INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PROBLEMAS RESUELTOS

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Ejemplo :
Un vivero trasplanta los plantones de cierta especie de arbusto cuando miden 12 cm. Después, tras seis años de crecimiento y cuidados, pone los arbustos en venta. La tasa de crecimiento de los arbustos durante esos seis años viene dada, aproximadamente, por: en donde t es el tiempo, en años, que ha trascurrido desde el trasplante y h es la altura, en centímetros, del arbusto. (a) Encuentra la altura del arbusto cuando han transcurrido t años desde el trasplante. (b) ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se sacan a la venta?
(a) Definimos las variables:
Sabemos que la tasa de crecimiento de la altura con respecto al tiempo viene dada por
entonces,
Por lo tanto,
Para que la altura quede perfectamente definida hemos de calcular el valor de la constante C. Para ello necesitamos lo que se denomina una condición inicial. En este caso, sabemos que, en el momento del trasplante, los arbustos miden 12 cm; lo que podemos traducir como:
Si
Teniendo en cuenta que , se obtiene que:
Luego, la altura del arbusto t años después de ser trasplantado viene dada por la función:
(b) Puesto que los arbustos se sacan a la venta 6 años después del trasplante, su altura en dicho momento vendrá dada por:
cm
Cuando se ponen en venta, los arbustos miden 69 cm.
Crecimiento y decrecimiento exponenciales Ejemplo 38: El modelo de crecimiento exponencial de una población se basa en la hipótesis de que ésta crece con una rapidez proporcional a su tamaño. Este modelo supone, por ejemplo, que si se duplica el tamaño de la población se duplica la tasa de crecimiento… Es una hipótesis razonable para modelar el crecimiento de una población en condiciones ideales (nutrición adecuada, au encia de depredadore y enfermedade , …). Veamos un ejemplo: Bajo condiciones de laboratorio, cierta población de bacterias presenta un crecimiento exponencial. La población inicial es de 300 bacterias,
duplicándose tras 10 horas. (a) Encuentra la función que muestre el número de bacterias cuando han pasado t horas desde el inicio del experimento. (b) Encuentra el número bacterias que hay tras de 2 días de experimento.
(a) Consideremos las variables:
Puesto que la tasa de crecimiento de la población es proporcional al número de individuos, tenemos que
en donde k es una constante.
Para integrar la expresión anterior, lo mejor es separar previamente las variables, es decir, dejar cada miembro de la ecuación en función de una única variable. Así, dejando a un lado todo lo que depende de la variable P y al otro lo que depende de t:
Integrando los dos miembros de la ecuación:

Puesto que queremos conocer P, tomamos exponenciales en ambos miembros para despejarla:

Teniendo en cuenta que y denominando A a la constante obtenemos que
La tasa de crecimiento de la población
es proporcional
al tamaño de la población
Luego, efectivamente, el número de bacterias en la población en la hora t se puede modelar mediante una función exponencial.
Faltan por determinar los valores de A y k. Para encontrar el valor de A tengamos en cuenta que, al principio del experimento, había 300 bacterias, es decir, , luego,
Además, la población se duplica en 10 horas:
Por lo tanto, el número bacterias tras t horas de experimento viene dado por la función:
(b) Cuando han pasado dos días, es decir, tras 48 horas desde el comienzo del experimento, el número de bacterias en la población será:
Por lo tanto, tras dos días de experimento, el número de bacterias en la población será de, aproximadamente, 8351 bacterias.
Ejercicios propuestos
1. La tasa de cambio en la masa M (en gramos) con respecto a la longitud total L (en milímetros) de un bagre toro de cabeza amarilla (Ameiurus natalis) se puede modelar mediante la ecuación
Un pez de 20 centímetros tiene una masa de 100 gramos.
(a) Encuentra la masa de un pez de 250 milímetros de longitud.
(b) ¿Qué incremento experimenta la masa de un bagre cuando su longitud
aumenta de 20 a 30 centímetros?
2. El grosor G de nieve que se acumula (en centímetros) tras t horas de tormenta varía según el modelo:
(a) Encuentra la función G como función del número de horas.
(b) ¿Qué cantidad de nieve se acumulará tras 3 horas de tormenta?
3. La tasa de crecimiento de la longitud L (en centímetros) de una especie de vid puede ser modelada mediante:
en donde t es el número de días transcurridos desde la germinación.
Encuentra el incremento que experimenta la longitud de la vid en la segunda semana después de la germinación.
4. El número N de esporas de moho (en miles) que se acumulan en una gotera cambia conforme el modelo:
en donde t viene medido en semanas. Cuando , el número de esporas en la gotera es de 150.
(a) Escribe la función N como función del número de semanas.
(b) Encuentra el número de esporas que hay en la gotera después de seis semanas.
Crecimiento logístico
En el modelo de crecimiento exponencial, la población puede crecer indefinidamente. Sin embargo, en muchas situaciones reales, el crecimiento está limitado y la población no puede sobrepasar cierto tamaño L. A la constante L se le denomina capacidad de contención y representa la población máxima que el medio es capaz de sostener a la
larga. Sea P el tamaño de la población en el instante t. La expresión más sencilla para la tasa de crecimiento de la población que incorpora la anterior hipótesis es:
en donde k y L son constantes. En esta ecuación:
 Si P es pequeño en comparación con L, entonces es próximo a 0 y .
 Si (es decir, si el tamaño de la población se acerca a su capacidad de contención), entonces y por lo tanto .
A la solución de esta ecuación se le denomina el modelo de crecimiento logístico.
5. Demuestra, integrando, que la solución de la ecuación
es la curva de crecimiento logístico que viene dada por :
en donde b es una constante.
6. La A.P.F. (Asociación Protectora del Faisán) ha introducido una población de 300 faisanes comunes (Phasianus colchicus) en una nueva zona. Después de 5 años, la población ha crecido hasta los 966 ejemplares. La población puede modelarse mediante un modelo logístico con un límite de 2700 faisanes.
(a) Encuentra una curva de crecimiento logístico para modelar el crecimiento de la población de faisanes.
(b) ¿Cuántos faisanes habrá después de 4 años?
(c) ¿Cuánto tiempo se necesitará para que la población alcance los 1750 ejemplares?