INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE PROBLEMAS RESUELTOS PDF Y VIDEOS

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A veces es conveniente hacer un cambio de variable, para transformar la integral dada en otra, de forma conocida. La técnica en cuestión recibe el nombre de método de sustitución.
En palabras, si tenemos una función compuesta que queremos integrar, debemos verificar que la diferencial incluye a la derivada de la función u(x) para que podamos integrar.
Observa que el término u′(x) solamente sirve para completar la diferencial. No es parte de la función f que vamos a integrar, de manera que no aparece en el resultado final.
Sin embargo, no debes olvidar verificar que este término se encuentre en el integrando como un
factor, de otra manera, la integral estará incorrecta.


INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE TENIENDO EN CUENTA EL DOMINIO

¿Qué ocurre cuando hacemos un cambio de variable?
La mayor parte de las veces realizamos cambios de variable (en una integral definida, en un límite o para resolver una ecuación, …) sin preocuparnos demasiado por el dominio en el que estamos trabajando. La mayor parte de las veces todo funciona bien y no hay problemas. Pero no siempre todo marcha a la perfección.
En este apartado nos centraremos en cambios de variable en el entorno de la integración. Sin embargo, hay que darse cuenta de que el funcionamiento de los cambios de variables e idéntico ea cual ea el contexto en que e realizan (integrale , límite , …)
Consideremos la integral:
Para resolverla podemos emplear el cambio de variable
y la integral se transforma en
En este caso, el integrando original, , está definido en todo ℝ, es decir, . Cuando pasamos a la integral la variable t también varía en todo ℝ. El cambio transforma el intervalo en el intervalo , es decir,
A cada valor de x le corresponde un único valor de t y a cada valor de t le corresponde un único valor de x. Conociendo el valor x conocemos el valor de t, y viceversa.
Valor de x
Valor de t
6 1
1
4 0 5
5
0 3 8
9
26
8
9
26 8
Un cambio de variable transforma los valores de la variable x en valores de la variable t.
A cada valor de x le ha de corresponder un único valor de t.
A cada valor de t le ha de corresponder un único valor de x.
Conociendo lo que vale x conocemos el valor de t
Conociendo lo que vale t conocemos el valor de x
Completar la tabla no conlleva ninguna dificultad
Ejercicio 40: (a) Para resolver la integral:
se emplea el cambio de variable
.
¿Cuál es el dominio del integrando? ¿Dónde varía la variable t?
(b) Para resolver la integral:
se emplea el cambio de variable
.
¿Cuál es el dominio del integrando? ¿Dónde varía la variable t?
Consideremos ahora la integral:
Para resolverla empleamos el cambio de variable
y no nos preocupamos de mirar en dónde está definido el integrando, en dónde puede
variar la variable x y en dónde puede variar la variable t. Veamos qué ocurre.
Para que el integrando
5 3 5
1
x   x 
esté definido (12) se necesita que
. ¿Dónde varía ahora t?
El dominio de la función es dom

e té de inida
y
e té de inida
y
. Es fácil comprobar que dom .
Valor de x Valor de t
¿?
7
10
6 1
6 1
724 3
724 3
8
2
2
El cambio no está bien definido
A cada valor de x no le corresponde un único valor de t.
A distintos valores de t les corresponde el mismo valor de x.
Conociendo lo que vale x no conocemos unívocamente el valor de t
Conociendo lo que vale t conocemos el valor de x, pero a distintos
valores de t les corresponde el mismo valor de x
No podemos completar la tabla asociando, en cada fila, un único
valor de x con un único valor de t
Para que el cambio de variable quede perfectamente definido tenemos que decidir qué
valor tomamos para la variable t.
Transformación del intervalo cuando usamos la sustitución
Para que el integrando esté definido hace falta que .
Si hacemos el cambio de variable
y despejamos t en función de x, se tiene que
Encontramos dos posibles valores para t, el positivo y el negativo:
 Si tomamos entonces,
(Esta es la rama con la que normalmente trabajamos)
 Si tomamos entonces,
Evidentemente, se puede elegir para t la rama que uno prefiera, siempre que en el resto de los cálculos sea coherente con esta selección. Nosotros siempre, en caso de poder elegir, hemos seleccionado la rama positiva.
Sustitución
Valor de x Valor de t
7
10
6 1
3
8
2
El cambio está bien definido
A cada valor de le corresponde un único valor de
.
A cada valor de le corresponde un único valor de
.
Sustitución
Valor de x Valor de t
7
10
6 1
3
8
2
El cambio está bien definido
A cada valor de le corresponde un único valor de
.
A cada valor de le corresponde un único valor de
.
En cada caso, conociendo lo que vale x conocemos el único valor de t
En cada caso, conociendo lo que vale t conocemos el único valor de x
Completar cada tabla no ofrece ninguna dificultad
Sin embargo, no se puede realizar cualquier cambio de variable que a uno se le ocurra. Hay cambios que no tienen sentido. Vamos a tratar de ilustrarlo.
Supongamos que, por la razón que sea, se desea realizar la sustitución:
en donde la variable x varía en el intervalo . ¿Se puede realizar siempre este cambio? Sustitución en donde
En el semiintervalo el cambio funciona correctamente:
Si , la función toma todos los valores del intervalo . Por lo tanto si hacemos la sustitución , la variable también variará en el intervalo y, en consecuencia, (si tomamos la rama positiva de la raíz cuadrada).
En el semiintervalo no se puede utilizar este cambio:
Si , la función toma todos los valores del intervalo , es decir, negativos. Por lo tanto, si hacemos la sustitución , la variable también debería variar en el intervalo Pero, en este caso, la identidad no tiene ningún sentido.
Ejercicio 41: ¿Para qué valores de la variable x es posible hacer el cambio de variable ? ¿En qué intervalo(s) variará la variable t?

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