INTRODUCCION AL ALGEBRA UNIVERSITARIA EN TEXTO PDF

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Lógica , Conjuntos , Funciones , Relaciones , Principio de inducción ,Sumatorias ,Teorema del binomio de Newton ,Cardinalidad ,Estructuras algebraicas ,Números complejos ,Polinomios , Teorema de la división.
Al final del curso se espera que el estudiante demuestre que:
• Lee, escribe y demuestra proposiciones escritas en el lenguaje de las matemáticas, incluyendo en éste la lógica simbólica, el álgebra de conjuntos, las nociones de función y relación, las estructuras y sus morfismos.
• Reconoce la noción de cardinal de un conjunto y de conjuntos numerables y demuestra numerabilidad.
• Maneja la técnica de demostración por inducción, y demuestra propiedades de sumatorias, complejos y polinomios.

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LOGICA Nociones básicas:
proposiciones, valor de verdad,
conectivos y tablas de verdad.
Tautologías, Álgebra
proposicional y cuantificadores.
Uso de la lógica simbólica y sus
propiedades para realizar
demostraciones.
El estudiante:
1. Opera con el álgebra
proposicional.
2. Lee proposiciones escritas en el
lenguaje lógico.
3. Construye demostraciones
utilizando la lógica simbólica y sus
reglas.
(0.5) Idea de conjunto, igualdad,
inclusión.
(0.5) Operaciones: Unión,
intersección, diferencia, diferencia
simétrica, propiedades.
(0.5) Conjunto potencia,
cuantificadores y conjuntos, par
ordenado y producto cartesiano.
El estudiante:
1. Demuestra las propiedades
del álgebra de conjuntos.
(0.5) Definiciones: Conjunto de
partida, de llegada, igualdad.
Función identidad, extensiones y
restricciones.
(1) Inyectividad, sobreyectividad,
biyectividad, composición, inversa.
(0.5) Conjuntos Imagen y Preimágen y
sus propiedades.
El estudiante:
1. Opera con funciones.
2. Demuestra propiedades de
funciones relativas a su definición,
la inyectividad, sobreyectividad,
biyectividad, composiciones,
inversas e imágenes y
pre‐ imágenes.
Definición y propiedades
usuales (reflexividad,
simetría/antisimetría, transitividad).
(0.5) Relaciones de
equivalencia/orden: Congruencias
módulo p y divisibilidad en N, ordenes
parcial, total.
(0.5) Relaciones de equivalencia y
clases de equivalencia, conjunto
cuociente.
El estudiante:
1. Reconoce relaciones de orden y
de equivalencia y maneja ejemplos
importantes.
2. Demuestra propiedades de las
relaciones de orden y de
equivalencia, de las clases de
equivalencia y el conjunto
cuociente para una relación de
equivalencia.
Recurrencias, principio de
inducción, inducción usando toda la
información previa.
(1) Definición inductiva de
sumatorias, propiedades generales
(incluyendo sumas telescópicas e
intercambio
de sumas dobles) y fórmulas
particulares (sumas de
los primeros n naturales, sus
cuadrados, cubos, suma geométrica).
(0.5) Coeficientes binomiales:
Mención de la interpretación
combinatorial, relación con el
Triángulo de Pascal.
(0.5) Teorema del binomio de Newton
y sumatorias relacionadas.
El estudiante:
1. Demuestra propiedades por
medio del principio de inducción
en sus formas más usuales.
2. Calcula y demuestra
propiedades de sumatorias.
3. Utiliza en cálculos de sumas y en
demostraciones el Teorema del
Binomio de Newton.
Definiciones de “tener el mismo (y
tener mayor) cardinal”,
conjuntos numerables y sus
propiedades (unión numerable de
numerables es numerable, producto
cartesiano de numerables es
numerable, subconjunto infinito de
numerable es numerable).
Demostraciones
de Cantor: R no es numerable, las
partes de un conjunto tienen mayor
cardinal que el original.
El estudiante:
1. Reconoce las nociones de “tener
el mismo cardinal” (distinguiendo
entre diversos infinitos) y
numerabilidad.
2. Demuestra numerabilidad.
Definiciones: Ley de composición
interna, estructuras.
Propiedades usuales (conmutatividad,
asociatividad, distributividad, neutros,
inversos, elementos absorbentes,
idempotentes, cancelables.)
(1/3) Grupos y subgrupos. Teorema
de Lagrange.
(1/3) Morfismos, Isomorfismos.
(1/3) Propiedades generales de anillos
y cuerpos. Divisores de cero.
El estudiante:
1. Reconoce las nociones
elementales y propiedades de
estructuras algebraicas y sus
morfismos,
y en particular los conceptos mas
básicos de la Teoría de Grupos, y
anillos y cuerpos.
2. Comprende y manipula
conceptos y propiedades básicas
de la Teoría de Grupos, y Anillos y
Cuerpos.
Construcción de C. Estructura de
cuerpo. Conjugado y Módulo.
Propiedades algebraicas y de los
conjugados y módulo (incluyendo la
desigualdad triangular).
(0.5) Forma polar de un complejo,
multiplicación en forma polar, ley de
De Moivre.
(0.5) Raíces n‐ésimas de complejos y
sus propiedades.
El estudiante:
1. Manipula expresiones con
números complejos representados
tanto en su forma cartesiana como
polar.
1. Demuestra las propiedades
fundamentales de los complejos
(tanto para sumas,
multiplicaciones, potencias, raíces,
conjugados y módulos), tanto en su
forma cartesiana como polar.
Definición de polinomios a
coeficientes en los cuerpos
o , igualdad de polinomios,
grado, estructura
de anillo conmutativo unitario sin
divisores de cero de
, o .
(2/3) Teorema de la división,
divisibilidad, raíces.
(0.5) Factorizaciones en y
.
(1/3) Máximo común divisor y
Algoritmo de Euclides.
El estudiante:
1. Demuestra propiedades
algebraicas de los polinomios a
coeficientes reales y complejos.
Específicamente, divisibilidad,
raíces y factorización.
1. L´ogica
La l´ogica le proporciona a las matem´aticas un lenguaje claro y un m´etodo preciso
para demostrar teoremas a partir de axiomas. Por ejemplo:
axiomas de Euclides, definiciones, nociones primarias de geometr´ıa cl´asica
+
l´ogica
=
teoremas de la geometr´ıa euclidiana
Un ejemplo de noci´on primaria es la de punto. Un ejemplo de axioma es el que dice
que por un punto ubicado fuera de una recta L pasa una y s´olo una recta paralela
a L.
Sin la l´ogica los axiomas ser´ıan un mont´on de verdades aceptadas, pero nada m´as.
La l´ogica, sin embargo, les da sentido y permite concluir nueva verdades (teoremas)
que antes no conoc´ıamos. Un ejemplo de teorema: la suma de los ´angulos interiores
de cualquier tri´angulo siempre es de 180.
Al ser la l´ogica el punto de partida de las matem´aticas, en ella se deben introducir
nociones primarias tales como proposici´on, valor de verdad, conectivo l´ogico.
1.1. Proposiciones y valor de verdad
Definici´on 1.1 (Proposici´on l´ogica). Una proposici´on debe interpretarse como
un enunciado que siempre toma uno de los valores de verdad posibles: verdadero
(V ) o falso (F).
Por ejemplo, en el contexto de la aritm´etica, “2+1=5” corresponde efectivamente a
una proposici´on. M´as a´un, su valor de verdad es F.
T´ıpicamente notaremos a las proposiciones con letras min´usculas: p, q, r, etc.
Algunos ejemplos:
“Estoy estudiando ingenier´ıa”.
“1 0”.
“Est´a lloviendo en Valdivia”.
1.2. Conectivos l´ogicos
Los conectivos l´ogicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de proposiciones
ya conocidas. El valor de verdad de la nueva proposici´on depender´a del valor
de verdad de las proposiciones que la forman. Esta dependencia se explicita a trav´es
de una tabla de verdad.
Definici´on 1.2 (Negaci´on). La proposici´on p se lee “no p” y es aquella cuyo valor
de verdad es siempre distinto al de p. Por ejemplo, la negaci´on de “mi hermano ya
cumpli´o quince a˜nos” es “mi hermano a´un no cumple quince a˜nos”. Esto se explicita
a trav´es de la siguiente tabla de verdad.
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p p
V F
F V
Definici´on 1.3 (O l´ogico o disyunci´on). La proposici´on p _ q se lee “p o q”.
Decimos que p_q es verdad, o que “se tiene p_q”, cuando al menos una de las dos
proposiciones, o bien p o bien q, es verdadera. Por ejemplo, la proposici´on “ma˜nana
llover´a o ma˜nana no llover´a” es verdadera. En otras palabras, tal como se aprecia
en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p _ q lo que nos est´a
diciendo es que nunca son simult´aneamente falsas.
p q p _ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Definici´on 1.4 (Y l´ogico o conjunci´on). La proposici´on p^q se lee “p y q”. Tal
como se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p^q,
lo que nos est´a diciendo es que ambas proposiciones son verdaderas.
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Definici´on 1.5 (Implicancia). Todos estaremos de acuerdo en considerar verdadera
la proposici´on “si el se˜nor K est´a en California entonces el se˜nor K est´a en
Estados Unidos”. ¿Por qu´e?
Porque a uno no le importa d´onde est´a el se˜nor K: podr´ıa estar en Texas o en China.
Lo ´unico importante es que, si efectivamente “est´a en Californa”, entonces
podemos concluir, con esa sola informaci´on, que “est´a en Estados Unidos”.
La proposici´on p ) q se lee “p implica q” o “si p entonces q”. Para estudiar su valor
de verdad nos debemos concentrar en el caso de que la hip´otesis p sea verdadera.
Ah´ı tenemos que determinar si basta con esa informaci´on para concluir que q es
verdadera. En resumen: si alguien afirma que se tiene p ) q, debemos concluir que
si p es verdad entonces necesariamente q ser´a verdad. Todo esto se explicita a
trav´es de la siguiente tabla.
p q p ) q
V V V
V F F
F V V
F F V
Definici´on 1.6 (Equivalencia). Decimos que la proposici´on p es equivalente con
la proposici´on q (o que “p si y s´olo si q”), y escribimos p () q, cuando basta con
conocer el valor de verdad de una para saber el valor de verdad de la otra ya que
´este siempre es el mismo.
Por ejemplo “el paralel´ogramo dibujado en la pared tiene todos sus ´angulos iguales”
es equivalente con la proposici´on “las diagonales del paralel´ogramo dibujado en la
pared miden lo mismo”. O bien ambas son verdaderas o bien ambas son falsas.
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p q p () q
V V V
V F F
F V F
F F V
1.3. Tautolog´ıas
Definici´on 1.7 (Tautolog´ıa). Una tautolog´ıa es una proposici´on que, sin importar
el valor de verdad de las proposiciones que las constituyen, es siempre verdadera.
Tres ejemplos bastante razonables:
Ejemplos:
p _ p
p ) p _ q
(p () q) () (q () p)
Demostraremos, desarrollando una tabla de verdad, que la primera proposici´on es
tautolog´ıa.
p p p _ p
V F V
F V V
Todas las tautolog´ıas son equivalentes entre s´ı y se pueden reemplazar por la
proposici´on V . Por ejemplo (p _ p) () V . Esto es an´alogo a lo que hacemos
cuando reemplazamos el t´ermino (x − x) por el s´ımbolo 0.
Definici´on 1.8 (Contradicci´on). As´ı como existen las tautolog´ıas existen las contradicciones.
Son proposiciones siempre falsas.
Por ejemplo, p ^ p. Son todas equivalentes a la proposici´on F.
Vamos a listar una serie de tautolog´ıas de la forma A () B. El uso que se les
dar´a es el siguiente. Cada vez que en una cierta proposici´on aparezca la expresi´on
A, puede reemplazarse por B. Y viceversa. El lector debe demostrar la condici´on
de tautolog´ıa de algunas de ellas usando tablas de verdad, como ejercicio.
Proposici´on 1.1 (Tautolog´ıas importantes).
1.
(p ^ p) () F (p ^ V ) () p (p ^ F) () F
(p _ p) () V (p _ V ) () V (p _ F) () p
2. Caracterizaci´on de la implicancia. (p ) q) () (p _ q)
3. Leyes de De Morgan.
a (p ^ q) () (p _ q)
b (p _ q) () (p ^ q)
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4. Doble negaci´on. p () p
5. Conmutatividad.
5.1. (p _ q) () (q _ p)
5.2. (p ^ q) () (q ^ p)
6. Asociatividad.
6.1. (p _ (q _ r)) () ((p _ q) _ r)
6.2. (p ^ (q ^ r)) () ((p ^ q) ^ r)
7. Distributividad.
7.1. (p ^ (q _ r)) () ((p ^ q) _ (p ^ r))
7.2. (p _ (q ^ r)) () ((p _ q) ^ (p _ r))
7.3. ((q _ r) ^ p) () ((q ^ p) _ (r ^ p))
7.4. ((q ^ r) _ p) () ((q _ p) ^ (r _ p))
Cuatro tautolog´ıas muy importantes
Estas cuatro tautolog´ıas se prueban usando tablas de verdad. Son particularmente
´utiles para demostrar teoremas.
Cada una de ellas da lugar a una t´ecnica de demostraci´on: equivalencia dividida en
dos partes, transitividad, contrarrec´ıproca, reducci´on al absurdo. En las partes que
siguen ilustraremos el uso de estas t´ecnicas. Ver´as este s´ımboloFcada vez que lo
hagamos.
Proposici´on 1.2.
1. Equivalencia dividida en dos partes. (p () q) () (p ) q ^ q ) p)
2. Transitividad. ((p ) q) ^ (q ) r)) ) (p ) r)
3. Contrarrec´ıproca. (p ) q) () (q ) p)
4. Reducci´on al absurdo. (p ) q) () (p ^ q)
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Verificaci´on simb´olica y exploratoria
Cuando queremos verificar de manera simb´olica que cierta proposici´on es tautolog´ıa
evitaremos usar tablas de verdad y s´olo nos permitiremos usar (como conocidas)
las tautolog´ıas b´asicas que aparecen en las secciones anteriores. Demostremos de
manera simb´olica entonces que:
(p () q) () (p ^ q) _ (p ^ q)
En efecto:
(p () q) () (p ) q) ^ (q ) p)
() (p _ q) ^ (q _ p)
() [(p _ q) ^ q] _ [(p _ q) ^ p]
() [(p ^ q) _ (q ^ q)] _ [(p ^ p) _ (q ^ p)]
() [(p ^ q) _ F] _ [F _ (q ^ p)]
() (p ^ q) _ (p ^ q)
En las demostraciones exploratorias se acepta“explorar”la tabla de verdad deshechando
los casos ”f´aciles”. Demostremos, exploratoriamente, que la siguiente proposici´on
es tautolog´ıa.
[(p ) q) ^ (r ) q)] ) (p ) r)
Vamos a asumir que tanto (p ) q) como (r ) q) son verdaderas. Es decir, nos
ocupamos s´olo del caso en que la hip´otesis es verdadera. Lo que debemos hacer
es concluir que (p ) r) es verdadera.
Caso 1. p es falsa. Este caso es f´acil: obviamente se tiene que (p ) r) es verdadera.
Caso 2. p es verdadera. Como asumimos que (p ) q) es verdadera, se tiene que
tener q falsa.
Como (r ) q) se asume verdadera y como q es falsa, r tiene que ser falsa. Por lo
tanto, como r es falsa, se tiene que (p ) r) es verdadera.
1.4. Funci´on proposicional y cuantificadores
Definici´on 1.9 (Funci´on proposicional). Una funci´on proposicional p es una
expresi´on descrita en funci´on de alg´un par´ametro x que satisface lo siguiente: cada
vez que x se reemplaza por una cadena de s´ımbolos, p(x) se transforma en una
proposici´on.
Ejemplos:
p(x) =“x es un jugador de f´utbol” es una funci´on proposicional. Notar que
p(Marcelo Salas) es verdadera mientras que p(Nicol´as Massu) es falsa.
q(x) =“x−5  0”, tambi´en es una funci´on proposicional. q(2) es verdadera,
pero q(6) es falsa.
Observaci´on: En adelante, usaremos p(x) de dos formas distintas:
Para referirnos a la funci´on proposicional misma y mostrar que x es la variable
que reemplazamos por cadenas de s´ımbolos para obtener proposiciones l´ogicas.
Para referirnos, cuando x es algo en particular, a la proposici´on que se forma
de haber hecho el reemplazo en la funci´on proposicional.
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Cuantificador universal
Definici´on 1.10 (Cuantificador universal). La proposici´on (8x)p(x), que se lee
“para todo x p(x)”, es verdadera siempre y cuando p(x) sea verdadera para cualquier
cadena de s´ımbolos que se reemplace en x.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo:
Usando el ejemplo anterior, p(x) = “x es un jugador de f´utbol”, ¿ser´a
verdadera (8x)p(x).
Claramente, como vimos que p(Nicol´as Massu) es falsa, no es cierto que
al reemplazar x por cualquier cadena de s´ımbolos lo resultante sea una
proposici´on verdadera.
Luego (8x)p(x) es falsa.
A continuaci´on veamos ejemplos de proposiciones construidas usando el cuantificador
universal y c´omo se verifica la veracidad de dichas proposiciones.
Ejemplo:
(8x)(p(x) _ p(x)) es verdadera. Verifiquemos que es verdadera, por pasos.
Sea x arbitrario (este es el modo en que se considera el “8x”).
p.d.q (por demostrar que): p(x) _ p(x) es verdadera.
En efecto:
Caso 1. p(x) es verdadera. Como V _ p(x) es verdadera, se concluye.
Caso 2. p(x) es falsa. En este caso p(x) es verdadera. Como (F_V ) () V ,
se concluye.
(8x)[p(x) ) (p(x) _ q(x))] es verdadera. Demostr´emoslo.
Sea x arbitrario
Hip´otesis: p(x) es verdadera.
p.d.q: p(x) _ q(x) es verdadera.
En efecto: como p(x) es verdadera, usamos que V _q(x) es verdadera para
concluir.
[(8x)p(x) _ (8x)q(x)] ) [(8x)(p(x) _ q(x)] es verdadera.
Hip´otesis: (8x)p(x) _ (8x)q(x) es verdadera
p.d.q: (8x)(p(x) _ q(x)) es verdadera
En efecto: sea x arbitrario.
Caso 1. p(x) es verdadera. En este caso (p(x) _ q(x)) es verdadera.
Caso 2. p(x) es falsa. En este caso, por hip´otesis, q(x) tiene que ser
verdadera. Se deduce que (p(x) _ q(x)) es verdadera.
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Cuantificador existencial
Definici´on 1.11 (Cuantificador existencial). La proposici´on (9x)p(x), que se
lee “existe x, tal que p(x)”, es verdadera cuando se puede encontrar por lo menos
una cadena de s´ımbolos que hace p(x) verdadero.
Ejemplo:
Retomando el ejemplo anterior, con p(x) = “x es un jugador de f´utbol”.
¿Se tendr´a que (9x)p(x)?.
Tenemos que hay al menos un x que hace a p(x) verdadera, por ejemplo
x = Mat´ıas Fern´andez cumple claramente que p(Mat´ıas Fern´andez) es
verdadera.
As´ı, (9x)p(x) es verdadera.
Relaci´on entre cuantificadores
A continuaci´on veremos la relaci´on que existe entre los dos cuantificadores antes
definidos. Dicha relaci´on se debe a la negaci´on.
Resulta que (9x)p(x) es falsa si y s´olo si p(x) no es verdadera para ninguna cadena
de s´ımbolos x, es decir, si y s´olo si (8x)p(x) es verdadera. As´ı, hemos hallado la
Proposici´on 1.3 (Negaci´on del cuantificador existencial). La siguiente proposici
´on es una tautolog´ıa
(9x)p(x) () (8x)p(x).
Existencia y unicidad
Hay un cuantificador m´as que se utiliza con frecuencia:
Definici´on 1.12 (Existencia y unicidad). La proposici´on (9!x)p(x), que se lee
“existe un ´unico x tal que p(x)”, es verdadera cuando hay exactamente una cadena
de s´ımbolos hace verdadero p(x).
Un ejemplo:
Ejemplo:
Nuevamente, considerando nuestra funci´on proposicional p(x) =“x es un jugador
de f´utbol”. ¿Cu´al ser´a el valor de verdad de (9!x)p(x)?
Podemos notar que tanto x1 = Marcelo Salas y x2 = Mat´ıas Fern´andez hacen
que p(x) sea verdadera.
Es decir, si bien existe un x que hace a p(x) verdadera, no es ´unico.
As´ı, (9!x)p(x) es falsa.
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Observaci´on: Notemos que 9! no es un cuantificador nuevo, en el sentido de que
puede ser definido en funci´on de los dos cuantificadores anteriores. Es decir la siguiente
proposici´on es verdadera.
(9!x)p(x) () [(9x)p(x)] | {z }
Existencia
^[(8x)(8y)((p(x) ^ p(y)) ) (x = y))] | {z }
Unicidad
Ejemplo importante: Equivalencia dividida en dos partes
Veremos ahora una t´ecnica de demostraci´on que se basa en una de las tautolog´ıas
importantes que vimos antes. Supongamos que queremos demostrar que
(8x)(p(x) ^ q(x)) | {z }
p
() [(8x)p(x) ^ (8x)q(x) | {z }
q
]
es verdadera.
Lo que haremos es usar la Tautolog´ıa 1,
(p () q) () ((p ) q) ^ (q ) p)).
En donde el rol de p y q est´a descrito arriba. ´Esta nos permite dividir la demostraci
´on en dos partes, ya que en lugar de verificar que (p () q) es verdadera,
podemos verificar que (p ) q) ^ (q ) p) es verdadera.
Esto, a su vez lo hacemos verificando que (p ) q) es verdadera y luego que
(q ) p) tambi´en lo es.
))
Hip´otesis: (8x)(p(x) ^ q(x)) es verdadera.
p.d.q: (8x)p(x) ^ (8x)q(x) es verdadera.
En efecto: Sea x arbitrario. Por hip´otesis se tiene tanto p(x) como q(x) son verdaderas.
En particular p(x) lo es. Es decir, probamos que (8x)p(x) es verdadera.
An´alogamente se tiene que tambi´en (8x)q(x) es verdadera.
()
Hip´otesis: (8x)p(x) ^ (8x)q(x) es verdadera.
p.d.q: (8x)(p(x) ^ q(x)) es verdadera.
En efecto: Sea x0 arbitrario. Como por hip´otesis (8x)p(x)) es verdadera se
tiene que p(x0) es verdadera. Como por hip´otesis (8x)q(x) es verdadera se
tiene q(x0) tambi´en lo es. 
Observaci´on: Convenciones en el desarrollo de un argumento En la demostraci´on
anterior la expresi´on “… es verdadera …” aparece una gran cantidad de veces. Por
ejemplo en
Hip´otesis: (8x)(p(x) ^ q(x)) es verdadera.
p.d.q: (8x)p(x) ^ (8x)q(x) es verdadera.
Esto no siempre es necesario pues se subentiende que al decir que la hip´otesis es p
estamos asumiendo que p es verdadera.
Del mismo modo, si declaramos que queremos demostrar q se subentiende que
deseamos demostrar que q es verdadera.
Tambi´en es posible que despu´es de un razonamiento lleguemos a la conclusi´on que r
es verdadera. Esto suele indicarse con expresiones del tipo “se tiene r” o “y entonces
r”.
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Tomando estas convenciones la ´ultima parte del desarrollo anterior queda como
sigue.
Hip´otesis: (8x)p(x) ^ (8x)q(x)
p.d.q: (8x)(p(x) ^ q(x))
En efecto: Sea x0 arbitrario. Como por hip´otesis (8x)p(x), se tiene p(x0). Como
por hip´otesis (8x)q(x), se tiene q(x0).
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Gu´ıa B´asica
Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:
1. “25-11” no corresponde a una proposici´on l´ogica.
2. “¿Podr´as venir ma nana?” es una proposici´on l´ogica.
3. “x − 11” corresponde a una proposici´on l´ogica, si se reemplaza x por un
n´umero.
4. “25 − 11  0” corresponde a una proposici´on l´ogica.
5. El valor de verdad de la proposici´on ¯p es siempre distinto al de p.
6. Existen proposiciones l´ogicas p tales que ¯p tiene el mismo valor de verdad
que el de p.
7. Si p es falsa, entonces la proposici´on p _ q es siempre falsa.
8. La proposici´on p_q es verdadera cuando p y q no son simult´aneamente falsas.
9. La proposici´on p _ q es verdadera cuando al menos una de las proposiciones
p ´o q es verdadera.
10. La proposici´on p ^ q es falsa s´olo si p y q son falsas.
11. Existe una proposici´on l´ogica p tal que p^q es siempre verdadera, sin importar
el valor de verdad de q.
12. Basta que p sea falsa, para que la proposici´on p ^ q sea siempre falsa.
13. Si una proposici´on compuesta es tautolog´ıa, sin importar el valor de verdad
de las proposiciones que la constituyen, es verdadera.
14. Dada una proposici´on compuesta p, si existe una asignaci´on de valores de
verdad para las proposiciones que la constituyen que la haga verdadera, entonces
p es una tautolog´ıa.
15. Una tautolog´ıa cualquiera q, es siempre equivalente a la proposici´on p ) p.
16. El valor de verdad de la proposici´on p _ ¯p es siempre el mismo, sin importar
el valor de verdad de p.
17. Existe un valor de verdad para p, tal que la proposici´on p _ ¯p es falsa.
18. El valor de verdad de la proposici´on (p ^ ¯q) _ (p ) q) puede ser falso.
19. La negaci´on de la proposici´on p _ ¯q es ¯p _ q.
20. La negaci´on de la proposici´on p _ ¯q es ¯p ^ q.
21. La negaci´on de la proposici´on p _ q es ¯p _ ¯q.
22. La proposici´on (p _ q) _ r es equivalente a la proposici´on (p _ r) _ (q _ r).
23. La proposici´on (p _ q) _ r siempre tiene el mismo valor de verdad que la
proposici´on (r _ q) _ p.
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24. La proposici´on (p _ q) _ r siempre tiene el mismo valor de verdad que la
proposici´on (p _ r) ^ (q _ r).
25. La proposici´on (p ^ q) _ p es verdadera s´olo cuando q es verdadera.
26. La proposici´on (p ^ q) _ p es verdadera si p es verdadera.
27. Si la proposici´on (p ^ q) _ p es falsa, necesariamente q es falsa.
28. La proposici´on p ) F es siempre falsa.
29. La proposici´on p ) ¯p es siempre falsa.
30. La proposici´on p ) q es siempre verdadera si el valor de verdad de p es falso.
31. Si la proposici´on p ) q es verdadera y p tambi´en lo es, necesariamente q es
verdadera.
32. Si la proposici´on p ) (q ) r) es verdadera y p tambi´en lo es, necesariamente
r es verdadera.
33. Si la proposici´on (p ) q) ) r es falsa y p es verdadera, necesariamente q es
verdadera.
34. La proposici´on p , V tiene siempre el mismo valor de verdad que p.
35. La proposici´on p , F es equivalente a la proposici´on ¯p _ F.
36. La proposici´on (p , q) ) (p ) q) es una tautolog´ıa.
37. Si la proposici´on ((r ) p) ^ (p ) q)) es verdadera, la proposici´on r ) q
tambi´en lo es.
38. La proposici´on ((¯q ) ¯p) ^ (q ) r)) ) (¯r ) ¯p) es una tautolog´ıa.
39. La proposici´on (p ) q) , (¯p ) ¯q) es tautolog´ıa.
40. La negaci´on de la proposici´on p ) q es (p ^ ¯q).
41. La negaci´on de la proposici´on p ) ¯q es ¯p ) q.
42. La proposici´on cuantificada (8x)p(x) es verdadera si p(x) es verdadera para
cualquier elemento por el que se reemplace x.
43. Si la proposici´on (8x)p(x) es verdadera, entonces la proposici´on (9x)p(x) es
tambi´en verdadera.
44. Si q(x) es una funci´on proposicional y x0 es tal que q(x0) es verdadera,
entonces la proposici´on cuantificada (9x)q(x) es verdadera.
45. Es siempre cierto que si la proposici´on (9x)p(x) es verdadera, entonces la
proposici´on (9!x)p(x) es verdadera.
46. Si p(x) es una funci´on proposicional y x0 es tal que p(x0) es falsa, entonces
la proposici´on cuantificada (8x)p(x) es falsa.
47. Si las proposiciones (8x)p(x) y (8x)q(x) son verdaderas, entonces la proposici
´on (8x)(p(x) ^ q(x)) es verdadera.
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48. Si la proposici´on (8x)(p(x) _ q(x)) es verdadera, entonces la proposici´on
(8x)p(x) _ (8x)q(x) es verdadera.
49. Si la proposici´on (8x)p(x) _ (8x)q(x) es verdadera, entonces la proposici´on
(8x)(p(x) _ q(x)) es verdadera.
50. La negaci´on de la proposici´on (9!)p(x) es ((8x)p(x)) _ ((9x)(9y)(x 6= y )
(p(x) _ p(y))).
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Gu´ıa de Ejercicios
1. Demuestre usando tablas de verdad que las siguientes proposiciones vistas en la
tutor´ıa, son tautolog´ıas:
(a) (p _ p) , V .
(b) (p ) q) , (p _ q).
(c) (p _ q) , p ^ q.
(d) ((q _ r) ^ p) , (q ^ p) _ (r ^ p).
2. Escriba las siguientes proposiciones l´ogicas, de manera equivalente, s´olo usando
los conectivos l´ogicos de implicancia ()) y negaci´on (¯):
(a) p _ q
(b) p ^ (q _ r)
(c) ((p ^ q) ) r) , (r ^ q)
(d) (p ^ q) ^ (p _ r)
3. Se define el conectivo l´ogico p|q , p _ q. Escriba usando s´olo el conectivo |,
proposiciones equivalentes a las siguientes:
(a) p
(b) p _ q
(c) p ^ q
(d) p ) q
4. Sean p, q, r proposiciones l´ogicas. Demostrar usando tablas de verdad que las
siguientes proposiciones son tautolog´ıas:
(a) p ) (p _ q)
(b) (p , q) , (p ^ q) _ (p ^ q)
(c) [(p , q) ^ (q , r)] ) (p , r)
(d) (p , q) , (p , q)
(e) [p ^ q ) p] ) (p ) q)
5. Sean p, q, r proposiciones l´ogicas. Demostrar sin usar tablas de verdad que las
siguientes proposiciones son tautolog´ıas:
(a) [(p ) q) ^ (r _ q) ^ r] ) p
(b) [p ^ (p ) q)] ) q
(c) [(p ^ q) ) p] ) (p ) q)
(d) (p ^ q ) r) , (p ^ r ) q)
(e) (p ^ q) , [(p _ q) ^ (p , q)]
6. En cada caso, con la informaci´on entregada, determine el valor de verdad de la
proposici´on r:
(a) r ) q es falsa.
(b) q ) r es falsa.
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(c) p ) (q _ r) es falsa.
(d) r , q es verdadera y (p ^ q) ) s es falsa
(e) (r ) p) ) (p ^ q) es verdadera y q es verdadera.
7. Sean p(x), q(x) funciones proposicionales. Determinar la negaci´on de las siguientes
proposiciones cuantificadas:
(a) (9x)(8y)(p(x) ^ q(y))
(b) (8x)(8y)(p(x) ) q(y))
(c) (9!x)p(x)
(d) (8x)[q(x) ) (9y)p(y)]
(e) (9x)(9y)(p(x) , q(y))
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Gu´ıa de Problemas
La presente gu´ıa le permitir´a tener una idea bastante precisa del tipo de problemas
que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´on y el tiempo promedio que
deber´ıa demorar en resolverlos. En total deber´ıa poder resolverla en 3 horas. Le
recomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,
que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una hora
a escribir con detalles las soluciones.
P1. Sean p, q, r proposiciones. Probar sin usar tablas de verdad que la proposici´on
presentada en cada item es una tautolog´ıa. Trate de aprovechar la forma que
tiene cada proposici´on, usualmente el hecho de que sea una implicancia.
(a) (20 min.) (p _ q , p ^ r) ) ((q ) p) ^ (p ) r)).
(b) (20 min.) (p ) q) ^ (r ) q) ) (p ) r).
(c) (20 min.) (p ) q) ) [(q ^ r) ) (p ^ r)].
(d) (20 min.) [(p ) q) ^ (r _ q) ^ r] ) p.
P2. En esta parte, dada una hip´otesis (una proposici´on que se sabe es verdadera),
deber´a estudiar el valor de verdad de otra proposici´on.
(a) (20 min.) Sean p, q, r proposiciones. Averiguar si la equivalencia p _ (q ^ r) , (p _ r) ^ q puede ser verdadera sin que lo sea la implicancia p ) q.
Es decir, use la informaci´on de la hip´otesis para sacar conclusiones de los
valores de verdad de las proposiciones involucradas.
(b) (25 min.) Determine el valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s si
se sabe que la siguiente proposici´on es verdadera.
[s ) (r _ r)] ) [(p ) q) ^ s ^ r].
(c) (25 min.) Sean p, q, r, s proposiciones que satisfacen que la siguiente proposici
´on es verdadera:
(q es verdadera) ^ [(p ^ q) no es equivalente con (r , s)].
Demuestre que el valor de verdad de la proposici´on:
[(p ^ r) _ (q ) s)] ) [p _ (r ^ s)]
es verdadero para todas las combinaciones de valores veritativos que cumplen
la hip´otesis.
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P3. Sean las proposiciones r y s siguientes:
r : (8x)(p(x) ) q)
s : ((8x)p(x)) ) q
Piense en qu´e dice cada una en t´erminos intuitivos y cu´al es la diferencia entre
ambas.
(a) (10 min.) Niegue ambas proposiciones, r y s.
(b) (20 min.) De las dos implicancias, (r ) s) y (s ) r) determine la que
corresponde a una tautolog´ıa. Justifique su elecci´on.
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Conjuntos
2.1. Introducci´on
La teor´ıa de conjuntos gira en torno a la funci´on proposicional x 2 A. Los valores
que hacen verdadera la funci´on proposicional x 2 A son aquellos elementos que
forman el conjunto A.
La funci´on proposicional “x 2 A” se lee ”x pertenece a A”. Su negaci´on, que se
denota x /2 A, se lee “x no pertenece a A”.
Ejemplo:
Si queremos que el conjunto A sea el de los n´umeros primos menores que 10
entonces tendr´ıamos que definirlo formalmente as´ı:
(8x)[(x 2 A) () (x = 2 _ x = 3 _ x = 5 _ x = 7)].
Los conjuntos finitos son f´aciles de definir. De hecho, acabamos de mostrar c´omo
se define el conjunto que se se denota por extensi´on A = {2, 3, 5, 7}.
La axiom´atica de la teor´ıa de conjuntos (que aqu´ı no se estudiar´a) permite asumir
la existencia de un conjunto infinito muy importante: el de los naturales N=
{0, 1, 2, 3, . . .}.
Algunos ejemplos de conjuntos
En matem´aticas se construyen nuevos conjuntos a partir de conjuntos ya conocidos.
Supongamos que ya conocemos el conjunto A. Podemos introducir, B = {x 2 A|p(x)}. Lo que en el fondo estamos definiendo es la funci´on proposicional x 2 B
as´ı:
(8x)[(x 2 B) () (x 2 A ^ p(x))]
Por ejemplo, el conjunto de m´ultiplos de 7 es el conjunto {x 2
N
|( x
7 ) 2
N
}.
Otros ejemplos de conjuntos, con los cuales el lector ya debe estar familiarizado:
Ejemplos:
1. Los reales R.
2. Los enteros Z.
3. Los racionales Q= {x 2
R
| (9p)(9q)(p 2
Z
^ q 2
Z
^ q 6= 0 ^ x = p
q )}.
4. Los irracionales Qc = {x 2
R
| x /2
Q
}.
5. Los naturales N= {0, 1, 2, 3, . . . }.
6. Los enteros positivos Z+ = {1, 2, 3, 4, . . .}
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2.2. El conjunto vac´ıo
Definimos ahora el conjunto vac´ıo, el cual notamos , del siguiente modo:
Definici´on 2.1 (Conjunto vac´ıo).
 = {x 2
N
|x 6= x}.
Notar que  no tiene ning´un elemento. Es decir (8x)(x /2 ).
En efecto, sea x arbitrario.
(x 2 ) () ((x 2
N) ^ (x 6= x)) () ((x 2
N) ^ F) () F
2.3. Igualdad e inclusi´on
Sean A y B conjuntos. Definimos la igualdad y la inclusi´on como sigue.
Definici´on 2.2 (Igualdad e inclusi´on).
A = B () (8x)(x 2 A () x 2 B)
A  B () (8x)(x 2 A ) x 2 B)
Una primera propiedad que probaremos es:
Proposici´on 2.1. Sean A y B conjuntos. Se tiene que:
A = B () A  B ^ B  A
Demostraci´on. Vamos a usar la identidad l´ogica ya demostrada anteriormente:
(8x)(p(x) ^ q(x)) () [(8x)p(x)) ^ (8x)p(x)].
A = B () (8x)(x 2 A () x 2 B)
() (8x)[(x 2 A ) x 2 B) ^ (x 2 B ) x 2 A)]
() (8x)(x 2 A ) x 2 B) ^ (8x)(x 2 B ) x 2 A)
() A  B ^ B  A
Otras propiedades importantes:
Proposici´on 2.2. Sean A,B,C conjuntos arbitrarios. Se tiene:
1. A = A
2. A = B () B = A
3. (A = B ^ B = C) ) A = C
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4. A  A
5. (A  B ^ B  A) ) A = B
6. (A  B ^ B  C) ) A  C
7.   A
Demostraci´on. Demostraremos s´olo la propiedad 6.
Hip´otesis:
(a) (8x)(x 2 A ) x 2 B)
(b) (8x)(x 2 B ) x 2 C)
p.d.q: (8x)(x 2 A ) x 2 C)
En efecto: Sea x arbitrario. Asumamos que x 2 A. Por (a) se tiene que x 2 B. Por
(b) se tiene que x 2 C.
2.4. Uni´on de conjuntos
Operando conjuntos conocidos se pueden definir nuevos conjuntos.Sean A y B conjuntos.
La uni´on de A con B, que se denota A[B, es el conjunto que re´une a los elementos
que est´an en A con aquellos que est´an en B. Formalmente:
Definici´on 2.3 (Uni´on).
(8x)[(x 2 A [ B) () (x 2 A _ x 2 B)]
A B
A [ B
Figura 1: Diagrama de Venn, representando la uni´on entre A y B (´area achurada).
Observaci´on: Diagramas de Venn Un Diagrama de Venn, como el presentado en
la diapositiva anterior, es una ilustraci´on que muestra la relaci´on matem´atica o
l´ogica entre conjuntos.
Fueron introducidos por el fil´osofo y matem´atico brit´anico John Venn (1834-1923)
el a˜no 1881.
Los diagramas de Venn cumplen el rol de ayudarnos a desarrollar una intuici´on
frente al concepto de conjunto y a las relaciones entre estos.
Sin embargo no podemos usarlos para demostrar propiedades, ni para sacar conclusiones
generales (que se apliquen a todo conjunto).
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A B
C
Figura 2: Diagrama de Venn para tres conjuntos.
2.5. Intersecci´on de conjuntos
La intersecci´on de A con B, que se denota A \ B, es el conjunto formado por los
elementos que est´an tanto en A como en B. Formalmente:
Definici´on 2.4. Intersecci´on
(8x)[(x 2 A \ B) () (x 2 A ^ x 2 B)]
A A \ B B
Figura 3: Diagrama de Venn, representando la intersecci´on entre A y B (´area achurada).
Una primera propiedad:
Proposici´on 2.3. Sean A,B conjuntos tales que A  B. Entonces A [ B = B y
A \ B = A.
Demostraci´on. Probaremos s´olo la primera.
)
Sea x arbitrario tal que x 2 A [ B. Es decir,
Hip´otesis: x 2 A _ x 2 B.
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p.d.q: x 2 B
En efecto:
Caso 1. x 2 A. Como A  B se tiene que x 2 B.
Caso 2. x /2 A. Por hip´otesis se tiene que tener x 2 B.
)
Sea x arbitrario tal que x 2 B. Obviamente x 2 A [ B.
Proposici´on 2.4. Sean A,B,C conjuntos, se tiene:
1. Conmutatividades
1.1 A [ B = B [ A.
1.2 A \ B = B \ A.
2. Asociatividades
2.1 A [ (B [ C) = (A [ B) [ C.
2.2 A \ (B \ C) = (A \ B) \ C.
3. Distributividades
3.1 A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C).
3.2 A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C).
4. 4.1 A \ B  A  A [ B.
4.2 A \ B  B  A [ B.
Demostraci´on. Notar que las propiedades (1), (2) y (3), son consecuencias directas
de las propiedades an´alogas para ^ y _. Queda como ejercicio realizar dichas
demostraciones.
2.6. Conjunto universo
Asumiremos la existencia de un universo (conjunto referencia) U en el que viven
todos los elementos con los que se va a trabajar. Es decir, U es tal que la proposici´on
a 2 U es siempre verdadera.
Con esto, podemos concluir de lo anterior el siguiente:
Corolario 2.1. Sean A,B conjuntos y sea U el conjunto universo.
1. A [ A = A
2. A \ A = A
3. A [  = A
4. A \  = 
5. A [ U = U
6. A \ U = A
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Demostraci´on. Como A  A se tiene que A [ A = A y que A \ A = A.
Como   A se tiene que  [ A = A y que  \ A = .
Como A  U se tiene que A [ U = U y que A \ U = A.
Observaci´on: El conjunto universo es un conjunto de referencia, es decir habr´a
veces que tomaremos U = R, u otras U = Z, etc.
2.7. Diferencia y complemento
Supongamos que tenemos un conjunto de referencia U (conjunto universo). Queremos
definir el complemento de un conjunto A, que notaremos Ac, como aquel
formado por todos los elementos que no est´an en A. Formalmente:
Definici´on 2.5 (Conjunto complemento).
(8x)(x 2 Ac () x 2 U ^ x /2 A)
O sea, (8x)(x 2 Ac () x /2 A).
A B
Ac U
Figura 4: Diagrama de Venn, representando el complemento de A (´area achurada).
Ejemplo:
Si vivi´esemos en el mundo de los n´umeros enteros Z(conjunto universo) entonces
consideremos A = {x 2
Z
| x es par}.
Obviamente Ac = {x 2
| x es impar}.
Definimos adem´as la diferencia entre A y B, que notamos A \ B, como el conjunto
formado por los elementos que est´an en A y que no est´an en B. Formalmente:
Definici´on 2.6 (Diferencia).
A \ B = A \ Bc.
Algunas propiedades:
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A B
A \ B
U
Figura 5: Diagrama de Venn, representando la diferencia entre A y B (´area achurada).
Proposici´on 2.5. Sean A y B conjuntos.
1. Leyes de De Morgan
1.1. (A [ B)c = Ac \ Bc
1.2. (A \ B)c = Ac [ Bc
2. (A  B) () (Bc  Ac)
3. (Ac)c = A
4. A [ Ac = U
5. A \ Ac = 
Demostraci´on. Demostraremos la primera. Sea x arbitrario.
x 2 (A [ B)c () x 2 (A [ B)
() (x 2 A) _ (x 2 B)
() (x 2 A) ^ (x 2 B)
() (x 2 Ac) ^ (x 2 Bc)
() x 2 (Ac \ Bc)
2.8. Diferencia sim´etrica
Un elemento x se dice que pertenece a la diferencia sim´etrica entre A y B, que se
denota AB, si y solamente si x est´a en A pero no en B, o bien en B pero no en
A.
Formalmente:
Definici´on 2.7. Diferencia sim´etrica
AB = (A \ B) [ (B \ A)
Obviamente, algunas propiedades:
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A B
AB U
Figura 6: Diagrama de Venn, representando la diferencia sim´etrica entre A y B
(´area achurada).
Proposici´on 2.6. Sean A,B,C conjuntos.
1. AB = (A [ B) \ (A \ B)
2. AB = BA
3. (AB)C = A(BC)
4. AA = 
5. A = A
6. (A \ (BC)) = (A \ B)(A \ C)
Demostraci´on. Demostraremos la primera.
AB = (A \ B) [ (B \ A)
= (A \ Bc) [ (B \ Ac)
= [(A \ Bc) [ B] \ [(A \ Bc) [ Ac]
= [(A [ B) \ (Bc [ B)] \ [(A [ Ac) \ (Bc [ Ac)]
= [(A [ B) \ U] \ [U \ (Bc [ Ac)]
= (A [ B) \ (Bc [ Ac)
= (A [ B) \ (B \ A)c
= (A [ B) \ (A \ B).
2.9. Conjunto potencia
Sea A un conjunto. Llamamos conjunto potencia de A, y notamos P(A), al conjunto
de todos los subconjuntos de A. P(A) tambi´en se conoce como el “conjunto de las
partes de A”. Formalmente:
Definici´on 2.8 (Conjunto potencia).
(8X)(X 2 P(A) () X  A)
Note que siempre  2 P(A) y A 2 P(A).
Veamos dos ejemplos.
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Ejemplo:
Suponga que A = {1, 2, 3}. En P(A) est´an todos los subconjuntos de A. O sea,
P(A) = {, {1}, {2}{3}, {1, 2}{1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Suponga ahora que A = . ¿Cu´ales son los subconjuntos de ?
Solamente el mismo . Luego P() = {}. Note que  6= {} pues el primer
conjunto no tiene ning´un elemento mientras que el segundo tiene un elemento.
En efecto:  2 {}.
Calculemos ahora P(P()) = P({}).
Obviamente, un conjunto de un solo elemento tiene solamente como subconjuntos
los triviales: al vac´ıo y a ´el mismo. O sea P({}) = {, {}}. El lector debe ser
capaz ahora de calcular P(P(P())). Note que este proceso puede no detenerse
nunca. ¡Y lo que estamos generando es una infinidad de conjuntos!
Ejemplo importante: Transitividad
A continuaci´on veremos otra t´ecnica de demostraci´on. Supongamos que queremos
demostrar que p ) r. Lo que hacemos es demostrarlo por pasos.
Primero demostramos p ) q1. Despu´es q1 ) q2. Despu´es q2 ) q3. Seguimos as´ı
hasta que finalmente demostremos qn ) r.
Podemos concluir que p ) r usando impl´ıcitamente la Tautolog´ıa 2
[(p ) q) ^ (q ) r)] ) (p ) r)
Apliquemos esta t´ecnica para demostrar que para A,B,C conjuntos cualesquiera
se tiene:
(AB = AC) ) B = C
En efecto,
AB = AC ) A(AB) = A(AC)
) (AA)B = (AA)C
) B = C
) B = C. 
2.10. Pares Ordenados
Notemos que los conjuntos {a, b} y {b, a} son id´enticos. En efecto, ambos contienen
a los mismos elementos. Quisi´eramos introducir un objeto que distinga el orden de
los elementos.
La soluci´on no es muy dif´ıcil. Basta con definir los pares ordenados as´ı: (a, b) =
{{a}, {a, b}}. La propiedad fundamental de los pares ordenados es la siguiente.
Proposici´on 2.7. Para todo a, b, x, y se tiene:
(a, b) = (x, y) () a = x ^ b = y
Demostraci´on. () Directo.
))
Demostremos primero que a = x.
En efecto, como {{a}, {a, b}} = {{x}, {x, y}} se tiene que {a} 2 {{x}, {x, y}}.
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Caso 1: {a} = {x}. Se concluye.
Caso 2: {a} 6= {x}. O sea {a} = {x, y}. En este caso se tiene que tener a = x = y.
Demostremos ahora que b = y.
En efecto, como ya sabemos que a = x la hip´otesis nos dice que {{a}, {a, b}} =
{{a}, {a, y}}.
Caso 1: Si a = b, luego {a} = {a, y}, de donde y = a = b .
Caso 2: Si a 6= b, se tendr´a que {a, b} = {a, y}. Luego b 2 {a, y}.
Pero como a 6= b, luego b = y.
2.11. Producto cartesiano
Sean A,B conjuntos. Se define el producto cartesiano de A con B, que se denota
A × B, del siguiente modo:
Definici´on 2.9 (Producto cartesiano).
(8x, y) [(x, y) 2 A × B () x 2 A ^ y 2 B]
Ejemplo:
Sean A = {1, 2, 3} y B = {3, 6}. Se tiene que
A × B = {(1, 3), (1, 6), (2, 3), (2, 6), (3, 3), (3, 6)}
Algunas propiedades del producto cartesiano:
Proposici´on 2.8. Sean A,A0,B,B0,C,D conjuntos.
1. A0  A ^ B0  B ) A0 × B0  A × B
2. (A × B) \ (C × D) = (A \ C) × (B \ D)
Demostraci´on. Demostraremos s´olo la primera. Sea (x, y) 2 A0 × B0. Por definici
´on x 2 A0 y tambi´en y 2 B0.
Como A0  A y B0  B se tiene que x 2 A y adem´as y 2 B. O sea (x, y) 2 A × B.
Ejemplo importante: Reducci´on al absurdo
Veremos otra t´ecnica de demostraci´on m´as. Supongamos que queremos demostrar
que la proposici´on r es verdadera. Lo que se hace es asumir que r
es falsa y llegar a una contradicci´on. ¡¡En otras palabras, lo que se prueba
es que en el mundo en que vivimos r no puede ser verdadera!!
Si r es una implicancia del tipo p ) q entonces, en una demostraci´on por el
absurdo, lo que tendr´ıamos que asumir (para llegar a una contradicci´on) es p ) q.
O sea, p ^ q.
Notemos que estamos usando la Tautolog´ıa 4: p ) q () p ^ q.
Veamos, a modo de ejemplo, la siguiente propiedad.
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Ejemplo:
Proposici´on 2.9. Sean A y B conjuntos. Se tiene que:
A = B () A × B = B × A
Demostraci´on. )) Directa.
() Reducci´on al absurdo.
Supongamos que A × B = B × A y que al mismo tiempo A 6= B. Como A 6= B
podemos asumir, sin p´erdida de generalidad, la existencia de un x 2 A tal que
x /2 B (si esto no ocurriese tendr´ıa que existir un x 2 B tal que x /2 A y la
situaci´on ser´ıa sim´etrica).
Sea y 2 B. Se tiene luego que (x, y) 2 A×B pero (x, y) /2 B×A. Esto contradice
el hecho de que A × B = B × A.
2.12. Cuantificando sobre conjuntos
Dado un conjunto A y una funci´on proposicional p(x), podemos escribir cuantificadores
en los que s´olo nos interese ver lo que ocurre a los elementos de A. Tenemos
as´ı las proposiciones:
Definici´on 2.10 (Proposiciones cuantificadas sobre conjuntos). 1. (8x 2 A)p(x), que significa que p(x) deber ser cierto para todos los elementos del
conjunto A. Notar que esta proposici´on es equivalente a (8x)(x 2 A ) p(x)).
2. (9x 2 A)p(x), que significa que hay al menos un elemento x de A que hace
cierto p(x). Notar que esto equivale a (9x)(x 2 A ^ p(x)).
3. (9!x 2 A)p(x), que significa que hay exactamente un elemento de x de A que
hace verdadero p(x).
Aqu´ı hay dos ideas simult´aneas: Existe al menos un x 2 A que satisface p(x)
(existencia), y que es exactamente uno (unicidad). Claramente esto equivale
a (9!x)(x 2 A ^ p(x)).
El lector puede f´acilmente verificar que estos cuantificadores se niegan de la manera
usual:
Proposici´on 2.10. (8x 2 A)p(x) () (9x 2 A)p(x).
(9x 2 A)p(x) () (8x 2 A)p(x).
(9!x 2 A)p(x) () [((8x 2 A)p(x)) _ ((9x, y 2 A)(p(x) ^ p(y) ^ x 6= y))].
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Gu´ıa B´asica
Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:
1. Una definici´on formal del conjunto A = {1, 2, 3} es (8x)[(x 2 A) , (x =
1 _ x = 2 _ x = 3)].
2. Una definici´on formal del conjunto A = {1, 2, 3} es (8x)[(x 2 A) , (x =
1 ^ x = 2 ^ x = 3)].
3. Dado el conjunto B = {x 2 A|p(x)}, la proposici´on x 2 B est´a definida por
(8x)[(x 2 B) , (x 2 A _ p(x))].
4. Dado el conjunto B = {x 2 A|p(x)}, la proposici´on x 2 B est´a definida por
(8x)[(x 2 B) , (x 2 A ^ p(x))].
5. Dado el conjunto B = {x 2 A|p(x)}, la proposici´on x 2 B est´a definida por
(8x)[(x 2 B) , (x 2 A ) p(x))].
6. Dado un conjunto A 6= N, se tiene que  = {x 2
N
|x 6= x} 6= {x 2 A|x 6= x}.
7. Dado un conjunto A, es cierto que  = {x 2 A|x 6= x}.
8. La siguiente proposici´on l´ogica es falsa: (9!x)(x 2 ).
9. La siguiente proposici´on l´ogica es verdadera: (8x)(x /2 ).
10. La siguiente proposici´on l´ogica es falsa: (9x)(x /2 ).
11. Dos conjuntos A y B, son iguales si (9x)(x 2 A , x 2 B)
12. Dos conjuntos A y B, son iguales si (8x)(x 2 A , x 2 B)
13. Dos conjuntos A y B, son iguales si (8x)(x 2 A ^ x 2 B)
14. Un conjunto A est´a incluido en un conjunto B si (8x)(x 2 B ) x 2 A).
15. Un conjunto A est´a incluido en un conjunto B si (8x)(x /2 B ) x /2 A).
16. Un conjunto A est´a incluido en un conjunto B si (8x)(x 2 A ) x 2 B).
17. Dados A,B conjuntos, si A  B y B  A, no necesariamente se tiene que
A = B.
18. Dados A,B conjuntos se tiene que A = B , (A  B ^ B  A).
19. Dados A,B conjuntos, se tiene que A = B , (A  B _ B  A).
20. Dados A,B,C conjuntos, si A  B y B  C, entonces B = A ´o B = C.
21. Dados A,B,C conjuntos, si A  B y B  C, entonces B = A = C.
22. Dados A,B,C conjuntos, si A  B y B  C, entonces A  C.
23. Para cualquier conjunto A, se tiene que   A.
24. Dado un conjunto A, se tiene que {}  A.
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25. Dado A 6=  conjunto, la proposici´on (9x)(x 2  ) x 2 A) es verdadera.
26. La uni´on entre los conjuntos A y B, se define formalmente como:
(8x)[(x 2 A [ B) , (x 2 A ^ x 2 B)].
27. La uni´on entre los conjuntos A y B, se define formalmente como:
(8x)[(x 2 A [ B) , (x 2 A _ x 2 B)].
28. Dados A y B conjuntos, un elemento x que satisface (x /2 A) ^ (x 2 B),
pertenece a A [ B.
29. Para que A [ B = A, el conjunto B debe ser vac´ıo.
30. La intersecci´on entre los conjuntos A y B, se define formalmente como:
(8x)[(x 2 A \ B) , (x 2 A ^ x 2 B)].
31. La intersecci´on entre los conjuntos A y B, se define formalmente como:
(8x)[(x 2 A \ B) , (x 2 A _ x 2 B)].
32. Sean A,B conjuntos. Como A\B  A, basta que un elemento x pertenezca
a A, para que x 2 A \ B sea verdadera.
33. El conjunto universo U se define de manera que la proposici´on x 2 U es
siempre veradera para los elementos de inter´es.
34. Dado un universo U y un conjunto A  U, luego Ac = U \ A.
35. Dado un conjunto A, se tiene que A \ U = A.
36. Dado un conjunto A, se tiene que A \ Ac = U.
37. Para cualquier par de conjuntos A y B, se tiene que Ac [ Bc = U.
38. Si dos conjuntos A y B satisfacen que A  B luego Ac  Bc.
39. Existen conjuntos A y B para los cuales A  Bc ^ Ac  B.
40. Si dos conjuntos A y B satisfacen que A  B luego Bc  Ac.
41. El complemento del conjunto A [ Bc es Ac \ B.
42. El complemento del conjunto A [ Bc es Bc \ Ac.
43. El complemento del conjunto A \ Bc es B [ Ac.
44. Dados A,B conjuntos, se tiene que AB = (A [ B) \ (A \ B).
45. Dados A,B conjuntos, se tiene que AB  A.
46. Dados A,B conjuntos, se tiene que AB = (A [ B) \ (A \ B) = AcBc.
47. Dado un conjunto A, siempre es cierto que A 2 P(A).
48. Dados A,B conjuntos, se tiene P(A \ B)  P(A) \ P(B).
49. Se tiene que P() = P({}).
50. Se tiene que P() = {}.
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51. Si A0  A y B0  B, entonces A0 × A  B0 × B.
52. Si A0  A y B0  B, entonces A0 × B0  A × B.
53. Si A y B son conjuntos tales que A × B = B × A, entonces necesariamente
A = B.
54. La negaci´on de la proposici´on l´ogica (8x 2 A)p(x) es (9x 2 A)p(x).
55. La negaci´on de la proposici´on l´ogica (8x 2 A)p(x) es (9x 2 Ac)p(x).
56. La negaci´on de la proposici´on l´ogica (9x 2 A)p(x) es (8x 2 Ac)p(x).
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Gu´ıa de Ejercicios
1. Demuestre las siguientes propiedades dejadas como ejercicio en las tutor´ıas:
(a) (A \ B)c = Ac [ Bc
(b) (A  B) , (Bc  Ac)
(c) (Ac)c = A
(d) (AB)C = A(BC)
(e) A = A
(f) A \ (BC) = (A \ B)(A \ C)
2. Sean A,B,C  U conjuntos. Emplear los teoremas del ´algebra de conjuntos
para probar las siguientes igualdades:
(a) (A \ C) [ (B \ C) = (A [ B) \ C
(b) (A \ B) \ (A \ C) = A \ (B [ C)
(c) (A \ C) \ (B \ C) = (A \ B) \ C
(d) [A \ (B \ A)] [ [(B \ A) \ A] = A [ B
(e) (A \ B) \ (A \ C) = (A \ B) \ (Ac [ C)
3. Sean A,B,C  U conjuntos. Emplear los teoremas del ´algebra de conjuntos
para probar las siguientes proposiciones:
(a) A  B  C ) C \ (B \ A) = A [ (C \ B).
(b) B = (A \ Bc) [ (Ac \ B) , A = 
(c) A  B , P(A)  P(B)
(d) (A [ B = A \ B) ) (B  A ^ A  C)
(e) (A \ C = ) ) (A \ B) \ C = A \ (B \ C)
4. Dado el conjunto A = {a, b}, determine los siguentes conjuntos (justifique su
respuesta, indicando c´omo esta depende de qu´e son a y b):
(a) P(A)
(b) P(P(A))
(c) A \ P(A)
(d) P(A) \ P()
(e) (A × A) \ P(P(A))
Hint: Recuerde la definici´on de par ordenado dada en las tutor´ıas.
5. Sean A,B  U conjuntos. Colocar el signo de inclusi´on, igualdad o ninguno de
ellos, seg´un corresponda entre los conjuntos siguientes (justifique su respuesta):
(a) A \ B B
(b) Ac B \ A
(c) P(A [ B) P(A) [ P(B)
(d) P(A \ B) P(A) \ P(B)
(e) P(U \ A) P(U) \ P(A)
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6. Negar las siguientes proposiciones l´ogicas:
(a) (9x 2
R)(8y 2
R) x < y (b) (8x 2 R)(8y 2 R) x  y (c) (9x 2 R)(8y 2 R)(x > 1 ^ y  1)
(d) (8″ 2
R+)(9n0 2
N)(8n > n0)|an| < " 7. Dar ejemplos de conjuntos A,B,C tales que: (a) A × B 6= B × A (b) A × (B × C) 6= (A × B) × C (c) A [ (B × C) 6= (A [ B) × (A [ C) (d) (A × B)c 6= Ac × Bc (Considere un universo apropiado) (e) (A 6= B) ^ (A × C = B × C) www.Matematica1.com Gu´ıa de Problemas La presente gu´ıa le permitir´a tener una idea bastante precisa del tipo de problemas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´on y el tiempo promedio que deber´ıa demorar en resolverlos. En total deber´ıa poder resolverla en 3 horas. Le recomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido, que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una hora a escribir con detalles las soluciones. P1. Sean A,B,C,D conjuntos. Emplear los teoremas del ´algebra de conjuntos para probar que (a) (1) (10 min.) (B \ A)  C , Cc  (Bc [ A). (2) (30 min.) (B \ A)  C ) (D \ C)  (D \ B) [ A. Hint: Use lo anterior. (b) (20 min.) A [ B = A \ C , B  A ^ A  C. P2. (35 min.) Sean A,B subconjuntos de un mismo universo U. Denotamos C = (A [ B)c. Probar que (AB)C = A [ B [ C , A \ B = . P3. (20 min.) Sea U un conjunto no vac´ıo y A  U. Pruebe que si (8X, Y 2 P(U))(A [ X = A [ Y ) X = Y ), entonces A = . P4. (a) (20 min.) Sean A,B subconjuntos de un mismo universo U. Probar que A \ B =  , P(A) \ P(B) = {}. (b) (40 min.) Sea ~ la ley de operaci´on entre conjuntos definida por A~B = Ac \ Bc. Considere un universo U y F  P(U) un conjunto no vac´ıo tal que 8A,B 2 F, A ~ B 2 F. Si A,B 2 F demuestre que: (1) Ac 2 F (2) A \ B 2 F (3) A [ B 2 F (4) AB 2 F (5)  2 F ^ U 2 F. www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Funciones 3.1. Introducci´on Ya que conocemos el producto cartesiano A × B entre dos conjuntos A y B, podemos definir entre ellos alg´un tipo de correspondencia. Es decir, asociar de alg´un modo elementos de A con elementos de B. Una de las posibles formas de hacer esto es mediante una funci´on. Formalmente: Definici´on 3.1 (Funci´on). Llamaremos funci´on de A en B a cualquier f  A×B tal que (8a 2 A)(9!b 2 B) (a, b) 2 f Usaremos la notaci´on f : A ! B si es que f es una funci´on de A en B. Podemos entender una funci´on como una regla de asociaci´on que, dado un elemento cualquiera de A, le asigna un ´unico elemento de B. Gracias a esto, si f es funci´on y (a, b) 2 f, entonces podemos usar la notaci´on b = f(a). O sea, llamamos f(a) al (´unico) elemento b 2 B tal que (a, b) 2 f. Ejemplo: Consideremos f = {(n, p) 2 N × N |p = 2n}. Esta f resulta ser una funci´on de N en N, pues el ´unico valor que estamos asociando a cada natural n es el natural p = 2n. Desde ahora, pensaremos en las funciones simplemente como reglas de asociaci´on entre dos conjuntos. As´ı, la funci´on f que definimos en el p´arrafo anterior podemos describirla como “f : N ! Nes la funci´on dada por f(n) = 2n para cada n 2 N” 3.2. Ejemplos de funciones Veamos otras funciones: Ejemplos: 1. Sea f : R ! Rdada por f(x) = x2 para cada x 2 R. f es una funci´on, pues a cada x 2 Rle asociamos el n´umero real x2 = x·x. Este valor es ´unico pues la multiplicaci´on de x por s´ı mismo posee un solo resultado. 2. Sea g : R ! Rdada por g(x) = p, donde p es el mayor n´umero entero tal que p  x. Aunque a´un no tenemos las herramientas para demostrar que g es efectivamente una funci´on, intuitivamente sabemos que lo es: a cada n´umero real x le asociamos el n´umero entero m´as cercano que tenga, que sea menor o igual que ´el. Por ejemplo g(11/2) = 5; g(3) = 3 y g(−3/2) = −2. www.Matematica1.com 3. Un ejemplo importante, que utilizaremos despu´es, es la llamada funci´on identidad de un conjunto A. ´Esta es la funci´on idA : A ! A, que se define por idA(x) = x para cada x 2 A. 4. Cuando tenemos conjuntos A y B que tienen pocos elementos, podemos definir una funci´on f : A ! B mediante un diagrama de flechas, como en el ejemplo de la figura. Aqu´ı, lo importante para que f sea efectivamente una funci´on, es que desde cada elemento de A debe partir una ´unica flecha hacia alg´un elemento de B. Figura 7: Una funci´on definida mediante diagrama de flechas. 5. En una tienda, cada producto tiene asociado un ´unico precio. As´ı, podemos definir la funci´on v : X ! N, donde denotamos por X el conjunto de productos que la tienda dispone, y v(x) es el precio en pesos del producto x. Tambi´en podemos considerar la funci´on s : X ! N, donde s(x) es la cantidad de unidades disponibles (el stock) del producto x. A pesar de que conocemos la definici´on de qu´e significa ser funci´on, hay que tener un m´ınimo de cuidado. Hay objetos que parecen funciones, pero no lo son. Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo: Considere el conjunto de puntos f = {(x, y) 2 R × R: x2 + y2 = 1}. Hay dos razones que impiden que f constituya una funci´on de en R: El valor f(x) no est´a definido para todos los n´umeros reales x. A modo de ejemplo, f(2) debiera ser el n´umero real y que cumple que 22+y2 = 1, pero esto equivale a decir que y2 = −3, lo cual es falso para cualquier y 2 R. Por lo tanto, f no est´a asociando ning´un n´umero real al real x = 2. De la misma forma, se puede demostrar que f(x) no est´a definido para cualquier x 2 Rque cumpla x < −1 _ x > 1.
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Ejemplo:
Lo m´as grave, sin embargo, es que existen n´umeros reales x a los cuales
f les est´a asociando m´as de un valor y: en efecto, basta notar que para
x = 3
5 , hay dos valores de y 2
Rque cumplen x2+y2 = 1: ´estos son y1 = 4
5
e y2 = −4
5 .
De la misma forma, se demuestra que f est´a asociando dos valores distintos
a todos los reales x que cumplen −1 < x < 1. Figura 8: Este diagrama no define una funci´on. 3.3. Igualdad de funciones Supongamos que f : A ! B es una funci´on. Al conjunto A le llamaremos dominio de f, o conjunto de partida de f, y lo denotaremos Dom(f). De igual modo, al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada de f, y lo denotaremos Rec(f). Sean f, g : A ! B dos funciones. Una forma de definir igualdad entre funciones es comparar los resultados que ellas dan cuando se les entrega cada uno de los elementos de A. Es decir, definir f = g () (8a 2 A)f(a) = g(a) ¿Qu´e definici´on de igualdad podemos usar cuando f : A ! B y g : C ! D? Notemos que nuestra definici´on anterior s´olo tiene sentido cuando A = C, es decir cuando Dom(f) = Dom(g). ¿Tendr´a sentido preguntarse si son iguales dos funciones que no parten del mismo conjunto? O sea, no s´olo la definici´on de los valores de la funci´on es relevante para que haya igualdad, sino que tambi´en importa cu´ales son los dominios y los conjuntos de llegada de las dos funciones. As´ı, nuestra definici´on de igualdad para cualquier par de funciones ser´a la siguiente: www.Matematica1.com Definici´on 3.2 (Igualdad de funciones). Si f : A ! B y g : C ! D son funciones, entonces f = g () 2 66664 Dom(f) = Dom(g) ^ Rec(f) = Rec(g) ^ (8x 2 Dom(f))f(x) = g(x) 3 77775 Ejemplo: [¿son iguales estas funciones?] Consideremos la funciones f y g dadas por f(x) = (x − 1)(x + 2) (x − 1) g(x) = (x + 2) Aunque a primera vista ambas funciones nos parecen iguales, esto no es as´ı. Primero debemos notar que nuestra definici´on de f y g no ha sido todo lo rigurosa que debiera. ¿Cu´ales son el dominio y el conjunto de llegada de f y g? g es una funci´on que est´a bien definida para cualquier elemento de R, por lo que podemos considerar Dom(g) = R. Asimismo, tenemos que Rec(g) = . Para f, sin embargo, observamos que el valor f(x) no est´a bien definido para x = 1: en efecto, no se puede dividir por cero. En ese caso, vemos que Rno puede ser el dominio de f. S´ı podr´ıa serlo R \ {1}. Para el conjunto de llegada el an´alisis puede ser m´as sencillo, y consideraremos Rec(f) = Rtambi´en (como ejercicio para el lector, puede mostrar que tambi´en se puede considerar Rec(f) = R \ {3}). Hemos concluido que Dom(f) 6= Dom(g), as´ı que ambas funciones ya no pueden ser iguales. Si nos empe˜namos en querer compararlas, podemos hacer lo siguiente: ver a g como si fuera una funci´on solamente definida de R \ {1} en R. Es decir, nos olvidamos que g tambi´en puede ser evaluada en x = 1. En tal caso, Dom(f) = R \ {1} = Dom(g), y adem´as Rec(f) = R = Rec(g). As´ı, s´olo falta ver que las evaluaciones de f y g coinciden. Sea x 2 \ {1}: f(x) = (x − 1)(x + 2) (x − 1) = (x + 2) = g(x) Esta vez s´ı podemos realizar la simplificaci´on del factor (x − 1) porque estamos suponiendo que x 6= 1. As´ı, en este contexto, las funciones f y g son iguales. 3.4. Funciones y resoluci´on de ecuaciones Consideremos el siguiente problema: Dada una funci´on f : A ! B, y un elemento y 2 B, queremos encontrar un x 2 A tal que y = f(x). Tomemos el ejemplo de la funci´on q : R ! R, q(x) = x2. Notemos que: Si y < 0, entonces no existe x 2 Rtal que y = x2. Si y = 0, entonces hay una ´unica soluci´on: x = 0. Si y > 0, entonces hay dos soluciones: x1 = py y x2 = −py.
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Este ejemplo nos basta para darnos cuenta de que no siempre el problema que nos
planteamos tiene soluci´on, y en caso de tenerla, puede tener m´as de una.
En lo siguiente revisaremos propiedades que nos ayudar´an a conocer cu´ando este
problema que nos planteamos, para una funci´on f : A ! B dada, posee soluciones
para cualquier y 2 B, y si estas soluciones son ´unicas.
3.5. Inyectividad
Una primera definici´on importante:
Definici´on 3.3 (Inyectividad). Sea f : A ! B una funci´on. Diremos que f es
inyectiva si se cumple que
(8×1, x2 2 A) [x1 6= x2 ) f(x1) 6= f(x2)]
O, equivalentemente, si se cumple que
(8×1, x2 2 A) [f(x1) = f(x2) ) x1 = x2]
Ejemplos:
Observemos que, entonces, la funci´on q(x) = x2, definida de Ren R, no
es inyectiva pues, tomando x1 = −1 y x2 = 1, se tiene que
x1 6= x2 ^ f(x1) = f(x2)
Un ejemplo de funci´on que s´ı es inyectiva es el de la funci´on l : R
!
R
dada por l(x) = ax + b con a 6= 0:
Supongamos que existen un par de elementos x1, x2 2
Rtales que
l(x1) = l(x2)
Podemos, entonces, despejar del modo siguiente:
ax1 + b = ax2 + b
ax1 = ax2
x1 = x2
El ´ultimo paso lo obtenemos dividiendo por a, lo cual es v´alido pues
sabemos que a 6= 0. O sea, probamos que
(8×1, x2 2
R) l(x1) = l(x2) ) x1 = x2
es decir, que l es inyectiva.
3.6. Sobreyectividad
Definici´on 3.4 (Sobreyectividad). Sea f : A ! B una funci´on. Diremos que f
es sobreyectiva si se cumple que
(8y 2 B)(9x 2 A) y = f(x)
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Algunos ejemplos:
Ejemplos:
La funci´on q(x) = x2, definida de Ren R, no es sobreyectiva pues para el
real y = −1 no existe ning´un real x tal que −1 = x2.
Observemos, tambi´en, que la funci´on l : R
!
Rque hab´ıamos definido
anteriormente s´ı es sobreyectiva.
Sea y 2
Rarbitrario. Buscamos un x 2
Rde modo que y = l(x).
Si elegimos el real x = y−b
a (recordemos que a 6= 0), entonces l(x) = y.
Como el razonamiento que hicimos es v´alido para cualquier y 2
R, hemos
demostrado que l es sobreyectiva.
3.7. Biyectividad
Definici´on 3.5 (Biyectividad). Sea f : A ! B una funci´on. Diremos que f es
biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Concluimos, entonces, que la funci´on q(x) = x2, definida de Ren R, no es biyectiva.
Por el contrario, la funci´on l(x) = ax + b, definida de Ren , s´ı es biyectiva.
Proposici´on 3.1. Una funci´on f : A ! B es biyectiva si y s´olo si
(8y 2 B)(9!x 2 A) y = f(x)
Demostraci´on. Observemos que la sobreyectividad de f equivale a la existencia
de un x 2 A tal que y = f(x) para cualquier y 2 B.
Adem´as, la unicidad del tal x equivale a la inyectividad de f.
3.8. Funci´on Inversa
Dada una funci´on f : A ! B, nos gustar´ıa encontrar una funci´on g : B ! A
correspondiente al “camino inverso” de f.
Es decir g(y) = x cada vez que f(x) = y. Es f´acil observar que debi´eramos al menos
pedir que f sea biyectiva para que una tal funci´on g exista.
Como vemos en la figura (3.8), si f no fuera biyectiva, habr´ıa elementos de B a los
cu´ales no sabr´ıamos asociarle un elemento de A.
Recordando que una funci´on de A en B es en realidad un subconjunto de A × B,
podemos construir un ‘candidato´a funci´on g del siguiente modo:
Los elementos de g  B × A ser´an todos los pares ordenados (b, a) 2 B×A tales que (a, b) 2 f, es decir todos los pares ordenados (b, a) tales
que b = f(a).
Ya vimos que esta construcci´on no siempre hace que g sea funci´on. Sin embargo,
tenemos la siguiente propiedad:
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Figura 9: Dificultades para definir la inversa de una funci´on no biyectiva.
Proposici´on 3.2.
f es biyectiva () g es funci´on
Demostraci´on.
f es biyectiva () (8y 2 B)(9!x 2 A) f(x) = y
() (8y 2 B)(9!x 2 A) (y, x) 2 g
() g es funci´on
A la funci´on g que construimos de esta manera le llamaremos…
Definici´on 3.6 (Funci´on inversa). Dada f biyectiva, se define la funci´on inversa
de f, denotada f−1 por:
(8x 2 A)(8y 2 B) f(x) = y () f−1(y) = x
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Para una funci´on biyectiva f : A ! B, y su inversa f−1 : B ! A, tenemos las
siguientes propiedades:
Proposici´on 3.3.
1. (8x 2 A) f−1(f(x)) = x.
2. (8y 2 B) f(f−1(y)) = y.
3. f−1 es biyectiva, y (f−1)−1 = f.
Demostraci´on. Demostraremos (2) y (3).
Para (2), consideremos y 2 B cualquiera. Si denotamos x = f−1(y), tenemos entonces
que f(x) = y, gracias a la afirmaci´on hecha anteriormente. Entonces
f(f−1(y)) = f(x) = y
Para (2), llamemos h = f−1, con lo que h es una funci´on de B en A.
h es inyectiva: Sean y1, y2 2 B tales que h(y1) = h(y2). Como ambos elementos
pertenecen a A, entonces podemos concluir que f(h(y1)) = f(h(y2)). Recordando
que h = f−1 y usando la propiedad (1.2) obtenemos que y1 = y2.
h es sobreyectiva: Sea x 2 A cualquiera. Buscamos y 2 B tal que h(y) = x. Basta
tomar, entonces, y = f(x), y as´ı h(y) = h(f(x)). Recordando que h = f−1 y
utilizando la propiedad (1.1) obtenemos que h(y) = x.
Por lo tanto h es biyectiva, y tiene una funci´on inversa h−1. ´Esta cumple que
(8x 2 A)(8y 2 B) h(y) = x () h−1(x) = y
Sean x 2 A, y 2 B tales que h(y) = x. Como h = f−1, tenemos que
h(y) = x () f(x) = y
As´ı, para x 2 A:
h−1(x) = y () f(x) = y
Con esto se concluye que para cualquier x 2 A, h−1(x) = f(x). Entonces
h−1 = f
o equivalentemente,
(f−1)−1 = f
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Gu´ıa B´asica
Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:
1. f  A × B es funci´on si la proposici´on (8a 2 A)(9b 2 B)(a, b) 2 f es
verdadera.
2. f  A × B es funci´on si la proposici´on (8a 2 A)(9!b 2 B)(a, b) 2 f es
verdadera.
3. f  A × B es funci´on si la proposici´on (8a 2 A)(8b 2 B)(a, b) 2 f es
verdadera.
4. Seg´un la notaci´on de funci´on, se tiene que para a 2 A (a, f(a)) 2 f.
5. Seg´un la notaci´on de funci´on, b = f(a) equivale a (f(a), b) 2 f.
6. Seg´un la notaci´on de funci´on b = f(a) equivale a (f(a), f(b)) 2 f.
7. El conjunto A = {(x, y) 2
R
×
R: x2 + y2 = 1} corresponde a una funci´on
de Ren R.
8. El conjunto A = {(x, y) 2 [0, 1) ×
R+ : x2 + y2 = 1} corresponde a una
funci´on de [0, 1) en R.
9. El conjunto A = {(x, y) 2
R
×
R: y 2 {−1, 1}} corresponde a una funci´on
de Ren R
10. El conjunto A = {(x, y) 2
R
×
N: y 2 {−1, 1}} corresponde a una funci´on
de Ren N
11. Para que dos funciones f y g sean iguales basta que (8a(f(a) = g(a)).
12. Para que dos funciones f, g : A ! B sean iguales basta que (8a 2 A)(f(a) =
g(a)).
13. Para que dos funciones f : A ! B y f : C ! D sean iguales basta que
(8a 2 A \ C)(f(a) = g(a)).
14. Para que dos funciones f : A ! B y f : C ! D sean iguales se debe cumplir
que Dom(f) = Dom(g) y que (8a 2 A)(f(a) = g(a)).
15. Para que dos funciones f : A ! B y f : C ! D sean iguales se debe cumplir
que Dom(f) = Dom(g), que Rec(f) = Rec(g) y que (8a 2 A)(f(a) = g(a)).
16. El problema de dada un funci´on f : A ! B y a 2 A, encontrar x 2 B tal
que f(a) = x siempre tiene una ´unica soluci´on.
17. El problema de dada un funci´on f : A ! B y a 2 A, encontrar x 2 B tal
que f(a) = x no siempre tiene una soluci´on.
18. El problema de dada un funci´on f : A ! B y a 2 A, encontrar x 2 B tal
que f(a) = x siempre tiene una soluci´on, pero no siempre ´unica.
19. El problema de dada un funci´on f : A ! B y b 2 B, encontrar x 2 A tal
que f(x) = b siempre tiene una ´unica soluci´on.
20. El problema de dada un funci´on f : A ! B y b 2 B, encontrar x 2 A tal
que f(x) = b no siempre tiene soluci´on.
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21. El problema de dada un funci´on f : A ! B y b 2 B, encontrar x 2 A tal
que f(x) = b, si tiene soluci´on esta no es siempre ´unica.
22. Una funci´on f : A ! B es inyectiva si satisface que (8×1, x2 2 A)(x1 6= x2 ) f(x1) 6= f(x2)).
23. Una funci´on f : A ! B es inyectiva si satisface que (8×1, x2 2 A)(x1 = x2 ) f(x1) = f(x2)).
24. Una funci´on f : A ! B es inyectiva si satisface que (8×1, x2 2 A)(f(x1) =
f(x2) ) x1 = x2).
25. Una funci´on f : A ! B es inyectiva si satisface que (8×1, x2 2 A)(f(x1) 6=
f(x2) ) x1 6= x2).
26. La funci´on f : R+ !
R, definida por f(x) = x2, es inyectiva.
27. La funci´on f : R
!
R, definida por f(x) = x2, es inyectiva.
28. La funci´on f : R
\ {0} !
R+, definida por f(x) = x2, es inyectiva.
29. La funci´on f : R
!
R+, definida por f(x) = |x − 1|, es inyectiva.
30. La funci´on f : R+ !
R, definida por f(x) = |x − 1|, es inyectiva.
31. La funci´on f : (1,+1) !
R, definida por f(x) = |x − 1|, es inyectiva.
32. Una funci´on f : A ! B es sobreyectiva si satisface que (8a 2 A)(9b 2 B)(f(a) = b).
33. Una funci´on f : A ! B es sobreyectiva si satisface que (8a 2 A)(9!b 2 B)(f(a) = b).
34. Una funci´on f : A ! B es sobreyectiva si satisface que (8b 2 B)(9a 2 A)(f(a) = b).
35. Una funci´on f : A ! B que satisface (8b 2 B)(9!a 2 A)(f(a) = b), no
necesariamente es sobreyectiva.
36. Una funci´on f : A ! B que satisface (8b 2 B)(9!a 2 A)(f(a) = b), es
inyectiva.
37. Una funci´on f : A ! B que satisface (8b 2 B)(9!a 2 A)(f(a) = b), es
sobreyectiva, pero no necesariamente inyectiva.
38. La funci´on f : R+ !
R, definida por f(x) = x2, es sobreyectiva.
39. La funci´on f : R
!
R, definida por f(x) = x2, no es sobreyectiva.
40. La funci´on f : R
\ {0} !
R+, definida por f(x) = x2, es sobreyectiva.
41. La funci´on f : R+ !
R+, definida por f(x) = x2, es sobreyectiva.
42. Una funci´on es biyectiva si es inyectiva o sobreyectiva.
43. Una funci´on es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
44. Una funci´on f : A ! B es biyectiva si satisface (8b 2 B)(9!a 2 A)(f(a) = b).
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45. La funci´on f : R
\ {0} !
R+, definida por f(x) = x2, es biyectiva.
46. La funci´on f : R+ !
R+, definida por f(x) = x2, es biyectiva.
47. La funci´on f : R+ !
R, definida por f(x) = x2, es biyectiva.
48. La funci´on f : R
!
R, definida por f(x) = ax + b con a, b 2
R, siempre es
biyectiva.
49. La funci´on f : R
!
R, definida por f(x) = ax + b con a, b 2
R, es biyectiva
si b 6= 0.
50. La funci´on f : R
!
R, definida por f(x) = ax + b con a, b 2
R, es biyectiva
si a 6= 0.
51. Dada una funci´on f : A ! B cualquiera, su inversa existe y se denota f−1.
52. Existen funciones que no son inyectivas y que tienen una inversa.
53. La inversa de una funci´on biyectiva, es biyectiva.
54. Existe una funci´on f : A ! A biyectiva, tal que para alg´un a 2 A se tiene
que f(f−1(a)) 6= f−1(f(a)).
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Gu´ıa de Ejercicios
1. Indique cu´al de los siguientes conjuntos establece una funci´on:
(a) R = {(a, b) 2
N2/b = ap para alg´un p 2 N}
(b) Sean a, b, c 2
R
\{0} fijos,R = {(x, y) 2 2/y = ax3 + bx + c}
(c) R = {(x, y) 2
R2/y = ax3 + bx + c con a, b, c 2 }
(d) R = {(x, y) 2
R2/x = y2 + 2y + 1}
(e) R = {(y, x) 2
R2/x = (y + 1)2}
(f) R = {(x, y) 2
R2/x = y3}
Indicaci´on: Dado un conjunto A, se usa la notaci´on A2 = A × A.
2. Indique cu´ales pares de funciones son iguales, si no lo son, explique por qu´e.
(a) f, g : R
\ {−2} !
Rcon f(x) = x2−1
x2+2x+2 y g(x) = x−1
x+2 .
(b) f, g : R
\ {−1, 0, 1}!
Rconf(x) = 1
x, g(x) = (x+1)(x−1)
x3−x
(c) f, g : R
!
R, con f(x) = (x + 2)3 y g(x) = x3 + 6×2 + 12x + 8
(d) f, g : R
\ {−1, 0}!
Rconf(x) = sen(x)
x+1 , g(x) = sen(x−1)
x
(e) f, g : R+ !
Rcon f(x) = x px, g(x) = px
Indicaci´on: Se usa la notaci´on R+ = (0,1).
3. Dado un conjunto A 6= ; y B  A fijo, determine si cada una de las siguientes
es funci´on y, en caso de serlo, si es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Considere
a A como el universo.
Encuentre la funci´on inversa en el caso que corresponda.
(a) f : P(A) ! P(A), dada por (8X  A) f(X) = Xc.
(b) g : P(A) ! P(A), dada por (8X  A) g(X) = X \ (Xc).
(c) h1 : P(A) ! P(A), dada por (8X  A) h1(X) = X \ B.
(d) h2 : P(A) \ {;} ! P(A), dada por (8X  A) h2(X) = X [ B.
(e) h3 : P(A) ! P(A), dada por (8X  A) h3(X) = X4B.
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4. Dados dos conjuntos A y B, determine si las siguientes son funciones y si son
inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Encuentre la funci´on inversa en el caso
que corresponda.
(a) A : A × B ! A, dada por (8(a, b) 2 A × B) A((a, b)) = a.
(b) B : A × B ! B, dada por (8(a, b) 2 A × B) B((a, b)) = b.
(c) dA : A ! A × B, dada por (8a 2 A) dA(a) = (a, a).
(d)  : A × B ! B × A, dada por (8(a, b) 2 A × B) ((a, b)) = (b, a).
(e) Dado b0 2 B fijo. f : A ! A × B, dada por (8a 2 A) f(a) = (a, b0).
5. Comente sobre la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de las siguientes
funciones. Considere f : R
!
R
(a) f(x) = px2 + 1
(b) f(x) = x3
(c) f(x) = sen(x)
(d) f(x) = x2+3x−1
2×2−5x+4
Indicaci´on: >Se puede redefinir el dominio o el conjunto de llegada de f de
modo que la funci´on logre ser inyectiva o sobreyectiva?.
6. Encuentre la funci´on inversa de las siguientes funciones, verificando previamente
si son biyectivas.
(a) f : R
\ {0} !
R, con f(x) = 1
x3
(b) Sea a 6= 0. f : R
!
R, con f(x) = ax + b
(c) f : [0, 2] !
R, f(x) = sen(x2)
(d) f : R+ !
R, f(x) = x px
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Gu´ıa de Problemas
La presente gu´ıa le permitir´a tener una idea bastante precisa del tipo de problemas
que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´on y el tiempo promedio que
deber´ıa demorar en resolverlos. En total deber´ıa poder resolverla en 3 horas. Le
recomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,
que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una hora
a escribir con detalles las soluciones.
P1. (20 min.) Considere las funciones f : N
\{0}!
Qdefinida en cada n 2
N
\{0} por f(n) = 1
2n y g : Q
!
Qdefinida en cada q 2
por g(q) = q
2 . Determine
si f, g son inyectivas, epiyectivas y biyectivas.
P2. Sea f : R
\ {2} !
Rla funci´on definida en cada x 2
R
\ {2} por f(x) = 2x+1
x−2 .
(a) (10 min.) Demostrar que {f(x) : x 2
R
\ {2}} = R
\ {2}.
(b) (10 min.) Demostrar que f es inyectiva.
(c) (10 min.) Se define una nueva funcion g : R
\ {2} !
R
\ {2} tal que en
cada x 2
R
\ {2} se tiene que g(x) = f(x). Pruebe que g es biyectiva y
calcule su inversa.
P3. (30 min.) Para a, b 2
Rconsidere la recta La,b = {(x, y) 2
R2/y = ax + b} y la colecci´on de rectas L = {La,b 
R2/a, b 2
R
}. Se define el conjunto de
pares de rectas no paralelas
H = {(L,L0) 2 L2/L \ L0 6= ,L 6= L0}
y la funci´on : H !
R2 talque ((L,L0)) = (x0, y0), donde (x0, y0) es el
´unico punto de intersecci´on de L y L0. Pruebe que es sobreyectiva.
P4. Sea U el conjunto universo y A,B  U. Se define
f : P(U) −! P(U)
X 7−! f(X) = A \ (B [ X)
(a) (15 min.) Pruebe que f(f(X)) = f(X) 8X 2 P(U).
(b) (15 min.) Si A 6= U _ B 6= , pruebe que f no es inyectiva.
(c) (10 min.) Si A 6= U pruebe que f no es sobreyectiva.
P5. Sea E 6=  un conjunto fijo. Para todo subconjunto A de E se define la funci´on
caracter´ıstica de A como:
A : E −! {0, 1}
x 7−! A(x) =

1 si x 2 A
0 si x 62 A
(a) (10 min.) Describa E(x) y (x) para todo x 2 E
(b) (10 min.) Demuestre que (8x 2 E) A\B(x) = A(x)B(x)
(c) (10 min.) Si C,D  E, entonces C  D , (8x 2 E) C(x)  D(x)
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FUNCIONES
3.9. Composici´on de funciones
Pensemos que tenemos tres conjuntos no vac´ıos A,B,C, y dos funciones, f : A ! B
y g : B ! C, como en el siguiente diagrama:
Figura 10: Esquema necesario para poder componer dos funciones f y g.
Definiremos la funci´on composici´on de f y g, la cual denotaremos por g f, como
una funci´on de A en C, dada por
Definici´on 3.7 (Funci´on composici´on).
(8a 2 A) (g  f)(a) = g(f(a)).
Notemos que para definir g  f basta que se cumpla que Rec(f)  Dom(g), para
poder evaluar la funci´on g sobre el elemento f(a). Es decir, la definici´on puede
hacerse de manera m´as general.
Ejemplos:
Consideremos la funci´on h : R+ !
R, dada por h(x) = 1
x2 . Si tomamos las
funciones f : R+ !
R, f(x) = 1
x, y g : R
!
R, g(x) = x2, entonces para
cualquier x 2
+
(g  f)(x) = g(f(x)) = g

1
x

=

1
x
2
= h(x)
es decir
g  f = h
Algunas propiedades de la composici´on:
Propiedades 1. Si f : A ! B, g : B ! C, h : C ! D son funciones, entonces
1. h  (g  f) = (h  g)  f (esta propiedad se llama asociatividad)
2. En general, no hay conmutatividad
3. idB  f = f  idA = f (es decir, la funci´on identidad es neutro para la
composici´on)
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4. Si f es biyectiva, entonces f  f−1 = idB y f−1  f = idA
Demostraci´on. Demostremos (4). Para la primera afirmaci´on:
f  f−1 = idB
notamos que f : A ! B, por lo que f−1 : B ! A, y entonces f  f−1 : B ! B, por
la definici´on de composici´on. Como Dom(idB) = Rec(idB) = B, concluimos que
Dom(idB) = Dom(f  f−1) ^ Rec(idB) = Rec(f  f−1)
Falta solamente mostrar que (8w 2 B) idB(w) = (f  f−1)(w), lo cual hacemos del
modo siguiente:
Sea w 2 B, y llamemos x = f−1(w) 2 A. Como f es la funci´on inversa de f−1,
tenemos tambi´en que w = f(x). Entonces
(f  f−1)(w) = f(f−1(w))
= f(x)
= w
= idB(w)
y listo. Para demostrar que f−1  f = idA se sigue el mismo procedimiento.
Algunas propiedades con respecto a la inyectividad y sobreyectividad:
Propiedades 2. Si f : A ! B, g : B ! C son funciones, entonces
1. Si f y g son inyectivas, entonces (g  f) es inyectiva.
2. Si f y g son sobreyectivas, entonces (g  f) es sobreyectiva.
3. Si f y g son biyectivas, entonces (g  f) es biyectiva.
4. Si (g  f) es inyectiva, entonces f es inyectiva (g no necesariamente lo es).
5. Si (g  f) es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva (f no necesariamente lo
es).
Demostraci´on. Demostraremos (2) y (4).
Para (2): Queremos ver que la funci´on g  f : A ! C es sobreyectiva. Sea c 2 C.
Buscamos un a 2 A tal que (g  f)(a) = c, es decir que g(f(a)) = c.
Como g : B ! C es sobreyectiva, sabemos que existe un b 2 B tal que g(b) = c.
Del mismo modo, como f : A ! B es sobreyectiva, sabemos que existe a 2 A tal
que f(a) = b. As´ı
(g  f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c
que es lo que quer´ıamos demostrar.
Probaremos (4):
Si (g  f) es inyectiva, entonces f es inyectiva (g no necesariamente lo
es).
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Sabemos que (g  f) es inyectiva.
Para demostrar que f tambi´en lo es, consideremos a1, a2 2 A tales que f(a1) =
f(a2). Notemos que f(a1), f(a2) 2 B pues Rec(f) = B. As´ı, evaluando la funci´on
g obtenemos
g(f(a1)) = g(f(a2))
es decir
(g  f)(a1) = (g  f)(a2)
Como sabemos que (g  f) es inyectiva, obtenemos que a1 = a2, por lo que f es
tambi´en inyectiva.
M´etodo para c´alculo de inversas
Una propiedad ´util para el c´alculo de funciones inversas:
Propiedad 1. Sea f : A ! B biyectiva, y sea g : B ! A
Si g  f = idA, entonces g = f−1.
Si f  g = idB, entonces g = f−1.
Esta propiedad nos dice que para calcular la inversa de una funci´on biyectiva f,
basta encontrar una funci´on g que compuesta con f nos d´e la identidad. Ya sea que
las hayamos compuesto en el orden g  f o en el orden f  g, podemos concluir que
f−1 = g.
Demostraci´on. Demostraremos la primera de ellas, es decir
g  f = idA ) g = f−1
Como f es biyectiva, para que g = f−1 basta demostrar que
(8x 2 A)(8y 2 B) f(x) = y () g(y) = x
Sean x 2 A, y 2 B. Demostraremos las dos implicancias:
)) Supongamos que f(x) = y. Como ambos lados de esta igualdad son elementos
de B, podemos aplicar g, y obtener
g(f(x)) = g(y)
(g  f)(x) = g(y)
Como por hip´otesis g  f = idA, entonces concluimos que
g(y) = idA(x) = x
() Supongamos ahora que g(y) = x. Como f es sobreyectiva, tenemos que existe
w 2 A tal que f(w) = y. Entonces
x = g(y) = g(f(w)) = (g  f)(w) = idA(w) = w
Por lo tanto, f(x) = f(w) = y.
La siguiente propiedad, es tambi´en ´util y no es necesario saber de antemano si la
funci´on es biyectiva.
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Propiedad 2. Sean f : A ! B y g : B ! A, funciones.
Si g  f = idA y f  g = idB, entonces g = f−1.
Notar que impl´ıcitamente, la propiedad implica que f es biyectiva.
Demostraci´on. Nos basta probar que f es biyectiva, ya que usando la propiedad
anterior tendremos que g = f−1.
Pero, gracias a la propiedad (4) respecto de inyectividad y sobreyectividad vista
antes, como g f = idA es inyectiva (ya que idA siempre lo es), luego f es inyectiva.
Adem´as, usando la propiedad (5), como f  g = idB es sobreyectiva, luego f es
sobreyaectiva.
As´ı, f es biyectiva y se concluye el resultado.
Inversa de una composici´on
Como consecuencia, podemos obtener la siguiente conclusi´on:
Proposici´on 3.4 (Inversa de una composici´on). Si f : A ! B y g : B ! C
son biyectivas, entonces
(g  f)−1 = f−1  g−1
Demostraci´on. Denotemos F = g  f y G = f−1  g−1.
Tenemos que F : A ! C, y que G : C ! A. Adem´as, como g y f son biyectivas,
entonces gracias a una propiedad anterior sabemos que F tambi´en es biyectiva. As´ı,
la afirmaci´on que queremos demostrar puede escribirse como
F−1 = G
Gracias a las propiedades mencionadas, para esto basta mostrar que G  F = idA.
En efecto,
G  F = (f−1  g−1)  (g  f)
= f−1  (g−1  g)  f
= f−1  idB  f
= f−1  f
= idA
3.10. Imagen y preimagen
Si f : A ! B es una funci´on, y si y = f(x) decimos que y es imagen de x a trav´es
de f, y que x es preimagen de y a trav´es de f.
Como f es una funci´on, tenemos que
(8x 2 A)(9!y 2 B) y = f(x)
lo que nos dice que cada x 2 A posee una ´unica imagen y 2 B. Sin embargo, los
elementos y 2 B pueden tener varias preim´agenes distintas, como veremos en el
siguiente ejemplo.
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Ejemplo:
Tomemos la funci´on f : N
!
Ndada por f(n) = (n − 10)2. Se tiene que 36 es
la imagen por f de 4, pues f(4) = 36. A su vez, tenemos que 4 es preimagen de
36. Pero tambi´en f(16) = 36, por lo que 16 tambi´en es preimagen de 36. Es f´acil
observar que 36 no tiene m´as preim´agenes que estas dos, as´ı que podemos decir
que
{4, 16} es el conjunto de preim´agenes de 36
Del mismo modo, {5, 15} es el conjunto de preim´agenes de 25, y {10} es el
conjunto de preim´agenes de 0. Podemos reunir estos conjuntos de preim´agenes:
{4, 5, 10, 15, 16} es el conjunto obtenido al reunir las preim´agenes de
{0, 25, 36}
Tambi´en est´a el caso del natural 2, el cual no tiene preim´agenes por f (esto se
observa dado que f(n) siempre es un cuadrado perfecto, y 2 no lo es). En este
caso decimos que el conjunto de preim´agenes de 2 es ; (el conjunto vac´ıo).
As´ı como hemos obtenido el conjunto formado por todas las preim´agenes de
ciertos elementos, podemos formar el conjunto de todas las im´agenes de ciertos
elementos. Como sabemos que 9,4,1,0,1 y 4 son respectivamente las im´agenes de
7,8,9,10,11 y 12, escribimos que
{0, 1, 4, 9} es el conjunto obtenido al reunir las im´agenes de
{7, 8, 9, 10, 11, 12} (observar que en el primer conjunto hemos eliminado
los elementos repetidos, como corresponde en los conjuntos)
Conjunto imagen
En esta secci´on definiremos precisamente los conceptos de conjunto imagen y conjunto
preimagen para una funci´on f dada, y estudiaremos varias propiedades.
Definici´on 3.8 (Conjunto imagen). Sea f : A ! B una funci´on, y sea A0  A.
Definimos el conjunto imagen de A0 por f como
f(A0) = {b 2 B : (9a 2 A0) f(a) = b}
o equivalentemente
b 2 f(A0) () (9a 2 A0) f(a) = b
Notemos que f(A0) siempre es un subconjunto de B. Es el obtenido al reunir todas
las im´agenes de los elementos de A0.
Propiedades 3. Sea f : A ! B funci´on. Sean A1,A2  A.
1. f es sobreyectiva () f(A) = B
2. A1  A2 ) f(A1)  f(A2)
3. f(A1 \ A2)  f(A1) \ f(A2)
4. f(A1 [ A2) = f(A1) [ f(A2)
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Demostraci´on. Demostraremos (2).
Supongamos que A1  A2, y sea y 2 f(A1).
Por definici´on de conjunto imagen, tenemos que 9x 2 A1 tal que y = f(x). Como
A1 est´a contenido en A2, entonces x 2 A2.
As´ı, existe un x 2 A2 tal que y = f(x), con lo que obtenemos que y 2 f(A2).
Conjunto preimagen
Definimos ahora, el conjunto preimagen:
Definici´on 3.9 (Conjunto preimagen). Dado B0  B, el conjunto preima-
gen de B0 por f como
f−1(B0) = {a 2 A : f(a) 2 B0}
o, en t´erminos l´ogicos
a 2 f−1(B0) () f(a) 2 B0
f−1(B0) es siempre un subconjunto de A. Es el obtenido al reunir todas
las preim´agenes de los elementos de B0.
Propiedades 4. Sea f : A ! B funci´on. Sean B1,B2  B.
1. B1  B2 ) f−1(B1)  f−1(B2)
2. f−1(B1 \ B2) = f−1(B1) \ f−1(B2)
3. f−1(B1 [ B2) = f−1(B1) [ f−1(B2)
Demostraci´on. Demostraremos (2).
Consideremos un elemento x arbitrario. Se tiene que
x 2 f−1(B1 \ B2) () f(x) 2 B1 \ B2 (def. de conjunto preimagen)
() f(x) 2 B1 ^ f(x) 2 B2 (intersecci´on de conjuntos)
() x 2 f−1(B1) ^ x 2 f−1(B2) (def. de conjunto preimagen)
() x 2 f−1(B1) \ f−1(B2) (intersecci´on de conjuntos)
Enumeramos ahora propiedades que surgen cuando reunimos los conceptos vistos
en las secciones anteriores.
Propiedades 5. 1. Si A0  A, entonces A0  f−1(f(A0))
2. Si B0  B, entonces f(f−1(B0))  B0
3. f es inyectiva () (8A0  A) A0 = f−1(f(A0))
4. f es sobreyectiva () (8B0  B) f(f−1(B0)) = B0
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Demostraci´on. Demostraremos (3).
)) Supongamos que f es inyectiva, y tomemos A0  A. Gracias a (1), sabemos que
A0  f−1(f(A0))
y por lo tanto s´olo nos falta demostrar la otra inclusi´on.
Sea x 2 f−1(f(A0)), queremos demostrar que x 2 A0.
Por definici´on de conjunto preimagen, tenemos que f(x) 2 f(A0). Llamando y =
f(x), y por definici´on de conjunto imagen, tenemos que existe un w 2 A0 tal que
f(w) = y.
As´ı, f(x) = f(w), y como f es inyectiva, concluimos que x = w. Pero sab´ıamos que
w 2 A0, por lo tanto x 2 A0.
() Supongamos, por contradicci´on, que f no es inyectiva. Entonces existen elementos
x1, x2 2 A tales que x1 6= x2 y f(x1) = f(x2). Llamemos y a este valor com´un
(es decir, y = f(x1) = f(x2)). Definiendo A0 = {x1}  A, tenemos que
f(A0) = f({x1}) = {f(x1)} = {y}
por lo que
f−1(f(A0)) = f−1({y}) = {x 2 A : f(x) 2 {y}} = {x 2 A : f(x) = y}
Como f(x2) = y, entonces
x2 2 f−1(f(A0))
Utilizando la propiedad, tenemos que f−1(f(A0)) = A0, con lo que x2 2 A0, es decir
x2 2 {x1}, de donde concluimos que x1 = x2, lo que es una contradicci´on.
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Gu´ıa B´asica
Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:
1. Si f : A ! B, g : C ! D. Basta con que B  C para que g  f exista.
2. Si f : A ! B, g : C ! D. Basta con que C  B para que g  f exista.
3. Si f : A ! B, g : C ! D. Necesariamente se debe tener B = C para que
g  f exista.
4. Si f : A ! B, g : B ! A entonces f  g = g  f.
5. Si f : A ! A, g : A ! A entonces f  g = g  f.
6. Si f : A ! B, g : B ! A y f es la funci´on identidad, entonces f  g = g  f.
7. Si f : A ! B, g : B ! C y f es inyectiva, entonces g  f tambi´en lo es.
8. Si f : A ! B, g : B ! C y g es inyectiva, g  f tambi´en lo es.
9. Si f : A ! B, g : B ! C son tales que f y g son inyectivas, g  f tambi´en lo
es.
10. Si f : A ! B, g : B ! C y f es sobreyectiva, g  f tambi´en lo es.
11. Si f : A ! B, g : B ! C y g es sobreyectiva, g  f tambi´en lo es.
12. Si f : A ! B, g : B ! C son tales que f y g son sobreyectivas, g  f tambi´en
lo es.
13. Si f : A ! B, g : B ! C y f es biyectiva, g  f tambi´en lo es.
14. Si f : A ! B, g : B ! C y f es biyectiva, g  f es inyectiva.
15. Si f : A ! B, g : B ! C y f es biyectiva, g  f es epiyectiva.
16. Si f : A ! B, g : B ! C y g es biyectiva, g  f tambi´en lo es.
17. Si f : A ! B, g : B ! C y g es biyectiva, g  f es inyectiva.
18. Si f : A ! B, g : B ! C y g es biyectiva, g  f es sobreyectiva.
19. Si f : A ! B, g : B ! C son tales que f y g son biyectivas, g  f tambi´en lo
es.
20. Si f : A ! B, g : B ! C y g  f es inyectiva, g tambi´en lo es.
21. Si f : A ! B, g : B ! C y g  f es inyectiva, f tambi´en lo es.
22. Si f : A ! B, g : B ! C y g  f es sobreyectiva, g tambi´en lo es.
23. Si f : A ! B, g : B ! C y g  f es sobreyectiva, f tambi´en lo es.
24. Si f : A ! B, g : B ! C y g  f es biyectiva, g tambi´en lo es.
25. Si f : A ! B, g : B ! C y g  f es biyectiva, g es inyectiva.
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26. Si f : A ! B, g : B ! C y g  f es biyectiva, g es sobreyectiva.
27. Si f : A ! B, g : B ! C y g  f es biyectiva, f tambi´en lo es.
28. Si f : A ! B, g : B ! C y g  f es biyectiva, f es inyectiva.
29. Si f : A ! B, g : B ! C y g  f es biyectiva, f es sobreyectiva.
30. Si f : A ! B, g : B ! A son biyectivas, entonces si g = f−1, luego
g  f = idA.
31. Si f : A ! B, g : B ! A son biyectivas, entonces si g = f−1, luego
g  f = idB.
32. Si f : A ! B, g : B ! A son biyectivas, entonces si g = f−1, luego
f  g = idA.
33. Si f : A ! B, g : B ! A son biyectivas, entonces si g = f−1, luego
f  g = idB.
34. Si f : A ! B, g : B ! A son biyectivas, entonces si f = g−1, luego g = f−1.
35. Si f es biyectiva, (f−1)−1 = f.
36. Si f es biyectiva, (f−1)−1 = f−1.
37. Si f : A ! B, g : B ! C son biyectivas, luego (f  g)−1 = f−1  g−1.
38. Si f : A ! B, g : B ! C son biyectivas, luego (f  g)−1 = g−1  f−1.
39. Si f : A ! B, g : B ! C son biyectivas, luego ((f  g)−1)−1 = f−1  g−1.
40. Si f : A ! B, g : B ! C son biyectivas, luego ((f  g)−1)−1 = f  g.
41. Sea f : A ! B, se tiene que f es inyectiva , f(A) = B.
42. Sea f : A ! B, se tiene que f es inyectiva ) f(A) = B.
43. Sea f : A ! B, se tiene que f es sobreyectiva , f(A) = B.
44. Sea f : A ! B, se tiene que f es sobreyectiva ) f(A) = B.
45. Sea f : A ! B y A1,A2  A, si f(A1)  f(A2) ) A1  A2.
46. Sea f : A ! B y A1,A2  A, si A1  A2 ) f(A1)  f(A2).
47. Sea f : A ! B y A1,A2  A, entonces f(A1 \ A2)  f(A1) \ f(A2).
48. Sea f : A ! B inyectiva y A1,A2  A, entonces f(A1\A2) = f(A1)\f(A2).
49. Sea f : A ! B y A1,A2  A, entonces f(A1 [ A2) = f(A1) [ f(A2).
50. Sea f : A ! B y B1,B2  B, si B1  B2 ) f−1(B1)  f−1(B2).
51. Sea f : A ! B y B1,B2  B, f−1(B1 \ B2) = f−1(B1) \ f−1(B2).
52. Sea f : A ! B y B1,B2  B, f−1(B1 [ B2) = f−1(B1) [ f−1(B2).
53. Sea f : A ! B, entonces si A0  A ) A0  f−1(f(A0)).
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54. Sea f : A ! B, entonces si B0  B ) f(f−1(B0))  B0.
55. Sea f : A ! B, entonces si B0  B ) B0  f(f−1(B0)).
56. Sea f : A ! B inyectiva, entonces si A0  A ) A0 = f−1(f(A0)).
57. Sea f : A ! B sobreyectiva, entonces si A0  A ) A0 = f−1(f(A0)).
58. Sea f : A ! B inyectiva, B0  B ) f(f−1(B0)) = B0.
59. Sea f : A ! B sobreyectiva, B0  B ) f(f−1(B0)) = B0.
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Gu´ıa de Ejercicios
1. Dadas f : A ! B, g : B ! C funciones, demuestre las siguientes propiedades
enunciadas en las tutor´ıas:
(a) Si f y g son inyectivas, entonces (g  f) es inyectiva.
(b) Si f y g son biyectivas, entonces (g  f) es biyectiva.
(c) Si (g  f) es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva (f no necesariamente
lo es).
2. Sean f : Z
!
Z, g : Z
!
Zy hZ
!
Ztres funciones dadas por f(x) = 1 − x,
g(x) = −x − 1 y h(x) = x + 2.
(a) Verificar que cualquier composici´on entre estas tres funciones (por ej.: f  (h  g), f  g, (h  h)  g, etc.), resulta ser una funci´on invertible.
(b) Pruebe que h  g  f = g  f  h = idZ, en donde idZes la funci´on identidad.
(c) Deducir de lo anterior que f−1  g−1 = h.
3. Dados dos conjuntos A y B, determine el conjunto imagen de las siguientes
funciones.
(a) A : A × B ! A, dada por (8(a, b) 2 A × B) A((a, b)) = a.
(b) B : A × B ! B, dada por (8(a, b) 2 A × B) B((a, b)) = b.
(c) dA : A ! A × B, dada por (8a 2 A) dA(a) = (a, a).
(d)  : A × B ! B × A, dada por (8(a, b) 2 A × B) ((a, b)) = (b, a).
(e) Dado b0 2 B fijo. f : A ! A × B, dada por (8a 2 A) f(a) = (a, b0).
4. Considere las mismas funciones del ejercicio anterior, pero suponiendo A = B.
Indique si se pueden o no definir las siguientes funciones. En los casos afirmativos,
determ´ınelas.
(a) A  B.
(b) B  dA  A.
(c) B  .
(d) A    f.
(e) dA  f  A.
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5. Dado un conjunto A 6= ; y B  A fijo, determine el conjunto imagen de las
siguientes funciones. Adem´as, determine la preimagen de los conjuntos C1 = {B},
C2 = {A} y C3 = {A, ;}.
(a) f : P(A) ! P(A), dada por (8X  A) f(X) = Xc.
(b) g : P(A) ! P(A), dada por (8X  A) g(X) = X \ (Xc).
(c) h1 : P(A) ! P(A), dada por (8X  A) h1(X) = X \ B.
(d) h2 : P(A) \ {;} ! P(A), dada por (8X  A) h2(X) = X [ B.
(e) h3 : P(A) ! P(A), dada por (8X  A) h3(X) = X4B.
6. Dadas f : A ! B, funci´on y A1,A2  A, demuestre las siguientes propiedades
enunciadas en las tutor´ıas:
(a) f es sobreyectiva () f(A) = B.
(b) f(A1 \ A2)  f(A1) \ f(A2).
(c) f(A1 [ A2) = f(A1) [ f(A2).
(d) A1  f−1(f(A1))
7. Dadas f : A ! B, funci´on y B1,B2  B, demuestre las siguientes propiedades:
(a) B1  B2 ) f−1(B1)  f−1(B2).
(b) f−1(B1 [ B2) = f−1(B1) [ f−1(B2).
(c) f(f−1(B1))  B1.
(d) f−1(Bc
1) = (f−1(B1))c.
(e) f−1(B14B2) = f−1(B1)4f−1(B2).
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Gu´ıa de Problemas
La presente gu´ıa le permitir´a tener una idea bastante precisa del tipo de problemas
que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´on y el tiempo promedio que
deber´ıa demorar en resolverlos. En total deber´ıa poder resolverla en 3 horas. Le
recomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,
que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una hora
a escribir con detalles las soluciones.
P1. (20 min.) Sean f, g : R
!
Rfunciones. Determine expl´ıcitamente f y g sabiendo
que
g  f =
3x + 2
9×2 + 12x + 5
f−1(x) =
x − 2
3
P2. Sean f, g : A ! A funciones. Probar que si g es biyectiva entonces se tiene que
(a) (15 min.) f es inyectiva , f  g es inyectiva
(b) (15 min.) f es sobreyectiva , g  f es sobreyectiva
P3. Sea A = {0, 1, 2, 3} y T : A ! A la funci´on definida por T (0) = 1, T (1) =
2, T (2) = 3, T (3) = 0. Sea I = {h : A !
R/h es funci´on y h(0)+h(1)+h(2)+
h(3) = 0}. Dada una funci´on f : A !
definimos la funci´on ¯ f : A !
Ren
cada n 2 A por ¯ f(n) = f  T (n) − f(n).
(a) (20 min.) Probar que si f : A !
Res una funci´on de dominio A y recorrido Rentonces ¯ f 2 I
(b) (40 min.) Sea D = {h : A !
R/h es funci´on y h(0) = 0}. Definimos
 : D ! I en cada f 2 D por (f) = ¯ f. Probar que  es biyectiva y
calcular −1.
P4. Sea F = {h : E ! E/h es biyectiva } y f 2 (F)
(a) (5 min.) Pruebe que para todo h 2 F, h  f 2 F
(b) (25 min.) Sea ‘f : (F) ! (F) tal que ‘f (h) = h  f. Pruebe que ‘f es
biyecci´on.
P5. (15 min.) Sea E = {f : R
!
R/f es biyectiva}. Es decir, E contiene a todas
las funciones biyectivas de en . Se define la funcion  : E ! E tal que para
cada f 2 E, (f) = f−1, es decir  le asocia a cada funci´on en E su inversa.
Sean f, g 2 E. Probar que (f  g) = (g)  (f).
P6. (10 min.) Considere las funciones f : N
\{0}!
Qdefinida en cada n 2
N
\{0} por f(n) = 1
2n y g : Q
!
Qdefinida en cada q 2
por g(q) = q
2 . Determine
los conjuntos preimagenes g−1(Z) y (g  f)−1(Z)
P7. (30 min.) Sea f : X ! Y una funci´on. Pruebe que 8A,B  X
f(A) 4f(B)  f(A 4B)
Muestre ademas que si f es inyectiva, entonces
f(A) 4f(B) = f(A 4B)
P8. (20 min.) Sea f : E ! F una funci´on y A,B  E. Pruebe que
f(B)\f(A) =  ) f(A [ B) = f(A)
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Relaciones
4.1. Introducci´on
Definici´on 4.1 (Relaci´on). Dados un par de conjuntos no vac´ıos A y B, llamaremos
relaci´on binaria entre A y B, o simplemente relaci´on entre A y B, a un
conjunto R  A × B.
Denotaremos a R b cuando (a, b) 2 R, y a /R b cuando (a, b) /2 R.
Observemos que, para A y B conjuntos no vac´ıos, ya conocemos una buena cantidad
de relaciones.
Por ejemplo, toda funci´on f : A ! B puede interpretarse como una relaci´on R  A × B, donde a R b () b = f(a).
Ejemplos:
1. Tomemos el conjunto R = {(p, n) 2
Z
×
N: |p − n|  5}. ´Este es una
relaci´on entre Zy N. Diremos que
“R es una relaci´on entre Zy Ndada por (p R n () |p−n|  5)”
2.  es una relaci´on de Rconsigo mismo, interpretando  como el conjunto
{(x, y) 2
R
×
R: x  y}.
3. En N
×
N, decimos que a | b () (9k 2
N) b = k · a. La relaci´on que
estamos simbolizando con la barra vertical | se conoce como divisibilidad,
y decimos que “a divide a b” cuando a | b. A modo de ejemplo, tenemos
que 2 | 8, 7 | 21, 4 – 5 y 9 – 28.
4. Para p, q 2
Z, definimos la relaci´on igualdad m´odulo 3, que simbolizaremos
por 3, por p 3 q () (9k 2
Z) (p −q) = 3k. As´ı, por ejemplo, 8 3 11
y 11 3 −1.
5. Sea P el conjunto de todos los seres humanos, y definimos para p1, p2 2 P
la relaci´on p1 H p2 () p1 es hermano o hermana de p2.
4.2. Relaciones de un conjunto en si mismo
A continuaci´on nos preocuparemos de las relaciones de un conjunto no vac´ıo A
consigo mismo, es decir las relaciones R  A × A.
Dada una relaci´on R en el conjunto A, definimos las siguientes propiedades (al
igual que con la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de funciones, estas
propiedades pueden ser o no cumplidas por cada relaci´on):
Definici´on 4.2 (Tipos de relaciones).
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Diremos que R es refleja si y s´olo si
(8x 2 A) x R x
Diremos que R es sim´etrica si y s´olo si
(8x, y 2 A) x R y ) y R x
Diremos que R es antisim´etrica si y s´olo si
(8x, y 2 A) (x R y ^ y R x) ) x = y
Diremos que R es transitiva si y s´olo si
(8x, y, z 2 A) (x R y ^ y R z) ) x R z
Observaci´on (Importante): Debemos observar que la simetr´ıa y la antisimetr´ıa
no son propiedades contrapuestas:
Por un lado puede ocurrir que una relaci´on no sea ni sim´etrica ni antisim´etrica, pero
tambi´en hay relaciones que cumplen ambas propiedades simult´aneamente. Estas
´ultimas, sin embargo, no pueden ser muy complejas, pues si R  A × A:
R es sim´etrica y antisim´etrica () (8x, y 2 A) [x R y ) x = y]
Demostraci´on. () Queda como ejercicio para el lector.
)) Sean x, y 2 A tales que x R y.
Como R es sim´etrica, entonces tambi´en y R x. As´ı,
x R y ^ y R x
y como R es antisim´etrica, concluimos que x = y.
Observemos que si tenemos una relaci´on R  A × A tal que existen elementos
x0 6= y0 en A tales que x0 R y0, entonces R es o bien sim´etrica, o bien antisim´etrica.
Relaciones de orden
Definici´on 4.3 (Relaci´on de orden). Sea R una relaci´on en el conjunto A. Diremos
que R es una relaci´on de orden en A, o simplemente que es un orden en
A, si es una relaci´on refleja, antisim´etrica y transitiva.
Si R es un orden en A, diremos que a precede a b cada vez que a R b.
Adem´as, diremos que dos elementos a, b 2 A son comparables si se cumple
que (a R b) _ (b R a).
Si R es un orden que hace que todo par de elementos sea comparable, entonces
diremos que R es un orden total. En caso contrario, diremos que es un orden
parcial.
Es f´acil verificar, entonces, que  es un orden total en R.
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Ejemplo: Divisibilidad
Recordando la relaci´on de divisibilidad | que ya definimos, tenemos que ´esta es
un orden parcial en N, pero no es un orden total.
Demostraci´on. Veamos que | cumple las tres propiedades requeridas:
| es refleja pues para cada n 2
Nse tiene que n = 1 · n.
Si a | b y b | a, entonces existen k, j 2
Ntal que b = ka y a = jb.
Con esto, b = kjb, o equivalentemente b(1 − kj) = 0. De modo an´alogo,
obtenemos que a = jka, y con ello a(1 − jk) = 0. Entonces
a(1 − kj) = b(1 − kj)
Si kj 6= 1, entonces podemos dividir por (1 − kj) y concluir que a = b.
Si kj = 1, como ambos son elementos de N, tenemos que forzosamente
k = j = 1 (se puede demostrar por contradicci´on, queda como ejercicio
para el lector). As´ı, a = jb = 1 · b = b.
En cualquier caso a = b, con lo que | resulta ser antisim´etrica.
Supongamos que a | b y que b | c. Entonces, existen k, j 2
Ntales que
b = ka y c = jb. As´ı, c = (j · k)a, por lo que a | c, y | resulta ser transitiva
tambi´en.
Concluimos que | es un orden parcial. Finalmente, vemos que | no es orden total
pues, por ejemplo, 2 y 3 no son comparables: 2 – 3 y 3 – 2.
Relaciones de equivalencia
Definici´on 4.4 (Relaci´on de equivalencia). Una relaci´on R en el conjunto A
se llamar´a relaci´on de equivalencia si es
Refleja.
Sim´etrica.
Transitiva.
Una relaci´on de equivalencia en el fondo define un criterio de semejanza entre los
elementos de A.
Por esto, consideraremos a continuaci´on los subconjuntos formados por elementos
“equivalentes” para la relaci´on.
Definici´on 4.5 (Clase de equivalencia). Dado un elemento a 2 A, definimos
la clase de equivalencia de a asociada a R como el conjunto
{x 2 A : a R x}
el cual denotaremos por [a]R.
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Ejemplos:
Un ejemplo sencillo de relaci´on de equivalencia es la igualdad entre n´umeros
reales.
Otro ejemplo lo podemos tomar del diccionario espa˜nol: sea  el conjunto
de todas las palabras del diccionario espa˜nol.
Para v,w 2  definimos la relaci´on  como
v  w () v y w comienzan con la misma letra.
Es f´acil ver que  es una relaci´on de equivalencia en .
Calculemos en este caso la clase de equivalencia de algunas palabras: la
clase [hola] es el conjunto de todas las palabras en  que comienzan con
h, mientras que [casa] es el conjunto de todas las palabras que comienzan
con c.
En este ejemplo, notemos que podemos escribir
 = [ahora] [ [bote] [ [casa] [ . . . [ [zorro]
Adem´as, se tiene que [tapa] \ [velero] = ;, y que [manzana] =
[menos].
Veremos que estas ´ultimas propiedades se generalizan a cualquier relaci´on de equivalencia.
Propiedades 6. Sean x, y 2 A y R una relaci´on de equivalencia definida en A.
1. [x]R 6= ;
2. x R y () [x]R = [y]R
3. x /R y () [x]R \ [y]R = ;
4. Como consecuencia de las anteriores,
[x]R 6= [y]R () [x]R \ [y]R = ;
Demostraci´on. Demostraremos (2) y (3).
Para (2):
)) Sea a un elemento.
a 2 [x]R
() a R x (def. de clase de equivalencia)
() a R y (pues x R y)
() a 2 [y]R (def. de clase de equivalencia)
() Notemos que x 2 [x]R. Como [x]R = [y]R, concluimos que x 2 [y]R. Por
definici´on de clase de equivalencia, obtenemos que x R y.
Para (3):
)) Por contrarrec´ıproca. Como [x]R\[y]R 6= ;, tenemos que existe a 2 [x]R\[y]R.
Como a 2 [x]R, tenemos que a R x. An´alogamente, tenemos que a R y. Como R es una relaci´on de equivalencia, en particular es transitiva, y entonces x R y.
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() Por contrarrec´ıproca tambi´en. Si x R y, tenemos que x 2 [y]R. Como trivialmente
x 2 [x]R, entonces
x 2 [x]R \ [y]R
por lo que [x]R \ [y]R 6= ;.
Definici´on 4.6 (Conjunto cuociente). Al conjunto de todas las clases de equivalencia
inducidas sobre A por una relaci´on de equivalencia R se le llama conjunto
cuociente, y se denota A/R.
´ Este es un conjunto cuyos elementos son clases de equivalencia, es decir:
C 2 A/R () (9x 2 A) C = [x]R
Vimos que el conjunto de palabras  antes definido pod´ıa escribirse como uni´on
de ciertas clases de equivalencia. ´Estas eran conjuntos disjuntos entre s´ı, pues cada
uno de ellos conten´ıa a todas las palabras que comenzaban con una letra espec´ıfica.
Esta noci´on que dice que un conjunto puede ser escrito como uni´on de otros conjuntos,
todos ellos disjuntos, es la de partici´on.
Definici´on 4.7 (Partici´on). Sea A un conjunto no vac´ıo. Una colecci´on de conjuntos
{P1, . . . , Pn}  P(A) se llamar´a partici´on de A si cumple:
(8i 2 {1, . . . , n}) Pi 6= ;
(8i, j 2 {1, . . . , n}) i 6= j ) Pi \ Pj = ;
A = P1 [ P2 [ P3 [ . . . [ Pn
Consideremos un conjunto no vac´ıo A. Entonces toda relaci´on de equivalencia R definida sobre A induce en ´el una partici´on, la cual est´a formada por todas las clases
de equivalencia de los elementos de A.
Tambi´en, toda partici´on {P1, . . . , Pn} de A induce en ´el una relaci´on de equivalencia
R, la cual est´a dada por
a R b () (9i 2 {1, . . . , n}) a 2 Pi ^ b 2 Pi.
Ejemplo importante: Congruencia m´odulo
Un tipo de relaciones de equivalencia de particular importancia lo conforman las
llamadas relaciones igualdad m´odulo p, de las cuales ya conocemos la igualdad
m´odulo 3.
Sea p 2
N, p  2. Se define en Zla relaci´on p por
x p y () (9k 2
Z) (x − y) = kp
Si x p y, diremos que x e y son iguales m´odulo p, o que son congruentes
m´odulo p. Como ejemplo, tenemos que 13 3 7 pues 13 − 7 = 6 = 2 · 3, y que
12 5 27, pues 12 − 27 = −15 = −3 · 5.
Dado un p 2
N, p  2, p resulta ser una relaci´on de equivalencia sobre Z. As´ı, p
induce en Zclases de equivalencia, y al conjunto cuociente Z/ p le llamaremos Zp.
Para trabajar con ella, se necesita el siguiente teorema, llamado teorema de la
divisi´on euclidiana, que viene de la Teor´ıa de N´umeros:
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Teorema 4.1. Sean a, b 2
Z. Existe un ´unico par q, r 2
Ztal que
a = q · b + r ^ 0  r < |b| Se llama teorema de la divisi´on porque su aplicaci´on a un par a, b 2 Zequivale a calcular la divisi´on entera a ÷ b. ´Esta debe tener un cuociente q 2 y un resto r 2 Z, el cual debe ser menor que |b|. Propiedad 3. Se tiene queZp = {[0]p, [1]p, . . . , [p − 1]p} En particular, concluimos que Zp tiene exactamente p elementos. Demostraci´on. Demostraremos esta igualdad mediante dos inclusiones. ) Recordemos que Zp = Z/ p, es decir que Zp es el conjunto de todas las clases de equivalencia [·]p inducidas por p en Z. Como 0, 1, . . . , p − 1 2 Z entonces por definici´on de conjunto cuociente [0]p, [1]p, . . . , [p − 1]p 2 Zp ) Sea C 2 Zp. C es una clase de equivalencia, luego existe x 2 Ztal que C = [x]p. Aplicando el teorema de la divisi´on, obtenemos que existen un cuociente q 2 Zy un resto r 2 Z(0  r  p − 1) tales que x = p · q + r de donde se concluye x − r = p · q lo que significa que x p r Gracias a una propiedad que demostramos anteriormente, esto nos dice [x]p = [r]p Por lo tanto C = [r]p, y como 0  r  p − 1, entonces C 2 {[0]p, [1]p, . . . , [p − 1]p} www.Matematica1.com Gu´ıa B´asica Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. Una relaci´on R  A × A,R 6=  siempre cumple alguna de las siguientes propiedades: R es refleja, R es sim´etrica, R es antisim´etrica, R es transitiva. 2. R = {(x, y) 2 R × /x = 2y} es una relaci´on refleja. 3. R = {(x, y) 2 R × /x = 2y} es una relaci´on sim´etrica. 4. R = {(x, y) 2 R × R/x = 2y} es una relaci´on antisim´etrica. 5. R = {(x, y) 2 R × R/x = 2y} es una relaci´on transitiva. 6. R = {(x, y) 2 R \ {0} × R \ {0}/(9k)( x y = 2k ^ k 2 N)} es una relaci´on refleja. 7. R = {(x, y) 2 R \ {0} × R \ {0}/(9k)( x y = 2k ^ k 2 R)} es una relaci´on refleja. 8. R = {(x, y) 2 R \ {0} × R \ {0}/(9k)( x y = 2k ^ k 2 N)} es una relaci´on sim´etrica. 9. R = {(x, y) 2 R \ {0} × R \ {0}/(9k)( x y = 2k ^ k 2 Q)} es una relaci´on sim´etrica. 10. R = {(x, y) 2 R \ {0} × R \ {0}/(9k)( x y = 2k ^ k 2 N)} es una relaci´on antisim´etrica. 11. R = {(x, y) 2 R \ {0} × R \ {0}/(9k)( x y = 2k ^ k 2 N)} es una relaci´on transitiva. 12. R = {(x, y) 2 N \ {0} × N \ {0}/(9k)( x y  3k ^ k 2 N)} es una relaci´on refleja. 13. R = {(x, y) 2 N \ {0} × N \ {0}/(9k)( x y  3k ^ k 2 N)} es una relaci´on sim´etrica. 14. R = {(x, y) 2 N \ {0} × N \ {0}/(9k)( x y  3k ^ k 2 N)} es una relaci´on antisim´etrica. 15. R = {(x, y) 2 N \ {0} × N \ {0}/(9k)( x y  3k ^ k 2 N)} es una relaci´on transitiva. 16. Sea r 2 R, R = {(x, y) 2 R × R/x2 + y2 = r2} es una relaci´on refleja. 17. Sea r 2 R, R = {(x, y) 2 R × R/x2 + y2 = r2} es una relaci´on sim´etrica. 18. Sea r 2 R, R = {(x, y) 2 R × R/x2+y2 = r2} es una relaci´on antisim´etrica. 19. Sea r 2 R, R = {(x, y) 2 R × R/x2 + y2 = r2} es una relaci´on transitiva. 20. Sea r 2 R, R = {(x, y) 2 [−r, r] × [−r, r]/x2 + y2 = r2} es una relaci´on refleja. 21. Sea r 2 R, R = {(x, y) 2 [−r, r] × [−r, r]/x2 + y2 = r2} es una relaci´on sim´etrica. www.Matematica1.com www com . . M atematica1 22. Sea r 2 R, = {(x, y) 2 [−r, r] × [−r, r]/x2 + y2 = r2} es una relaci´on antisim´etrica. 23. Sea r 2 R, = {(x, y) 2 [−r, r] × [−r, r]/x2 + y2 = r2} es una relaci´on transitiva. 24. R = {(x, y) 2 R × R/x2 + y2 = r2, r 2 R } es una relaci´on refleja. 25. R = {(x, y) 2 R × R/x2 + y2 = r2, r 2 R } es una relaci´on sim´etrica. 26. R = {(x, y) 2 R × R/x2 + y2 = r2, r 2 R } es una relaci´on antisim´etrica. 27. R = {(x, y) 2 R × R/x2 + y2 = r2, r 2 R } es una relaci´on transitiva. 28. Una relaci´on sim´etrica nunca es antisim´etrica. 29. Una relaci´on antisim´etrica nunca es sim´etrica. 30. La = es una relaci´on que es sim´etrica y antisim´etrica a la vez. 31. La ´unica relaci´on sim´etrica y antisim´etrica a la vez es la igualdad. 32. No existen relaciones que sean de equivalencia y de orden a la vez. 33. Sea A un conjunto de un elemento. Sea R una relaci´on de equivalencia definida en A. Independiente de la forma de R, A/R siempre tendr´a dos elementos. 34. Sea A un conjunto de un elemento. Sea R una relaci´on de equivalencia definida en A. Independiente de la forma de R, A/R siempre tendr´a un elemento. 35. R = {(x, y) 2 Z \ {0} × Z \ {0}/xy  0} es una relaci´on refleja. 36. R = {(x, y) 2 Z \ {0} × Z \ {0}/xy  0} es una relaci´on refleja. 37. R = {(x, y) 2 Z \ {0} × Z \ {0}/xy  0} es una relaci´on sim´etrica. 38. R = {(x, y) 2 Z \ {0} × Z \ {0}/xy  0} es una relaci´on antisim´etrica. 39. R = {(x, y) 2 Z \ {0} × Z \ {0}/xy > 0} es una relaci´on transitiva.
40. R = {(x, y) 2
Z
\ {0} ×
Z
\ {0}/xy < 0} es una relaci´on transitiva. 41. R = {(x, y) 2 [0,1) × [0,1)/x  0} es una relaci´on refleja. 42. = {(x, y) 2 [0,1) × [0,1)/x  0} es una relaci´on sim´etrica. 43. R = {(x, y) 2 R × R/x  0} es una relaci´on antisim´etrica. 44. R = {(x, y) 2 R × R/x  0} es una relaci´on transitiva. 45. (−1, 0) y [0,1) son las clases de equivalencia de R = {(x, y) 2 R × R/xy  0} 46. (−1, 0) y (0,1) son las clases de equivalencia de R = {(x, y) 2 (R \ {0})× (R \ {0})/xy > 0}
47. (−1, 0) y [0,1) son las clases de equivalencia de R = {(x, y) 2
R
×
R/x+y  0}
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48. Sea A el conjunto de alumnos de primer a no. La relaci´on en A, dada por
a1Ra2 , a1 tiene mejor nota que a2, es una relaci´on de orden.
49. Sea A el conjunto de alumnos de primer a no. La relaci´on en A, dada por
a1Ra2 , a1 tiene mejor o igual nota que a2, es una relaci´on de orden total.
50. Sea A el conjunto de alumnos de primer a no. La relaci´on en A, dada por
a1Ra2 , a1 tiene mejor o igual nota que a2, es una relaci´on de orden parcial.
51. R = {(x, y) 2
R
×
R/x < y} es una relaci´on de orden total. 52. R = {(x, y) 2 R × R/x < y} es una relaci´on de orden parcial. 53. Dos clases de equivalencia siempre tienen al menos un elemento en com´un. 54. {x 2 N/x = 2n, n 2 N } y {x 2 N/x = 2n + 1, n 2 N }, son las clases de equivalencia de R = {(x, y) 2 R × R/x = 2y} 55. {x 2 N/x = 2n, n 2 N } y {x 2 N/x = 2n + 1, n 2 N }, son las clases de equivalencia de R = {(x, y) 2 R × R/ x y = 2} 56. {x 2 N/x = 2n, n 2 N } y {x 2 N/x = 2n + 1, n 2 N }, son las clases de equivalencia de R = {(x, y) 2 R × R/ x y = 2n, n 2 N } 57. {x 2 N/x = 2n, n 2 N } y {x 2 N/x = 2n + 1, n 2 N }, son las clases de equivalencia de R = {(x, y) 2 R × R/x − y = 2n, n 2 } www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Gu´ıa de Ejercicios 1. Estudie si las siguientes relaciones son o no reflejas. En caso que no lo sean, para demostrarlo, enuncie un contraejemplo. (a) R = {(x, y) 2 R × R/y = ax + b}, con a 6= 0. (b) R = {(x, y) 2 R × R/y = ax + b ^ y = ax + d}, con a 6= 0, b 6= d. (c) R = {(x, y) 2 R × R/y = ax + b ^ y = cx + d}, con ac = −1. (d) R = {(x, y) 2 R × R/y  ax + b ^ y  cx + d}, con b, d > 0.
(e) R = {(x, y) 2 [−r, r] × [−r, r]/y2 + x2  r2 ^ |y|  r
2}, con r > 0.
(f) R = {(x, y) 2 [−r
2 , r
2 ] × [−r, r]/y2 + x2  r2 ^ |y|  r
2}, con r > 0.
(g) R = {(x, y) 2 [−r
2 , r
2 ] × [−r, r]/y2 + x2  r2}, con r > 0.
2. Estudie si las siguientes relaciones son o no sim´etricas. En caso que no lo sean,
para demostrarlo, enuncie un contraejemplo.
(a) R = {(x, y) 2
R
×
R/y 6= x}
(b) R = {(x, y) 2
R
×
R/y = x}
(c) R = {(x, y) 2
R
×
R/y2 = x2}
(d) R = {(x, y) 2
R
×
R/|y| = x}
(e) R = {(x, y) 2
R
×
R/xy = 2k, k 2
Z
}
(f) R = {(x, y) 2
R
×
R/xy < 0} 3. Estudie si las siguientes relaciones son o no antisim´etricas. En caso que no lo sean, para demostrarlo, enuncie un contraejemplo. (a) R = {(x, y) 2 R × R/y 6= x} (b) R = {(x, y) 2 R × R/y < x} (c) R = {(x, y) 2 R × R/y  x} (d) R = {(x, y) 2 R × R/|y| = x} (e) R = {(x, y) 2 R × R/xy = 2k, para alg´un k 2 N } www.Matematica1.com 4. Estudie si las siguientes relaciones son o no transitivas. En caso que no lo sean, para demostrarlo, enuncie un contraejemplo. (a) R = {(x, y) 2 R × R/y 6= x}. (b) R = {(x, y) 2 R × R/|y|  x} (c) R = {(x, y) 2 R × R/y2 < x3} (d) R = {(x, y) 2 R × R/xy = 1} (e) R = {(x, y) 2 R × R/xy 2 Q } (f) R = {(x, y) 2 R × R/x − y = pk, para alg´un k 2 Q } 5. Estudie las siguientes relaciones. Indique si son de orden, o de equivalencia, si es el primer caso determine si son de orden total o parcial, si es el segundo, encuentre las clases de equivalencia. (a) Sea H el conjunto de todos los hombres yM el conjunto de todas las mujeres. Se define E  H ×M por E = {(h,m) 2 H ×M/h esta casado con m} Es decir, E es el conjunto de todos los matrimonios. Indicaci´on: En esta parte haga los supuestos de estime convenientes y vea qu´e pasa si los cambia (por ej., si se permite que uno sea hermano de si mismo, o no). Adem´as, no se preocupe en ser demasiado formal, lo importante es que comprenda qu´e verificar para una relaci´on de orden y para una de equivalencia. (1) Sea R1 la relaci´on definida en E por: (h1,m1)R1(h2,m2) , Alg´un miembro del matrimonio 1 es hermano(a) de alg´un miembro del matrimonio (2) Sea R2 la relaci´on definida en E por: (h1,m1)R2(h2,m2) , h1 es hermano(a) de h2 (3) Sea R3 la relaci´on definida en E por: (h1,m1)R3(h2,m2) , Alg´un miembro del matrimonio 1 es de mayor estatura que alg´un miembro del matrimonio 2 (4) Sea R4 la relaci´on definida en E por: (h1,m1)R4(h2,m2) , m1 es de menor estatura que m2 (5) Sea R5 la relaci´on definida en E por: (h1,m1)R5(h2,m2) , Las edades del matrimonio 1 suman mas que las edades del matrimonio 2 (6) Sea R6 la relaci´on definida en E por: (h1,m1)R6(h2,m2) , Las edades del matrimonio 1 suman a lo menos la suma de las edades del matrimonio (7) Sea R7 la relaci´on definida en E por: (h1,m1)R7(h2,m2) , Las edades del matrimonio 1 suman lo mismo que las edades del matrimonio (b) xRy , x2 + y = y2 + x (c) (x, y)R(z,w) , x < z ^ y + w = 2k, k 2 N (d) (x, y)R(z,w) , x + z = y + w (e) (x, y)R(z,w) , x  z ^ y  w (f) (x, y)R(z,w) , xw  zy www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Gu´ıa de Problemas La presente gu´ıa le permitir´a tener una idea bastante precisa del tipo de problemas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´on y el tiempo promedio que deber´ıa demorar en resolverlos. En total deber´ıa poder resolverla en 3 horas. Le recomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido, que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una hora a escribir con detalles las soluciones. P1. Sobre un conjunto de proposiciones P l´ogicas se define la relaci´on R por pRq , ((p ^ q) , q) Adem´as, para p, q 2 P se dice que p = q si y solo si p , q. (a) (20 min.) Demuestre que R es una relaci´on de orden sobre P. (b) (10 min.)Pruebe que R es una relacion de orden total. P2. Considere el conjunto A = Z × Z.Se define la relaci´on R en A por: (a1, a2) R (b1, b2) , a1 + a2 − b1 − b2 = 2k para un cierto k 2 Z. (a) (30 min.) Pruebe que R es una relaci´on de equivalencia. (b) (10 min.) Calcular expl´ıcitamente [(0, 0)]R y [(1, 0)]R. (c) (10 min.) Pruebe que A = [(0, 0)]R [ [(1, 0)]R. (d) (10 min.) Pruebe que existe una biyecci´on f : [(1, 0)]R ! [(0, 0)]R. P3. (30 min.) Sea A el conjunto de todas las relaciones binarias en R. Sobre A definamos la relaci´on binaria siguiente: Sean R1,R2 2 A, entonces R1 R2 , [(8x, y 2 R)(xR1y ) xR2y)] Pruebe que es una relaci´on de orden. Muestre adem´as que es de orden parcial en A. P4. Sea p 2 Z, p  2. Se define en Q+ = {q 2 Q/q > 0} la relaci´on
p por:
x
py , 9 2
Z,
x
y
= p
(a) (20 min.) Demostrar que
p es relaci´on de equivalencia en Q+.
(b) (10 min.) Describa por extensi´on [1]
2 .
P5. Sea A un conjunto no vac´ıo y f : A ! A una funci´on que satisface la condicion
siguiente:
9n 2
N
\ {0} tal que f(n) = idA.
Se define en A la relaci´on R por:
xRy , 9k 2 {1, 2, …, n} tal que f(k)(x) = y.
(a) (30 min.) Demuestre que R es relaci´on de equivalencia.
(b) Considere A = {0, 1}3yf : A ! A definida por f(x1, x2, x3) = (x2, x3, x1)
(b.1) (10 min.) Pruebe que f satisface la propiedad enunciada.
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(b.2) (20 min.) Determine y escriba todas las clases de equivalencia inducidas
por R en A.
P6. Sea E un conjunto y A 6=  un subconjunto fijo de E. Se define en P(E) la
relaci´on R por:
XRY , A \ X = A \ Y
(a) (10 min.) Demuestre que R es relaci´on de equivalencia.
(b) (15 min.) Demuestre que el conjunto cuociente P(E)/R = {[X]/X 2
P(A)}.
(c) (15 min.) Demuestre que para X, Y 2 P(A) se tiene que X 6= Y ) [X] 6=
[Y ].
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PRINCIPIO DE INDUCCI´ON Y SUMATORIAS
5. Principio de inducci´on
5.1. Principio de inducci´on: Primera forma
Una categor´ıa importante de proposiciones y teoremas es la de las propiedades de
los n´umeros naturales. Aqu´ı tenemos, por ejemplo
(8n 2
N) n < 2n (8n 2 N) (n es primo ^ n 6= 2) ) n es impar (8n  1) 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7 En general, si p(n) es una proposici´on cuya variable libre n pertenece a N, las distintas formas del principio de inducci´on nos proporcionan proposiciones equivalentes a la proposici´on (8n  n0) p(n) Estas formas alternativas nos facilitar´an en muchos casos obtener una demostraci´on de la propiedad buscada. Definici´on 5.1 (Principio de inducci´on, primera forma). Consideremos la proposici ´on (8n  n0) p(n) donde n0 2 Nes un n´umero natural fijo. La primera forma del principio de inducci´on nos dice que esta proposici´on es equivalente a p(n0) ^ [(8n  n0) p(n) ) p(n + 1)] Observemos los siguientes ejemplos: Proposici´on 5.1. Demostrar que (8n 2 N) 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7 Demostraci´on. El caso base es n = 0. Aqu´ı, tenemos que demostrar que 32·0+1 + 20+2 es divisible por 7 Pero esto es verdadero, pues 32·0+1 + 20+2 = 3 + 4 = 7. Supongamos ahora que tenemos un n 2 Ntal que se cumple la propiedad, es decir que 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7. Con esta informaci´on, a la cual llamamos hip´otesis inductiva, tenemos que demostrar que 32(n+1)+1 +2(n+1)+2 es tambi´en divisible por 7. Gracias a la hip´otesis inductiva, tenemos que existe un k 2 Ntal que 32n+1+2n+2 = 7k. Entonces: 32(n+1)+1 + 2(n+1)+2 = 32n+3 + 2n+3 = 9 · 32n+1 + 2 · 2n+2 = (7 · 32n+1 + 2 · 32n+1) + 2 · 2n+2 www.Matematica1.com donde esta descomposici´on la hacemos de modo de poder factorizar el t´ermino 32n+1 + 2n+2. As´ı, continuamos desarrollando 32(n+1)+1 + 2(n+1)+2 = 7 · 32n+1 + 2 · (32n+1 + 2n+2) = 7 · 32n+1 + 2 · 7k = 7 · (32n+1 + 2k) | {z } 2 N por lo que concluimos que 32(n+1)+1+2(n+1)+2 es divisible por 7. Gracias al principio de inducci´on, la propiedad en cuesti´on es cierta. Proposici´on 5.2. Demostrar que (8n  1) 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) 2 Demostraci´on. El caso base a demostrar en esta ocasi´on es n = 1. Aqu´ı, tenemos que demostrar que 1 = 1 · (1 + 1) 2 lo que es cierto. Supongamos ahora que la propiedad vale para alg´un n  1 (hip´otesis inductiva). Debemos demostrar que la propiedad tambi´en es cierta para n + 1. Es decir, que 1 + 2 + . . . + (n + 1) = (n + 1)(n + 2) 2 En efecto: 1 + 2 + . . . + (n + 1) = 1 + 2 + . . . + n + (n + 1) = n(n + 1) 2 + (n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1) 2 = (n + 1)(n + 2) 2 y se concluye la veracidad de la propiedad gracias al principio de inducci´on. 5.2. Principio de inducci´on: Segunda forma La segunda forma del principio de inducci´on nos dice: Definici´on 5.2 (Principio de inducci´on, segunda forma). La proposici´on (8n  n0) p(n) es equivalente a p(n0) ^ h (8n > n0) [p(n0) ^ . . . ^ p(n − 1) ) p(n)]
i
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Como ejemplo de la aplicaci´on de esta forma del principio de inducci´on,
recordemos que los n´umeros compuestos son los n´umeros naturales mayores que 1
que poseen un divisor distinto de 1 y de s´ı mismos, es decir, si n  2:
n es compuesto () (9d 2 {2, . . . , n − 1}) d | n
Recordemos tambi´en que los n´umeros primos son los que no son compuestos.
Ejemplo:
Proposici´on 5.3. Todo n´umero natural n  2 posee al menos un divisor que es
un n´umero primo. Es decir,
(8n  2)(9p n´umero primo) p | n
Demostraci´on. Utilizaremos segunda forma de inducci´on. El caso base es n =
2, para el cual observamos que p = 2 es un n´umero primo tal que p | n.
Hagamos ahora el paso inductivo: Sea n > 2, y supongamos que para todo valor
k = 2, 3, . . . , n − 1 se tiene que k posee un divisor primo. Separamos por casos:
Si n es primo, entonces p = n es un n´umero primo tal que p | n.
Si n no es primo, entonces existe un natural d 2 {2, . . . , n−1} tal que d | n.
Por hip´otesis inductiva y notando que d < n, entonces existe un n´umero primo p tal que p | d. Tenemos entonces que p | d y d | n, y gracias a que | es una relaci´on transitiva, obtenemos que p | n. Definici´on 5.3 (F´ormulas de recurrencia). Consideremos el siguiente set de igualdades, al cual llamaremos recurrencia: x0 = a xn+1 = f(x0, . . . , xn) (8n  0) Las recurrencias nos permitir´an una forma alternativa de definir secuencias de n´umeros, como por ejemplo x0 = 2 xn+1 = 2 + xn (8n  0) define la secuencia 2, 4, 6, 8, 10, . . . de n´umeros pares positivos. Una cualidad importante de las f´ormulas de recurrencia es que son altamente compatibles con las demostraciones que utilizan principio de inducci´on. Por ejemplo, consideremos la f´ormula de recurrencia x0 = 1 xn+1 = 1 + xn 2 2 (8n  0) Demostraremos que (8n 2 N) xn  2. www.Matematica1.com Demostraci´on. Lo haremos utilizando primera forma de inducci´on. El caso base resulta ser cierto pues corresponde a demostrar que x0  2 (recordemos que x0 = 1). Supongamos ahora que para alg´un n 2 Nse tiene que xn  2. Se tiene, entonces, que xn+1 = 1 + xn 2 2 = 1 + x2 n 4  1 + 22 4 = 2 con lo que xn+1  2, y se concluye la demostraci´on. Consideremos la secuencia de n´umeros definida por la recurrencia f1 = 1 f2 = 1 fn+2 = fn+1 + fn (8n 2 N) la cual se llama secuencia de n´umeros de Fibonacci. Sus primeros t´erminos son f1 = 1 f2 = 1 f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2 f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3 f5 = f4 + f3 = 3 + 2 = 5 f6 = f5 + f4 = 5 + 3 = 8 ... Observaci´on: Los n´umeros de Fibonacci est´an relacionados con muchos elementos de la naturaleza. Visita http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci, para m´as detalles. Ejemplo: N´umeros de Fibonacci Entre muchas propiedades que cumplen, demostraremos la siguiente: Proposici´on 5.4. (8n  1) f4n es divisible por 3 Demostraci´on. La demostraremos usando primera forma de inducci´on. El caso base es n = 1, en el cual tenemos que probar que f4 es divisible por 3. Esto es directo, pues como ya vimos, f4 = 3. Para el paso inductivo, supongamos que f4n es divisible por 3 para alg´un n  1. Existe, entonces, un k 2 Ntal que f4n = 3k. Debemos demostrar que f4(n+1) es divisible por 3 Desarrollemos este t´ermino, utilizando la f´ormula de recurrencia que cumplen www.Matematica1.com www com . . M atematica1 los n´umeros de Fibonacci: f4(n+1) = f4n+4 = f4n+3 + f4n+2 = (f4n+2 + f4n+1) + (f4n+1 + f4n) = f4n+2 + 2f4n+1 + f4n = (f4n+1 + f4n) + 2f4n+1 + f4n = 3f4n+1 + 2f4n = 3f4n+1 + 2 · 3k = 3(f4n+1 + 2k) con lo que f4(n+1 tambi´en es divisible por 3, que era lo que dese´abamos. 6. Sumatorias 6.1. Introducci´on Sea a0, a1, a2, . . . , an una secuencia de n´umeros reales. En esta secci´on estudiaremos propiedades y m´etodos de c´alculo para su suma a0 + a1 + a2 + . . . + an Introduciremos para este efecto una notaci´on especial: a0 + a1 + a2 + . . . + an = Xn k=0 ak Al s´ımbolo P le llamaremos sumatoria. M´as generalmente: Definici´on 6.1 (Sumatoria). Si aM, aM+1, . . . , aN es una secuencia de n´umeros reales, definimos su sumatoria por recurrencia: MX k=M ak = aM Xn k=M ak = an + nX−1 k=M ak (8n = M + 1, . . . ,N) En este cap´ıtulo estudiaremos propiedades y m´etodos de c´alculo para sumatorias de diversos tipos. La sumatoria cumple la siguiente lista de propiedades: Proposici´on 6.1. 1. Suma de la secuencia constante igual a 1. XJ k=I 1 = (J − I + 1) 2. Sea  2 R, y sean (ak)n k=1, (bk)n k=1 dos secuencias. www.Matematica1.com 2.1 Factorizaci´on de constantes. XJ k=I  · ak =  · XJ k=I ak 2.2 Separaci´on de una suma. XJ k=I (ak + bk) = XJ k=I ak + XJ k=I bk 3. Traslaci´on del ´ındice, si s 2 N. XJ k=I ak = JX+s k=I+s ak−s 4. Separaci´on en dos sumas, si I  L < J. XJ k=I ak = XL k=I ak + XJ k=L+1 ak 5. Propiedad telesc´opica. XJ k=I (ak − ak+1) = aI − aJ+1 Demostraci´on. Demostraremos (1) y (6). Para (1): Lo haremos por inducci´on sobre J  I. Caso base J = I: debemos demostrar que XI k=I 1 = (I − I + 1) lo cual es directo, pues ambos lados valen 1. Supongamos ahora que PJ k=I 1 = (J − I + 1). Entonces JX+1 k=I 1 = 1 + XJ k=I 1 = 1 + (J − I + 1) = (J + 1) − I + 1 Para (6): Nuevamente por inducci´on sobre J  I. Si J = I, el resultado se reduce a demostrar que XI k=I (ak − ak+1) = aI − aI+1 lo cual es directo gracias a la definici´on de sumatoria. Supongamos ahora que PJ k=I (ak − ak+1) = aI − aJ+1. Entonces JX+1 k=I (ak−ak+1) = (aJ+1−aJ+2)+ XJ k=I (ak−ak+1) = (aJ+1−aJ+2)+(aI−aJ+1) = aI−aJ+www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Gu´ıa B´asica Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0) y (8n 2 N)[p(n) ) p(n + 1)] son verdaderas. 2. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0)^(8n 2 N)[p(n) ) p(n + 1)] es verdadera. 3. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0)_(8n 2 N)[p(n) ) p(n + 1)] es verdadera. 4. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0) y (8n 2 N)[p(n+ 1) ) p(n)] son verdaderas. 5. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0) y (8n 2 N)[p(n) ) p(2n)] son verdaderas. 6. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0) y (8n 2 N)[p(2n) ) p(2n + 1)] son verdaderas. 7. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0), (8n 2 N)[p(2n) ) p(2n + 1)] y (8n  1)[p(2n − 1) ) p(2n)] son verdaderas. 8. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0), {(8n 2 N)[p(2n) ) p(2n + 1)] _ (8n  1)[p(2n − 1) ) p(2n)]} son verdaderas. 9. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0) y (8n  1)[p(n − 1) ) p(n)] son verdaderas. 10. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0) y (8n  1)[p(n − 1) ) p(n + 1)] son verdaderas. 11. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0), p(1) ^ ... ^ p(n) son verdaderas para alg´un n 2 . 12. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0) y (8n  1)[(p(0)^ ... ^ p(n − 1) ^ p(n)) ) p(n + 1)] son verdaderas. 13. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0) y (8n  1)[(p(0)^ ... ^ p(n − 1)) ) p(n + 1)] son verdaderas. 14. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0) y (8n  1)[(p(0)^ ... ^ p(n − 1)) ) p(n)] son verdaderas. 15. Una proposici´on l´ogica (8n 2 N)p(n) es verdadera ssi p(0) y (8n > k)[p(k)^ … ^ p(n − 1) ) p(n)] son verdaderas para alg´un k 2
N.
16. Una proposici´on l´ogica (8n 2
N)p(n) es verdadera ssi (8n > k)[p(k) ^ … ^ p(n − 1) ) p(n)] es verdadera para alg´un k 2
N.
17. Una proposici´on l´ogica (8n 2
N)p(n) es verdadera ssi p(k) ^ … ^ p(n) es
verdadera para algunos k, n 2
N.
18. Una proposici´on l´ogica (8n 2
N)p(n) es verdadera ssi p(0) y (8n 2
N)[p(n) , p(n + 1)] son verdaderas.
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19. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales y  2
R, se tiene que
PN
i=0 ai =

PN
i=0 ai.
20. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales y  2
R, se tiene que
PN
i=0 +
ai =  +
PN
i=0 ai.
21. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales y  2
R, se tiene que
PN
i=0 +
ai = (N + 1) +
PN
i=0 ai.
22. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales y  2
R, se tiene que
PN
i=0 +
ai = N + 1 +
PN
i=0 ai.
23. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=0 ai =
PN+1
i=1 ai−124. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=0 ai =
PN+3
i=2 ai−225. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales y N  1 par, se tiene que
PN
i=0 ai =
PN/2
i=0 a2i +
PN
2 −1
i=0 a2i+1.
26. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=1(ai + bi) = PN
i=1 ai +
PN
j=1 bj .
27. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=1(ai + bi) =
PN
i=1

ai +
PN
j=1 bj

.
28. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=1(ai + bi) =
PN
i=1

−N + ai +
PN
j=1 bi

.
29. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=j ai =
PN
j=i aj .
30. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=0 ai =
PN
j=0 aj .
31. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=0 ai =
PN−1
j=0 (aj− aN).
32. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=0 ai =
PN−1
j=0 (aj+
aN).
33. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=0 ai =
PN−1
j=0 aj

aN.
34. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=0 ai =
PN−1
j=0 aj

aN.
35. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=1 ai −ai−1 =
aN − a0.
36. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=1 ai −ai−1 =
a0 − aN.
37. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=1 ai−(ai−1) =
aN − a0.
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38. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=1(ai+1)−ai =
aN+1 − a1.
39. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=1 ai−1 −ai =
aN − a0.
40. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=1 ai−1 −ai =
a0 − aN.
41. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=5 ai−1 −ai =
a5 − aN.
42. Sea (an)n0 una secuencia de t´erminos reales, se tiene que
PN
i=5 ai−1 −ai =
a4 − aN.
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Gu´ıa de Ejercicios
1. Demuestre las siguientes afirmaciones, usando inducci´on. Indique claramente
sobre qu´e variable la est´a usando y cu´al es la hip´otesis inductiva.
(a) 8k 2
N, la suma de los primeros k naturales es divisible por k o por k + 1.
(b) 8n  1, 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7.
(c) 8n  1, n3 + 5n es divisible por 6.
(d) 8n  1, 52m+1 + 72m+1 es divisible por 6.
(e) 8n  1, (x − y) divide a xn − yn.
2. Demuestre las siguientes propiedades usando inducci´on.
(a) 8n 2
N,
P2n
k=1(−1)k(2k + 1) = n, y determine el valor de la constante
.
(b) 8n 2
N, 1 + 1
4 + 1
9 + ….. + 1
n2  2 − 1
n.
(c) 8n  1,
Pn
i=1 i2 = n(2n+1)(n+1)
6 .
(d) 8n  1,
Pn
i=1 i = n2+n
2 .
3. Resuelva los siguiente problemas
(a) 8n 2
N, demuestre que el producto de n n´umeros naturales mayores estrictos
que uno y no necesariamente consecutivos es mayor estricto que n.
(b) 8n 2
N, demuestre que si tiene n rectas en el plano, de modo tal que no
existen rectas paralelas y adem´as la intersecci´on entre ellas es dos a dos (es
decir, no existen tres rectas que se corten en el mismo punto), entonces el
total de regiones formadas es (
Pn
j=0 j) + 1.
(c) 8n 2
N, demuestre que n puntos sobre una recta generan n + 1 segmentos.
4. Encuentre el valor de las siguientes sumatorias. (Sin usar inducci´on).
(a)
Xn
i=0
i + i2.
(b)
Xn
i=0
(i − 1)2 − i2.
(c)
Xn
i=1
sen(i) − sen(i + 1).
(d)
Xn
i=1
cos(i + 2) + cos(i) − cos(i + 1) − cos(i − 1).
(e)
Xn
i=1
i
i2 + 2i + 1 −
i − 1
i2 .
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Gu´ıa de Problemas
La presente gu´ıa le permitir´a tener una idea bastante precisa del tipo de problemas
que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´on y el tiempo promedio que
deber´ıa demorar en resolverlos. En total deber´ıa poder resolverla en 3 horas. Le
recomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,
que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una hora
a escribir con detalles las soluciones.
P1. (30 min.) Probar que para todo natural mayor o igual que 1 se tiene
nX+1
k=1
1
n + k 
5
6
.
P2. (20 min.) Probar por inducci´on que para n  1, 2 · 7n + 3 · 5n − 5 es divisible
por 24.
P3. (20 min.) Demuestre que (8n  10)n3 < 2n. P4. Consideremos la siguiente sucesi´on {a(n)}n1 definida por recurrencia. a(2) = a(1) = 1 y sea a(n) = 3[a(n − 1) + a(n − 2)] + 1 Queremos probar que a(3n) + a(3n + 1) es divisible por 32. (a) (20 min.) Pruebe usando inducci´on que a(3n + 2) − 1 es divisible por 2. (b) (20 min.) Pruebe usando inducci´on que 3a(3n + 1) + 5 es divisible por 8. (c) (20 min.) Pruebe usando inducci´on que a(3n) + a(3n + 1) es divisible por 32. P5. Se define Hn = Pn i=1 1 i , 8n  1 a) (10 min.) Demuestre usando inducci´on que H2k  1 + k 8k 2 N b) (20 min.) Demuestre usando inducci´on que Xn i=1 Hi = (n + 1)Hn − n 8n  1 P6. (20 min.) Demuestre usando inducci´on que: (1 + x)(1 + x2)(1 + x22 )(1 + x23 )…(1 + x2n−1 ) = x2n − 1 x − 1 8n  1, x 6= 1 www.Matematica1.com SUMATORIAS 6.2. Progresiones aritm´eticas Definici´on 6.2 (Progresi´on aritm´etica). Es una sumatoria del tipo Xn k=0 (A + kd) es decir, donde ak = A + kd, para valores A, d 2 . Utilizando las propiedades de sumatoria, obtenemos que esta suma es igual a A · Xn k=0 1 + d · Xn k=0 k Nos basta, entonces, calcular la sumatoria Xn k=0 k Para ello utilizaremos el m´etodo de Gauss: como la suma en Res conmutativa, entonces S = Xn k=0 k puede ser calculado de las dos formas siguientes S = 0 + 1 + 2 +. . .+ (n-1) + n S = n + (n-1) + (n-2) +. . .+ 1 + 0 Si sumamos estas dos igualdades, obtenemos S = 0 + 1 + 2 +. . .+ (n − 1) + n S = n + (n − 1) + (n − 2) +. . .+ 1 + 0 2S = n + n + n +. . .+ n + n Como cada suma posee (n + 1) sumandos, obtenemos que S = n(n + 1) 2 Proposici´on 6.2. Si n  0, Xn k=0 k = n(n + 1) 2 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Demostraci´on. Por inducci´on sobre n  0. Caso n = 0: Hay que demostrar que X0 k=0 k = 0 · 1 2 lo cual es directo pues ambos lados valen 0. Supongamos que la f´ormula vale para alg´un n  0. Entonces nX+1 k=0 k = (n + 1) + Xn k=0 k = (n + 1) + n(n + 1) 2 (Aqu´ı aplicamos la hip´otesis inductiva.) = (n2 + n) + 2(n + 1) 2 = n2 + 3n + 2 2 = (n + 1)(n + 2) 2 con lo que completamos la demostraci´on. Es importante notar que Xn k=0 k = 0 + Xn k=1 k = Xn k=1 k por lo que es irrelevante si la suma se considera desde k = 0 o desde k = 1. Tambi´en, notemos que si 1  n1  n2 son n´umeros naturales, entonces Xn2 k=n1 k = Xn2 k=0 k − nX1−1 k=0 k = n2(n2 + 1) 2 − (n1 − 1)n1 2 = (n1 + n2)(n2 − n1 + 1) 2 por lo que sabemos calcular esta suma entre cualquier par de n´umeros. Finalmente, volviendo a la progresi´on aritm´etica, podemos ahora dar su f´ormula expl´ıcita: Proposici´on 6.3 (F´ormula progesi´on aritm´etica). Xn k=0 (A + kd) = A(n + 1) + d n(n + 1) 2 6.3. Progresiones geom´etricas Definici´on 6.3 (Progresi´on geom´etrica). Es una sumatoria del tipo Xn k=0 Ark es decir, donde ak = Ark, para valores A, r 2 R. www.Matematica1.com Supongamos que r 6= 1. El caso r = 1 es muy sencillo, y queda como ejercicio para el lector. Similarmente a como procedimos antes, podemos decir que esta suma equivale a A · Xn k=0 rk por lo que basta calcular esta ´ultima sumatoria. Denotemos S = Xn k=0 rk Se tiene entonces que r · S = Xn k=0 rk+1 por lo que S − r · S = Xn k=0 (rk − rk+1) S − r · S = Xn k=0 (rk − rk+1) Reconocemos en esta ´ultima igualdad una suma telesc´opica, la cual vale r0 −rn+1. Por lo tanto S(1 − r) = 1 − rn+1 y gracias a que r 6= 1 se obtiene la f´ormula Propiedad 4. Si n  0 y r 6= 1, Xn k=0 rk = 1 − rn+1 1 − r Queda propuesto al lector demostrar por inducci´on esta propiedad. Nuevamente es posible calcular esta suma entre cualquier par de n´umeros. Si 1  n1  n2, entonces Xn2 k=n1 rk = Xn2 k=0 rk − nX1−1 k=0 rk = 1 − rn2+1 1 − r − 1 − rn1 1 − r = rn1 − rn2+1 1 − r As´ı, volviendo al caso de la progresi´on geom´etrica, obtenemos que ´esta cumple la f´ormula Proposici´on 6.4. F´ormula progresi´on geom´etrica Si r 6= 1, Xn k=0 Ark = A(1 − rn+1) 1 − r www.Matematica1.com www com . . M atematica1 6.4. Algunas sumas importantes Veamos a continuaci´on algunas sumas importantes que podemos calcular usando lo conocido. Propiedad 5. Si n  0, Xn k=0 k2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 . Demostraci´on. Queda propuesto como ejercicio, demostrar esta propiedad usando inducci´on. Aqu´ı lo haremos directamente, notando que para cualquier k 2 {0, . . . , n} se tiene que (k + 1)3 = k3 + 3k2 + 3k + 1. Por ende, tendremos la siguiente igualdad Xn k=0 (k + 1)3 = Xn k=0 k3 + 3k2 + 3k + 1. Y aplicando propiedades de las sumas, obtenemos: Xn k=0 (k + 1)3 = Xn k=0 k3 + Xn k=0 3k2 + Xn k=0 3k + Xn k=0 1 = Xn k=0 k3 + 3 Xn k=0 k2 + 3 Xn k=0 k + Xn k=0 1 Despejamos entonces el valor de la suma buscada, obteniendo: Xn k=0 k2 = 1 3 Xn k=0 (k + 1)3 − Xn k=0 k3 − 3 Xn k=0 k − Xn k=0 1 ! = 1 3 Xn k=0 ((k + 1)3 − k3) | {z } (1) −3 Xn k=0 k | {z } (2) − Xn k=0 1 | {z } (3)  . Y todos los t´erminos en el lado derecho se pueden calcular: La suma (1), por propiedad telesc´opica, Xn k=0 ((k + 1)3 − k3) = (n + 1)3 − 0 = (n + 1)3. La suma (2), por la propiedad vista para progresiones aritm´eticas, Xn k=0 k = n(n + 1) 2 . La suma (3) por propiedad vista en la tutor´ıa pasada, Xn k=0 1 = n + 1. www.Matematica1.com En resumen, tenemos que: Xn k=0 k2 = 1 3  (n + 1)3 − 3n(n + 1) 2 − (n + 1)  = (n + 1) 3  2n2 + 2n + 1 − 3n 2 − 1  = (n + 1) 3  n2 + n 2  = n(n + 1)(2n + 1) 6 . Concluyendo el resultado. Otra suma importante, del mismo tipo que la anterior es Propiedad 6. Si n  0, Xn k=0 k3 =  n(n + 1) 2 2 . Demostraci´on. La demostraci´on queda propuesta como ejercicio, tanto usando inducci´on como de forma directa. Para probarlo directamente, se usa la misma t´ecnica anterior, o sea se calcula (k + 1)4. 7. Teorema del binomio de Newton 7.1. Coeficientes binomiales Consideremos la siguiente f´ormula de recurrencia: f0 = 1 fn = n · fn−1 si n  1 Definici´on 7.1 (Factorial). Llamaremos factorial de n (denotado n!) al valor fn. Por ejemplo, el factorial de 4 es 4! = 4 · 3! = 4 · 3 · 2! = 4 · 3 · 2 · 1! = 4 · 3 · 2 · 1 · 0! = 4 · 3 · 2 · 1 · 1 = 24 Los n´umeros factoriales poseen la siguiente interpretaci´on en el contexto de armar combinaciones: sea k  n. Entonces n! (n − k)! corresponde a la cantidad de k-tuplas que se puede formar a partir de un conjunto de n elementos, SIN repetirlos. Por ejemplo, si A = {a, b, c, d}, ¿cu´antos pares ordenados (2-tuplas) distintos podemos formar con sus elementos, sin repetirlos? (a, b) (b, a) (c, a) (d, a) (a, c) (b, c) (c, b) (d, b) −! 12 combinaciones, y 12 = 4! (4−2)! (a, d) (b, d) (c, d) (d, c) www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Continuando con la interpretaci´on combinatorial, sea k  n. Definimos Definici´on 7.2 (Coeficiente binomial). Se define  n k  (se lee “n sobre k”) como el n´umero de subconjuntos de tama˜no k que posee un conjunto de tama˜no n. ¿Cu´anto vale