LA ESFERA Y ROTACIONES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Share Button


OBJETIVOS :
* Reconocer una superficie esférica de una esfera.
* Aplicar correctamente los teoremas en la resolución de problemas.

CLICK AQUI PARA VER PDF    ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 2   ****

Una esfera es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro , es siempre la misma. También se refiere al sólido cuyo volumen se halla contenido en la superficie anterior ; con este significado se emplea específicamente la palabra bola.

La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor. Esta propiedad es la causa de su omnipresencia en el mundo físico: en la superficie de una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso o también líquido (pero con líquidos que no se pueden mezclar), existen fuerzas superficiales que deformarán la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los puntos de la misma , y este mínimo corresponde a una esfera , en ausencia de toda perturbación exterior. Se genera haciendo girar un semicírculo alrededor de un diámetro.
Es a Arquímedes (287 – 212 a.c.) celebre matemático de Siracusa, en Sicilla, a quien se deben algunos teoremas más importantes de la geometría del espacio, sobre todo referente a la esfera y el cilindro.
La tradición dice que sobre su tumba esculpieron una esfera y un cilindro circunscrito en conmemoración de sus descubrimientos relativosa estos dos sólidos. La naturaleza presenta :
ejemplos de frutos que se aproximan a una esfera, como por ejemplo la naranja. Las gotitas de agua se aproxima a una esfera. En la ornamentación se utiliza la esfera. Las pelotas, bombillas, etc. Son otros ejemplos de objetos que se relacionan con la esfera.
La tierra es aproximadamente esférica y gira alrededor de un eje que pasa por los polos llamado eje del mundo. Los meridianos y paralelos de esta superficie de revolución se llaman paralelos y meridianos terrestres .
Teorema de arquimedes
El área de la superficie generada por una poligonal regular al girar 360º entorno a un eje que contiene al centro de la poligonal regular , la cual está en un mismo semiplano respecto al eje , es igual al producto de la longitud de la circunferencia cuyo radio es igual a la longitud del apotema de la poligonal regular con la longitud de la proyección ortogonal de la poligonal sobre el eje.

ÁREA DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA
Un balón de fútbol ayuda a intuir un método para calcular el área de la superficie esférica. En el caso del balón, basta sumar las áreas de las caras de los polígonos que lo componen para conocer el área de su superficie; por otra parte, cuanto mayor sea el número de caras del balón, más se ajustará su superficie a la superficie de la esfera.

No es difícil imaginar la esfera como caso límite de un balón compuesto por finísimas pirámides con vértice en el centro de la esfera, y bases en las caras de la superficie del balón. El volumen de todas las pirámides tiende a coincidir con el volumen de la esfera, y la altura de cada pirámide con el radio de la esfera, por lo que:

Como el volumen de las pirámides es igual al volumen de la esfera, tenemos:
por lo que:
Es curioso observar que el área de la esfera equivale a cuatro veces el área de uno de sus círculos máximos.
LA ESFERA Y SUS PARTES
DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA
Teorema de Arquímides
El área que genera una poligonal regular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro de la circunferencia circunscrita a dicha poligonal es igual a la longitud de una circunferencia cuyo radio es el apotema de la poligonal multiplicado por la proyección de dicha poligonal sobre el eje de giro.

Zona Esférica
Es la parte de la superficie de la esfera comprendida entre dos planos paralelos; cuando los dos planos son secantes se obtiene la zona de dos bases y cuando uno de los planos es tangente y el otro secante se obtiene la zona de una base o casquete esférico.

Casquete Esférico
Es la zona esférica de una base.

Superficie Esférica
Es la superficie generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

DETERMINACIÓN DEL VOLUMEN DE UNA ESFERA
Teorema
El volumen que genera un sector poligonal regular cuando gira alrededor de un eje que pasa por su vértice es igual a la tercera parte del área generada por la poligonal regular multiplicado por el apotema del sector poligonal regular.

Sector Esférico
Es el sólido generado por un sector circular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por su vértice.

Esféra sólida
Es el sólido generado por un semicírculo cuando gira alrededor del diámetro tomado como eje.

Huso Esférico
Es la porción de la superficie esférica limitada por dos semicircunferencias que tienen un mismo diámetro.

Cuña Esférica
Es una porción de la esfera sólida limitada por dos semicírculos que tienen el mismo diámetro.

Anillo Esférico
Es el sólido generado por la rotación de un segmento circular cuando gira alrededir de un eje coplanar que pasa por el centro de la circunferencia a la que pertenece el segmento circular.
CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN ANILLO ESFÉRICO

SEGMENTO ESFÉRICO
Es la porción de una esfera sólida comprendida entre dos planos paralelos.

APLICACION 1 :
Calcular el volumen de la esfera mostrada, O es centro.

Resolución:

Volumen (V)

APLICACION 2 :
Demostrar que el volumen de la esfera inscrita en un cilindro circular recto es los del volumen del cilindro.

Resolución:

1) Se sabe:

2) (I) (II)

APLICACION 3 :
El área de la superficie lateral de un prisma regular hexagonal es . Calcular el volumen de la esfera inscrita.
Resolución:
Del dato tenemos:

Calculamoa el volumen de la esfera:

PRIMERA GUIA DE PREGUNTAS DE CLASE
1. Calcular el volumen de la esfera.

2. Calcular el volumen de la esfera.

3. Calcular el volumen de la esfera.

4. Calcular el volumen de la esfera.

5. Calcular el radio de una esfera si el volumen mide .

6. Calcular el radio de una esfera si su volumen mide .

7. Calcular el volumen de la semiesfera.

8. Calcular el volumen de la semiesfera.

9. Calcular el volumen de una esfera de radio .
10. Calcular el área de la superficie total de una esfera de radio .

11. Calcular el volumen de una esfera inscrita en un cubo de área total igual 72.

12. Calcular la relación entre el volumen de una esfera y el volumen de un cilindro circular recto circunscrito a la esfera.
13. Calcular el volumen de la esfera. Si el área de la región sombreada es 4 p. “O” centro de la esfera.

Rpta.: ………………………………………………..

14. En el gráfico: Calcular el área de la superficie esférica. =Radio, CB = 4u

15. Calcular el volumen de una esfera inscrita en un cono equilátero de altura .

16. Calcular la altura de un cono circular recto de radio de base 6 equivalente a una esfera de radio 3.

17. En la figura, calcular el volumen de la esfera inscrita en la semiesfera cuya área de su superficie total es .

18. Calcular el área de la superficie total de una esfera circunscrita a un cilindro circular recto de altura 8 y radio de base 3.

19. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a un cono equilátero de altura 9.
20. Calcular la longitud del radio de la semi-esfera, si el área de la superficie esférica es 48p. R=Radio.

21. Calcular el volumen y el área de la superficie esférica. Si el área de la región sombreada es 36p. “O” es centro de la esfera.

22. Calcular el volumen de una esfera cuya área de su superficie esférica es 144 p.
23. Calcular la relación entre el volumen de una esfera inscrita en un cubo con el volumen de la esfera circunscrita en el mismo cubo.
24. En la figura O es centro y es diámetro de la esfera, T es punto de tangencia TP=4, BP=2. Calcular el volumen de dicha esfera.

25. En la figura O es centro y es diámetro de la esfera, T es punto de tangencia, , BP=3, calcular el área de la superficie esférica.

26. Un cilindro recto y una esfera tiene igual volumen, el radio de la base del cilindro mide 3 y su generatriz 4. Calcular la longitud del radio de dicha esfera.

27. Un cilindro recto y una esfera tiene igual volumen, el radio de la base del cilindro mide 6 y su generatriz 8. Calcular la longitud del radio de la esfera.
28. En la esfera mostrada es diámetro, O es centro y . Calcular el área de su superficie y su volumen.

Rpta:…………………………………………………..

29. En la esfera mostrada es diámetro, O es centro PQ=6. Calcular el área de su superficie y su volumen.

Rpta:…………………………………………………..
30. El área de una superficie esférica es 113.04cm2. El radio de la esfera mide:
Rpta:…………………………………………………..
31. La longitud del radio de una esfera se triplica, ¿en qué relación están los volúmenes de la primera y segunda esfera?
Rpta:…………………………………………………..
32. ¿En qué relación están las longitudes de los radios de las esferas inscrita y circunscrita a un tetraedro regular?
Rpta:…………………………………………………..
33. Calcule el volumen de una esfera inscrita en un cubo de volumen igual a 216m2.
Rpta:…………………………………………………..
34. El volumen de un prisma recto regulares . Si su base es una región triangular equilátera, calcular el volumen de la esfera inscrita.

Rpta.: ……………………………………………….
35. Calcular el volumen de una esfera inscrita en un tetraedro regular de altura .
Rpta.: ……………………………………………….
36. Calcular el área del huso esférico de radio 6 y ángulo central 40º.
Rpta.: ……………………………………………….
37. Calcular el volumen de una cuña esférica de radio 6 y ángulo central 30º.
Rpta.: ……………………………………………….
38. Calcular el área casquete esférico de altura 3.

39. Calcular el área de la supreficie esférica circunscrita a un paralelepípedo rectangular de dimensiones 2, 4 y 6.
40. Calcular el volumen de una esfera inscrita en un octaedro regular de arista .
SEGUNDA GUIA DE PREGUNTAS DE CLASE
1. Calcular el volumen de la esfera.

A)
B)
C) 3pu3
D) 9pu3
E) 18pu3

2. Calcular el volumen de una esfera si su radio mide

A)
B)
C)
D)
E)
3. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a un cubo de arista 4.
A) B) C)
D) E)
4. Si el área de la superficie total de una semiesfera es , calcular el volumen de la esfera inscrita en dicha semiesfera.
A) B) C)
D) E)
5. Calcular el volumen de la esfera. Si: “O” centro de la esfera, PQ = 6u.

A) u3
B) u3
C) u3
D) u3
6. En el gráfico, calcular el volumen de la esfera si la longitud de la región sombreada es u. “O” centro de la esfera.

A)
B)
C)
D)
E)
7. Se tiene un cono circular recto de altura 8 y radio 4 inscrito en una esfera. Calcular el área de la superficie esférica.
A) B) C)
D) E)
8. Calcular la relación entre el volumen de un cono equilátero y el volumen de la esfera inscrita en dicho cono.
A) B) C)
D) E)
9. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a un cubo cuya área de su superficie total es 288.
A) 324 B) 288
C) 216 D) 256
E) 348
10. El diámetro de una esfera mide 12. Calcular el área de la superficie esférica y su volumen.
A) B)
C) D)
E)
11. En la figura, calcular el volumen de la semiesfera de centro O, si las áreas de los círculos menores son y .

A) B) C)
D) E)