INTERPRETACIÓN Y ELABORACIÓN DE GRÁFICAS ESTADÍSTICAS EJEMPLOS RESUELTOS DE SEXTO DE PRIMARIA EN PDF

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OBJETIVOS :

Elaborar gráficos rectangulares y circulares analizando con interés datos recopilados de fuentes
primarias o secundarias para transmitir la información estadística de una manera fácil de leer e
interpretar por otras personas.

Interpretemos gráficas.
En 3RO y 4TO grado los niños y las niñas han aprendido la gráfica de barras y el pictograma. En esta unidad se trata de la gráfica rectangular y la gráfica circular (o de pastel) para expresar la proporción de cada una de las categorías. Mediante la lectura de estas gráficas se pretende que se den cuenta de que con la gráfica rectangular o la circular se ve fácilmente la relación de cada parte con el total y de los datos entre sí, comparando sus áreas.

Utilicemos varias gráficas.
En esta lección ellos y ellas confirman las características de las gráficas que hasta este grado han aprendido, para poder escoger las gráficas adecuadas según el tipo de datos.

Las gráficas se usan para facilitar la interpretación de los datos estadisticos. Existen varios tipos de gráficas o representaciones gráficas, que se utilizan de acuerdo al objetivo que se persigue y al tipo de información presentada.

Es recomendable preparar el modelo de la gráfica circular que se encuentra en las páginas para reproducir, de tal manera que los niños y las niñas no necesariamente copien el modelo con las 100 graduaciones.

ESTADÍSTICA

Es la ciencia que nos ayuda a recopilar, organizar e interpretar la información recogida.

Veamos un gráfico estadístico:

MEDIA ARITMÉTICA

Se calcula sumando todos los datos y dividiendo el resultado por el número total de los mismos.
Se representa por

Ejm: La nota de un alumno en el área de lenguaje es:
14, 15, 8, 17, 12
La media aritmética de las notas del niño es:

MEDIANA

Si ordenamos los datos de menor a mayor y escogemos el central habremos hallado la mediana.

Ejm: La talla de un grupo de amigos en centímetros es:
170, 120, 110, 120, 130 ordenado:
110, 120, 120, 130, 170

Como el número de datos es impar, la mediana es 120.
Número de datos par = mediana
Número de datos impar = mediana

MODA

Es el valor que corresponde a la mayor frecuencia en una serie de datos.

Ejemplo:
Hallar la moda del siguiente cuadro

La moda es “3”

Del siguiente diagrama hallar la moda

La moda es 2 ya que tiene mayor amplitud

1. Determinar la mediana del siguiente conjunto de datos:
10, 10, 9, 8, 10, 9, 8, 7, 8, 9, 8, 10, 9, 8, 7, 9, 8

2. Calcular la media aritmética:
11, 5, 7, 8, 10, 5, 8, 6, 7, 9, 10, 5, 6, 6, 7, 10, 9, 10, 10

3. Determina la moda:
3, 2, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 3, 2, 3, 4, 3, 2, 2

4. Dada la siguiente serie de datos:
4, 3, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 5, 6, 3, 4, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4
Determinar:
a) Moda
b) Mediana

5. Un niño obtiene las siguientes notas:
15, 18, 19, 14, 13, 12, 08, 15
Halla la media aritmética.
6. En la sesión de educación física el profesor midió la masa de cada uno de los 25 alumnos del 1º grado de secundaria:
4 alumnos cuyas masas son de 40 kilogramos
5 alumnos cuyas masas son de 41 kilogramos
3 alumnos cuyas masas son de 42 kilogramos
4 alumnos cuyas masas son de 43 kilogramos
6 alumnos cuyas masas son de 44 kilogramos
2 alumnos cuyas masas son de 45 kilogramos
1 alumno cuya masa es de 46 kilogramos

Hallar:
a) El valor de la media aritmética
b) El valor de la moda

7. Una empresa importadora ha revisado un lote de 50 juegos de loza que fueron defectuosamente trasladadas lo cual provovó la rotura de algunas piezas.
El gráfico adjunto representa el informe entregado por el almacenero.

Hallar la moda del gráfico

HILBERT, DAVID

David Hilbert, nacido el 23 de enero de 1862, muerto en febrero 14 de 1943, fue un matemático alemán cuyo trabajo en geometría tuvo gran influencia en el campo desde Euclides. Después de hacer un estudio sistemático de los axiomas de la geometría euclideana, Hilbert propuso un conjunto de 21 axiomas y analizó su significancia.
Hilbert recibió su Ph.D. de la Universidad de Konigsberg y trabajó en su facultad de 1886 a 1895. Llegó a ser (1895) profesor de matemática en la Universidad de Gottingen, donde permaneció hasta su muerte. Entre 1900 y 1914, muchos matemáticos de los Estados Unidos quienes más tarde jugaron un papel importante en el desarrollo de la matemática fueron a Gottingen a estudiar bajo su tutela.
Hilbert contribuyó con varias ramas de la matemática, incluyendo la teoría algebraica de los números, análisis funcional físicas matemática, y el cálculo de variaciones. También enumeró 23 problemas irresolubles de matemáticas que consideró digno de una investigación más amplia. Desde el tiempo de Hilbert, casi se han resuelto todos estos problemas.

STOCÁSTICA PARA MAESTROS
Índice
Capítulo 1: ESTADÍSTICA
A: Contextualización profesional
Análisis de problemas escolares sobre estadística en primaria …………………………………
B: Conocimientos matemáticos
1. Estadística y sus aplicaciones
1.1.¿Qué es la estadística? ……………………………………………………………………………
1.2. Breves notas históricas ………………………………………………………………………….
1.3. Panorama actual …………………………………………………………………………………..
1.4. Estudios estadísticos …………………………………………………………………………….
2. Variables estadísticas. Tablas y gráficos
2.1. Población, individuos y caracteres ………………………………………………………….
2.2. Tipos de estudios estadísticos. Censos y muestras extraidas de una población
2.3. Variables estadísticas ……………………………………………………………………………
2.4. Tablas de frecuencias ……………………………………………………………………………
2.5. Gráficos estadísticos ……………………………………………………………………………..
2.6. Agrupación de variables en intervalos …………………………………………………….
2.7. Representación gráfica de frecuencias acumuladas …………………………………..
2.8. Gráfico del tronco ………………………………………………………………………………..
3. Características de posición central y dispersión de una distribución de frecuencias
3.1. Medidas de tendencia central ………………………………………………………………..
3.2.Características de dispersión …………………………………………………………………..
4. Taller de matemáticas ……………………………………………………………………………………..
Bibliografía …………………………………………………………………………………..
Página
339
341
341
342
342
343
344
345
346
347
348
350
350
353
355
355
358
Capítulo 2: Probabilidad
A: Contextualización profesional
Análisis de problemas escolares sobre probabilidad en primaria ……………………………….
B: Conocimientos matemáticos
1. Fenómenos estocásticos
1.1. Azar y lenguaje …………………………………………………………………………………………..
1.2. El azar en la realidad …………………………………………………………………………………..
2. Probabilidad. Asignación subjetiva de probabilidades
2.1. Experimento y suceso aleatorio ………………………………………………………………
2.2. Suceso seguro e imposible ……………………………………………………………………..
2.3. Asignación de probabilidades subjetivas ………………………………………………….
2.4 Probabilidad, como grado de creencia ……………………………………………………..
3. Estimación de probabilidades a partir de las frecuencia relativas
3.1. Frecuencia absoluta y relativa. Estabilidad de las frecuencias relativas ……….
3.2. Estimación frecuencial de la probabilidad ………………………………………………..
3.3. Simulación de experimentos aleatorios …………………………………………………….
4. Asignación de probabilidades. Regla de Laplace …………………………………………………
5. Probabilidades en experimentos compuestos ………………………………………………………
5.1. Resultados de un experimento compuesto
361
365
365
367
368
368
369
370
370
371
372
374
…………………………………………….
5.2. Cálculo de probabilidades a partir del diagrama en árbol ……………………….
5.3. Experimentos dependientes e independientes ……………………………………….
6. Taller de matemáticas ……………………………………………………………………………………..
Bibliografía …………………………………………………………………………………………….
374
375
376
377
Estocástica para Maestros
ESTADÍSTICA
A: Contextualización Profesional
ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE ESTADÍSTICA EN PRIMARIA
Consigna:
A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido
tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos:
1) Resuelve los problemas propuestos.
2) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la
solución.
3) Clasifica los enunciados en tres grupos según el grado de dificultad que les atribuyes
(fácil, intermedio, difícil).
4) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la
tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil.
5) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los
alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que
no te parezcan suficientemente claros para los alumnos.
6) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de
problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian.
Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria
1. Lee este texto y completa la tabla, en tu cuaderno, con el número de veces que
aparece cada letra vocal. “UN SOL PARA CONOCER. UNA LUNA PARA SENTIR.
UN LIBRO PARA APRENDER. UN MUNDO PARA VIVIR”
- Representa los datos en un diagrama de barras.
- ¿Cuántas letras vocales tiene el texto?
- ¿Qué letra vocal es la moda en el texto?
- Haz otra tabla para las consonantes y complétala
- ¿Cuántas letras son consonantes?
- ¿Qué letra consonante es la moda?
VOCALES FRECUENCIA
2. En este diagrama de barras se ha
representado el número de hermanos que
tienen los alumnos y alumnas de la clase
de 6º. ¿Cuántas personas tienen un solo
hermano? ¿Y cinco hermanos? ¿Cuántos
alumnos y alumnas hay en 6º?
3. El gasto mensual en electricidad de una
familia en el último año ha sido el
siguiente:
Número de hermanos
0 1 2 3 4 5
Frecuencias
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
E F M A My J Jl Ag S O N D
3.500 3.278 4.251 3.740 3.125 3.470 2.432 2.560 3.680 2.549 4.578 4.689
¿Cuál ha sido el gasto medio mensual? ¿Y el gasto medio diario?
4. La familia López ha recorrido esta semana las siguientes distancias: 3 km, 4 km, 5
km, 7 km, 6 km, 10 km u 8 km. ¿Qué media de kilómetros diarios ha hecho?
5. Construye un diagrama de barras para cada una de estas tablas de frecuencias
Colores Nº de coches
ROJO 38
BLANCO 50
NEGRO 26
GRIS 20
AMARILLO 6
Equipos Puntos
LEONES 20
OSOS 35
GUEPARDOS 25
GACELAS 40
6. Este histograma representa las alturas
de un grupo de personas.
- ¿Cuántas personas miden menos de
155 cm? ¿Y más de 155 cm?
- ¿Cuántas personas forman el intervalo
de mayor altura?
7. Los resultados, en centímetros, de la
prueba de salto “a pies juntos” fueron:
167 150 190 153 120 186 130 142
181 163 146 183 171 136 184 151
149 136 146 139 142 107 167 155
` Nº de personas
ENTRE 0 y 120
ENTRE 121 y 150
ENTRE 151 y 180
MÁS DE 180
altura
Frecuencia
150 155 160 165 170 175 180
0
4
8
12
16
20
Completa la tabla y construye un histograma.
8. La actividad profesional de las personas de una
ciudad se ha representado en este gráfico de sectores.
 ¿A qué actividad profesional se dedica el mayor
número de personas de esa ciudad?
 Si las personas que trabajan son 20.000, 8.000 y
12.000, dí qué número corresponde a cada
actividad.
Servicios
Agricultura
Ganadería e
industria
TIEMPO
0 5 10 15 20 25 30

D
E
G
OL
ES
8
6
4
2
0
LOCAL
VISITANT
9. En esta gráfica están representados los goles
marcados en el primer tiempo de un partido de
balonmano.
 ¿Cuál era el resultado en el minuto 5?
 ¿En qué minuto iban empatados a goles?
 ¿Qué equipo iba ganando en el primer tiempo?
B: Conocimientos Matemáticos
1. ESTADÍSTICA Y SUS APLICACIONES
1.1.¿Qué es la estadística?
Son muchas las definiciones posibles de estadística, y entre ellas hemos elegido
las dos siguientes que reflejan bien las características de esta ciencia:
“La estadística estudia el comportamiento de los fenómenos llamados de
colectivo. Está caracterizada por una información acerca de un colectivo o
universo, lo que constituye su objeto material; un modo propio de razonamiento,
el método estadístico, lo que constituye su objeto formal y unas previsiones de
cara al futuro, lo que implica un ambiente de incertidumbre, que constituyen su
objeto o causa final.1
La estadística es la ciencia de los datos. Con más precisión, el objeto de la
estadística es el razonamiento a partir de datos empíricos. La estadística es una
disciplina científica autónoma, que tiene sus métodos específicos de
razonamiento. Aunque es una ciencia matemática, no es un subcampo de la
Matemática. Aunque es una disciplina metodológica, no es una colección de
métodos.2
1.2. Breves notas históricas
Los orígenes de la estadística son muy antiguos, ya que se han encontrado
pruebas de recogida de datos sobre población, bienes y producción en las civilizaciones
china (aproximadamente 1000 años a. C.), sumeria y egipcia. Incluso en la Biblia, en el
libro de Números aparecen referencias al recuento de los israelitas en edad de servicio
militar. No olvidemos que precisamente fue un censo lo que motivó del viaje de José y
María a Belén, según el Evangelio. Los censos propiamente dichos eran ya una
institución el siglo IV a.C. en el imperio romano.
Sin embargo, sólo muy recientemente la estadística ha adquirido la categoría de
ciencia. En el siglo XVII surge la Aritmética política, desde la escuela alemana de
Conring, quien imparte un curso con este título en la universidad de Helmsted.
Posteriormente su discípulo Achenwall orienta su trabajo a la recogida y análisis de
datos numéricos, con fines específicos y en base a los cuales se hacen estimaciones y
conjeturas, es decir se observan ya los elementos básicos del método estadístico. Para
los aritméticos políticos de los siglos XVII y XVIII la estadística era el arte de gobernar;
su función era la de servir de ojos y oídos al gobierno.
La proliferación de tablas numéricas permitió observar la frecuencia de distintos
sucesos y el descubrimiento de leyes estadísticas. Son ejemplos notables los estudios de
Graunt sobre tablas de mortalidad y esperanza de vida a partir de los registros
estadísticos de Londres desde 1592 a 1603, o los de Halley entre 1687 y 1691 para
resolver el problema de las rentas vitalicias en las compañías de seguros. En el siglo
1 Cabriá, S. (1994). Filosofía de la estadística. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Valencia.
2 Moore, D. S. (1991). Teaching Statistics as a respectable subject. En F. Gordon y S. Gordon (eds.),
Statistics for the Twenty-First Century, (pp. 14-25). Mathematical Association of America.
XIX se descubren las leyes de los grandes números con Bernouilli y Poisson.
Otro problema que recibe gran atención por parte de los matemáticos de su
tiempo, como Euler, Simpson, Lagrange, Laplace, Legendre y Gauss es el del ajuste de
curvas a los datos. La estadística logra con estos descubrimientos una relevancia
científica creciente, siendo reconocida por la British Association for the Advancement
of Science, como una sección en 1834, naciendo así la Royal Statistical Society. En el
momento de su fundación se definió la estadística como “conjunto de hechos, en
relación con el hombre, susceptibles de ser expresados en números, y lo suficiente
numerosos para ser representados por leyes”.
Se crearon poco a poco sociedades estadísticas y oficinas estadísticas para
organizar la recogida de datos estadísticos; la primera de ellas se creó en Francia en
1800. Como consecuencia, fue posible comparar las estadísticas de cada país en relación
con los demás, para determinar los factores determinantes del crecimiento económico y
comenzaron los congresos internacionales, con el fin de homogeneizar los métodos
usados. El primero de ellos fue organizado por Quetelet en Bruselas en 1853.
Posteriormente, se decidió crear una sociedad estadística internacional, naciendo en
1885 el Instituto Internacional de Estadística (ISI) que, desde entonces celebra
reuniones bianuales. Su finalidad específica es conseguir uniformidad en los métodos de
recopilación y obtención de resultados e invitar a los gobiernos al uso correcto de la
estadística en la solución de los problemas políticos y sociales. En la actualidad el ISI
cuenta con 5 secciones, una de las cuales, la IASE, fundada en 1991, se dedica a la
promoción de la Educación Estadística.
1.3. Panorama actual
Aunque es difícil dividir la estadística en partes separadas, una división clásica
hasta hace unos años ha sido distinguir entre estadística descriptiva y estadística
inferencial.
La estadística descriptiva tiene como fin presentar resúmenes de un conjunto de
datos y poner de manifiesto sus características, mediante representaciones gráficas. Los
datos se usan para fines comparativos, y no se usan principios de probabilidad. El
interés se centra en describir el conjunto de datos y no se plantea el extender las
conclusiones a otros datos diferentes o a una población.
La inferencia estadística, por el contrario, estudia los resúmenes de datos con
referencia a un modelo de tipo probabilístico. Se supone que el conjunto de datos
analizados es una muestra de una población y el interés principal es predecir el
comportamiento de la población, a partir de los resultados de la muestra.
Las capacidades de cálculo y representación gráfica de los ordenadores actuales
permiten la obtención de una amplia variedad de gráficos y cálculos estadísticos de una
forma sencilla y han hecho posible la aparición de una nueva filosofía en los estudios
estadísticos: el análisis exploratorio de datos, introducido por Tukey. Es una
perspectiva intermedia entre la estadística descriptiva y la inferencia y se da un papel
importante a la visualización por medio de diferentes gráficos.
1.4. Estudios estadísticos
La estadística se ocupa del diseño de estudios en los que sea necesario la
recogida de datos, el análisis de estos datos, y la predicción o toma de decisiones a partir
de los resultados.
El siguiente ejercicio muestra un ejemplo de los tipos de predicciones que
podemos hacer usando la estadística.
Ejercicios
1. Se toma una caja con 100 bolas blancas y el profesor sustituye r de ellas por bolas negras sin
que los alumnos vean cuántas ha sustituido. Por turno cada uno de los alumnos con los ojos
cerrados toma 10 bolas de la caja y rellena la ficha siguente:
Nombre————
Nümero de bolas negras en la muestra
Porcentaje de bolas negras en la muestra
Estimación del número de bolas negras en la caja
2. El profesor en la pizarra completa con ayuda de los alumnos el siguiente gráfico de puntos.
Se coloca un punto encima del valor del número de bolas negras en la muestra de 10, para cada
uno de los alumnos.
Nümero de bolas negras en la muestra de 10 bolas
______________________
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3. ¿Cuál será la mejor estimación del porcentaje de bolas negras en una muestra típica de 10
bolas? ¿Cuál será la mejor estimación del número de bolas negras en la caja? Finalmente se
comprueba la fiabilidad de la estimación contando las bolas negras en la caja.
2. VARIABLES ESTADÍSTICAS. TABLAS Y GRÁFICOS
2.1. Población individuos y caracteres
Proyecto 1. ¿Cómo son los alumnos de la clase?
Objetivo: Se trata de elaborar un perfil de los alumnos, identificando el alumno típico y
analizando si hay diferencias entre el chico y la chica típicos.
Datos: Se preparará una lista de las características de los alumnos que queremos estudiar
analizando las diferentes formas en que podrían obtenerse los datos:
 Por simple observación: como el sexo, color de pelo y ojos, si usa o no gafas;
 Se requiere una medición: como el peso, talla o longitud de brazos extendidos;
 Habría que preguntar a los alumnos; es decir realizar una pequeña encuesta: número de
hermanos, cómo viene al instituto; cuánto deporte practica, etc.
Los datos serán recogidos por los propios alumnos, mediante las diversas técnicas
señaladas. Se requerirá un metro y una báscula, para tomar datos de los alumnos con un mismo
instrumento. Se prepara una ficha como la siguiente para recoger datos de cada uno de los
alumnos de la clase:
SEXO:
¿HACES DEPORTE? (Nada, poco, mucho):
PESO (kg.):
ALTURA (cm.):
LONGITUD DE LOS BRAZOS EXTENDIDOS EN CRUZ (cm.):
NUMERO DE CALZADO:
PESETAS QUE LLEVA EN ESTE MOMENTO EN EL BOLSILLO:
Una población (o universo) es el conjunto total de objetos que son de interés
para un problema dado. Los objetos pueden ser personas, animales, productos
fabricados, etc. Cada uno de ellos recibe el nombre de elemento (o individuo) de la
población.
En el proyecto 1 recogemos datos de diferentes variables para los alumnos de la
clase. Cada alumno de la clase es un elemento de la población clase.
Generalmente, en un estudio estadístico, estamos interesados en analizar algún
aspecto parcial de los individuos que componen la población; por ejemplo, si se trata de
personas, puede que nos interese, la altura, el peso, el color del pelo, el sueldo mensual
que recibe, la opinión que le merece el partido que gobierna, etc. Estos aspectos
parciales reciben el nombre de caracteres de los elementos de una población y son, por
su naturaleza, variables, de forma que en distintos individuos pueden tomar valores o
modalidades diferentes. Las variables de los estudios estadísticos reciben el nombre de
variables estadísticas.
Ejercicios:
4. ¿Cuáles son las posibles modalidades de las variables recogidas en la clase, cuyos datos se
incluyen en la tabla 1?
5. Sugiere otras variables que podrías recoger en este proyecto y analiza sus modalidades.
2.2. Tipos de estudios estadísticos. Censos y muestras extraídas de una población
El principal objetivo del análisis estadístico es conocer algunas de la propiedades
de la población que interesa. Si la población es finita, el mejor procedimiento será la
inspección de cada individuo (siempre que esto sea posible). Un estudio estadístico
realizado sobre la totalidad de una población se denomina censo. Como todos recordais
el último censo se ha llevado a cabo el año 2001.
Sin embargo, la mayoría de los problemas de interés, implican, bien poblaciones
infinitas, o poblaciones finitas que son difíciles, costosas o imposibles de inspeccionar.
Esto obliga a tener que seleccionar, por procedimientos adecuados, un subconjunto de n
elementos de la población, que constituyen una muestra de tamaño n, examinar la
característica que interesa y después generalizar estos resultados a la población. Esta
generalización a la población se realiza por medio de la parte de la Estadística que se
conoce con el nombre de Inferencia Estadística. Por ejemplo, el día que se hizo la
recogida de datos de la clase, se obtuvieron datos de 60 alumnos, aunque había en total
94 alumnos matriculados. El análisis de los datos de esta muestra puede servir, sin
embargo, para sacar conclusiones de toda la clase.
Para que estas conclusiones ofrezcan las debidas garantías es preciso comprobar
que se cumple el requisito básico de que la muestra sea representativa. Los distintos
métodos de selección de muestras representativas de una población se conocen con el
nombre de métodos de muestreo.
La infomación estadística se puede usar también para estimar probabilidades de
sucesos relativos a la población de interés.
Tabla 1: Datos sobre los alumnos
n. sexo deporte peso altura longitud calzado ptas n. sexo deporte peso altura longitud calzado ptas
1 2 2 59 161 160 37 770
2 1 1 62 178 181 41 385
3 2 2 50 159 153 36 500
4 1 2 69 176 179 42 325
5 1 2 74 175 179 43 740
31 2 2 58 164 166 38 125
32 1 3 86 191 180 46 60
33 1 1 70 161 185 44 625
34 1 1 64 166 171 40 310
35 2 3 64 166 155 38 0
6 2 3 62 169 165 37 2600
7 2 2 56 162 158 36 250
8 2 2 58 162 163 37 225
9 2 1 52 170 171 38 501
10 1 1 68 170 172 42 5450
11 1 3 72 184 185 43 7500
12 1 2 74 180 182 42 1785
13 1 2 66 175 177 41 0
14 2 2 60 170 168 38 200
15 2 1 60 165 161 38 4400
16 2 3 55 163 160 36 700
17 2 2 60 167 165 37 120
18 2 2 50 167 165 37 700
19 2 2 52 160 157 35 2016
20 2 1 53 164 160 37 875
21 2 2 58 163 166 38 285
22 2 2 74 175 178 40 560
23 2 2 63 173 180 39 3010
24 2 2 60 161 164 38 500
25 2 2 53 162 162 37 1000
26 1 3 82 174 180 41 275
27 1 2 68 178 180 42 175
28 2 1 64 172 175 37 690
29 2 2 65 165 165 40 605
30 2 1 46 160 158 37 5135
Sexo: 1= hombre; 2= mujer;
36 2 1 70 156 152 35 175
37 2 2 51 165 160 37 100
38 2 2 62 167 159 38 1200
39 2 2 58 160 160 37 215
40 1 3 71 185 187 43 700
41 1 3 68 175 172 42 475
42 1 3 74 183 178 45 1600
43 2 3 55 160 154 37 400
44 1 3 68 185 185 42 125
45 2 1 57 161 155 37 450
46 2 3 57 169 164 38 1115
47 2 1 68 158 150 36 400
48 1 2 69 172 172 41 0
49 2 3 50 155 155 37 500
50 2 1 58 163 162 38 1290
51 2 1 66 168 168 39 125
52 2 2 50 163 161 36 480
53 1 2 81 184 188 43 5120
54 2 1 60 165 160 36 255
55 2 2 50 155 155 35 500
56 1 2 65 179 171 35 90
57 1 2 65 164 158 36 700
58 2 2 62 174 179 40 0
59 2 2 58 162 160 36 200
60 2 2 63 172 171 41 2000
Deporte: 1=nada, 2=poco; 3= mucho
Ejercicios:
6. A partir de los datos de toda la clase, haz un recuento de las frecuencias en las diferentes
modalidades para las variables sexo y hacer deporte. Si tomo una ficha al azar, ¿cuál sería la
probabilidad de que corresponda a una chica? ¿y la de que el alumno en cuestión haga mucho
deporte?
2.3. Variables estadísticas
Para representar los distintos tipos de datos empleamos variables. Una variable
es un símbolo que puede tomar valores diferentes. Cuando estos valores son los
resultados de un recuento estadístico, la llamamos variable estadística, y representa
generalmente un cierto carácter de los individuos de una población.
Usualmente, las variables estadísticas se clasifican en cualitativas y
cuantitativas, según que las modalidades del carácter que representan sean o no
numéricas (Algunos autores no consideran las variables cualitativas, al considerar que
también se puede asignar un número diferente a cada una de las modalidades de las
variables cualitativas, con lo que quedarían asimiladas a las cuantitativas). Ejemplos de
variables cualitativas son el grupo sanguíneo o la religión de una persona.
Dentro de las variables cuantitativas se distingue entre variables discretas y
continuas, siendo discretas aquellas que por su naturaleza sólo pueden tomar valores
aislados -generalmente números enteros- y continuas las que pueden tomar todos los
valores de un cierto intervalo.
Así, los experimentos que consisten en el recuento de objetos, como pueden ser:
número de miembros de una familia, número de nidos de aves en una parcela, etc. dan
lugar a variables discretas, mientras que al medir magnitudes tales como el peso, el
tiempo, capacidad, longitud, etc. se obtienen variables continuas.
Ejercicios:
7. Clasificar las variables del estudio realizado en la clase, según su tipo.
8. Pon otros ejemplos de variables estadísticas cualitativas, cuantitativas discretas y
cuantitativas continuas.
2.4. Tablas de frecuencias
El listado de los distintos valores o modalidades de una variable estadística,
junto con las frecuencias (absolutas o relativas) de aparición de cada valor es el resumen
más primario de una colección de datos y recibe el nombre de distribución de
frecuencias. Las distribuciones de frecuencias de datos cualitativos pueden
representarse mediante una tabla de frecuencias, como se muestra en la Tabla 2. La
frecuencia absoluta es el número de veces que aparece cada modalidad. La frecuencia
relativa se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta por el total de casos en la muestra.
El porcentaje es igual a la frecuencia relativa multiplicada por 100.
Tabla 2 : Distribución del ‘color de los ojos’ de los alumnos de una clase
Modalidad Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje
Negro 15 0.50 50.0
marrón 7 0.233 23.3
azul 3 0.100 10.0
otros 5 0.166 16.6
Total 30 1.00 100
Cuando la variable es numérica interesa también calcular las frecuencias
acumuladas. Para cada valor de la variable, la frecuencia acumulada es el número de
elementos con un valor de la variable menor o igual que el dado. Se obtienen sumando a
la frecuencia de un valor todas las anteriores. Las frecuencias relativas acumuladas se
obtienen dividiendo las frecuencias absolutas acumuladas por el número de datos.
También pueden obtenerse sumando a la frecuencia relativa ordinaria todas las
anteriores, como se muestra en la Tabla 3.
Tabla 3. Distribución de frecuencias del número de calzado
Número de Frecuencia
calzado
Frecuencia
relativa
Frecuencia
acumulada
Frecuencia relativa
acumulada
35 4 0.0667 4 0.0667
36 8 0.1333 12 0.2000
37 14 0.2333 26 0.4333
38 10 0.1667 36 0.6000
39 2 0.0333 38 0.6333
40 4 0.0667 42 0.7000
41 5 0.0833 47 0.7833
42 6 0.1000 53 0.8833
43 4 0.0667 57 0.9500
44 1 0.0167 58 0.9667
45 1 0.0167 59 0.9833
46 1 0.0167 60 1.0000
Ejercicios:
9. ¿Cuál es el valor o valores más frecuentes del número de calzado? ¿Qué tanto por ciento de
alumnos calzan el 40 o un número mayor de calzado?
10. ¿Cuáles son las principales diferencias en la distribución de frecuencias del número de
calzado de chicos y chicas? (Usa la información dada en la tabla 1)
2.5. Gráficos estadísticos
Las distribuciones de frecuencias de las variables estadísticas pueden
representarse mediante tablas y gráficos. A menudo es preferible un gráfico, porque
permite resaltar las principales características de la distribución. El denominado gráfico
de barras permite ilustrar visualmente ciertas comparaciones de tamaño, especialmente
cuando se precisa comparar dos muestras. En el diagrama de barras, cada uno de los
valores de la variable correspondiente se representa en el eje de abscisas de un gráfico
cartesiano, a intervalos igualmente espaciados. Para cada valor se dibuja una barra (o
rectángulo) cuya altura ha de ser proporcional a la frecuencia absoluta o relativa de
dicho valor.
Otro tipo de representación es el gráfico de línea poligonal, usado con ventaja
para mostrar cambios de una variable a lo largo del tiempo. El gráfico de barras se
puede usar para variables cualitativas pero el gráfico de líneas no.
1 2 3
Práctica de deporte
0
5
10
15
20
25
chicos
chicas
Figura 1: Diagrama de barras (‘práctica de deporte’ según sexo)
El gráfico de sectores (que informalmente se denomina a veces gráfico de la
‘tarta’ o ‘pastel’) muestra claramente cómo una cantidad total se reparte, así como el
tamaño relativo de las distintas partes. El área de cada sector es proporcional a la
frecuencia de la modalidad que representa. En el gráfico de sectores cada modalidad o
valor de la variable se representa por un sector circular cuyo ángulo central y, por lo
tanto también su área, es proporcional a la frecuencia. Una forma sencilla de construirlo
es multiplicando la frecuencia relativa por 360; de este modo se obtiene la amplitud del
ángulo central que tendrá cada una de las modalidades observadas.
En la elaboración de gráficos estadísticos es fundamental la precisión, la claridad
en los títulos, la elección del tipo de gráfico y el uso de escalas adecuadas. Si uno de
estos aspectos no se tiene en cuenta, el gráfico puede dar una idea inadecuada de la
información que se trata de comunicar.
Gráfico de sectores
deporte
123
25,00%
53,33%
21,67%
Figura 2: Gráfico se sectores de ‘práctica de deporte’
Ejercicios:
11. Representa mediante un diagrama de barras la distribución de la variable “práctica de
deporte” y analiza las ventajas de cada una de las dos representaciones.
12. Busca en la prensa ejemplos de gráficos estadísticos realizados inadecuadamente, razonando
dónde se hallan los errores en su elaboración.
13. Completa los datos de la Tabla 4 y represéntalos gráficamente.
Tabla 4: Frecuencia de la variable ‘número de hermanos’
Valor Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
acumulada
Frecuencia relativa
acumulada
1 1 0.033
2 10 0.333
3 5 0.166
4 7 0.233
5 3 0.100
6 1 0.033
7 3 0.100
Total 30 1.00
2.6. Agrupación de variables en intervalos
Cuando la variable estadística que estudiamos es continua, como la altura de los
alumnos, los valores observados suelen ser distintos unos de otros, o las frecuencias
pequeñas, con lo cual una tabla de frecuencias y su correspondiente representación
gráfica no constituyen buenos resúmenes estadísticos. Por dicho motivo se procede a
definir unos intervalos de valores y se recuentan las frecuencias de los valores en cada
intervalo de clase (Tabla 5). Los extremos de este intervalo se denominan extremos de
clase y el punto medio marca de clase.
El histograma de frecuencias es la gráfica apropiada para representar estas tablas
de frecuencias de datos agrupados en intervalos. En el histograma la frecuencia de cada
intervalo se representa por medio de un rectángulo cuya área es proporcional a la
frecuencia en dicho intervalo. Los histogramas pueden representar frecuencias absolutas
o relativas. También podemos comparar una misma variable en dos muestras, utilizando
histogramas con la misma amplitud de intervalos, como se muestra en la figura 4.
Figura 3: Histograma de frecuencias absoluta de la altura de los alumnos
Histograma para altura
altura
Frecuencias
150 160 170 180 190 200
0
4
8
12
16
20
Figura 4: Histograma de frecuencias relativas de peso de alumnos según sexo
sexo=1
sexo=2
Porcentaje
44 54 64 74 84 94
45
25
5
15
35
55
Tabla 5: Distribución de frecuencias de “pesetas en el bolsillo”
Nº de
clase
Límite
inferior
Límite
superior
Marca de
clase
Frecuencia Frecuencia
relativa
Frec. abs.
acumulada
Frec. rel.
acumulada
1 0 500 250 33 0.5500 33 0.5500
2 500 1000 750 13 0.2167 46 0.7667
3 1000 1500 1250 3 0.0500 49 0.8167
4 1500 2000 1750 3 0.0500 52 0.8667
5 2000 2500 2250 1 0.0167 53 0.8833
6 2500 3000 2750 1 0.0167 54 0.9000
7 3000 3500 3250 1 0.0167 55 0.9167
8 3500 4000 3750 0 0.0000 55 0.9167
9 4000 4500 4250 1 0.0167 56 0.9333
10 4500 5000 4750 0 0.0000 56 0.9333
11 5000 5500 5250 3 0.0500 59 0.9833
12 5500 6000 5750 0 0.0000 59 0.9833
13 6000 6500 6250 0 0.0000 59 0.9833
14 6500 7000 6750 0 0.0000 59 0.9833
15 7000 7500 7250 1 0.0167 60 1.0000
Ejercicio:
14. Con los datos de la tabla de frecuencias 5, representa gráficamente el histograma de
frecuencias absolutas de las “pesetas en bolsillo” con intervalos de amplitud 500.
2. 7. Representación gráfica de frecuencias acumuladas
En las figuras 5 y 6 representamos gráficamente las frecuencias acumuladas de
las variables “número de calzado” y “pesetas en bolsillo”. En los dos casos obtenemos
una gráfica creciente, pues las frecuencias acumuladas son mayores a medida que
aumentamos el valor de la variable. Sin embargo, las gráficas son ligeramente
diferentes. En la variable sin agrupar “número de calzado” tiene forma de escalera,
correspondiendo a cada valor de la variable una altura igual a su frecuencia acumulada.
En la variable agrupada marcamos en el extremo superior de cada intervalo de
clase una altura igual a su frecuencia acumulada, uniendo a continuación los puntos
obtenidos mediante una línea poligonal que se llama polígono acumulativo de
frecuencias.
calzado
Frecuencia
34 36 38 40 42 44 46
0
20
40
60
80
100
Figura 5: Diagrama de frecuencias acumuladas del “número de calzado”
pesetas
Frecuencia
0 2 4 6 8
(X 1000)
0
20
40
60
80
100
Figura 6: Polígono acumulativo de frecuencias de las “pesetas en bolsillo”
2. 8. Gráfico del tronco
El gráfico del tronco (en inglés -stem and leaf-) es utilizado para la
representación de distribuciones de variables cuantitativas, consiguiendo con él, además
de una gráfica de la distribución, la visualización de los valores de los datos que
estamos estudiando. Para ejemplificarlo trabajaremos con el conjunto de datos que se
muestra en la Figura 7, y que supondremos ha sido recogido en clase por los propios
alumnos.
Peso en Kg.
Varones Hembras
55 64 70 74 75 70 60 45 46 50 47 55
64 93 60 62 70 80 49 52 50 46 50 52
61 60 62 68 65 65 52 48 52 63 53 54
66 68 70 72 72 71 54 54 53 55 57 44
56 56 56 53 60 65 67 61 68 55 64 60
Figura 7
Para realizar este gráfico procederemos de la siguiente forma:
 Se redondean los datos a dos o tres cifras, expresando los valores con números
enteros. En nuestro ejemplo, puesto que los datos disponibles constan sólo de
dos cifras, este paso no es necesario.
 Se ordenan de menor a mayor, como se muestra en la Figura 8
44 45 46 46 47 48 49 50 50 50 52 52 52 52 53
53 53 54 54 54 55 55 55 55 56 56 56 57 60 60
60 60 60 61 61 62 62 63 64 64 64 65 65 65 66
67 68 68 68 70 70 70 70 71 72 72 74 75 80 93
Figura 8
 Se separan por la izquierda uno o más dígitos de cada dato, según el número de
filas que se quiera obtener, en general no más de 12 ó 15. Cada uno de estos
valores se escriben uno debajo del otro, trazando una línea a la derecha de los
números escritos. Estas cifras constituyen el “tronco”.En nuestro caso
tomaremos la primera cifra para formar con ella el “tronco”.
 Para cada dato original se buscan los dígitos escritos de su tronco y a la derecha
de los mismos se escriben las cifras que nos habían quedado. Estas cifras forman
las “hojas”.
De este modo obtenemos el gráfico del tronco para nuestros datos (Figura 9).
4 4 5 6 6 7 8 9
5 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7
6 0 0 0 0 0 1 1 2 2 3 4 4 4 5 5 5 6 7 8 8 8
7 0 0 0 0 1 2 2 4 5
8 0
9 3
Figura 9: Gráfico del trondo del peso de los alumnos
Como se observa, el resultado es, en la práctica, un histograma de amplitud de
intervalo 10, que además de mostrarnos la forma de la distribución, presenta todos los
datos ordenados. Esta representación puede ser ampliada o condensada para aumentar o
disminuir el número de filas, subdividiendo o fundiendo dos o más filas adyacentes. Por
ejemplo, para extender el gráfico de la Figura 9, podemos subdividir en dos cada fila de
la siguiente forma: marcamos con un asterisco las filas cuyos dígitos de la derecha
varian de 0 a 4 y con un punto las filas cuyos dígitos de la derecha varian de 5 a 9. Este
nuevo diagrama, que podemos observar en la Figura 10 recibe el nombre de gráfico del
“tronco extendido”.
4* 4
4. 5 6 6 7 8 9
5* 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4
5. 5 5 5 5 6 6 6 7
6* 0 0 0 0 0 1 1 2 2 3 4 4 4
6. 5 5 5 6 7 8 8 8
7* 0 0 0 0 1 2 2 4
7. 5
8* 0
9. 3
Figura 10: Gráfico del tronco extendido del peso de los
alumnos
Al comparar el gráfico del tronco con un histograma de frecuencias observamos
las siguientes ventajas:
 Su fácil construcción, especialmente con papel cuadriculado.
 Se pueden observar los datos con más precisión que en el histograma, pues los
rectángulos pueden ocultar diferencias importantes entre los valores, mientras
que en el gráfico del tronco estas lagunas pueden ser fácilmente detectadas y
observadas.
 Pueden obtenerse a partir de él rápidamente los estadísticos de orden, como los
valores máximo y mínimo, la mediana, cuartiles, percentiles y sus rangos, así
como la moda.
 Es fácil comparar dos muestras de datos en el mismo gráfico, como vemos en la
figura 11.
Como contrapartida observamos que no podemos elegir la amplitud del
intervalo, como en el caso del histograma, sino que viene impuesta por el sistema de
numeración. Tampoco podemos escoger la escala de la representación gráfica, que
viene impuesta por el espaciado del papel empleado.
CHICOS CHICAS
4* 4
4. 5 6 6 7 8 9
5* 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4
5 5. 5 5 5 6 6 6 7
4 4 2 2 1 0 0 6* 0 0 0 1 3 4
8 8 6 5 5 6. 5 7 8
2 2 1 0 0 0 0 7*
5 7.
0 8*
3 9.
Figura 11: Gráfico del tronco extendido del peso para chicos y chicas
3. CARACTERÍSTICAS DE POSICIÓN CENTRAL Y DISPERSIÓN
DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Supongamos que tenemos que elegir en la clase al alumno/a cuyas
características representen mejor cada una de las variables recogidas. ¿A quien
elegirías? ¿Qué valores elegirías como mejor representante de cada una de las variables
analizadas? En lo que sigue estudiaremos la forma de resumir una distribución de datos.
3.1. Medidas de tendencia central
La comparación de dos distribuciones de frecuencias correspondientes, por
ejemplo, a muestras distintas de una misma variable (como “número de hermanos”,
“altura”, etc.), puede hacerse de una manera directa por medio de la tabla, o visualmente
con ayuda de gráficos estadísticos. Pero también puede hacerse eligiendo un valor
representativo de cada muestra. La media, la moda y la mediana son soluciones
matemáticas idóneas para este problema según distintas circunstancias. Reciben el
nombre de ‘estadísticos’ o características de posición (o tendencia) central.
La media aritmética:
Es la principal medida de tendencia central. Es el número que se obtiene
sumando todos los valores de la variable estadística (xi) y dividiendo por el número de
valores (N). Si un valor aparece varias veces debe ponderarse por su frecuencia (fi).
Simbólicamente,
i i
i
x f
x
N

,
La media es la mejor estimación de una cantidad desconocida, cuando hemos
hecho varias medidas de la misma. Esta es la propiedad de la media que usamos cuando
calificamos a un alumno a partir de varias evaluaciones o cuando estimamos el tiempo
de espera en la parada de un autobús. Por tanto sirve para resolver problemas como el
siguiente:
Un objeto pequeño se pesa con un mismo instrumento por ocho estudiantes de una clase,
obteniéndose los siguientes valores en gramos: 6’2, 6’0, 6’0, 6’3, 6’1, 6’23, 6’15, 6’2 ¿Cuál
sería la mejor estimación del peso real del objeto?
La media es la cantidad equitativa a repartir cuando tenemos diferentes cantidades
de una cierta magnitud y queremos distribuirla en forma uniforme, como cuando
hablamos del número medio de niños por familia o de la renta per cápita, o en el siguiente
ejemplo:
Unos niños llevan a clase caramelos. Andrés lleva 5, María 8, José 6, Carmen 1 y Daniel
no lleva ninguno. ¿Cómo repartir los caramelos de forma equitativa?
Otras propiedades de la media son las siguientes:
1) La media es un valor comprendido entre los extremos de la distribución.
2) El valor medio es influenciado por los valores de cada uno de los datos.
3) La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos. Incluso
puede no tener “sentido” para los datos considerados (como decir que el número
medio de hijos en las familias españolas es 1.1).
4) Hay que tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la media.
5) La media es un “representante” de los datos a partir de los que ha sido calculada.
6) La media se expresa en las mismas unidades de medida que los datos.
Ejercicios:
15. Hay 10 personas en un ascensor, 4 mujeres y 6 hombres. El peso medio de las mujeres es de
58 kgs y el de los hombres de 72. ¿Cuál es el peso medio de las 10 personas del ascensor?
16. La media en fluidez verbal de una clase de un colegio es de 400. Si extraemos una muestra
aleatoria de 5 estudiantes y resulta que la puntuación de los 4 primeros es de 380, 420, 600, 400.
¿Cuál sería aproximadamente la puntuación esperada para el quinto estudiante?
17. Para aprobar cierta asignatura, un estudiante necesita obtener una puntuación media de 6 (o
más) entre cuatro exámenes. Las puntuaciones de Pedro en los tres primeros fueron de 3’5, 6’6 y
6’2. ¿Qué puntuación mínima necesita obtener en el cuarto examen para aprobar la asignatura?
18. La edad media de los 175 alumnos de una escuela es de 8 años, y la de los 12 adultos
(profesores y personal) es de 40 años. ¿Cuál es la edad media de todas las personas de esa
escuela?
La moda
Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia. Por ejemplo, en la Tabla 3
la moda del número de calzado es el 37.
En una distribución puede haber más de una moda. Si existe una sola moda se
llama unimodal, si existen dos bimodal, si hay más de dos se llama multimodal. En
general es una medida de tendencia central poco eficaz ya que si las frecuencias se
concentran fuertemente en algunos valores al tomar uno de ellos como representante los
restantes pueden no quedar bien representados, pues no se tienen en cuenta todos los
datos en el cálculo de la moda. Sin embargo, es la única característica de valor central
que podemos tomar para las variables cualitativas. Además su cálculo es sencillo.
La mediana
Si suponemos ordenados de menor a mayor todos los valores de una variable
estadística, se llama mediana al número tal que existen tantos valores de la variable
superiores o iguales como inferiores o iguales a él.
 Por ejemplo si en una familia los niños tienen 3, 5 y 8 años, la edad del niño
mediano es 5 años. La mediana es igual a 5.
 Si nace un nuevo bebé (0 años) ahora tenemos dos niños medianos, uno de 3 y otro
de 5 años. En este caso hay una indeterminación y para resolverla tomamos como
mediana el valor 4 (media entre 3 y 5).
Para calcular la mediana a partir de una tabla de frecuencias o de un polígono de
frecuencias acumuladas, observamos que la frecuencia relativa acumulada que
corresponde a la mediana es exactamente igual a 1/2. Por tanto, en la Tabla 3 (número
de calzado) y ya que al número de calzado 37 corresponde una frecuencia acumulada
0’43 y al número 38 una frecuencia acumulada 0’60 la mediana es igual a 38. Esto lo
podemos ver mejor en el diagrama de frecuencias acumuladas (figura 5).
La mediana presenta ciertas ventajas como medida de tendencia central frente a
la media en algunas distribuciones, ya que no se ve afectada por los valores extremos de
las observaciones; por ello su uso es particularmente indicado en las distribuciones
asimétricas. También se puede aplicar con variables estadísticas ordinales, mientras que
la media no se puede aplicar en estos casos.
3.2. Características de dispersión
Las características de dispersión son estadísticos que nos proporcionan una
medida del mayor o menor agrupamiento de los datos respecto a los valores de
tendencia central. Todas ellas son valores mayores o iguales a cero, indicando un valor
cero la ausencia de dispersión.
Una de tales medidas puede ser la diferencia entre el valor mayor y el menor de
la distribución de frecuencias, que recibe el nombre de recorrido (o rango). En su
cálculo sólo intervienen dos valores (el máximo y el mínimo) por lo que es escasamente
representativa de la dispersión del conjunto de datos.
 El rango para la distribución del “número de calzado” es igual a 11 ( 46 – 35).
La medida de dispersión más utilizada es la desviación típica (s), que es la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de la diferencia entre cada valor y la media
dividida dicha suma por el número de valores; su cuadrado recibe el nombre de
varianza y viene dada, por tanto, por la siguiente expresión:
2 2
2 i i i i 2 = f ( x – x ) = f x s N N – x
, ,
Ejercicios:
19. ¿Qué se puede decir sobre el resultado de un examen, si la distribución de las puntuaciones
de los alumnos verifican lo siguiente?:
a) La desviación típica es cero.
b) El rango es grande, pero la desviación típica es pequeña
c) El rango es pequeño, pero la desviación típica es grande.
20. Inventa un problema referido a calificaciones de matemáticas de un curso cuya media sea
aproximadamente 5 y cuya desviación típica sea aproximadamente 2.
21. En los exámenes realizados por Lucía, la mediana fue de 8’8, su puntuación media fue de 9’0
y el rango fue 0’8. ¿Cuáles fueron las puntuaciones de los tres exámenes?
4. TALLER DE MATEMÁTICAS
1. En la tabla adjunta presentamos los resúmenes estadísticos de las variables
consideradas en la encuesta realizada en clase.
a) Razona qué promedio es más adecuado para cada variable.
b) ¿Cuál de las variables tiene mayor /menor dispersión?
c) ¿Qué alumno (ver Tabla 1 de datos) sería más representativo en cada una de las
variables?
d) ¿Hay algún alumno que sea representativo en todas las variables?
Estadísticos de las variables del muestreo realizado en clase
Variable Peso Altura Longitud Calzado Pesetas
Media 62.38 168.46 167.7 38.8 1026.87
Mediana 62 166.5 165 38 500
Moda 58 161 160 37 0
Desviación típica 8.57 8.41 10.29 2.77 1530.50
Mínimo 46 155 150 35 0
Máximo 86 191 188 46 7500
Rango 40 36 38 11 7500
Tamaño de muestra 60 60 60 60 60
2. En relación a los datos recogidos en clase (Tabla 1),
a) ¿Son más altos los alumnos que practican mucho deporte?
b) ¿Reciben las chicas más dinero que sus compañeros?
Razona las respuestas basándote en lo que has aprendido sobre la estadística.
3. En este diagrama de
dispersión, indica si existe
relación entre la altura y el
peso. Estima la altura de una
persona que pesa 60 kg.
¿Podrías dibujar una recta
que sirva para calcular
aproximadamente la altura en
función del peso?
150
160
170
180
190
200
40 60 80 100
Peso kg
Altura cm
4. A partir del gráfico del tronco de la variable “Longitud de brazos extendidos”, que se
muestra a continuación, calcula
a) el máximo, mínimo, mediana y cuartiles.
b) Calcula el tanto por ciento de alumnos con brazos más largos y más cortos que los
tuyos.
15* 0234
15. 555578889
16* 00000001122344
16. 55556688
17* 1111222
17. 5788999
18* 000012
18. 55578
5. Al medir la altura en cm. que pueden saltar un grupo de escolares, antes y después de
haber efectuado un cierto entrenamiento deportivo, se obtuvieron los valores siguientes.
¿Piensas que el entrenamiento es efectivo?
Altura saltada en cm.
Alumno Ana Bea Carol Diana Elena Fanny Gia Hilda Ines Juana
Antes del entrenamiento 115 112 107 119 115 138 126 105 104 115
Después del entrenamiento 128 115 106 128 122 145 132 109 102 117
6. A continuación reproducimos datos sobre número de pulsaciones por minuto en
diversas especies animales3
3 Ejemplo tomado de Friel, Mokros y Russell (1992). Statistics: Middles, means and in-betweens. Palo
Alto, CA: Dayle Seymour.
1 6 Ballena
2 5 9 Camello, Tiburón
3 0 5 5 7 8 8 Elefante, Caballo, Trucha, Merluza, Salmón, Dorada
4 0 0 2 4 7 8 8 8 Mula, Burro, León, Foca, Caimán, Cocodrilo, Bacalao, Rana
5 5 5 9 9 Vaca, Oso, Carpa, Perca
6 6 Jirafa
7 0 0 0 0 5 Hombre, Ciervo, Avestruz, Cerdo, Oveja
8 0 Ganso
9 0 2 5 Perdiguero, Mastín. Fox Terrier
10 0 Collie
11 0 Delfín
12 0 5 Canguro, Pekinés
13 0 Gato
14
15 0 Conejo
16
17 0 Paloma
18
19
20
21 1 Pavo
22
23
24 0 Zorro
25
26 8 Pavo
27
28
29
30 0 1 Puercoespín, Aguila
31 2 Codorniz
32 0 Pollo
33
34 2 7 Halcón, Buitre
35
36
37 8 Cuervo
38 0 8 Grajo Comadreja
39 0 Ardilla
40 1 Gaviota
.
.
58 8 Murciélago
59
60 0 Ratón
a) ¿Te parece que la media sería un estadístico que representaría bien este conjunto de
datos? ¿Y la moda?
b) ¿Encuentras que alguna de las especies es atípica, debido a que su número de
pulsaciones está claramente alejada de la mayoría?
7. Cuatro jugadoras de baloncesto se han sometido a la siguiente prueba: Cada una de
ellas ha hecho 10 lanzamientos a canasta a una distancia de 1m, otros 10 lanzamientos
desde 2m, y así sucesivamente hasta 8m. En cada caso se han anotado los siguientes
encestes:
Jugadora 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m
A 9 10 6 4 2 0 1 0
B 7 6 7 4 2 4 1 0
C 3 4 0 1 0 2 1 3
D 10 8 9 9 6 7 4 5
¿Qué jugadora es más eficaz en el enceste?
Razona la respuesta usando resúmenes
numéricos de los datos y la gráfica que se
adjunta.
0
5
10
15
1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m
A
B
C
D
8. En la figura presentamos las frecuencias acumuladas de la altura de 1000 chicas.
a) Calcula aproximadamente la mediana, máximo y mínimo.
b) ¿Entre qué límites varía el 50 por ciento de los valores centrales?
c) ¿Cuál es el valor de la altura tal que el 70 % de las chicas tiene una altura igual
o inferior (percentil del 70%)?
d) Si una chica mide 1.65, ¿En qué percentil está?
e) Compara tu altura con la de estas chicas. ¿Qué porcentaje de chicas son más
altas/ bajas que tú?
f) ¿Qué valores de la estatura considerarías atípicos en esta distribución?
Frecuencias acumuladas de alturas de 1000 chicas
altura
porcentaje
140 145 150 155 160 165 170 175 180
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
BIBLIOGRAFÍA
Batanero, C. (2000). Didáctica de la Estadística. Granada: Grupo de Investigación en
Educación Estadística. Departamento de Didáctica de las Matemáticas.
Universidad de Granada. [Recuperable en, http://www.ugr.es/local/batanero/].
Batanero, C. (2000). Significado y comprensión de las medidas de tendencia central.
UNO, 25, 41-58
Batanero, C., Godino, J. D. y Estepa, A. (1993). Análisis exploratorio de datos; sus
posibilidades en la enseñanza secundaria. Suma, nº 9, 25-31.
Vallecillos, A. (2001). Análisis exploratorio de datos. En, E. Castro (Ed.). Didáctica de
la matemática en la Educación Primaria (pp. 559-589). Madrid: Síntesis.
Estocástica para Maestros
PROBABILIDAD
A: Contextualización Profesional
ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE PROBABILIDAD EN PRIMARIA
Consigna:
A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido
tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos:
1) Resuelve los problemas propuestos.
2) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la
solución.
3) Clasifica los enunciados en tres grupos según el grado de dificultad que les
atribuyes (fácil, intermedio, difícil).
4) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables
de la tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil.
5) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para
los alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos
ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos.
6) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de
problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian.
Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria:
1. Indica cuáles de las siguientes experiencias se consideran como aleatorias y cuáles
no:
 Sacar una carta de una baraja española y observar si es de oros.
 Observar si en las próximas 24 horas sale el sol.
 Poner agua a enfriar y observar si se congela a cero grados.
 Lanzar un tiro a una canasta de baloncesto y observar si el balón entra
 Dejar caer un huevo desde un tercer piso y observar si se rompe al chocar con el
suelo.
2. En una bolsa hay 3 bolas amarillas, 4 azules y 1 verde. Indica con una cruz en la tabla
siguiente el tipo de suceso en la experiencia de sacar una bola de la bolsa y anotar su
color:
Seguro Posible Imposible
Sacar una bola azul
Sacar una bola roja
Sacar una bola que no sea azul
Sacar una bola que no sea roja
3. Un dado tiene 2 caras pintadas de verde, 2 caras pintadas de amarillo y 2 caras
pintadas de rojo. Ana dice, “Yo gano si sale verde”; Bernardo dice, “Yo gano si sale
amarillo o rojo” y Carlos dice, “Yo gano si no sale verde”. ¿Cuál es la probabilidad que
tiene de ganar cada niño y niña al tirar este dado?
4. Abel y Rosa juegan tirando un dado. Si sale un 5 gana Abel y si sale menos de 3 gana
Rosa. ¿Cuántas veces habrá ganado cada uno, aproximadamente, después de tirar el
dado 60 veces?
5. En una clase de 27 alumnos y alumnas, por cada 5 niñas hay 4 niños. ¿Cuál es la
probabilidad de que la primera persona que salga al recreo, tras el profesor, sea una
niña?
6. Juana y Jesús juegan tirando dos monedas a la vez y van apuntando los resultados.
Juana elige ganar “si salen dos caras”, mientras que Jesús elige ganar “cuando sale una
cara y una cruz”. Observa los resultados obtenidos en 50 tiradas.
Doscaras C C ///// ///// ///
Dos cruces + + ///// ////
Una cara y una cruz C + ///// ///// ///// ///// ///// ///
¿Cuántas veces ha ganada Juana?
¿Cuántas veces ha ganado Jesús?
¿Cuántas veces no ha ganado ninguno?
Juana ha pedido la revancha y han vuelto a tirar otras 50 veces. Estos son los resultados.
Dos caras C C ///// ///// //
Dos cruces + + ///// ///// ////
Una cara y una cruz C + ///// ///// ///// ///// ////
¿Cuántas veces ha ganado ahora cada uno?
¿Y si juntas los resultados de las dos partidas?
 ¿Cuál es el conjunto de todos los resultados posibles al tirar dos monedas al aire?
 ¿Qué es más fácil en la experiencia anterior: sacar dos caras o sacar una cara y una
cruz?
 Únete a un compañero o compañera y repetid la experiencia de Juana y Jesús.
Comparad vuestros resultados con los de las tablas obtenidas por ellos. ¿Crees que
es una casualidad que haya ganado las dos partidas Jesús? ¿Por qué?
7. Copia y completa la tabla para la experiencia “sacar una bola del bombo su anotar su
color”.
Casos favorables Probabilidad
Sacar una bola roja 6 6/12= 1/2
Sacar una bola azul
Sacar una bola que no sea amarilla
Sacar una bola blanca
Sacar una bola que no sea blanca
(Composición del bombo: 6 rojas, 4 amarillas y 2 azules)
7. ¿Cuál es la probabilidad, en cada caso, de
que la bola caiga en un recipiente blanco?
¿Y en un recipiente negro?
B: Conocimientos Matemáticos
1. FENÓMENOS ESTOCÁSTICOS
La principal razón para introducir el estudio de las situaciones aleatorias y las
nociones básicas sobre probabilidad en la enseñanza primaria es que las tales situaciones
son frecuentes en la vida cotidiana.
1.1. Azar y lenguaje
En nuestras conversaciones, juegos, cuentos y canciones infantiles, prensa y
literatura encontramos con frecuencia referencias al azar. Por ejemplo, los niños usan
canciones como “Pito –pito” para echar a suertes en el escondite o en el rescate, juegan
al parchís, la oca, organizan sorteos, etc.
 Si buscamos la palabra aleatorio en el “Diccionario del uso del español” (M. Moliner
(1983) encontramos: “Incierto. Se dice de lo que depende de la suerte o el azar”,
siendo el azar la “supuesta causa de los sucesos no debidos a una necesidad natural ni
a una intervención intencionada humana ni divina”.
 Si buscamos la palabra azar encontramos: “Del árabe ‘zahr’, flor, por la que se
pintaba en una de las caras del dado”.
Esta definición nos remite al juego de dados, un ejemplo típico de lo que todo el
mundo acepta como fenómenos aleatorios, donde una característica es el carácter
imprevisible del resultado.
Hay muchas otras palabras relacionadas con “azar” y “aleatorio”:
casual, accidental, eventual, fortuito, impensado, imprevisible, inesperado
inopinado, ocasional, ….
También hay muchas expresiones que se usan en los juegos infantiles, con este mismo
significado:
por suerte, por suerte, por chiripa, por chamba , de rebote, de rechazo, sin
querer, sin intención, sin plan,…
Esta variedad de expresiones indica que los fenómenos aleatorios son cercanos a
nuestra experiencia y que incluso los niños son capaces de observar el carácter
imprevisible de estos fenómenos.
1.2. El azar en la realidad
Al tratar de buscar ejemplos de fenómenos aleatorios encontramos cuatro grandes
campos de aplicación de la estadística relacionados con el hombre: el mundo biológico,
físico, social y político.
Nuestro mundo biológico
Dentro del campo biológico, vemos que muchas características heredadas en el
nacimiento no se pueden prever de antemano: el sexo, color de pelo, peso al nacer, etc.
Algunos rasgos como la estatura, número de pulsaciones por minuto, recuento de hematíes,
etc, dependen incluso del momento en que se miden.
En medicina, la posibilidad de contagio o no en una epidemia, la edad en que se sufre
una enfermedad infantil, la duración de un cierto síntoma, o la posibilidad de un
diagnóstico correcto cuando hay varias posibles enfermedades que presentan síntomas
parecidos varían de uno a otro chico. El efecto posible de una vacuna, el riesgo de reacción
a la misma, la posibilidad de heredar una cierta enfermedad o defecto, o el modo en que se
determina el recuento de glóbulos rojos a partir de una muestra de sangre son ejemplos de
situaciones aleatorias.
Cuando se hacen predicciones sobre la población mundial o en una región dada para el
año 2050, por ejemplo, o sobre la posibilidad de extinción de las ballenas, se están usado
estudios probabilísticos de modelos de crecimiento de poblaciones, de igual forma que
cuando se hacen estimaciones de la extensión de una cierta enfermedad o de la esperanza
de vida de un individuo.
En agricultura y zootecnia se utilizan estos modelos para prever el efecto del uso de
fertilizantes o pesticidas, evaluar el rendimiento de una cosecha o las consecuencias de la
extensión de una epidemia, nube tóxica, etc.
Por último, y en el ámbito de la psicofisiología, observamos el efecto del azar sobre el
cociente intelectual o en la intensidad de respuesta a un estímulo, así como en los tipos
diferentes de caracteres o capacidades de los individuos.
El mundo físico
Además del contexto biológico del propio individuo, nos hallamos inmersos en un
medio físico variable. ¿Qué mejor fuente de ejemplos sobre fenómenos aleatorios que los
meteorológicos?. La duración, intensidad, extensión de las lluvias, tormentas o granizos;
las temperaturas máximas y mínimas, la intensidad y dirección del viento son variables
aleatorias. También lo son las posibles consecuencias de estos fenómenos: el volumen de
agua en un pantano, la magnitud de daños de una riada o granizo son ejemplos en los que
se presenta la ocasión del estudio de la estadística y probabilidad.
También en nuestro mundo físico dependemos de ciertas materias primas como el
petróleo, carbón y otros minerales; la estimación de estas necesidades, localización de
fuentes de energía, el precio, etc, están sujetos a variaciones de un claro carácter aleatorio.
Otra fuente de variabilidad aleatoria es la medida de magnitudes. Cuando pesamos,
medimos tiempo, longitudes, etc, cometemos errores aleatorios. Uno de los problemas que
se puede plantear es la estimación del error del instrumento y asignar una estimación lo
más precisa posible de la medida. Por último, citamos los problemas de fiabilidad y control
de la calidad de los aparatos y dispositivos que usamos: coche, televisor, etc.
El mundo social
El hombre no vive aislado: vivimos en sociedad; la familia, la escuela, el trabajo, el
ocio están llenos de situaciones en las que predomina la incertidumbre. El número de hijos
de la familia, la edad de los padres al contraer matrimonio, el tipo de trabajo, las creencias
o aficiones de los miembros varían de una familia a otra.
En la escuela, ¿podemos prever las preguntas del próximo examen?; ¿quién ganará el
próximo partido?, …
Para desplazarnos de casa a la escuela, o para ir de vacaciones, dependemos del
transporte público que puede sufrir retrasos. ¿Cuántos viajeros usarán el autobús?
¿Cuántos clientes habrá en la caja del supermercado el viernes a las 7 de la tarde?
En nuestros ratos de ocio practicamos juegos de azar tales como quinielas o loterías.
Acudimos a encuentros deportivos cuyos resultados son inciertos y en los que tendremos
que hacer cola para conseguir las entradas, …
Cuando hacemos una póliza de seguros no sabemos si la cobraremos o por el
contrario perderemos el dinero pagado; cuando compramos acciones en bolsa estamos
expuestos a la variación en las cotizaciones,…
El mundo político
El Gobierno, a cualquier nivel, local, nacional o de organismos internacionales,
necesita tomar múltiples decisiones que dependen de fenómenos inciertos y sobre los
cuales necesita información. Por este motivo la administración precisa de la elaboración de
censos y encuestas diversas. Desde los resultados electorales hasta los censos de población
hay muchas estadísticas cuyos resultados afectan las decisiones de gobierno y todas estas
estadísticas se refieren a distintas variables aleatorias relativas a un cierto colectivo. Entre
las más importantes citaremos: el índice de precios al consumo, las tasas de población
activa, emigración – inmigración, estadísticas demográficas, producción de los distintos
bienes, comercio, etc, de las que diariamente escuchamos sus valores en las noticias.
2. PROBABILIDAD. ASIGNACIÓN SUBJETIVA DE PROBABILIDADES
2.1. Experimento y suceso aleatorio
Un ejemplo cotidiano de situación aleatoria es el pronóstico del tiempo. Para
llevarlo a cabo se aplican las técnicas de recogida de datos estadísticos y para un día
dado no sabemos con seguridad cuál será la temperatura o si lloverá. Sin embargo,
dependiendo de la época del año unos sucesos nos parecen más probables que otros.
Utilizamos la expresión “experimento aleatorio” para describir este tipo de situaciones.
Ejercicios
1. Daniel y Ana son niños cordobeses. Acuden a la misma escuela y su profesor les ha pedido
que preparen una previsión del tiempo para el día 24 de Junio, fecha en que comenzarán sus
vacaciones. Puesto que están aún en el mes de Mayo, Daniel y Ana no pueden predecir
exactamente lo que ocurrirá. Por ello, han buscado una lista de expresiones para utilizar en la
descripción del pronóstico. He aquí algunas de ellas:
cierto; posible; bastante probable; hay alguna posibilidad; seguro; es imposible; casi
imposible; se espera que; incierto; hay igual probabilidad; puede ser; sin duda, …
¿Podrías acabar de clasificar estas palabras según la mayor o menor confianza que expresan en
que ocurra un suceso? Busca en el diccionario nuevas palabras o frases para referirte a hechos
que pueden ocurrir y compáralas con las dadas anteriormente.
2. Busca en la prensa frases o previsiones sobre hechos futuros en que se usen las palabras
anteriores. Clasifícalas según la confianza que tienes en que ocurran. Compara tu clasificación
con la de otros compañeros.
En probabilidad llamamos “experimento” tanto a los verdaderos experimentos que
podamos provocar como a fenómenos observables en el mundo real; en éste último
caso, la propia acción de observar el fenómeno se considera como un experimento. Por
ejemplo, la comprobación del sexo de un recién nacido se puede considerar como la
realización de un experimento. Diferenciamos entre experimentos deterministas y
aleatorios. Los primeros son aquellos que, realizados en las mismas circunstancias sólo
tienen un resultado posible. Por el contrario, un experimento aleatorio se caracteriza por
la posibilidad de dar lugar, en idénticas condiciones, a diferentes resultados.
Suceso es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Distinguimos entre sucesos elementales, cuando no pueden descomponerse en otros más
simples y suceso compuestos cuando se componen de dos o más sucesos elementales
por medio de operaciones lógicas como la conjunción, disyunción o negación.
Ejercicio
3. Poner tres ejemplos de experimentos aleatorios y deterministas. Para cada uno de ellos
describir un suceso simple y otro compuesto.
2.2. Suceso seguro e imposible
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se
denomina espacio muestral o suceso seguro. Suele representarse mediante la letra E.
Por ejemplo, el espacio muestral obtenido al lanzar un dado sería E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Este espacio muestral es finito, pero podemos considerar un espacio muestral con
infinitos resultados posibles. Por ejemplo, la duración de una lámpara podría variar en
un intervalo continuo [0, 1000], donde hay infinitos puntos. Otros casos serían el peso o
la talla de una persona tomada al azar de una población.
Puesto que el suceso seguro consta de todos los resultados posibles, siempre se
verifica. Teóricamente podríamos también pensar en un suceso que nunca pueda ocurrir,
como obtener un 7 al lanzar un dado ordinario. Lo llamaremos suceso imposible y lo
representamos por .
Ejercicios:
4. Describir el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos: a)
lanzamiento simultáneo de dos monedas. b) suma de los puntos obtenidos al lanzar
simultáneamente dos dados.
5. Describir un suceso imposible asociado a cada uno de los experimentos del ejercicio 2.
6. En una caja hay 4 bolas rojas, 3 verdes y 2 blancas. ¿Cuántas bolas se deben sacar
sucesivamente para estar seguro de obtener una bola de cada color?
7. Dos sucesos que no pueden ocurrir a la vez se llaman incompatibles. Por ejemplo, no pueden
ocurrir a la vez los sucesos “obtener par” y “obtener impar” cuando lanzamos un dado. Tampoco
podrían ocurrir a la vez “ser menor que 3″ y “ser mayor que 5″. ¿Podrías dar ejemplos de otros
sucesos incompatibles?
2.3. Asignación de probabilidades subjetivas
La asignación de probabilidades mediante palabras o expresiones no es muy
precisa. Por ello, para asignar probabilidades a sucesos, se hace corresponder un valor
numérico entre 0 y 1.
Esto permite comparar diferentes sucesos, o bien situarlos sobre un gráfico, que
llamaremos la escala de la probabilidad (Figura 1). Una vez realizado el ejercicio 1
individualmente o por parejas, pueden compararse los resultados de los diversos
grupos. Puesto que cada alumno o grupo ha trabajado independientemente del resto, las
probabilidades asignadas tienen un carácter subjetivo. Cada alumno podría usar
diferente información o distintos criterios seguidos en su asignación.
Finalmente, podremos obtener unas probabilidades en las que toda la clase se
muestre de acuerdo, tomando el valor medio o la mediana de las probabilidades
asignadas individualmente a los diversos sucesos por los diferentes alumnos.
Figura 1
Hay igual probabilidad
0
1
1
2
Seguro
Imposible
5
10
10
10
0
10
2.4 Probabilidad, como grado de creencia
Para medir la mayor o menor posibilidad de que ocurra un suceso en un
experimento, le asignamos un número entre 0 y 1 llamado su probabilidad.
La probabilidad varía entre 0 y 1
El suceso seguro siempre ocurre y el suceso imposible no puede ocurrir.
Asignamos una probabilidad 0 a un suceso que nunca puede ocurrir, por ejemplo, que
salga un 7 al lanzar el dado. Asignamos un 1 a un suceso que ocurre siempre que se
realiza el experimento; por ejemplo, al lanzar una moneda es seguro que saldrá o “cara o
cruz”.
Entre estos dos casos se encuentran el resto de los sucesos asociados a cada
experimento. A pesar de que no sabemos cual de ellos ocurrirá en una prueba particular,
algunos de ellos nos merecen más confianza que otros, en función de nuestros
conocimientos sobre las condiciones de realización del experimento. Por medio de la
probabilidad cuantificamos nuestro grado de creencia acerca de la ocurrencia de cada
uno de los sucesos asociados a un experimento. A cualquier otro suceso distinto del
“imposible” y del “seguro” se le asigna un número entre 0 y 1.
Este valor lo asignamos de acuerdo con nuestra información y la creencia que
tengamos en la ocurrencia del suceso. Por ello, diferentes personas podrían asignar una
probabilidad distinta al mismo suceso.
Por ejemplo, si nos preguntan por la probabilidad de que una cierta persona llegue
a cumplir 25 años, diremos que es muy alta. Pero, si su médico sabe que esta persona
sufre una enfermedad incurable dará un valor bajo para esta misma probabilidad.
Ejercicios:
8. Esperanza de vida: A partir de una tabla de vida, hacer predicciones sobre la probabilidad
de vivir x años, o de vivir en el año 2010, según sea un chico o una chica, el profesor, etc.
9. Investigación. Discutir y ordenar las probabilidades de que se produzcan diversos inventos
antes de 5, o 10 años (vacunas, viajes interplanetarios, energía,…)
10. Accidentes:. Escribir una serie de frases sobre la reducción o aumento del número de
accidentes, probabilidad de que se produzcan en una fecha dada y ordenarlas de mayor a
menor probabilidad.
11. Resultados de elecciones. Con motivo de algunas elecciones escolares, locales, etc,
plantear la mayor o menor probabilidad de que resulte elegido un candidato, o de que logre
todos los votos, los 2/3, etc. Para ello utiliza los gráficos de alguna encuesta publicada en la
prensa local (por ejemplo, un gráfico de barras o sectores).
12. Recoger de la prensa los datos de las temperaturas máxima y mínima durante una semana
en las capitales de provincia. Confeccionar una tabla estadística con estos datos. ¿Cuál crees
que será la temperatura máxima y mínima más probable la próxima semana?
13. Busca dos gráficos estadísticos diferentes que hayan aparecido en la prensa local
recientemente. Para cada uno de ellos describe el experimento aleatorio al que se refieren; los
sucesos asociados y cuál de ellos es más probable. ¿Podrías hacer un gráfico alternativo para
representar la información en cada uno de los casos?
3. ESTIMACIÓN DE PROBABILIDADES
3.1. Frecuencia absoluta y relativa. Estabilidad de las frecuencias relativas
Cuando realizamos un experimento N veces, llamamos frecuencia absoluta del
suceso A el número NA de veces que ocurre A. Al cociente h(A)=NA/N le llamamos
frecuencia relativa del suceso. Se pueden observar las tres propiedades siguientes en las
frecuencias relativas:
1. La frecuencia relativa del suceso varía entre 0 y 1;
2. La frecuencia relativa del suceso seguro siempre es 1 en cualquier serie de ensayos.
3. Supongamos que un suceso A se forma uniendo sucesos que no tienen elementos
comunes. En este caso, la frecuencia relativa del suceso A es la suma de las
frecuencias relativas de los sucesos que lo componen.
Por ejemplo, al lanzar un dado, h(par)= h(2)+h(4)+h(6).
El valor de la frecuencia relativa de un suceso no es fijo para N, puesto que se trata
de un fenómeno aleatorio. Dos alumnos de la clase que realicen el mismo experimento
50 veces pueden obtener diferentes valores de las frecuencias absoluta y relativa del
mismo suceso. Sin embargo, para una serie larga de ensayos, las fluctuaciones de la
frecuencia relativa son cada vez más raras y de menor magnitud.
Este hecho tiene una demostración matemática, en los teoremas conocidos como
“leyes de los grandes números”. También puede observarse experimentalmente; por
ejemplo, en las estadísticas recogidas en grandes series de datos sobre natalidad,
accidentes, fenómenos atmosféricos, etc.
3.2. Estimación frecuencial de la probabilidad
La estabilidad de la frecuencia relativa en largas series de ensayos, junto con el
hecho de que haya fenómenos para los cuales los sucesos elementales no son
equiprobables, hace que pueda estimarse el valor aproximado de la probabilidad de un
suceso a partir de la frecuencia relativa obtenida en un número elevado de pruebas. Este
es el único método de asignar probabilidades en experimentos tales como “lanzar una
chincheta” o “tener un accidente de coche en una operación retorno”. Recuerda, no
obstante, que el valor que obtenemos de esta forma es siempre aproximado, es decir,
constituye una estimación de la probabilidad.
Sabemos, por ejemplo, que, debido a las leyes genéticas la probabilidad de nacer
varón o mujer es aproximadamente la misma. Sin embargo, si en un hospital hacemos
una estadística de nacimientos no sería raro que un día dado, de diez recién nacidos, 7 u
8 fuesen varones. Sería más raro que fuesen varones 70 o más entre cien recien nacidos,
y todavía más difícil que más del 70% de entre 100.000 recién nacidos lo fuesen.
Con este ejemplo, vemos también que es muy importante el tamaño de la muestra
en la estimación de las probabilidades frecuenciales. A mayor tamaño de muestra,
mayor fiabilidad, porque hay más variabilidad en las muestras pequeñas que en las
grandes.
Ejercicios
14 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones te parece verdadera cuando lanzamos un dado? ¿Por
qué?
a) la probabilidad de obtener un 3 es mayor que la de obtener un 6
b) la probabilidad de obtener un 6 es mayor que la de obtener un 3;
c) la probabilidad de obtener un 6 es igual que la de obtener un 3;
d) la probabilidad de obtener un 1es mayor que 1/2 ;
e) Asigna un valor numérico a la probabilidad de obtener un 1.
15. Experimentos con chinchetas. Por parejas, los alumnos lanzan una caja de chinchetas sobre
una mesa, contando cuántas de ellas caen de punta o de cabeza. Con los resultados de toda la
clase puede estimarse, aproximadamente, la probabilidad de estos dos sucesos y el profesor
puede aprovechar para hacer observar a los chicos que existen ejemplos de experimentos en los
que la aplicación de la regla de Laplace no es pertinente.
3.3. Simulación de experimentos aleatorios
La realización de experimentos aleatorios usando dispositivos físicos, como dados,
fichas, bolas, ruletas, etc. puede requerir bastante tiempo. A veces, incluso puede que
no se dispongan de tales dispositivos en número suficiente para toda la clase. Una
alternativa válida consiste en simular tales experimentos por medio de una tabla de
números aleatorios. Este procedimiento incluso permite resolver problemas de
probabilidad reales haciendo las simulaciones con un ordenador.
Llamamos simulación a la sustitución de un experimento aleatorio por otro
equivalente con el cual se experimenta para obtener estimaciones de probabilidades de
sucesos asociados al primer experimento. La estimación de la probabilidad que se
obtiene con el experimento simulado es tan válida como si se tratase del experimento
real. Este es el método que se emplea para obtener previsiones en las siguientes
situaciones:
a) Experimentos complejos, como sería planificar el tráfico durante una operación
salida de vacaciones.
b) Experimentos peligrosos, como estimar la temperatura de control o la velocidad de
reacción permitida en una central nuclear.
c) Situaciones futuras: estudios ecológicos o sobre contaminación ambiental.
Ejercicios
16. Explica cómo usar la tabla de números aleatorios de la figura 3, o los números aleatorios
generados por tu calculadora, para simular los siguientes experimentos:
a) Lanzar una moneda. Figura 2
b) Tirar un dado.
c) Sacar bolas numeradas del 1 al 100 de una bolsa.
d) Girar una ruleta como la de la figura 2.
e) Observar el sexo de un recién nacido.
f) Observar el sexo de 2 recién nacidos
B 45º A 135º
C 90º D 90º
8231 4167 2530 7720 5676
1581 1649 564 3295 5354
4496 8048 9488 3297 7785
6922 7832 9461 9526 1473
4871 0564 2895 0249 4688
3781 8989 5516 2423 1518
2179 8540 9166 3163 8419
7023 5233 9033 9349 1256
2125 5297 0125 8071 9371
5108 7098 6403 6207 1817
Figura 3: Tabla de números aleatorios
4. ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES. REGLA DE LAPLACE
Ejercicios
17. Cuando lanzamos un dado, obtenemos el espacio muestra E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos
que este dado está perfectamente construído. No tenemos, por tanto, motivos para dar ventaja a
ninguno de los resultados. ¿Cuál sería la probabilidad de cada uno de los resultados elementales,
P(1) = ; … ; P(6)= ? Razona la respuesta.
18. En el espacio muestral obtenido al lanzar un dado podemos formar subconjuntos suyos o
sucesos, por ejemplo, A = “obtener par” = {2, 4, 6 }. Escribe los elementos de los siguientes
subconjuntos de E:
B = “número impar” =
C “número primo” =
D = “número compuesto” =
F = “múltiplo de 3″ =
Asigna probabilidades a cada uno de los sucesos B, C, D, E. Razona las respuestas.
Si un espacio muestral consta de un número finito n de sucesos elementales y no
tenemos motivo para suponer que alguno de ellos pueda ocurrir con mayor frecuencia
que los restantes, la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales es 1/n
En estos casos, podemos aplicar la regla de Laplace para calcular las
probabilidades de los sucesos compuestos. Un suceso compuesto que se compone de k
sucesos elementales, tiene, en este caso una probabilidad igual a k/n (regla de Laplace)
En el caso de que tengamos motivos para pensar que algún suceso puede darse con
mayor frecuencia que otros (por ejemplo, al usar un dado sesgado) o bien cuando el
espacio muestral es infinito, no podemos aplicar esta regla.
Ejercicios
19. Un experimento consiste en lanzar un dado con forma de dodecaedro, con los números del 1
al 12 en sus caras. Encontrar la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
a) Obtener un número par; b) Obtener un número primo; c) Obtener un divisor de 12.
20. Se toma un número comprendido entre 0 y 999
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 5?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la cifra central sea mayor que las otras dos?
21. A un congreso asisten 100 personas. De ellas, 80 hablan francés y 40 inglés. ¿Cuál es la
probabilidad de que un asistente hable los dos idiomas?
Axiomas de la probabilidad
En los apartados anteriores hemos visto tres modos diferentes de asignar
probabilidades, según el tipo de experimento aleatorio:
a) En el caso de espacios muestrales con un número finito de sucesos elementales en
los que pueda aplicarse el principio de indiferencia, calculamos las probabilidades
usando la regla de Laplace.
b) Si no podemos usar la regla de Laplace, pero tenemos información estadística sobre
las frecuencias relativas de aparición de distintos sucesos, podemos obtener una
estimación frecuencial de las probabilidades.
c) En los demás casos, el único modo de asignar las probabilidades a los sucesos es de
modo subjetivo.
En todos los casos, las probabilidades cumplen unas mismas propiedades, que se
recogen en la definición axiomática de la probabilidad.
Toda teoría matemática se desarrolla a partir de una serie de axiomas.
Generalmente estos axiomas se basan en la abstracción de ciertas propiedades de los
fenómenos que se estudian, que para el caso de la probabilidad son las tres primeras
propiedades que hemos citado sobre las frecuencias relativas.
Como consecuencia, se considera que la probabilidad es toda aplicación, definida
en el conjunto de los sucesos asociados a un experimento aleatorio, que cumpla las tres
siguientes propiedades:
1. A todo suceso A le corresponde una probabilidad P(A), número comprendido entre
0 y 1.
2. La probabilidad del suceso seguro es 1, P(E)=1.
3. La probabilidad de un suceso que es unión de sucesos incompatibles es la suma de
las probabilidades de los sucesos que lo componen.
5. PROBABILIDADES EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS
Con frecuencia, los problemas de probabilidad involucran dos o más experimentos.
Algunos ejemplos de estas situaciones son:
 Lanzar al aire dos monedas, tres monedas, …
 Adivinar el sexo de una pareja de mellizos no idénticos, antes de hacer la ecografía.
 El número de bombillas defectuosas en una caja de 10 bombillas
 El número de estudiantes en una clase que ha estudiado la lección
En estas situaciones, algunas reglas sencillas pueden ser útiles para calcular la
probabilidad. Estudiaremos algunos ejemplos para deducir estas reglas a partir de los
mismos.
5.1. Resultados de un experimento compuesto
Ejemplo:
Al lanzar simultáneamente dos monedas, ¿es más fácil obtener una o dos caras?
Solución: Se trata de un experimento compuesto de dos experimentos simples:
 Primer experimento: Lanzar la primera moneda. E = { C, +}
 Segundo experimento: Lanzar la segunda moneda. E = { C, +}
Las posibilidades que se pueden presentar en el experimento compuesto se
presentan en la tabla siguiente:
Segundo Experimento
Primer Experimento C +
C CC C+
+ +C ++
Observamos por tanto que la probabilidad de obtener dos caras es ¼ y la de obtener
una cara es ½ puesto que tenemos dos posibilidades.
Ejercicios
22. Describe con la ayuda de una tabla todos los sucesos que puedes obtener en los siguientes
experimentos compuestos:
a) Sexo de dos recién nacidos
b) Números al lanzar dos dados a la vez
c) Grupo sanguíneo de dos recién nacidos
23. De una bolsa con 3 bolas blancas y 3 bolas azules sacamos dos bolas. Describe todos los
resultados si :
a) Devolvemos la primera bola a la caja después de ver el color
b) No la devolvemos
5.2. Cálculo de probabilidad a partir del diagrama en árbol
Otra forma de representar las posibilidades en este experimento compuesto es
mediante un diagrama en árbol, que nos sirve también para observar la forma en que se
obtiene la probabilidad.
Observa el diagrama que hemos construido para representar el experimento que
consiste en lanzar dos monedas. En este diagrama anotamos, para cada experimento sus
posibilidades y la probabilidad de los diferentes resultados
Primer Experimento
½ ½
Segundo Experimento C +
½ ½ ½ ½
C + C +
¼ ¼ ¼ ¼
Experimento Compuesto CC C+ +C ++
Regla de cálculo: Puesto que la mitad de las veces obtenemos cara en el primer
experimento y de esta mitad, la mitad de las veces obtenemos cara en el segundo, la
probabilidad de obtener dos caras es la mitad de un medio, esto es un cuarto.
 En el diagrama en árbol, la probabilidad final de un resultado es el producto de las
probabilidades en cada rama que lleva a este resultado.
5.3. Experimentos dependientes e independientes
En el ejemplo del lanzamiento de dos monedas, el resultado de la segunda moneda
no depende de lo que salió en la primera. Así observamos que:
 Los resultados del segundo experimento serían los mismos, si no se hubiera llevado
a cabo el primero.
 Los resultados del segundo experimento tienen la misma probabilidad, sin depender
del resultado del primero. La probabilidad de obtener cara en el segundo
lanzamiento es ½ y esto no depende del resultado en el primer lanzamiento.
En otros casos, el segundo experimento depende del primero, por ejemplo:
 La probabilidad de aprobar un examen mejora con el número de exámenes.
 La probabilidad de que una persona tenga un infarto es mayor si ha tenido otro
previamente.
 La probabilidad de que un niño tenga los ojos azules es diferente, según el color de
los ojos de sus padres.
También en estos casos podemos usar el diagrama en árbol, pero teniendo en
cuenta que ahora las probabilidades del segundo experimento dependen del resultado
del primero.
Ejemplo:
En una caja tengo tres bolas rojas y dos verdes. Tomo dos bolas al azar sin devolver la
primera, ¿Cuál es la probabilidad de tomar las dos verdes?
Solución:
Puedo construir de nuevo el diagrama en árbol, teniendo en cuenta las probabilidades en
cada experimento y cómo varían las del segundo en función de los resultados en el
primero:
Primer Experimento
3/5 2/5
Segundo Experimento R V
2/4 2/4 3/4 1/4
R V R V
3/10 3/10 3/10 1/10
Experimento Compuesto RR RV VR VV
Observa que en el experimento compuesto, de nuevo la suma de todas las
probabilidades es igual a uno.
6. TALLER DE MATEMÁTICAS
1. Se lanza un moneda tres veces seguidas. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2
caras? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más caras que cruces?
2. Se lanza un dado dos veces seguidas y se suman los puntos obtenidos. a) ¿Cuál es la
probabilidad de que la suma de los puntos sea 8? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la
suma de puntos sean menor o igual que 10?
3. Carmen y Daniel han inventado un juego de dados con las siguientes reglas:
- Lanzan dos dados sucesivamente y calculan la diferencia de puntos entre el mayor
y el menor.
- Si resulta una diferencia de 0, 1 o 2 entonces Carmen gana 1 ficha.
- Si resulta 3, 4, o 5 es Daniel quien gana una ficha.
- Comienzan con un total de 20 fichas y el juego termina cuando no quedan más.
¿Te parece que este juego es equitativo? Si tuvieras que jugar, ¿cuál jugador
preferirías ser? ¿Cuántas fichas debería ganar cada jugador para que el juego sea
equitativo sin cambiar el resto de las reglas?
4. En una caja con 10 bombillas hay 3 fundidas. Tomamos dos bombillas de la caja.
 ¿Depende la probabilidad de que la segunda bombilla sea defectuosa de si la
primera estaba fundida?
 Con ayuda del diagrama en árbol calcula la probabilidad de que las dos bombillas
sean defectuosas, de que ninguna esté fundida, de que al menos una esté fundida.
¿Cuál es el resultado más probable?
5. El 85 % de votantes en una ciudad acude a las elecciones. En una familia donde hay
tres personas con edad de votar, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres hayan votado?
6. Un jugador de baloncesto que suele encestar el 70 por ciento de sus tiros desde el
punto de lanzamiento de personales tiene que lanzar una personal. Esto implica que si el
jugador acierta el primer lanzamiento puede repetir otro. Por tanto puedo obtener 0, 1 o
2 puntos en el juego, fallando el primer lanzamiento (0 puntos) acertando el primero y
fallando el segundo (1 punto) o encestando los dos (2 puntos).
a) Utiliza la tabla de números aleatorios para simular el experimento y estima la
probabilidad de que el jugador obtenga 0, 1, 2 puntos.
b) Con ayuda de un diagrama en árbol calcula la probabilidad de que el jugador
obtenga 0, 1, 2 puntos.
7. Ponemos a un ratón al comienzo de este laberinto. ¿Cuál es la probabilidad de que
acabe en la parte A? ¿Y en la B?
Simula este experimento y da una
respuesta aproximada.
Con la ayuda de un diagrama en
árbol calcula las probabilidades de
llega a A y a B.
8. Al lanzar tres monedas, Maria gana 1 euro si se obtiene 0 o 1 caras. Juan gana un
euro si se obtienen 2 o 3 caras. María dice que el juego es justo porque solo hay 4
posibilidades y cada uno de ellos tiene ventajas con dos. Juan no está de acuerdo.
a) ¿Quién tiene razón? b) ¿Cuál sería la cantidad de dinero que tiene que pagar Maria a
Juan en caso que este gane, para que el juego sea equitativo?

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