INECUACIONES IRRACIONALES EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICAS DE SECUNDARIA EN PDF

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Una inecuación irracional en una variable tiene la forma:
Resuelve: √(x2 – 2x – 24) > -4
Análisis:
El primer miembro de la inecuación propuesta es siempre positivo, luego la inecuación se satisface para todo valor de x que pertenece al campo de la variación.

Los libros de Diofanto de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con la tradición de los antiguos matemáticos griegos, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofanto encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el análisis diofántico.


· Para resolver inecuaciones irracionales con radicales de índice par, introduciremos el concepto de CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES, que nos muestra el campo de existencia de la desigualdad.
· Aprenderemos a resolver inecuaciones compuestas de potencias y radicales de la forma genérica:

para lo cual, estableceremos propiedades que nos permitirán transformarlos a su forma más simple.

INECUACIONES II
I. INECUACION IRRACIONAL
Es aquella desigualdad en la cual en uno de sus miembros aparece una expresión irracional.
Por ejemplo:



Para resolverlos, debemos tener en cuenta el valor del índice de los radicales.

a) Si los índices de los radicales son impares
Para la resolución de este tipo de inecuaciones no se requiere hacer restricciones a la incógnita.
Ejemplo 1:
Resolver:

• mam elevando a la quinta, resulta:

transponiendo:
nuevamente elevando al cubo:
1 – x2 < 1 – 3x + 3x2 – x3
x3 – 4x2 + 3x < 0
factorizando: x (x – 1) (x – 3) < 0

Por lo tanto:

Ejemplo 2:
Resolver:

como x2+1 >, la desigualdad (a) es equivalente a:

Elevando miembro a miembro a la quince, resulta:
(1 – x)5 £ (x – 1)3
– (x – 1)5 £ (x – 1)3
Luego: (x – 1)5 + (x – 1)3 ³ 0
factorizando:
simplificando: (x – 1)3 ³ 0
Estrayendo raíz cúbica: x – 1 ³ 0 « x ³ 1
finalmente:

Ejemplo 3:
Demuestre Ud. que al resolver:

se obtiene como intervalo solución:

b) Si los índices de los radicales son pares
Para la resolución de estas inecuaciones, se debe establecer restricciones a la incógnita.

CONJUNTO DE VALORES
ADMISIBLES (C.V.A.)
Es el conjunto de valores reales que hacen posible que la desigualdad esté definida en el conjunto R.
COROLARIO.- El conjunto solución S de la inecuación irracional, está incluido en el conjunto de valores admisibles. Es decir:

Ejemplo 1:
Resolver:
C.V.A.: 4 – x ³ 0 « 4 ³ x « x £ 4 … (a)
Luego:
Elevando mam al cuadrado, se tiene:
4 – x < 9
– 5 < x « x > – 5 …… (b)
Para encontrar el conjunto de valores reales que, satisfagan las condiciones (a) y (b), debemos intersectar dichas relaciones:

Ejemplo 2:
Resolver:
CVA: 2×2 + x ³ 0 « x (2x + 1) ³ 0
Del cual:
luego:
Elevando mam al cuadrado, se tiene:
2×2 + x ³ 1
2×2 + x – 1 ³ 0
(2x – 1) (x + 1) ³ 0
Del cual: x £ –1 Ú x ³ …. (b)
Intersectando: (a) y (b), resulta:

Por lo tanto:
Ejemplo 3:
Resolver:
CVA: 25 – x2 ³ 0 « 25 ³ x2
x2 £ 25 « –5 £ x £ 5 ….. (a)
Luego:
al cuadrado: 25 – x2 < 16
9 < x2 « x2 > 9
x < – 3 Ú x > 3 ….. (b)
intersectando (a) y (b), se tiene:

finalmente:
Ejemplo 4:
Resolver:
CVA: 4x – 1 ³ 0 « x ³ ….. (a)
Es decir, los valores de x son POSITIVOS.
Por esto:
al cuadrado: 4x – 1 < 4x2
transponiendo:
Del cual: ...... (b)
intersectando (a) y (b):

Por lo tanto:
Ejemplo 5:
Resolver:
CVA: x2 – 4 ³ 0 « x2 ³ 4
del cual: x £ –2 Ú x ³ 2 ..... (a)
Luego:
Resulta una desigualdad que es correcta para todo que verifique la condición (a).
Debido a esto:

Es decir:

Ejemplo 6:
Resolver:
Por simple inspección, la desigualdad es ABSURDA. Por esto, se deduce que:
Ejemplo:
Resolver:

Del mismo modo, la relación es absurda:

INECUACIONES COMPUESTAS
DE POTENCIAS MÚLTIPLES Y RADICALES
SIMPLES
Para resolver inecuaciones algebraicas del tipo:

Se utilizan las siguientes propiedades:
T1)
T2)
T3)
T4)

APLICACIONES ELEMENTALES

Ejemplo 1
Resolver: (x + 4)5 (x – 3)7 (2x – 1)3 > 0
Por la propiedad T3:
(x + 4) (x – 3) (2x – 1) > 0
Aplicando puntos críticos:

luego:
Ejemplo 2
Resolver:
Por la propiedad T4:
(x + 4) (3x – 2) (x + 8) (x) £ 0
Por puntos críticos:

finalmente:
Ejemplo 3
Resolver:
CVA:
Cancelando los factores positivos, resulta:
x + 5 > 0 « x > – 5 ….. (b)
Intersectando (a) y (b), se tiene:

Por lo tanto:
Ejemplo 4
Resolver:
CVA: x + 3 > 0 « x > –3 ….. (a)
(x – 4)6 ³ 0 ;
Cancelando la parte positiva, resulta:

Del cual: –6 £ x < 2 ..... (b)
Intersectando (a) y (b), se tiene:

finalmente:
Ejemplo 5
Resolver:
CVA :
Cancelando la parte positiva, resulta:

Del cual: –7 < x £ –3 Ú x ³ ..... (b)
Intersectando (a) y (b), resulta:

Por lo tanto:

Ejemplo 6
Resuelva Ud. la inecuación:

2. Hallar el conjunto de números enteros tal que su duplo es mayor o igual que su mitad disminuida en 7 y que su tercio menos 7 es mayor o igual que su cuádruplo más 15.

A) {–6, –7, –8} B) {7} C) f
D) {–7} E) {6, 7, 8}

INTRODUCCIÓN:

FERMAT

Fermat, fue un abogado y magistrado francés.
La matemática era para él su hobby. El campo en el que más destacó fue en la Teoría de números, en particular por el último teorema de Fermat, además tuvo una gran influencia en el análisis.
Fermat propuso un sistema de geometría analítica similar a uno que fue estudiada por Descartes, pero éste lo propuso años después. El trabajo de Fermat estaba basado en una reconstrucción del trabajo de Apolonio usado en el álgebra de Viéte. Destacamos aquí el principio de Fermat formulada en óptica geométrica: “Para ir de un punto a otro, la luz sigue la trayectoria de mínima duración”.
Fermat tuvo la primera idea sobre el cálculo diferencial al descubrir métodos similares de diferenciación e integración encontrando los máximos y mínimos; también es considerado Fermat el fundador de la teoría de la probabilidad junto a Pascal.
Fermat nunca publicó artículos y todos sus descubrimientos y conjeturas han llegado a nosotros por las cartas que escribió a numerosas personas. Uno de sus libros favoritos eran “Aritmética” de Diofanto y en cuyos márgenes Fermat hizo muchas observaciones, de las cuales muchas eran correctas, aunque no todas. Una de estas fue el pequeño teorema de Fermat que aunque no se conoce la demostración de Fermat fue demostrado posteriormente por Euler. Uno de los grandes enigmas de la matemática es el que se conoce como último teorema de Fermat.
Xn + Yn = Zn
Éste escribió en el margen de su libro “Aritmética” al lado del problema lo siguiente: “Por otro lado es imposible separar un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, o en general cualquier potencia excepto la cuadrada en dos potencias del mismo exponente. De este hecho he descubierto una demostración maravillosa que este margen no es suficientemente grande para contener”. Este teorema se ha comprobado que es cierto para numerosos valores de n pero nunca se ha encontrado una demostración y tampoco se tiene constancia de que Fermat la tuviera. No es posible satisfacerla para valores enteros de x e y, cuando n > 2. Como éste mucho de los teoremas de Fermat conciernen a números enteros o fracciones.
A partir del siglo XVII, una teoría de números, en cuya formación sobresalieron Fermat, Euler y Lagrange al abordar el planteo y la búsqueda de solución de problemas, con frecuencia aislados, y cuya generalización no conducía sino a complicaciones. A comienzos del siglo XIX esos esfuerzos culminan en Gauss, cuya obra en este campo como en otros campos muestra signos de modernidad. Así su teoría de congruencias ha sido muy útil en la formulación del álgebra de hoy.
Nació en San Petersburgo (Rusia). Su madre era rusa y su padre era un comerciante danés. En 1856 la familia se trasladó a Wiesbaden (Alemania). Fueron 6 hermanos.
La disciplina en la familia era muy estricta y en la familia había verdadera obsesión por el éxito.
Su padre quería que estudiase ingeniería, pues había demanda de ingenieros y estaban bien pagados, sin embargo, a Cantor no le gustaba la idea y estudió matemáticas.
Estudió en el Politécnico de Zurich y en Berlín. Sus profesores en Berlín fueron Weierstrass, Kummer y Kronecker.
En 1869 entró como profesor en la Universidad de Halle. Cantor siempre quiso que le llamaran de una de las universidades importantes (Berlini o Cotinga) pero la llamada no se produjo, se cree que por la oposición de Kronecker, con el que estaba enfrentado porque los trabajos de Cantor refutaban los fundamentos de los trabajos que realizaba Kronecker.
Cantor estudió los conjuntos infinitos.
El primer descubrimiento revolucionario fue la demostración de que había el mismo número de puntos en el plano que en la recta. (Galileo había demostrado que había el mismo número de puntos en segmentos de diferente tamaño).
Demostró que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño y que conjuntos, que todos diríamos que tienen más elementos, tienen los mismos. Por ejemplo, hay el mismo número de números pares que de naturales, hay el mismo número de enteros que de naturales, hay el mismo número de racionales que de naturales. Sin embargo, hay más números reales que naturales. Sus teorías fueron muy controvertidas en su época y tuvo enfrentamientos con otros matemáticos. Cantor padeció trastornos maníaco – depresivos, en varias etapas de su vida. Sólo al final de su vida, se empezó a apreciar su trabajo, cuando ya era demasiado tarde, pues su enfermedad mental ya estaba muy avanzada. Murió en 1918 en un sanatorio mental.