LEYES EXPONENCIALES EJERCICIOS DE CUARTO DE SECUNDARIA EN WORD

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OBJETIVOS:
• Mediante ejercicios reconoce y aplica las leyes exponenciales que rigen en la potenciación de monomios.
• Mediante leyes reconoce las clases de exponentes en la radicación de monomios.
• Relacione las leyes exponenciales de la potenciación y radicación de monomios en la resolución de ejercicios.
• El estudiante adquiere habilidad operativa y reduce expresiones garantizando su correcta definición y procedimientos.
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INTRODUCCIÓN:
Veamos la necesidad e importancia de este capítulo a través de algunos ejemplos.
Los números 10, 100, 1000, etc. juegan un papel muy importante en la notación decimal y se llaman potencias de 10. Un modo conveniente de indicar estas potencias es mediante el uso de exponentes:

y así sucesivamente; leemos como “diez a la quinta potencia”. El numeral 5 en se llama exponente.
La mayor utilidad de estas formas exponenciales está en el trabajo científico, debido a la necesidad de simplificar los cálculos con números muy grandes o números pequeños. Citamos los siguientes ejemplos:

I. La estrella más cercana, alfa Centauri, está a 25.000.000.000.000 millas de la tierra que puede simplificarse diciendo Alfa Centauri está a 25. millas de la tierra.

II. Entre los años 1908-1917, el físico norteamericano Robert Andrews Millikan dedujo que la carga negativa del electrón es -1,60.10 C, del mismo modo su masa es 9,11.10 g.
III. En la teoría molecular de la materia, Amadeo Avogadro determina una constante llamándola el número de Avogadro, cuyo valor es 6,02. (602 seguido de 21 ceros).
IV. El radio del núcleo del urano -235 es aproximadamente 7,0.10–5 , siendo cada = cm.

Vemos la gran utilidad de esta forma exponencial en el trabajo científico.

Para finalizar, planteamos el siguiente problema de astronomía. Se acostumbra describir las distancias entre las estrellas mediante unidades llamadas años luz. Por definición, un año luz es la distancia que recorre la luz en un año (365 días). Si la luz viaja con una velocidad de 3,1. km/s. aproximadamente ¿Cuántos km hay en un año luz?

DEFINICIONES PREVIAS

EXPONENTE NATURAL
Es el exponente entero y positivo que nos indica el número de veces que se repite una expresión como factor.

Ejemplos :

1.
2.
3. ; 4n – 1  N

4.
5. ;
(2p + 3q – 7)  N

En general :

N es el conjunto de los números naturales.
R es el conjunto de los números reales.

EXPONENTE CERO
Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es la unidad.

Ejemplos:

1.
2.
3.
4.

Ejemplo:
 dicha
expresión no está definida

EXPONENTE NEGATIVO
Nos indica que la base diferente de cero se invierte (inverso multiplicativo).

TEOREMA

Ejemplos:

a)
b)
c)
d)

EXPONENTE FRACCIONARIO

El exponente fraccionario se expresa como los radicales, donde el denominador de dicho exponente representa el índice del radical.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4. Calcular :

Resolución:
Usando las definiciones de exponente negativo y fraccionario, se tiene :

5. Reducir :

Resolución:
Es equivalente a :

Se reduce de dos en dos de arriba hacia abajo, como sigue :

*
*
*

Finalmente :

POTENCIACIÓN

DEFINICIÓN:
Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otras dos llamadas base y exponente respectivamente.

Identidad fundamental

Donde : a : base
n : exponente natural
p : potencia

TEOREMA 1

Demostración:

Ejemplos:

1.
2.

Pero : 1 + 2 + 3 + ….. + n =

3. ¿ ?

¿Por qué? ……………………………………………………….

TEOREMA 2

Demostración:

Ejemplos:

1.

2.

3.
=
 x  0

TEOREMA 3

Demostración:

=
=

Ejemplos:

1.
2.
3.
4.

TEOREMA 4

Ejemplos:
1.
2.

TEOREMA 5

a  R – {0}

Demostración:

Ejemplos:

1.

2.

TEOREMA 6

Ejemplos :
1.
2.
3.

RADICACIÓN EN R

DEFINICIÓN:
Dados un número real “a” y un número natural n mayor que 1, “b” se llama raíz n-ésima principal de a y se denota por b = sí y solo sí , donde a,b R  n  N – {1} bajo la condición de que si n es par, entonces a,b  .

Así ya que (2 es la raíz principal)
puesto que (única en R)

Identidad Fundamental:

TEOREMAS DE RADICACIÓN

TEOREMA 1

Si n es par entonces a  0  b  0

Ejemplos:

1.
Aproximadamente

2.

3. ¿ ?

¿Por qué? …………………………………………………..

TEOREMA 2

Si n es par entonces a  0  b > 0

Ejemplos:

1.

2.

3. ¿ ?

¿Por qué? …………………………………………………….

TEOREMA 3

Si : m . n es par  a  0

Ejemplos:

1.

2. ¿ ?

¿Por qué? …………………………………………………….

RADICALES SUCESIVOS

Ejemplos:

1.
=

2.
=

De la fórmula anterior : Si las bases a , b, c son iguales, eso determina a una forma práctica de reducir.

Regla Práctica

I.

(x + x + x + …….)

Ejemplos:

1.

2.
3.
=
4.

II.

(x – x + x – …….)

En los exponentes, los signos se alternan.

Ejemplos:

1.

2.
=

3.
=

Ejemplos:

1.

2.
=
=

Analice cada una de las siguientes preguntas:

a) ¿ ?

¿Porque? ………………………………………………………

b) ¿ ?

¿Porque? ………………………………………………………

c) ¿ ?

¿Porque? ………………………………………………………

d) ¿ ?

¿Porque? ………………………………………………………

Ejemplos Aplicativos:

1. Hallar el exponente de “x”, luego de simplificar :

; x > 0

Resolución:
Usando la regla práctica I

=

=
=
=
Respuesta : El exponente final es 72.

2. Reducir :

Resolución:
Aplicando las reglas prácticas I y II se tendrá

=

ECUACIONES EXPONENCIALES

Definición:
Aquella que la variables aparecen en el exponente son expresiones trascendentales.

Formas:

I. a  0 (bases iguales)

 m = n

II. a , b  0 (analogías)

 a = b

Ejemplo :
x + 2 = 2
x = 0

III. a , b  0 (Exponentes Iguales)

 a = b
Ejemplo :
x + 2 = 3
x = 1

IV. si b = n = 0 donde a,b  0

PRACTICA DE CLASE

01. Calcular el valor de:

a) 10 b) 7 c) –1/15
d) 15 e) 7-1

02. Simplificar:

a) 7 b) 17 c) 13
d) 19 e) 5

03. Si: xX = 2. Reducir:

a) 28 b) 26 c) s9
d) 24 e) 216

04. Calcular el valor de:

a) 2n b) 3 c) 4
d) 5n e) 1

05. Calcular “R” en:

a) 1 b) 2 c)
d) – 1 e) N.a.

06. Simplificar la expresión:

a) n b) n – 1 c) 1/n
d) nn e) n2n

07. Simplificar:

a) x b) xn c) xn
d) – xn e)

08. Reducir:

a) b) c)
d) e)

09. Al reducir:
se obtiene
Hallar

a) b) 2 c)
d) e)

10. Hallar el equivalente a:

a) b) c) ab2
d) b2 e) a2b

11. Indicar el exponente de en:

a) x2 b) 3 c) x3
d) 1 e) 4

12. Hallar su equivalente de:

a) b) -1 c) +1
d) 1- e) –

13. Calcular el valor de “E” en:

a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32

14. Simplificar:

a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
15. Hallar el equivalente a:

a) abn+1 b) bn c) ab
d) e) an bn+1

16. Reducir:

a) a b) c)
d) a y b e) b y c

17. Simplificar:

a) bn b) b c) bn -1
d) bn-2 e) bn+ 1

18. Calcular el valor de:

a) 1/5 b) c)
d) 5 e)

19. Después de simplificar:

Se obtiene una expresión equivalente a x10.
Calcular “n”

a) 1 b) 2 c) ½
d) 3 e) 5

20. Al reducir:

Se obtiene 52n.
Calcular

a) b) c)
d) 5 e) 25

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Simplificar:

a) 2 b) 1/6 c) 5/6
d) 4/3 e) 3/8

02. Sea x>1 y además:

Calcule:

a) 2 b) 3 c) 8
d) 5 e) 7

03. Simplificar:

a) x7 b) x3 c) x-2
d) x-5 e) x-20

04. Simplificar:

a) 2 b) 3 c) 1/3
d) 1/2 e) 1/5
05. Si: , indica el exponente de en:

a) 5 b) 3 c) 2
d) 4 e) 7

06. Si: , simplificar:

a) b)
c) d)
e)

07. Si , Calcule:

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

08. Efectuar:
a. b.

a) 2;3 b) 5,2 c) 7;2
d) 1;2 e) 4;2

09. Calcule:

a) b) c)
d) 1 e)

10. Calcule:
a.
b.

a) 5;2 b) 1; 2 c) 2;3
d) 4;7 e) 5;9

11. Calcule:
a.
b.
c.

12. Si el exponente final de x es 7/4:
;

Calcule “n”.

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

13. Calcule el valor de “x”, en:

a) 2 b) –3/2 c) 1/2
d) 1/4 e) 5/3

14. Si se cumple que:
= 3
Calcule:

a) 21 b) 25 c) 37
d) 42 e) 28

15. Efectuar:

a) 1/2 b) 3/7 c) 1/4
d) 1/9 e) 3/91

TAREA DOMICILIARIA

01. El grado absoluto de la expresión:
es 15
Hallar el inverso de “n”

a) 1 b) – 3 c) 2
d) – 2 e) 3

02. Hallar la novena parte de:

a) 6n b) 3n c) 2n
d) n e) 1

03. Reducir:

a) 1/6 b) 0,6 c) 2/3
d) 1/5 e) 1

04. Si: x = . Hallar el valor de:

a) 1 b) 3 c) 9
d) 27 e)

05. Simplificar:

a) 2 b) 5 c) 3
d) 4 e) N.a.