INECUACIONES FRACCIONARIAS Y DE GRADO SUPERIOR EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF

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Inecuaciones de Grado Superior Son aquellas que presentan la siguiente forma general: RESOLUCIÓN (procedimiento) A. Se factoriza el polinomio teniendo en cuenta que todos los factores primos tengan coeficiente principal positivo. B. Se hallan a continuación los puntos críticos, igualando cada factor a cero y éstos se ubican en la recta numérica, guardando su relación de orden. C. Se forma así intervalos, los cuales de derecha a izquierda, poseen un signo comenzando con el signo más y alternando con el signo menos. D. Si P(x) ≥ 0, se toman los intervalos positivos; y si P(x) ≤ 0, se toman los intervalos negativos, obteniendo así el intervalo solución. 1. A veces se encuentran trinomios: y = ax2 + bx + c, que no son factorizables, entonces se calcula su discriminante. descarta o pasa a dividir sin alterar el sentido. – El factor (x + 3)3 se descarta, pero su punto crítico x = -3 cumple con la desigualdad, al final debe estar contenido en la solución. – El factor (x – 7)3 es reemplazado por (x – 7). Luego tenemos: (x – 7)(x + 1)(x – 2) ≥ 0. P.C. = {-1; 7; 2} – Ubicando en la recta: Inecuaciones Fraccionarias a. Como regla práctica F(x) pasa a multiplicar al numerador y se procede como si fuera una inecuación de grado superior. I. DESIGUALDAD: Una desigualdad es una relación que surge de la comparación entre dos números a y b reales. Así podemos tener: NOTA HISTÓRICA Los signos utilizados para indicar las desigualdades fueron recién establecidos en el siglo XVII por los matemáticos Bouguer y Harriot. II. INTERVALOS DE LA RECTA REAL: VI. INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR Cualquier inecuación polinómica puede ser reducida a una de la forma: donde el símbolo “” representa cualquier tipo de desigualdad (>; <; ó ). Los pasos que hay que dar para encontrar la solución son los siguientes: 1. Se calculan las raíces reales del polinomio p(x), es decir, se encuentran las soluciones reales de la ecuación p(x) = 0. 2. Se marcan sobre la recta real de forma ordenada las raíces encontradas: 3. A partir del extremo (+¥) se asignan los signos positivo y negativo, intercaladamente, a los intervalos que se generaron: 4. Decidimos la solución de la inecuación observando el tipo de desigualdad inicial. De acuerdo a nuestras raíces supuestas : a) Si es p(x) < 0, la solución será: b) Si es p(x) 0, la solución será: c) Si p(x) > 0, la solución será: d) Si es p(x) 0, la solución será: Ejemplo: Resolver la inecuación de segundo grado: x2 – 4x –5 0 Resolución: (1) Resolvemos: x2 – 4x – 5 = 0 x – 5 = 0 ; x + 1 = 0 x = 5 x = –1 (2 y 3) Graficamos los puntos y asignamos los signos: 4) Como: p(x) = x2 – 4x – 5 0, entonces la solución abarca los intervalos positivos cerrados en los puntos dados: VII. Inecuaciones Fraccionarias Para resolver una inecuación del tipo donde el símbolo “” representa (<, >,o), pueden seguirse los pasos siguientes: 1) Se calculan las raíces de los polinomios numerador p(x) y denominador q(x). 2) Se marcan sobre la recta real de forma ordenada dichas raíces. 3) Se asignan los signos positivo y negativo, de manera intercalada, a los intervalos generados. 4) La solución estará formada por aquellos intervalos en los cuales el signo coincide con el que demanda la inecuación. Es necesario desechar todos los valores reales que anulan el denominador, pues las fracciones con denominador nulo no definen ningún número real. Ejemplo : Resolver la inecuación: Resolución: (1) Hallamos las raíces de los polinomios numerador y denominador : a) x2 – 3x = 0 b) x + 2 = 0 x (x – 3) = 0 x3 = – 2 x1 = 0 x2 = 3 (2 y 3) Graficamos los puntos y asignamos los signos: 4) Se observa que: x – 2 porque sino el denominador sería nulo. Luego, como: la solución será aquella que corresponde a los intervalos negativos: 1. Resolver la siguiente inecuación: 3×2 + 5x – 1 < (x + 2) (3x – 2) – 1 Rpta.: 2. Resolver la inecuación: |x – 3|