INTEGRALES

TABLA DE INTEGRALES


Dos problemas, ambos de geometría, motivan las dos ideas más importantes en cálculo.
El problema de encontrar la recta tangente nos llevó a la derivada. El problema de encontrar el área nos conducirá a la integral definida.
Para polígonos (regiones planas cerradas acotadas por segmentos de recta), el problema de encontrar el área apenas es un problema. Comenzamos con la definición del área de un rectángulo como la conocida fórmula de largo por ancho y, a partir de esto, de manera sucesiva deducimos las fórmulas para el área de un paralelogramo, un triángulo y cualquier polígono. La sucesión de figuras en la figura 1 sugiere cómo se hace esto.
Incluso, en esta sencilla configuración es claro que el área debe satisfacer cinco propiedades.
1. El área de una región plana es un número (real) no negativo.
2. El área de un rectángulo es el producto de su largo por ancho (ambos medidos en las mismas unidades). El resultado está en unidades cuadradas; por ejemplo, pies cuadrados o centímetros cuadrados.
3. Regiones congruentes tienen áreas iguales.
4. El área de la unión de dos regiones que se traslapan sólo en un segmento de recta es la suma de las áreas de las dos regiones.
5. Si una región está contenida en una segunda región, entonces el área de la primera es menor o igual que el de la segunda.
Cuando consideramos una región con frontera curva, el problema de asignar un área es significativamente más difícil. Sin embargo, hace más de 2000 años,Arquímedes proporcionó la clave de la solución. Considérese una sucesión de polígonos inscritos que aproximen a la región curva con una precisión cada vez mayor.

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