INECUACIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPERIOR PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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INECUACION DE GRADO SUPERIOR RESUELTA POR DIVISORES BINOMICOS-RUFINI-PUNTOS CRITICOS



INECUACION DE GRADO SUPERIOR CON FACTORES CON EXPONENTES IMPARES , PUNTOS CRITICOS



INECUACION DE GRADO SUPERIOR CON FACTORES POSITIVOS , PUNTOS CRITICOS



INECUACION POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR PROBLEMA RESUELTO POR PUNTOS CRITICOS



INECUACION DE GRADO SUPERIOR CON FACTORES DE EXPÒNENTES IMPARES RESUELTA POR PUNTOS CRITICOS



INECUACION DE GRADO SUPERIOR RESUELTA POR DIVISORES BINOMICOS , RUFINI Y PUNTOS CRITICOS



INECUACION DE CUARTO GRADO RESUELTA POR ASPA DOBLE ESPECIAL Y PUNTOS CRITICOS


INECUACION DE TERCER GRADO O CUBICA RESUELTA POR ASPA DOBLE ESPECIAL Y PUNTOS CRITICOS     


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INECUACiÓN POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR
Una inecuación polinomial de grado superior en una variable presenta la
siguiente forma:
P _ n n-¡ :;;,O (x)-aoX +a¡x +… +an z::
Para resolver una inecuación polinomial de grado superior generalmente
aplicamos el método de los puntos críticos.
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRíTICOS GENERALIZADO
Procedimiento
1. Es conveniente garantizar que ao > O(ao: coeficiente principal); en caso
contrario, se multiplica por (-1) para encontrar así una inecuación
equivalente a la anterior.
11. Luego se factoriza el polinomio en el campo real para hallar los puntos
críticos del polinomio. Si el polinomio presenta factores cuadráticos
que son positivos o negativos \j x E IR, se ,debe realizar la cancelación
respectiva, teniendo cuidado con el sentido de la desigualdad.
111. Sean los puntos críticos Xl; X2; X3; … ; xn todos diferentes tal que
Xl < x2 < x3 < ... < xn- Se ordena en la recta numérica en forma creciente, luego se obtiene el esquema gráfico. Si p(x) > O v p(x) ~ Oentonces elegimos las zonas positivas (+).
• Si p(x) < O v p(x) S; Oentonces elegimos las zonas negativas (-), Ejemplos l. Resuelva la inecuación x3 -7x+6 ~ O. Resolución Como el primer coeficiente es positivo, entonces procedemos a factorizar sobre IR. Los puntos críticos son - 3; 1; 2. "Nota Si \;j x E lR: X2 + X + 1 A X2 - X + 1 son positivos, entonces (x2 + x + 1)(x2 - X + 1) es positivo \;j x E lR. Por ello podemos cancelarlos en la inecuación sin alterar el sentido de la desigualdad. Trazamos el esquema gráfico -3 1 2 Elegimos las zonas (+) e incluimos los extremos finitos. CS=[-3; 1]U [2; +00) 2. Resuelva la inecuación polinomial _x4+lOx3 -3Sx2+SOx-24 > O.
Resolución
-x4+10×3
– 3Sx2+SOx-24 > O
Multiplicamos por (-1)
x4-10×3+3Sx2-SOx+24 < O Factorizamos sobre R (x-l)(x-2)(x-3)(x-4) < O (*) Los puntos críticos son 1; 2; 3; 4. Ubicamos los puntos críticos en la recta real: 1 2 De (*) elegimos las zonas negativas (-). CS=(l; 2) U(3; 4) 3. Resuelva la inecuación (x3 + 1)(x3 -1 )(1- 2x)x SO. Resolución Multiplicamos por (-1) (x3 + 1)(x3 -1 )(2x-l)x 2': O H (x+ 1)(x2 -x+ 1)(x-1)(x2+x+ 1)(2x-l)x 2': O H (x2 +X +1) (x2 - x +1) (x +1) (x -1) (2x -1) x 2': O (+) Entonces podemos cancelar los factores positivos y obtener una inecuación equivalente (no se altera el conjunto solución). ----7 (x+1)(x-1)(2x-l)x::::0 Los puntos crírti•cos son -1; -1; 1, O. 2 (*) Luego, en la recta numérica: ~~~~~ f )' -00 -1 O 1/2 1 +00 De (*) elegimos las zonas positivas :. es = (-00;-1] u[O; ~Ju[1; +00) Teoremas Sean a; b E lR; n E lN 1. in·b::::O H b::::O v a=O II. a2n·b<0 H b O H ab > O
IV a2n+1. b < O H ab « O Ejemplos 1. Resuelva la inecuación polinomial (x+3)2(x- 3)5(2x-1)2(1- 2x)9(S - x) ::::o. Resolución La inecuación es equivalente a (X+3)2(X-3)5(2x-1)11(X-S):::: O H (x-3)(2x-1)(x-S)::::0 v x=-3 1 Los puntos críticos son -; 3; 5. 2 En la recta numérica: =, -3 1/2 3 5 Elegimos las zonas positivas (+) 3 2. Resuelva la inecuación polinomial (x4+x3 +x2 +x+ 1) > O.
Resolución
Lo ideal es factorizar el polinomio del primer miembro, pero
x4+x3 +x2 +x+ 1 no es fácil de factorizar por aspa doble especial y
no admite factorización por divisores binómicos; por ello, optaremos
por resolver la inecuación siguiendo otros criterios.
Completamos cuadrados
x4+~+2+x+l > O H 2×4+2×3+22+2x+2 > O
(+)
Como se observa, se verifica \;j x E lR.
CS= lR=( – 00; +00)
3. Resuelva la inecuación polinomial e indique la longitud de su conjunto
solución
(16×3+4×2-4x-l)5(3x-2)7 s o.
Resolución
(l6x3+4×2-4x-1)5(3x-2)7 ~O
~ (16×3 +4×2-4x-1)(3x-2) ~ O
Factorizamos sobre lR:
~ (2x+ 1)(2x-1)(4x+ 1)(3x-2) ~ O