulo de 150º.
Sabiendo que las coordenadas de un punto P del lado extremo de un ángulo
son P (–4, –6), calcula el valor de las razones trigonométricas de dicho ángulo.
16
15
Actividades
x x x x
tan
tan
tan
tan
Comprensión del enunciado
Lee atentamente el enunciado e imagina la posible solución
del problema.
Planificación de la resolución
— Para situar el triángulo ABC sobre la recta r utilizaremos
un giro.
— Para realizar el giro será necesario determinar el centro de
giro O y el ángulo de giro α. Para ello, prolongaremos el
lado AB hasta que se corte con la recta r. El punto de
corte O será el centro de giro y el ángulo que forma la
recta r con el lado prolongado es el ángulo de giro α.
Ejecución del
plan de resolución
Procedemos tal y como lo
hemos planificado. Así
pues, prolongamos el lado
AB hasta que se corte con
la recta r, medimos el ángulo
α que forma y realizamos
finalmente el giro del
triángulo ABC. Obtenemos
el triángulo A′B′C′ que es
la solución del problema.
Revisión del resultado y del proceso seguido
Comprobamos que, efectivamente, el triángulo cumple las
condiciones del enunciado.
Comprensión del enunciado
Lee atentamente el enunciado e imagina la posible solución
del problema.
Planificación de la resolución
— Existen muchos triángulos equiláteros cuyo lado AB se
encuentra sobre la recta r. Construimos uno cualquiera,
A′B′C′.
— El vértice C′ no se ha lla
sobre la recta s, pe ro observa
que si tras ladamos
el triángulo A′B′C′, según
la dirección de la recta r,
obtendremos la solución
del problema.
Ejecución del plan de resolución
Procedemos tal y como
lo hemos planificado. Así
pues, desplazamos el triángulo
A′B′C′ hasta situar el
vértice C′ sobre la recta s.
Obtenemos el triángulo ABC,
que es la solución del problema.
Revisión del resultado y del proceso seguido
Comprobamos que, efectivamente, el triángulo construido
cumple las condiciones del enunciado.
Dados el segmento AB
y dos rectas secantes,
r y s, sitúa un triángulo
equilátero ABC, de
modo que el lado AB
se encuentre sobre la
recta r y el vértice C
sobre la recta s.
A A B
s
r
Dados el triángulo
ABC y una recta r, sitúa
el triángulo de
modo que el lado AB
se encuentre sobre la
recta r.
B r
B
A C
A B
C
r
s
C C′
s
A′
r
B′
B
A C
O
B′
A′
C′
B
A C
O
α
Dados las dos circunferencias
C1 y C2
y el segmento AB, sitúa
un segmento
igual al dado con sus
extremos sobre cada
una de las circunferencias.
17

A B
C1
C2
Dados el triángulo
ABC y dos rectas secantes,
r y s, sitúa el
triángulo de modo
que el lado AB se encuentre
sobre la recta
r y el vértice C sobre
la recta s.
18

r
B
s
A C
Cómo resolver problemas
Actividades
Síntesis
En resumen
Una transformación en el plano es la relación que
se establece entre los puntos de dos figuras de modo
que a cada punto de la figura original le corresponde un
único punto de la figura final.
Una transformación isométrica o movimiento es aquélla
en que la figura transformada conserva las distancias
de la figura original.
Los movimientos en el plano son: