INECUACIONES FRACCIONARIAS Y DE GRADO SUPERIOR EJEMPLOS RESUELTOS PDF

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Inecuaciones de Grado Superior
Son aquellas que presentan la siguiente forma general:
RESOLUCIÓN (procedimiento)
A. Se factoriza el polinomio teniendo en cuenta que todos los factores primos tengan coeficiente principal positivo.

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B. Se hallan a continuación los puntos críticos, igualando cada factor a cero y éstos se ubican en la recta numérica, guardando su relación de orden.

C. Se forma así intervalos, los cuales de derecha a izquierda, poseen un signo comenzando con el signo más y alternando con el signo menos.

D. Si P(x) ≥ 0, se toman los intervalos positivos; y si P(x) ≤ 0, se toman los intervalos negativos, obteniendo así el intervalo solución.

1. A veces se encuentran trinomios: y = ax2 + bx + c, que no son factorizables, entonces se calcula su discriminante. Si D < 0 ∧ a > 0, entonces el trinomio es positivo ∀ x ∈ R, por ello se descarta de la inecuación o simplemente pasa a dividir, esto no altera el sentido de la desigualdad.
2. Si encontramos factores de la forma: (ax + b)2n; n ∈ Z+ estos pasan a dividir o se descartan, pero su punto crítico queda pendiente de si es solución o no.
3. Si encontramos factores de la forma: (ax + b)2n+1; n ∈ Z+, quedará en la inecuación sólo (ax + b).

Resuelve:
(x2-2x+4)(x+3)2(x-7)3(x+1)(x-2) ≥ 0
El trinomio (x2 – 2x + 4) tiene Δ = -12 (negativo), coeficiente principal positivo, por lo tanto es positivo ∀ x ∈ R. Se descarta o pasa a dividir sin alterar el sentido.

– El factor (x + 3)3 se descarta, pero su punto crítico x = -3 cumple con la desigualdad, al final debe estar contenido en la solución.

– El factor (x – 7)3 es reemplazado por (x – 7). Luego tenemos:
(x – 7)(x + 1)(x – 2) ≥ 0.
P.C. = {-1; 7; 2}

– Ubicando en la recta:

Inecuaciones Fraccionarias
a. Como regla práctica F(x) pasa a multiplicar al numerador y se procede como si fuera una inecuación de grado superior.

I. DESIGUALDAD:
Una desigualdad es una relación que surge de la comparación entre dos números a y b reales. Así podemos tener:

NOTA HISTÓRICA
Los signos utilizados para indicar las desigualdades fueron recién establecidos en el siglo XVII por los matemáticos Bouguer y Harriot.

II. INTERVALOS DE LA RECTA REAL:
1. La desigualdad x > 2 indica el conjunto de todos los números reales mayores que 2. En la recta real dicho conjunto está formado por un intervalo infinito con origen en 2 (el 2 no está incluido). Su representación gráfica en la recta real es:

El intervalo anterior se expresa por :

2. La desigualdad x < 1 representada en la recta real indica el conjunto de todos los números reales menores que 1: El intervalo anterior se expresa por: Aquí tampoco está incluido el punto 1. En los dos intervalos anteriores no están incluidos los extremos. Si se quiere incluir los extremos se expresan así : * x 2; indica el conjunto de todos los números mayores o iguales que 2. * x 1; indica el conjunto de todos los números menores o iguales que 1. Su representación gráfica es la siguiente: • x 2 • x 1 3. La doble desigualdad a < x < b indica el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b (pero no éstos). Su representación gráfica es : Se expresa en forma de INTERVALO ABIERTO: Si los dos extremos están incluidos en el intervalo, éste es expresado de la forma a < x < b e indica el conjunto de todos los números mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Su representación gráfica es : Se expresa en forma de INTERVALO CERRADO: Ejemplo 1: Representa en la recta real el intervalo Resolución: Ejemplo 2: Representa en la recta real el intervalo Resolución: III. PROPIEDADES DE DESIGUALDADES : 1. Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma o se le resta la misma expresión, se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido. Ejemplo: En general este principio se expresa así: Este principio permite pasar un término de un miembro de una desigualdad al otro miembro, cambiando el signo del término. 2. Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido que las primeras. Ejemplo 1: En general: Cuando se restan miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, no puede predecirse el sentido de la desigualdad resultante, pues puede ser del mismo sentido o del sentido contrario, dependiendo de los casos. Ejemplo: 3. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, resulta una nueva desigualdad del mismo sentido. Si el número fuera negativo, resultaría una nueva desigualdad de sentido contrario. Ejemplo: a) b) En General: CONSECUENCIAS: a) Al cambiar de signo los dos miembros de una desigualdad, ésta cambia de sentido, porque se multiplican ambos miembros por (–1). b) Al eliminar los denominadores de una desigualdad, multiplicando los términos por el denominador común, hay que tener en cuenta el signo de éste. Ejemplo: a) \ 3 < 8 b) \ 3 > –8
4. Si dos números tienen el mismo signo, la desigualdad entre sus inversos es la contraria a la que se verifica entre dichos números.
Simbólicamente:

Ejemplo:
a)
b)
5. Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural impar, resulta una desigualdad del mismo sentido.
Ejemplo:
–5 < –2 (–5)3 < (–2)3 –125 < –8 6. Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural par: a) El sentido de la desigualdad no cambia si los dos miembros son positivos. b) Se invierte el sentido de la desigualdad si ambos miembros son negativos. c) No se puede predecir el sentido de la desigualdad si los miembros son de distinto signo. a) 3 < 6 b) –5 < –3 32 < 62 (–5)2 > (–3)2
9 < 36 25 > 9

c) –6 < 4(–6)2 > 4236 > 16
–2 < 3(–2)2 < 324 < 9 IV. INECUACIONES DE PRIMER GRADO: • Se llama inecuación a cualquier desigualdad en la que aparece una incógnita. Así, por ejemplo: 2x2 – x +3 < x + 6, es una inecuación. • Llamamos solución de una inecuación a todo número real que, sustituido en la incógnita satisface la desigualdad. Así, por ejemplo: x = 1 es una solución de la inecuación: 2x2 – x +3 < x + 6, porque: 2(1)2 – 1 + 3 < 1 + 64 < 7 En cambio x = 2 no es solución de la inecuación anterior, pues: 2(2)2 – 2 + 3 2 + 69 > 8

• Resolver una inecuación es hallar todas sus soluciones que, en general, son infinitas.
• En las inecuaciones se pueden aplicar todas las propiedades de las desigualdades, pues, como ya sabes, las incógnitas representan números.

Una inecuación es de Primer Grado si, después de realizar las operaciones necesarias para quitar paréntesis y denominadores, para reducir términos semejantes, etc. se obtiene una expresión de la forma:
ax + b > 0 ó ax + b < 0 Ejemplo: Resolver la inecuación: 2 (x + 1) –1 < x + 3 Resolución: 2x + 2 –1 < x + 3 2x – x < 3 –2 + 1 x < 2 Graficando: V. SISTEMAS D3E INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Un sistema de inecuaciones está formado por un conjunto de inecuaciones de la misma incógnita. Su solución es el conjunto de números reales que verifican, a la vez, todas las inecuaciones. Para hallarla, se resuelven, por separado, cada una de las inecuaciones y, después, se consideran las soluciones comunes. Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones: Resolución: a) 2x – 3 > x –2 b) 3x – 7 < x – 1 2x – x > –2 + 3 3x – x < – 1 + 7 x > 1 x < 3 Representando gráficamente, buscamos las soluciones comunes (la intersección de ambos gráficos). VI. INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR Cualquier inecuación polinómica puede ser reducida a una de la forma: donde el símbolo “” representa cualquier tipo de desigualdad (>; <; ó ). Los pasos que hay que dar para encontrar la solución son los siguientes: 1. Se calculan las raíces reales del polinomio p(x), es decir, se encuentran las soluciones reales de la ecuación p(x) = 0. 2. Se marcan sobre la recta real de forma ordenada las raíces encontradas: 3. A partir del extremo (+¥) se asignan los signos positivo y negativo, intercaladamente, a los intervalos que se generaron: 4. Decidimos la solución de la inecuación observando el tipo de desigualdad inicial. De acuerdo a nuestras raíces supuestas : a) Si es p(x) < 0, la solución será: b) Si es p(x) 0, la solución será: c) Si p(x) > 0, la solución será:

d) Si es p(x) 0, la solución será:

Ejemplo:
Resolver la inecuación de segundo grado:
x2 – 4x –5 0
Resolución:
(1) Resolvemos: x2 – 4x – 5 = 0

x – 5 = 0 ; x + 1 = 0
x = 5 x = –1
(2 y 3) Graficamos los puntos y asignamos los signos:
4) Como: p(x) = x2 – 4x – 5 0,
entonces la solución abarca los intervalos positivos cerrados en los puntos dados:

VII. Inecuaciones Fraccionarias
Para resolver una inecuación del tipo
donde el símbolo “” representa (<, >,o), pueden seguirse los pasos siguientes:
1) Se calculan las raíces de los polinomios numerador p(x) y denominador q(x).
2) Se marcan sobre la recta real de forma ordenada dichas raíces.
3) Se asignan los signos positivo y negativo, de manera intercalada, a los intervalos generados.
4) La solución estará formada por aquellos intervalos en los cuales el signo coincide con el que demanda la inecuación.

Es necesario desechar todos los valores reales que anulan el denominador, pues las fracciones con denominador nulo no definen ningún número real.

Ejemplo :
Resolver la inecuación:

Resolución:
(1) Hallamos las raíces de los polinomios numerador y denominador :
a) x2 – 3x = 0 b) x + 2 = 0
x (x – 3) = 0 x3 = – 2
x1 = 0
x2 = 3

(2 y 3) Graficamos los puntos y asignamos los signos:

4) Se observa que: x – 2 porque sino el denominador sería nulo.
Luego, como:
la solución será aquella que corresponde a los intervalos negativos:

1. Resolver la siguiente inecuación:
3×2 + 5x – 1 < (x + 2) (3x – 2) – 1 Rpta.: 2. Resolver la inecuación: |x – 3|<5 Rpta.: 3. Resolver: x 2 < 3x + 2 Rpta.: 4. Resolver: Rpta.: 5. Resolver: Rpta.: 6. Raquel se dedica a la compra y venta de peras. Si el precio de las peras varía entre 2 y 3 soles, después de comprar, ella las vende a precios que varían entre 3,5 y 4 soles. ¿Cuál es la máxima ganancia que puede obtener en la compra y venta de dos docenas de peras? Rpta.: 7. Roberto, hijo de José, nació cuando éste tenía 20 años. Hace 5 años la edad del hijo era menor a la cuarta parte de la edad del padre. ¿Cuál es la edad actual del hijo si dentro de 10 años la edad del hijo será mayor que la mitad de la edad del padre? Rpta.: 8. Un número de 2 cifras al intercambiar sus cifras resulta otro número menor que el original. ¿Cuál es el número original si el segundo es mayor que 79? Rpta.: 9. Los pesos de las reses varían entre 160kg y 350kg. De estas reses la cantidad que puede entrar en un camión es 24 de las más flacas o 18 de las más gordas. ¿Cuántas reses transporta si lleva el máximo peso? Dar como respuesta el peso. Rpta.: 10. Un microbús cobra por pasaje S/. 0,30; S/. 0,50 y S/. 1,00. Puede transportar 40 pasajeros sentados o 65 pasajeros entre parados y sentados. Si la mínima cantidad de pasajeros que transporta es 40, ¿entre qué valores varía la recaudación por cada viaje si tiene sólo un paradero inicial y el final? Rpta.: 11. Las distancias a, b y c son las longitudes de los tres lados de un triángulo. Indicar la longitud del menor lado si: Rpta.: 11. En una competencia de fuerza jalando de los extremos de una cuerda, se sabe que Daniel es más débil que Carlos; Alberto y Carlos juntos tienen menos fuerza que Beto y Daniel y Carlos juntos tienen la misma fuerza que Alberto y Beto. Indicar sus fuerzas de menor a mayor (las letras son las iniciales de sus nombres). Rpta.: