INTRODUCCION A LA ARITMETICA Y A LA MATEMATICA DISCRETA – ALGEBRA 1 PDF

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En matemática la noción de verdad es absoluta. Éste es un aspecto fundamental y
distintivo de la matemática respecto de toda otra ciencia.
Históricamente la lógica matemática y los fundamentos de la matemática son las áreas
encargadas de construir el marco para desarrollar la matemática sin contradicciones y con
una noción de verdad inequívoca.
En esta primera parte presentamos muy brevemente algunos aspectos de los fundamentos
de la matemática que están presentes en todo el quehacer matemático en todas sus ramas.
Por un lado presentamos algunas nociones de lógica proposicional y discutimos la implicación
lógica como medio para validar los resultados en matemática. En este marco
también discutimos aspectos de las demostraciones en matemática, elemento fundamental
del quehacer matemático.
Por otro lado presentamos la teoría de conjuntos básica, algo de relaciones y los elementos
básicos sobre funciones, todos éstos, objetos que se encuentran en los cimientos
de la matemática. Estos capítulos, para los que ya conocen estos temas, pueden servir de
referencia para recordar, precisar o completar algun concepto o resultado que aparezaca
en el desarrollo del curso.

Fundamentos ,Enunciados y demostraciones ,El lenguaje coloquial y el lenguaje matemático , Proposiciones, conectivos y tablas de verdad ,Condicionales y equivalencia , Cuantificadores ,Demostraciones,Conjuntos , Cómo definir conjuntos , Operaciones con conjuntos , Identidades de conjuntos ,Producto cartesiano , Partes de un conjunto , Ejercicios ,Relaciones , Propiedades de una relación ,Relaciones de equivalencia ,Funciones ,Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas ,La composición de funciones ,Funciones y las operaciones de conjuntos,Cardinalidad * ,Producto cartesiano y funciones, Ejercicios ,Apéndice de la Parte I,Notas históricas,Soluciones a ejercicios seleccionados,Números y Aritmética,Números reales y su aritmética,Conjuntos numéricos,Axiomas de los números reales,Propiedades básicas de los números reales ,El orden en R , Aritmética racional , Cuerpos ,Números naturales y el principio de inducción,Números naturales , Inducción matemática ,Definiciones recursivas , Sucesiones definidas por recurrencia ,Sumatoria y productoria ,Identidades con sumas. Sumas sumables , Conjuntos inductivos y buena ordenación y,,Aritmética entera , Divisibilidad , El algoritmo de la división,Números primos y factorización ,El máximo común divisor , El mínimo común múltiplo , El TFA, divisores, mcd y mcm ,Representación decimal y desarrollos s-ádicos,Aritmética modular ,La congruencia de enteros ,El anillo de enteros módulo m: Zm, Aplicaciones a la artimética entera,Ecuaciones en congruencia ,La función  de Euler , Los Teoremas de Euler-Fermat y Wilson, Sistemas de ecuaciones lineales en congruencia ,El teorema de Lucas,Números complejos ,Definición ,La conjugación y el módulo ,Apéndice de la Parte II ,Notas históricas,Soluciones a ejercicios seleccionados ,Combinatoria ,Conteo I: principios básicos, Principios básicos de conteo , Ordenar, Elegir , Aplicaciones ,Distribuir, Composiciones y particiones ,Ejercicios,Números combinatorios , Números combinatorios ,Binomio de Newton , El Triángulo de Pascal e identidades , Coeficientes multinomiales , El Teorema de Lucas ,Ejercicios ,Conteo II: técnicas avanzadas,Funciones y cardinalidad ,El principio del palomar , El principio de inclusión-exclusión

El curso trata dos grandes temas: la aritmética y la combinatoria. La aritmética trata
sobre distintos conjuntos numéricos, sobre sus operaciones y sus propiedades. También
incluye un estudio más profundo sobre sus estructuras subyacentes.
La combinatoria se presenta como el arte de contar sin contar, el arte de contar inteligentemente.
Se presentan métodos y formas de pensar novedosas, distintas de las utilizadas
en aritmética, pero complementarias.
El trabajar estas dos areas en un mismo curso da una perspectiva sobre el dinamismo de la
matemática y como areas diferentes, con caracterísitcas propias bien definidas interactuan
enriqueciéndose mutuamente.
Los objetivos principales de este curso se pueden resumir en los siguientes 3 aspectos:
 Aprender a aprender matemática.
 Aprender a hacer matemática.
 Aprender aritmética y combinatoria.
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El primero implica el desarrollo de la capacidad de leer definiciones y enunciados matemáticos,
de comprender como son sus objetos y cómo sus verdades se articulan entre
sí.
El segundo objetivo es de central importancia, ya que sin hacer algo de matemática por
uno mismo difícilmente se aprenda algo. Una parte importante del “hacer” matemática es
una actividad individual, que se enriquece con el intercambio de ideas con otros colegas
que hacen matemática. Es muy importante hacerse y contestarse preguntas a uno mismo,
y no sólo a los otros.
Por último, y muy importante desde lo práctico, está el aprender contenidos específicos.
En el camino que lleva a aprender estos contenidos se aprende, lentamente, a aprender y a
hacer matemática.
En estas notas conviven lo riguroso, que a veces resulta algo tedioso y se sospecha no
demasiado útil, con lo práctico, listo para usar, que a veces puede dejar la sensación de
falta de fundamento o de ser algo impreciso. Ambos modos se complementan para facilitar
el aprendizaje de cada tema expuesto, con todos los fundamentos y rigor necesarios pero
también desarrollando habilidades prácticas para poder usar con confianza lo aprendido.
Queremos agradecer especialmente a Iván Angiono quién estuvo a cargo de la preparación
de los prácticos cuándo nosotros dictábamos el teórico de este curso.
Esperamos que éstas notas les resulten útiles, y los alienten a trabajar duro y con entusiasmo,
para que puedan aprender y disfrutar de esta Introducción al Algebra.
Esta Introducción a la Aritmética y a la Matemática Discreta consta de cuatro Partes:
Parte i. Fundamentos
Parte ii. Números y Aritmética
Parte iii. Combinatoria y Grafos
Parte iv. Estructuras Algebraicas
Las segunda y tercera partes son el núcleo del curso. Los Fundamentos son complementarios,
están a disposición para aquellos que no los tengan sólidamente incorporados.
La ultima parte es más avanzada y debería tratarse sólo en casos especiales cuándo las
condiciones del curso lo permitan.
Contenidos específicos. En “Fundamentos”, además de un presentación breve de conjuntos,
relaciones y funciones, hay un capítulo referido a los enunciados y a la demostración
en matemática. Creemos que vale la pena leerlo y reflexionar sobre su contenido, ya que
sin dudas será de gran ayuda para hacer éste y cualquier otro curso de matemática.
En la segunda parte, “Números y Aritmética”, comenzamos discutiendo los numeros reales
y su aritmética desde un punto de vista axiomático sin dejar de lado lo que todos conocemos
sobre ellos. Hacemos varias referencias a los racionales y su aritmética en relación con la
de los reales. Esta sección es muy instructiva, y por ser la primera requiere un esfuerzo
especial. Continuamos con los naturales, que luego de una breve introducción, dan paso
al principio de inducción. Una herramienta básica fundamental en la matemática entera y
discreta. La aprehención de esta herramienta lleva tiempo y requiere de mucha práctica.
Esta sección tiene muchos ejemplos y ejercicios que recomendamos enfáticamente.
Luego discutimos la muy rica aritmética entera, empezando con el concepto fuindamental
de divisibilidad. Estudiamos el maximo comun divisor, el mínimo comun multiplo, los
numeros primos y la notación decimal para enteros. También hay una sección dedicada al
desarrollo decimal de los racionales y al sistema binario y a otros sistemas de representación.
A continuación introducimos los enteros modulares y la aritmética modular. Este es un
tópico nuevo que requiere cierto grado de abstracción. Constituye un primer ejemplo de
objetos y teoría matemática más abstracta. Finalmente, la parte de números tiene una
sección dedicada a los complejos que además de sus aspectos básicos como sus operaciones
y representación gráfica incluye…
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La tercera parte, “Combinatoria y Grafos”, es distinta de la anterior. El tema principal es
el de conteo. Es decir, queremos aprender a determinar de cuantas formas puede ocurrir
un suceso sin tener que hacer cada uno de los casos posibles. En otras palabras: “contar sin
contar”. Más que aprender una gran cantidad de resultados, conviene aprender estrategias
de conteo y desarrollar cierta habilidad para contar. Es necesario en este punto tener muy
claro el concepto de biyección entre dos conjuntos y tener cierta madurez para escribir de
manera clara argumentos a veces sofisticados. La sección sobre grafos no es difícil y puede
desarrollarse en parte segun los requerimientos del curso o de los alumnos.
Organización. Cada una de las cuatro partes está organizada en Capítulos y Secciones,
y dentro de ellas se distinguen claramente las definiciones, los párrafos explicativos y los
resultados, además de ejemplos y ejercicios que facilitan la compresión de lo expuesto.
A lo largo de las notas usaremos distintos rótulos para facilitar su lectura.
 Definición. Es una descripción completa y precisa de un objeto o concepto matemático
nuevo.
 Lema. Es un resultado generalmente técnico necesario como parte de un argumento
de un resultado más importante. Generalmente, precede a una proposición o teorema.
 Proposición. Es un resultado importante en sí mismo, aunque puede referirse a
algo particular y cuyo enunciado puede requerir elementos definidos recientemente
en el contexto en el que se enmarca.
 Teorema. Es un resultado importante en sí mismo de carácter general que muchas
veces engloba resultados previos necesarios para su demostración o resultados
menores o particulares ya establecidos. Su enunciado es en general comprensible en
términos ampliamente conocidos en la teoría en la que se enmarca.
 Corolario. Es un resultado que se deriva directa y, en general, fácilmente de una
proposición o teorema.
 Observación. Las observaciones son de carácter preciso y riguroso, sirven para
complementar o completar un concepto o resultado matemático presentado.
 Nota. Bajo este título aparecen comentarios de diversa índole sobre algun aspecto
de lo tratado.
 Nota histórica. Es una nota de carácter histórico referida a los conceptos matemáticos
tratados o a matemáticos famosos relacionados con los mismos.
 Notación. Bajo este título se introducen nuevas formas de denotar o nombrar objetos
matemáticos ya definidos.
 Convención. Es un acuerdo sobre el uso o abuso de alguna notación específica,
sobre la extensión de una definición o concepto ya existente o sobre algún aspecto
practico que simplifique el quehacer matemático.
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 Ejemplos. Un ejemplo es una instancia particular concreta relacionada con algún
resultado o fenómeno estudiado. Puede ser útil para entender alguna de las rozones
de la validez del mismo o para entender en qué marco o bajo que hipótesis vale.
 Ejercicios. Son proposiciones para que el lector desarrolle calculando, escribiendo
una prueba, mostrando un ejemplo o haciendo lo que corresponda según el enunciado
del ejercicio. Se recomienda intentar hacerlos por uno mismo tantas veces como sea
necesario. Constituyen una parte central del aprender a hacer matemática.
 Digresión. Es una nota de color que puede no ser parte de la exposición, aunque
ilustra algún aspecto interesante relacionado con la misma.
Además hay algunas secciones marcadas con un asterísco *; las hemos marcado considerando
que es posible pasarlas por alto sin afectar el hilo principal del curso y porque en
algunos casos son además más difíciles de entender. Sin embargo, para aquellos más curiosos
o con deseos de pronfundizar lo que etán aprendiendo puede resultarles instructivo
leerlas y dedicarles algún tiempo a entenderlas.

Enunciados y demostraciones
“La lógica es la anatomía del pensamiento.”
John Locke, filósofo inglés (1632 – 1704)
Una parte del quehacer de los matemáticos consiste en construir ciertos “objetos”, los
objetos matemáticos (e.g. números, conjuntos, funciones, relaciones, figuras geométricas)
y reglas de juego claras para ellos, para luego descubrir y explicar los patrones que rigen
su funcionamiento y estudiar sus propiedades.
El hacer preguntas es una actitud muy natural en matemática, que promueve el descubrimiento.
Las afirmaciones matemáticas, y en particular las respuestas a las preguntas
que se plantean, deben ser enunciadas sin ambiguedad alguna. Es decir, estos enunciados
deben tener un valor de verdad bien definido, que sólo puede ser verdadero o falso.
El conocimiento matemático se expresa a través de enunciados, llamados teoremas, que
describen las verdades de la matemática. La manera de validar estos teoremas es el de la
demostración.
En este capítulo describiremos someramente algunos aspectos sobre los enunciados de
la matemática y veremos algunos métodos comunes de demostraciones matemáticas, que
serán usadas en el devenir del curso. El contenido de este capítulo forma es parte de la
lógica matemática.
1.1. El lenguaje coloquial y el lenguaje matemático
Frases como “tengo 35 años”, “nunca estuve en Francia”, “alguna vez comí jabalí”, “todos
mis hermanos terminaron el secundario” no generan duda sobre su significado. Todos entendemos
lo mismo. Está claro que pude haber comido una sola vez Jabalí o quizá fueron
dos o cinco. Y si mis hermanos son Rafael, Diego y Marcos, está completamente claro que
Rafael terminó, Diego terminó y Marcos también terminó.
Ahora, frases como “en la fiesta estaban todos los amigos de Juli y Rena” o “me iban
a dar oficina nueva y un aumento o más vacaciones y cumplieron!” pueden dar lugar a
distintas interpretaciones. ¿La primera frase dice que en la fiesta estaban todos los amigos
en común de las dos o que estaban todos los amigos de Juli y además también estaban
todos los amigos de Rena? Agus, que es amigo de Rena pero no de Juli, ¿estaba o no? De la
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segunda frase, ¿entendemos que le dieron todo, o que le dieron quizá sólo más vacaciones,
o quizá oficina y un aumento, u oficina y más vacaciones? ¿Entendemos que en cualquier
caso le dieron oficina nueva?
La manera en que está usado el lenguaje en estas frases da lugar a estas distintas interpretaciones.
Es posible escribirlas de otra forma para que tengan un sentido preciso, aquel
que querramos trasmitir. Por ejemplo, si queremos decir que en la fiesta estaban todos
los amigos que tienen Rena y Juli en común, no como Agus, podemos decir: “en la fiesta
estaban todos los amigos de Juli que también son amigos de Rena”, “estaban los que son
amigos de ambas” o simplemente “en la fiesta estaban todos los amigos que tienen Rena y
Juli en común”. En cambio, si queremos decir que estaban todos los amigos de Juli y también
todos los amigos de Rena podemos decir: “estaban todos los que son amigos de Rena
o de Juli”, “estaban todos los amigos de Juli y todos los amigos de Rena” o simplemente
“estaban todos los amigos de Juli y también todos los amigos de Rena”. En todos los casos
hicieron falta frases más largas para ser más claros. En el lenguaje coloquial, muchas veces
para simplificar las frases, se resigna su precisión a tal punto de resultar confusas.
Los enunciados en matemática no deben tener distintas interpretaciones. Para esto existen
reglas claras y precisas para escribir los enunciados en matemática. Por ejemplo, consideremos
los enunciados:
 “Ningún impar es divisible por 2”.
 “No todos los impares son divisibles por 2”.
Nadie duda de que el primer enunciado es verdadero. No hay nignún impar que sea divisible
por 2. Ahora, ¿es cierto que “no todos los impares son divisibles por 2”? Para que sea cierto,
¿debería haber algún impar que sea divisible por 2 y otros que no? Estos dos enunciados,
pueden redactarse así:
 “Todo número impar, no es divisible por 2”.
 “No todo número impar, es divisible por 2”.
El primero se refiere a una propiedad de todo número impar. El enunciado es verdadero,
pues todos los impares tienen esa propiedad, la de no ser divisibles por 2.
El segundo se refiere a una propiedad que no tiene todo número impar, sino posiblemente
solo algunos números impares; la de ser divisible por 2. Así, la única manera de que éste
sea falso, es que todos los impares sean divisibles por 2. Como esto no es así, el enunciado
es verdadero.
En las segundas redaciones de los enunciados considerados están explícitas las reglas
básicas para escribir enunciados en matemática. Éstas se refieren al uso de las conjunciones
“y” y “o”, al uso de la negación “no” y al uso de los cuantificadores “para todo” y “hay”.
1.2. Proposiciones, conectivos y tablas de verdad
En lógica, una proposición es un enunciado declarativo con un valor de verdad bien
definido, que sólo puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambos o ninguno de ellos.
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En general usaremos las letras p, q y r para referirnos a proposiciones de este tipo, y
encerraremos entre comillas el enunciado de dicha proposición.
Ejemplos. Los siguientes enunciados son proposiciones.
(1) p : “2+2=4” (V)
(2) q : “7 es un número par.” (F)
(3) r : “Borges escribió el libro ‘Ficciones’.” (V)
Sin embargo, no son proposiciones las órdenes, preguntas y exclamaciones como “¡hola!”,
“¡fuera de aquí!”, “compra 5 kilos”, “¡qué bien!”, “¿vas a volver?”; ni tampoco aquellos enunciados
en que el valor de verdad puede cambiar según quien lo interprete o cuándo se lo
interprete.
Ejemplos. Los siguientes enunciados no son proposiciones.
(1) “Hoy es lunes.”
(2) “Es un día hermoso.”
(3) “x