LÍMITES Y CONTINUIDAD EJERCICIOS RESUELTOS PDF y WORD

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Límites de funciones numéricas de variable discreta.
Las variables discretas y el conjunto
Convergencia de sucesiones
Divergencia de sucesiones hacia ±oo
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Las funciones numéricas de variable continua
Definiciones básicas
Representación gráfica de funciones.
Ejercicios resueltos
Límites de funciones numéricas de variable continua
Límites finitos
Límites laterales
Límites finitos cuando la variable independiente crece o decrece indefinidamente
Las funciones circulares o trigonométricas
Definición de las funciones circulares o trigonométricas
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Funciones continuas
Definiciones básicas
Continuidad de funciones elementales
Discontinuidades removibles
Propiedades de las funciones continuas
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos

Las variables discretas y el conjunto N
Si una magnitud varía mediantes saltos, como por ejemplo el número de personas que
llegan a la caja de un banco en intervalos de tiempos fijos, el número de nacimientos o
muertes medidos día a día, se dice que es discreta. Otra forma de concebir algo discreto
es algo que al ser fraccionado pierde su esencia. Por ejemplo: la mitad de una mesa no es
una mesa y la tercera parte de 34 nacimientos no son 11,333 …. nacimientos. En cambio,
existen otras magnitudes que permiten, al menos abstractamente, infinitas posibilidades
de división. Las más típica de las magnitudes continuas son el tiempo y la temperatura.
Las variables discretas, en general, aparecen al contar objetos, sucesos o fenómenos y, por
tanto, el modelo matemático básico de una variable discreta es el conjunto de los números
naturales N.
En una relación funcional de variable independiente y dependiente, cuando la variable
independiente es discreta necesariamente la variable dependiente también lo es, este tipo
de as ignacio n se les llama sucesiones. U na sucesión es una abstracción de un proceso
cuyas etapas se pueden contar y extender indefinidamente.

LÍMITES

Nuestro propósito será estudiar la noción de límite desde un punto de vista intuitivo, para lo cual damos la idea de aproximación, de punto de acumulación, terminando con una noción intuitiva de límite.

I. Ideas de aproximación
Sea “x0” un punto fijo en la recta numérica tal como se indica:

Cuando un número desconocido “x” se aproxima a “x0”, lo puede hacer por valores mayores o menores que “x”.

 Por la izquierda de x0 (menores que x0).- En este caso se dice que “x” se aproxima a “x0” por la izquierda, por tanto se simboliza como: , expresión que se lee: “x” es menor que “x0”, pero cercano a él.

 Por la derecha de x0 (mayores que x0).- En este otro caso, se dice que “x” se aproxima a “x0” por la derecha, por tanto se simboliza como: , expresión que se lee: “x” es mayor que “x0”, pero cercano a él.

En los siguientes ejemplos, analizaremos qué sucede con las imágenes f(x) cuando las preimágenes “x” varían.

 Ejemplos:

1. Sea la función:
f(x) = 20 + x

si asignamos valores a “x” cercanos a 2, ¿qué sucede con f(X)?

Solución:

Por la izquierda Por la derecha

Si tabulamos los valores anteriores y efectuamos una gráfica, se tiene:

Por la izquierda de 2 Por la derecha de 2

Intuitivamente podemos darnos cuenta que al aproximarse los valores de “x” al valor “2”, se tiene que las imágenes f(x) se aproximan al valor “22”.

Esto se simboliza denotando:

“Cuando: se tiene que . Sabemos que estamos aproximando, por ello no hacemos hincapié que para: x = 2, se obtenga: f(x) = 22.

2. Hallar los valores de:

para valores de “x” cada vez más cercanos a “–3”.

Solución:

Observamos que cuando “x” se aproxima a “–3”, las imágenes f(x) se aproximan a “–6”. Esto se simboliza de la siguiente forma: “cuando: , tenemos que: ”. No nos interesa que f(x) no esté definida en “–3”, pues de hecho f(–3) no existe.

Por la izquierda Por la derecha

En la función observamos que:

x2 – 9 = (x – 3) (x + 3)

Luego el factor (x + 3) puede simplificarse en la expresión f(x), quedando:

II. Noción intuitiva de límite

Para el ejemplo 1 de aproximación: f(x) = 20 + x, tenemos:

cuando “x” se aproxima a 2; f(X) se aproxima a “22”.

Simbolizando:
“cuando
y se escribe como:

que se lee: el límite de “f” cuando “x” se aproxima a “2”, es “22”.
Luego, lim f(x) nos indica: “valor límite de f(x)”.

Para el ejemplo 2 de aproximación:

habíamos deducido que:
cuando “x” se aproxima a “-3”,
se tiene que f(x) se aproxima a “-6”

Lo que se simboliza:
“cuando ; se tiene que
y se escribe como:

Se lee: el límite de f(x) cuando “x” se aproxima a
“x0” es “L”.

Definición informal del límite

Si existe un número real “L” que f(x) esté cerca a “L” para todos los valores de “x” próximos al número “x0”, entonces se dice que:

Ejemplos:

1.
2.
3.
4.
5. A continuación analizaremos los siguientes límites, teniendo presente que la existencia de un límite no depende de que esté o no definida la función en el punto a que nos aproximamos.

a. b. c.

a. La función f(x) está definida en: x0 = 2; se tiene:
b. La función g(x) no está definida en: x0 = 2; se tiene:
c. La función h(x) está definida en: x0 = 2; h(2) = 2, pero se tiene:

6. Seguidamente, ilustramos algunos casos en los cuales el límite no existe:

a. Tenemos que: no existe, ya que:
 Cuando: x 3–; se tiene que: f(x) 4
 Cuando: x 3+; se tiene que: f(x) 3

b. Tenemos que: no existe, ya que:
 Cuando: x 0–; se tiene que: g(x) +
 Cuando: x 0+; tenemos que: g(x) –

Observación: La definición dada es “informal”, ya que no precisa cuán próximo debe estar “x” de “x0” (o cuán cerca debe estar f(x) de “L”). La interpretación de “cuán próximo debe estar” no es la misma, por ejemplo, para un carpintero (para quien puede ser cuestión de milímetros) que para un astrónomo (para quien puede ser cuestión de miles de kilómetros).

Calcular:

1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.

III. Cálculo de límites

1. Método de la cancelación de los factores comunes

Si: f(x) es de la forma , se recomienda factorizar el término (x – x0) tanto en el numerador como en el denominador para su correspondiente cancelación.

 Ejemplo:

Calcular:

Solución:
Veamos qué sucede si construimos una tabla que nos muestre la aproximación:

Lo que ocurre es que cuando “x” se aproxima a cero, la imagen f(x) se aproxima a 8, es decir:

En este caso la forma indeterminada toma el valor “8”. Si aplicamos la recomendación dada para este cálculo, este proceso laborioso se puede obviar factorizando el término (x – x0), que en este caso es: x – 0 = x, nos queda:

2. Método de la racionalización

Si f(x) es de la forma y están presentes radicales, se procede a multiplicar y dividir por la conjugada de cada una de las formas radicales; de modo que se cancelen factores comunes de la forma (x – x0).

 Ejemplo 1

Calcular:

Solución:
Veamos lo que ocurre construyendo una tabla de valores que nos muestre la aproximación, para lo cual te recomendamos usar una calculadora.

Lo que sucede es que cuando “x” se aproxima a “4”, la imagen se aproxima a “4”.
Luego:

La forma indeterminada toma el valor “4”. Aplicando la recomendación dada para este cálculo, tenemos:

 Ejemplo 2

Hallar:

Solución:
Tenemos:

Después de resolver estos ejemplos, te has preguntado, ¿por qué a la expresión se le llama forma indeterminada?, ¿qué opinas al respecto?
Calcular los siguientes límites:

1. 2.
3. 4.
5. 6.

IV. Formalización de límites

Las nociones intuitivas desarrolladas en el capítulo anterior, pasamos a precisarlas, a través de las mediciones de las aproximaciones, tanto cuando “x” se aproxima a “x0” como cuando f(x) se aproxima a “L”.

1. Definición de límite

Dada una función “f”, decimos:
El límite de la función “f” en el punto “x0” es el número real “L”, si y sólo si:

 Las letras griegas “ ” y “ ” se llaman épsilon y delta respectivamente.
 El punto “x0” puede estar o no en el dominio de “f”.
 La definición indica que “x Dom f 0 < Ix – x0I < ”. Si este conjunto es diferente del conjunto vacío, se dice que “x0” es punto de acumulación del dominio “f” (en caso contrario, afirmamos que “x0” no es punto de acumulación)  El límite de una función en un punto si existe es único. 2. Teoremas fundamentales Si: y donde: “L1”, “L2” R y “c” es una constante real, tenemos los siguientes teoremas: a. b. c. d. e. Z+ f. PROBLEMAS BLOQUE I 01. Calcular: A) 3 B) 9 C) 18 D) 27 E) 36 02. Calcular: A) 2 B) C) D) 1 E) 03. Calcular: A) B) C) D) E) 04. Calcular: A) B) C) D) E) 2 05. Calcular: A) 0 B) C) D) 1 E) 06. Calcular: A) B) 2 C) D) E) 07. Calcular: A) 0 B) C) D) E) 08. Calcular: A) 2 B) 4 C) D) E) 09. Calcular: A) 3 B) 4 C) – 3 D) 0 E) 10. Calcular: A) 2 B) 0 C) – 2 D) 4 E) – 4 BLOQUE II 01. Hallar: A) B) – 1 C) D) – 3 E) N.A. 02. Hallar: A) 0 B) – 1 C) 1 D) E) N.A. 03. Hallar: A) B) C) D) E) N.A. 04. Hallar: A) B) C) D) E) N.A. 05. Hallar: A) 1 B) C) D) E) N.A. 06. Encuentre el valor de para que dos sea igual al límite. A) 1,5 B) 9 C) 4 D) E) 6 07. Hallar: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) N.A. 08. Hallar: A) n B) 1 C) D) 0 E) N.A. 09. Calcular: ; A) B) C) D) E) 10. Hallar: A) B) C) D) E) N.A. BLOQUE III 01. Hallar: A) B) C) D) E) 02. Calcular: A) 0 B) 1 C) D) E) 03. Calcular: A) B) C) D) E) 0 04. Determine: A) B) C) D) 0 E) 05. Calcular: A) B) C) D) E) e 06. Calcular: A) B) C) D) E) 1 07. Calcular: A) 1 B) 25 C) 5 D) E) 125 08. Si: Calcular: A) 0 B) a + b C) a – b D) E) 09. Si: es un número real determinado, según ello, calcule: a + 4b A) – 32 B) – 16 C) – 24 D) – 48 E) – 64 10. Hallar: A) B) C) – 1 D) 1 E) 2 TAREA 01. Calcular: A) B) C) 2 D) 9 E) 1 02. Calcular: A) B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 03. Calcular: A) 1 B) C) 2 D) E) 04. Calcular: A) 3 B) C) D) 2 E) 1 05. Calcular: A) B) 0 C) 1 D) E)