INECUACIONES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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OBJETIVOS :
* Reconocer las inecuaciones.
* Clasificar las inecuaciones atendiendo a su grado y el número de incógnitas.
* Relacionar las inecuaciones de primer grado con una incógnita con las gráficas de funciones afines.
* Resolver inecuaciones de primer con una incógnita.
* Relacionar las inecuaciones de segundo grado con una incógnita con las gráficas de las funciones cuadráticas.
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* Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
* Conocer y utilizar diversos métodos de resolución de inecuaciones.
* Saber resolver sistemas de inecuaciones con 1 y 2 incógnitas.
* Traducir al lenguaje algebraico problemas expresados en lenguaje cotidiano, interpretando críticamente los resultados de las soluciones obtenidas.
* Resolver sistemas de inecuaciones. Interpretar gráficamente las soluciones y expresar las soluciones en forma de intervalo.




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INECUACIONES DE PRIMER GRADO


INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO


INECUACIONES FRACCIONARIAS

VALOR ABSOLUTO


INECUACION POLINOMIALES DE GRADO SUPERIOR


INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO


INECUACIONES CON RADICALES


SISTEMA DE INECUACIONES CON UNA INCOGNITA


INECUACIONES DE UNA VARIABLE PROBLEMAS RESUELTOS


SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES


INECUACION TRIGONOMETRICA


INECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO


NUMEROS REALES E INECUACIONES PROBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL PREUNIVERSITARIO     

INTRODUCCIÓN :
Al igual que las desigualdades las inecuaciones son de suma importancia ya que se aplican en diferentes ramas de la ciencia es más un estudiante que desea seguir estudios superiores no debería estar ajeno a este tema por su importancia en cursos de matemática superior como cálculo diferencial e integral en donde se trabajan con funciones y para conocer el dominio y rango de una función hay que conocer los diferentes métodos de solución de una inecuación. Además de ello con inecuaciones se puede calcular el máximo y mínimo de una función, tema central y de su suma importancia en las diversas ramas de la ciencia. Antes de empezar el capítulo , repacemos lo estudiado en desigualdades.

MATEMÁTICA: CIENCIA DE DESCUBRIMIENTO
Thomas Harriot. (Oxford, 1560 – Londres, 2 de
julio de 1621) fue un astrónomo, matemático,
etnógrafo y traductor inglés. Fue el creador
de varios símbolos y notaciones empleados en
álgebra usados hasta ahora, como los símbolos
> (mayor que) y < (menor que) Qué te parece
si le pones pensamiento a lo siguiente: ¿Las
potencias conservan el orden?
¿Si a < b, es a2 < b2? ¿Si a < b, es a3 < b3?
Verifica con números, tanto positivos como
negativos y trata de ver si es posible ir generando
una regla de comportamiento. ¿Si a < b, es an <
bn? Es un reto. Pero tú puedes descubrir
y analizar.



– Expondremos extensivamente todas las propiedades que caracterizan a los elementos del sistema de los números reales, con la finalidad de construir propiedades conexas, que nos permitirán resolver problemas sobre inecuaciones y realizar demostraciones diversas.
– La resolución de inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales utilizando la regla de los puntos críticos, será de gran ayuda para el análisis de las funciones algebraicas en el conjunto .
– El conocimiento del valor absoluto y de sus propiedades será de capital importancia para las demostraciones y la posterior resolución de ecuaciones e inecuaciones que involucra a este operador.
INTRODUCCIÓN:
EULER

Arquímedes, Newton, Gauss y Euler son los cuatro matemáticos más importantes.
Nació en Basilea, Suiza. Fue un pastor calvinista y quería que su hijo estudiara teología, y así fue, estudió teología y hebreo en Basilea.
El padre de Euler era amigo de los hermanos Bernoulli (había vivido en Johann en la casa de Jacob en Basilea).
Johann Bernoulli orientaba a Leonard en los estudios de matemáticas (diciéndole qué libros debía leer y resolviéndole las dificultades que encontraba). Johann Bernoulli se dio cuenta de la capacidad de Euler para las matemáticas y le pidió al padre de Euler que permitiese que su hijo estudiase matemáticas. El padre de Euler aceptó porque respetaba mucho a Jacob y Johann Bernoulli.
En 1727 se presentó a un premio de la Academia de París sobre la mejor distribución de los mástiles en un barco. No ganó el premio pero quedó segundo.
Cuando murió Nicolás Bernoulli (II) en Petersburgo en 1726, le ofrecieron su puesto y lo aceptó. Llegó a San Petersburgo en 1727. Tenía 20 años.
En San Petersburgo también vivía Daniel Bernoulli. Cuando Daniel Bernoulli, dejó su puesto de matemático de la Academia, lo ocupó Euler. La mejora económica permitió a Euler casarse. Lo hizo con Katharina Gsell en 1734. Tuvieron 13 hijos, pero sólo sobrevivieron a la infancia 5. Euler decía que había hecho sus descubrimientos matemáticos con un hijo en los brazos y otro jugando a sus pies.
A Euler le llamaban (con sarcasmo) el cíclope matemático porque, además de su poderío matemático, le faltaba la visión de un ojo. Se quedó ciego de un ojo en 1735, debido, indirectamente, a un premio que la Academia de París ofreció por la resolución de un problema astronómico. El problema era muy complejo y la Academia concedió varios meses para resolverlo, pero a Euler le bastaron tres días. Las malas condiciones de trabajo y el esfuerzo realizado le costó la pérdida de la visión de un ojo. Tenía 28 años.
Euler es tenido por el padre de la matemática rusa pues desarrolló la docencia de San Petersburgo desde 1733 a 1741. En 1741 se trasladó a Berlín, donde le habían ofrecido un puesto. Al principio él quería quedarse en San Petersburgo, pero por aquella época, los extranjeros tenían problemas en Rusia, además la mejora de la oferta de Berlín le acabó convenciendo.
Incluso mientras estuvo en Berlín, siguió cobrando parte del sueldo de San Petersburgo, por asesorar y educar a los príncipes rusos.
Cuando murió el presidente de la Academia de Berlín, Euler asumió la dirección de hecho de la Academia, pero no el título de Presidente, porque en aquella época, Euler no tenía buenas relaciones con Federico el Grande. Debido a este despecho, Euler, regresó a San Petersburgo en 1766, invitado por Catalina la Grande.
Debido a una catarata en el otro ojo se volvió ciego al poco de llegar a Rusia, pero no se rindió : antes de quedarse totalmente ciego, practicaba la escritura cerrando el ojo, pero esto no sirvió y con el tiempo su hijo Albert, hizo de amanuense de su padre.
En 1776 le operaron la catarata, pero una infección en el ojo, impidió la recuperación.
El 7 de setiembre de 1783, después de charlar sobre los asuntos del día, “cesó de calcular y de vivir”.
Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los 100 primeros números primos, y la Eneida entera. Realizaba cálculos mentalmente que los otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel. La productividad matemática de Euler fue extraordinaria; escribió textos sobre mecánica, álgebra, análisis, geometría diferencial y analítica y sobre cálculo de variaciones que fueron obras clásicas durante más de 100 años. No inició nuevas ramas de la matemática pero fue muy prolífico. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas : Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler. A pesar de todo esto se casó y tuvo trece hijos, estando siempre atento al bienestar de la familia; educó a sus hijos y nietos. Una de las pocas cosas para las que no tuvo ninguna solución en su vida fue para un problema que le planteó Christian Goldbach, en 1742.
Goldbach había observado que los números pares mayores de 4 parecen ser suma de dos primos. Goldbach le preguntaba si podía demostrarlo. Ni Euler lo consiguió entonces, ni nadie lo ha conseguido hasta ahora.
INECUACIONES I
DESIGUALDAD:
Es una relación de orden que se establece entre dos números reales que tienen diferente valor. Es decir:

SÍMBOLOS DE LAS RELACIONES
DE ORDEN:

CLASES DE DESIGUALDADES

a) Desigualdad Absoluta
Es aquella desigualdad que se verifica para todos los valores reales que se les asigne a sus variables.
Ejemplos:
* (a – 4)2 + 17 > 0, se verifica ” a Î
* 3×2 + 2y2 > – 8, se cumple ” x, y Î

b) Desigualdad relativa o inecuación
Es aquella desigualdad que se verifica para un conjunto de valores particulares denominado CONJUNTO SOLUCIÓN, que admite la variable denominada incógnita.
Ejemplos :
* 5x – 3 > 17, se verifica sólo para x > 4
* , se verifica sólo para:
–3 < x < 3 CONCEPTOS FUNDAMENTALES: RECTA NUMÉRICA REAL Es una recta geométrica, cuya construcción se sustenta en el principio de la correspondencia biunívoca existente entre los elementos del conjunto y los puntos de dicha recta. Estableciendo la biyección, de tal forma que a cada número real se le hace corresponder un único punto de la recta, y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real. INTERVALO Es un subconjunto del conjunto de los números reales, definiéndose como aquel conjunto de infinitos elementos que representan a todos los números reales comprendidos entre dos extremos, denominados Límite inferior o ÍNFIMO y Límite superior o SUPREMO. De los establecido, existen dos tipos de intervalos: 1. Intervalo Acotado Se denomina así al intervalo cuyos extremos son números reales (Límites finitos). A su vez, pueden ser: a) Intervalo cerrado Es un intervalo acotado en el cual se consideran a los extremos finitos. x Î [a; b] « a £ x £ b; a < b b) Intervalo abierto Es un intervalo acotado en el cual no se consideran a los extremos finitos. x Î ]a; b[ « a < x < b; a < b c) Intervalo Semiabierto Es un intervalo acotado, en el cual, uno de los extremos es abierto y el otro es cerrado. x Î [a; b[ « a £ x < b; a < b x Î ]a; b] « a < x £ b; a < b 2. Intervalo no Acotado Es aquel intervalo en el cual, por lo menos, uno de los extremos es el límite (+¥) ó (–¥) a) b) c) d) e) PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS DESIGUALDADES: 1. " a, b Îy m Î, se cumplen: a > b « a + m > b + m
a > b « a – m > b – m

2. ” a, b Î y m Î , se cumplen:
a > b « am > bm
a > b «

3. ” a, b Î y m Î , se cumplen:
a > b « am < bm a > b «

4. ” a, b, c, d Î, se verifica:

5. ” a, b, c, d Î, se cumple:

6. ” a, b, c Î, se establece la transitividad:
Si: a > b Ù b > c ® a > c

7. ” a, b Î y n Î, se cumplen:
a > b « a2n+1 > b2n+1
a > b «

8. ” a, b Î y n Î, se cumple:
a > b « a2n > b2n

9. ” a, b Î y n Î, se cumple:
a > b « a2n < b2n 10. " a, b Î, se verifican las relaciones: 0 < a < b « a < b < 0 « 11. Si a y b tiene el mismo signo, se cumple: a < x < b « INECUACIONES DE PRIMER GRADO Concepto Es aquella inecuación polinomial que se reduce a la forma general: 1ra. forma: ax + b > 0
Si: a > 0, resulta luego, el intervalo solución será:
Si: a < 0, resulta luego, el intervalo solución será: 2da. forma: ax + b < 0 Si: a > 0, resulta luego, el intervalo solución será:
Si: a < 0, resulta luego, el intervalo solución será: Ejemplo 1: Resolver la inecuación: miembro a miembro por 36, resulta como equivalente: 27(x – 5) > 16x – 36.
Efectuando: x > 9.
Luego el conjunto solución vendrá dado por el intervalo: x Î ]9; ¥[

Ejemplo 2:
Calcular la suma de todos los valores naturales que verifican la inecuación:

miembro a miembro por 60, se tiene:

Efectuando, resulta: x < 7 ........ (a) Nos piden, la suma de todos los naturales que verifican (a). Es decir: Ejemplo 3: Señale el menor valor real de x que verifique la desigualdad: (x + 4)2 ³ (x + 2) (x + 5) Efectuando: x2 + 8x + 16 ³ x2 + 7x + 10 Se tiene: x ³ – 6 \ El menor valor real de x es igual a (–6). Ejemplo 4: Para que el valor de a en la desigualdad: el máximo valor de x es igual a uno. Miembro a miembro por 12, se tiene como equivalente: 6x + 4x + 3x £ a + 5 Despejando: como el máximo de x es uno, se tiene: Por lo tanto: a = 8 Ejemplo 5: Que valor entero resuelve el sistema de inecuaciones polinomiales : (x + 2) (x + 3 ) < (x + 1) (x + 5) ..... (a) (x – 3) (x – 8) > (x – 3) (x – 6) ….. (b)
De (a), se tiene:
x2 + 5x + 6 < x2 + 6x + 5 luego: 1 < x ® x > 1 ….. (1)
De (b), se tiene:
x2 – 11x + 24 > x2 – 9x + 18
luego:
6 < 2x ® x < 3 ..... (2) De (1) y (2): 1 < x < 3 Resulta como valor entero: x = 2 INECUACIÓN RACIONAL Son aquellas inecuaciones polinomiales de la forma: e inecuaciones fraccionarias de la forma: para resolverlos, existe un criterio práctico denominado REGLA DE LOS PUNTOS CRÍTICOS, cuyo procedimiento es como sigue: REGLA DE PUNTOS O VALORES CRÍTICOS 1º) Se reduce la inecuación racional a la forma: donde P, F y G son polinomios de grado no nulo. 2º) Se factorizan los polinomios, buscando todos los factores lineales posibles. Para obtener los puntos críticos, se igualan a cero dichos factores y enseguida se despejan los valores de x; ubicándolos posteriormente sobre la recta numérica real. 3º) Se analiza el signo del polinomio P(x) en cada intervalo, obteniéndose así en forma alternada, signos (+) y (–), de derecha a izquierda. 4º) El conjunto solución de la inecuación vendrá dado por: • Los intervalos (+), si P(x) > 0.
• Los intervalos (–), si P(x) < 0. EJEMPLOS EXPLICATIVOS – Resolución de inecuaciones polinomiales: 1. Resolver: 6x2 + 5x – 4 > 0

(3x + 4) (2x – 1) > 0
Ubicando los puntos críticos sobre la recta:

Como P(x) > 0, tomamos los intervalos (+).
luego:

2. Resolver: 3×2 – 11x + 10 < 0 (3x – 5) (x – 2) < 0 Colocando los valores críticos sobre la recta. Como P(x) < 0, se toman los intervalos (–). finalmente: 3. Resolver: 8x2 + 14x + 5 ³ 0 (4x + 5) (2x + 1) ³ 0 De igual modo: Observar que: P(x) ³ 0 « P(x) > 0 Ú P(x) = 0
Como:

verifican la segunda igualdad, entonces
y son elementos del conjunto solución.
Por lo tanto:

4. Resolver: 5×2 – 13x – 6 £ 0

(5x + 2) (x – 3) £ 0
De la misma manera:

también:
luego, el intervalo solución será:

5. Resolver: x3 < 4x Transponiendo: x3 – 4x < 0 factorizando: x (x + 2) (x – 2) < 0 Ubicando los tres puntos: – 2, 0 y 2 sobre la recta numérica real: Como P(x) < 0, tomamos los intervalos (–), así: 6. Resolver: x3 – 7x + 6 ³ 0 Factorizando por divisiones binómicos, se tiene: (x – 1) (x – 2) (x + 3) ³ 0 De igual forma: como P(x) ³ 0, tomamos los intervalos (+), y considerando que: P(–3) = P(1) = P(2) = 0. El intervalo solución, será: Resolución de Inecuaciones Fraccionarias: 7. Resolver: Como x ¹ 5, entonces (x – 5)2 > 0, luego al multiplicar miembro a miembro por (x – 5)2, se obtiene:
(x + 7) (x – 5) > 0 ….. (b)
es decir, las desigualdades (a) y (b), son equiva-
lentes. Aplicando la regla de los puntos críticos:

Por lo tanto:
8. Resolver:
Es decir:
Aplicando la regla de los puntos críticos:

Observar que, para x = – 1 Ù x = 1, la fracción
es igual a cero.
Luego:

9. Resolver:
Factorizando:
Como x – 2 ¹ 0 ® x ¹ 2; se tiene:
; por la regla:

Por lo tanto:

10. Resolver:
Transponiendo:
Efectuando:

Finalmente:

ESTUDIO DE LA INECUACIÓN
CUADRÁTICA
Forma General:
1er. CASO: Si D = b2 – 4ac > 0
• Resolver: x2 – 3x – 10 > 0
Discriminante: D = (– 3)2 – 4 (1) (– 10) = 49 > 0
Factorizando: (x + 2) (x – 5) > 0
El intervalo solución es:
Análisis gráfico:

• Resolver: x2 – 5x + 4 £ 0
Discriminante: D = (– 5)2 – 4 (1) (4) = 9 > 0
Factorizando: (x – 1) (x – 4) £ 0
cuyo intervalo solución es:
Análisis gráfico:

2do. CASO: Si D = b2 – 4ac = 0
• Resolver: x2 + 6x + 9 ³ 0
Discriminante: D = (6)2 – 4 (1) (9) = 0
cuyo equivalente es: (x + 3)2 ³ 0
El cual se verifica:
Análisis gráfico:

• Resolver: 4×2 – 12x + 9 < 0 Discriminante: D = (– 12)2 – 4 (4) (9) = 0 cuyo equivalente es: (2x – 3)2 < 0 Se observa que la desigualdad es absurda. Por lo tanto: Análisis gráfico: 3er. CASO: Si D = b2 – 4ac < 0 • Resolver: x2 + 4x + 7 > 0
Discriminante: D = (4)2 – 4 (1) (7) = – 12 < 0 Transformando: El cual se verifica: Análisis gráfico: • Resolver: 9x2 – 24x + 21 < 0 Discriminante: D = (– 24)2 –4 (9) (21) = –180 < 0 Transformando: Desigualdad que es absurda. Luego: Análisis gráfico: PROPIEDADES DE LA INECUACIÓN CUADRÁTICA Ejemplo 1: Resolver: 3x2 + 7x + 5 > 0
Aplicando la propiedad, se tiene:
3 > 0 Ù D = (7)2 – 4 (3) (5) = – 11 < 0 Por lo tanto, el polinomio (3x2 + 7x + 5) es positivo, para cualquier valor real de x. Finalmente: Ejemplo 2: Resolver: 2x2 – 8x + 11 < 0 Aplicando la propiedad se tiene: 2 > 0 Ù D = (– 8)2 – 4 (2) (11) = – 24 < 0 Esto implica que el polinomio (2x2 – 8x + 11) es positivo, para todo x Î . Luego, la desigualdad: ¡Es absurda! Por lo tanto: Problema 3: Resolver: x4 – 3x3 – x2 + 12x – 12 £ 0 Factorizando por aspa doble especial, resulta: Se observa que el polinomio (x2 – 3x + 3) es POSITIVO para todo , debido a que verifica la propiedad: 1 > 0 Ù D = (– 3)2 – 4 (1) (3) = – 3 < 0 La desigualdad (a), se reduce a: x2 – 4 £ 0 (x + 2) (x – 2) £ 0 Finalmente: Problema 4: Entre que límites varía el parámetro m, para que la inecuación: Se verifique para todo valor real de x. Transponiendo: Aplicando la propiedad: Efectuando: 16m2 – 16m + 3 < 0 (4m – 1) (4m – 3) < 0 Del cual: Ejemplo 1: Resolver: x2 – 25 > 0
Aplicando la propiedad, se tiene:
x2 > 25 « x < – Ú x >
x < – 5 Ú x > 5
El intervalo solución, será:

Ejemplo 2:
Resolver: x2 – 8x + 11 ³ 0
Dándole forma:
(x – 4)2 – 5 ³ 0
Aplicando la propiedad, se tiene:
(x – 4)2 ³ 5 « x – 4 £ – Ú x – 4 ³
x £ 4 – Ú x ³ 4 +
El intervalo solución, será:

Ejemplo 3:
Resolver: 2×2 + 6x + 1 > 0
Multiplicando por
transponiendo , y completando cuadrados:

El intervalo solución, será:

Ejemplo 1:
Resolver: x2 – 36 < 0 Aplicando la propiedad, se tiene: x2 < 36 « – 6 < x < 6 El intervalo solución será: Ejemplo 2: Resolver: x2 + 6x – 2 < 0 De igual modo: Aplicando la propiedad, se tiene: El intervalo solución, será: Ejemplo 3: Resolver: 25x2 – 30x – 11 £ 0 multiplicado por : completando cuadrados: Por lo tanto: INECUACIÓN EXPONENCIAL Ejemplo 1: Resolver: Efectuando: Por exponente fraccionario, se tiene: como , aplicamos la propiedad: 9x + 9 < 20x – 40 Luego: 49 < 11x « El intervalo solución, será: Ejemplo 2: Resolver: Efectuando: luego: como 2 > 1, aplicamos la propiedad:

efectuando: 45x – 135 > 28x + 56
17x > 191«
El intervalo solución es:

Ejemplo 3:
Resolver:
Efectuando:

Como , aplicando sucesivamente la propiedad: x + 2 ³ 2x – 5 « 7 ³ x
Es decir: x £ 7; luego :

VALOR ABSOLUTO
, se define:

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
P1) |a| = 0 « a = 0
P2) |a · b| = |a| · |b|
P3)
P4) |–a| = |a|
P5) ||a|| = |a|
P6) |a2| = |a|2 = a2
P7) |a3| = |a|3
P8) |a|= |b| « a2 = b2
P9) Si: b > 0 ; |a|= b « a = b Ú a = – b
P10) |a + b| = |a| + |b| « ab ³ 0

PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD
R1) |a| ³ 0 ;
R2) –|a| £ a £ |a| ;
R3) |a| > |b| « a2 > b2
R4) |a| < |b| « a2 < b2 R5) Si: b > 0 ; |a| > b « a < – b Ú a > b
R6) Si: b > 0 ; |a|< b « – b < a < b R7) DESIGUALDAD TRIANGULAR |a + b| £ |a| + |b| ; • En general, se cumple la relación: |a+b+c+...+l|£|a|+|b|+|c|+....+|l| Siendo a, b, c, ..., l reales cualesquiera. R8) , se verifica la relación: En particular: Si: a > 0 : ; Si: a < 0 : R9) , se cumple la desigualdad: |a|–|b|£||a|–|b||£|a–b|£||a|+|b|| DESIGUALDADES INTERVALOS – DESIGUALDADES – INECUACIONES INTERVALOS EN LA RECTA REAL Dados dos números cualesquiera a y b, tales que a < b de la recta real, se define intervalo de extremos a y b al conjunto de los números reales comprendidos entre a y b. El segmento ¿¾ se llama intervalo. CLASIFICACIÓN DE LOS INTERVALOS Abierto en ambos extremos En forma de conjunto: ¿ô¾ = ¨ ×Î ñ ¿ ¨ ¾ Representación Gráfica: Cerrado en ambos extremos En forma de conjunto: ¿ô¾ = ¨ ×Î ñ ¿ ¨ ¾ Representación Gráfica: Semi abierto por la derecha: En forma de conjunto: ¿ô¾ = ¨ ×Î ñ ¿ ¨ ¾ Representación Gráfica: a b - + a b - + a b - + a b - + www com . . M atematica1 Semi abierto por la izquierda: En forma de conjunto: ¿ô¾ = ¨ ×Î ñ ¿ ¨ ¾ Representación Gráfica: Abierto por la derecha que se extiende hacia la izquierda: En forma de conjunto: ô¿ = ¨ ×Î ñ ¨ ¿ Representación Gráfica: Cerrado por la derecha que se extiende hacia la izquierda: En forma de conjunto: ô ¿ = ¨ ×Î ñ ¨ ¿ Representación Gráfica: Abierto por la izquierda que se extiende hacia la derecha: En forma de conjunto: ¿ô = ¨ ×Î ñ ¨ ¿ Representación Gráfica: Cerrado por la izquierda que se extiende hacia la derecha: En forma de conjunto: ¿ô = ¨ ×Î ñ ¨ ¿ Representación Gráfica: a b - + - a + - a + - a + - a + www com . . M atematica1 DESIGUALDAD Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, y sus signos son: < Se lee menor que. Se lee menor o igual que. > Se lee mayor que.
Se lee mayor o igual que.
Una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la diferencia a b es positiva. Así, 4
es mayor que 2 porque la diferencia 4 ( 2) = 4 + 2 = 6 es positiva; 1 es mayor que 3
porque 1 ( 3) = 1 + 3 = 2 es una cantidad positiva.
Una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando la diferencia a b es negativa: así,
1 es menor que 1 porque la diferencia 1 1 = 2 es negativa: 4 es menor que 3
porque la diferencia 4 ( 3) = 4 + 3 = 1 negativa.
Según lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidad negativa, por lo tanto 0 es
mayor que 1 porque 0 ( 1) = 0 + 1 = 1, cantidad positiva.
El primer miembro de una desigualdad es la expresión que está a la izquierda y el
segundo miembro está a la derecha del signo de desigualdad. En a + b > c d el primer
miembro es a + b y el segundo c d.
Los términos de una desigualdad son las cantidades separadas de otras por el signo + ó ,
o por la cantidad que está sola en un miembro. En la desigualdad anterior los términos
son a, b, c y d.
Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido cuando sus
primeros miembros son mayores o menores que los segundos. De este modo, a > b y c > d
son desigualdades del mismo sentido.
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Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus
primeros miembros no son mayores o menores que los segundos. Así, 5 > 3 y 1 < 2 son desigualdades de sentido contrario. Podemos separar las desigualdades en dos tipos: Desigualdades Numéricas: Son desigualdades que ordenan elementos del conjunto de los números reales. Sean a y b R podemos entonces decir que las desigualdades numéricas pueden tomar las siguientes formas: a < b Se lee a menor que b a b Se lee a menor o igual que b a > b Se lee a mayor que b
a b Se lee a mayor o igual que b
Ejemplos:
5 < 3 Se lee 5 menor que 3 2 4 Se lee 2 menor o igual que 4 7 > 6 Se lee 7 mayor que 6
5 1 Se lee 5 mayor o igual que 1
Desigualdades Polinómica: Son desigualdades que contienen números y expresiones con
una o más variables. Las desigualdades polinómica pueden ser divididas como se muestra
a continuación:
Desigualdades Absolutas: Son desigualdades que se cumplen para todos los valores de las
variables.
Ejemplos:
1) î ¨ 0
2) ¨ì ï ð
www com . . M atematica1
3) î ¨ § î ð
Desigualdades Condicionales o Inecuaciones: Son desigualdades que no se cumplen para
todos los valores reales de las variables.
Ejemplos:
1) î ¨ > 3
2) ¨ î ë
3) ¨ § ì
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1) Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, el
signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b, se puede escribir:
a + c > b + c y a c > b c
En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro
cambiándole el signo.
En la desigualdad a > b + c se puede pasar c al primer miembro con signo negativo
quedando a c > b, porque equivale a restar c a los dos miembros.
En la desigualdad a b > c, se puede pasar b con signo positivo al segundo miembro y
quedando a > b + c , porque equivale a sumar b a los dos miembros.
2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma
cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b y siendo c
una cantidad positiva, puede escribirse:
¿ ¾
¿½ ¾½ §
½ ½
Es posible suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la
desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea
sus dos miembros, por el m. c. m. de los denominadores.
www com . . M atematica1
3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma
cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía. Si en la desigualdad a > b se multiplica
ambos miembros por c, se tiene: ac < bc Si se divide por c , o sea multiplicando por ½ 1 , se tiene: ¿ ¾ ½ ½ Al cambiar el signo a todos los términos, es decir, a los dos miembros de una desigualdad, el signo de ésta varía porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por 1. Si en la desigualdad a b > c cambiamos el signo a todos los términos, se tiene: b
a < c 4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Si a > b es
evidente que b < a 5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. Siendo a > b se tiene que
ï ï
¿ ¾
6) Cuando los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma
potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 5 > 3 y elevando al cuadrado:
52 > 32 o sea 25 > 9
7) Si los dos miembros o sólo uno es negativo y se eleva a una potencia impar positiva, el
signo de la desigualdad no cambia.
Siendo 3 > 5 y elevando al cubo ( 3)3 > ( 5)3 o sea 27 > 125
Siendo 2 > 2 y elevando al cubo 23 > ( 2) o sea 8 > 8
8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el
signo de la desigualdad cambia. Siendo 3 > 5 y elevando al cuadrado ( 3)2 = 9 y ( 5)2 =
25 y queda 9 < 25. 9) Cuando un miembro es positivo y otro negativo, y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar. Siendo 3 > 5 y elevando al cuadrado 32 = 9 y ( 5)2 = 25 y queda 9 < 25 (cambia el signo) www com . . M atematica1 Siendo 8 > 2 y elevando al cuadrado 82 = 64 y ( 2)2 = 4 y queda 64 > 4 (no cambia el
signo)
10) Cuando los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una
misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
a > b y n es positivo, se tiene: ² ¿ ² ¾
11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro por
miembro, resulta una desigualdad del mismo signo. Si a > b y c > d, se tiene:
â
¿ ¾
½ ¼
¿ ½ ¾ ¼ â
¿ ¾
½ ¼
¿ ½ ¾ ¼
12) Cuando dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro por
miembro, el resultado no necesariamente será una desigualdad del mismo signo, pues,
puede ser una igualdad.
En 10 > 8 y 5 > 2, restando miembro por miembro:
ïð è
ë î
ïð ë è î
ë ê
(cambia de signo)
Al dividir miembro por miembro las desigualdades 10 > 8 y 5 > 4 tenemos
ïð è
ë ì
ïð ë è ì
î ã î
(Resulta una igualdad)
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas
(incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las
incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades de condición.
Ô¿ ¼»­·¹«¿´¼¿¼ î¨ ó í â ¨ õ ë »­ «²¿ ·²»½«¿½·-² °±®¯«» ¬·»²» ´¿ ·²½-¹²·¬¿ ¨ §
www com . . M atematica1
Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que
satisfagan la inecuación.
La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades
antes expuestas y en las consecuencias que de las mismas se derivan.
INECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO
Ejemplos
1) Resolver 2x 3 > x + 5
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:
2x x > 5 + 3
Reduciendo: x > 8
S= èô ¨ Î ñ ¨ è
2)
ë
Ø¿´´¿® »´ ´3³·¬» ¼» »² é ê
î í
¨ ¨
¨
Suprimiendo denominadores (ver propiedad 2) se tiene: 42 3x > 10x 36
Trasponiendo términos: 3x 10x > 36 42
13x > 78
Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad,
origina: 13x < 78 8 ø www com . . M atematica1 éè Ü·ª·¼·»²¼± °±® ïíæ ä ± ­»¿ô ä ê ïí ¨ ¨ . S= ôê ¨ Î ñ ¨äê 3) Encontrar el límite de x en (x + 3) (x 1) < (x 1)2 + 3x Efectuando las operaciones indicadas: x 2 + 2x 3 < x 2 2x + 1 + 3x Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo: 2x + 2x 3x < 1 + 3 x < 4 S= ô ì ¨ Î ñ ¨äì 4) Dada la siguiente inecuación í¨ ë ð . Halle el conjunto solución y grafíquelo. í¨ ë ð Sumando 5 a ambos miembros de la inecuación se obtiene: í¨ ë ë ð ë í¨ ë Multiplicando por ï í a ambos miembros de la ecuación para obtener: ï ï í¨ ë í í 4 ÷ 6 ÷ www com . . M atematica1 ë ¨ í S= ë ë ô ¨ Î ñ ¨ í í 5) Dada la siguiente inecuación í¨ ë ë¨ î . Halle el conjunto solución y grafíquelo. í¨ ë ë¨ î Sumando 2 y ë¨ a ambos miembros de la inecuación se obtiene: í¨ ë ë¨ î ë¨ î ë¨ î î¨ é ð Sumando 7 a ambos miembros de la inecuación se obtiene: î¨ é é é î¨ é Multiplicando por ï î a ambos miembros de la inecuación se obtiene: ï ï î¨ é î î é ¨ î Note que se multiplicó por un número negativo y se invirtió el sentido de la inecuación. El conjunto solución es entonces; S= é é ô ¨ Î ñ ¨ î î 7/2 ÷ -5/3 ø www com . . M atematica1 6) Dada la siguiente inecuación í ë ¨ ì . Halle el conjunto solución y grafíquelo. Se tiene que tener una expresión lineal en la inecuación, por tanto se debe multiplicar a ambos miembros por la variable x. Pero como se desconoce el signo de esta variable se deben considerar dos casos. Caso 1: Cuando ¨ ð Caso 2: Cuando ¨ ð El caso ¨ ð no se considera porque no se puede dividir por cero. Caso I: Al multiplicar por ¨ ð el sentido de la inecuación no se altera, obteniéndose: ë¨ í ì Multiplicamos por ì ë a ambos miembros de la inecuación se obtiene: ïî ¨ ë Para el Caso 1 se obtiene una solución parcial que llamaremos ï Í , la cual debe incluir todos los números reales que cumplan con: ¨ ð y ïî ¨ ë Si ß Í es el conjunto solución de ¨ ð y Þ Í el conjunto solución de ïî ¨ ë entonces la solución parcial ï Í será: ï ß Þ Í Í Í . ß Í = ðô ¨ Î ñ ¨ ð Þ Í = ïî ïî ô ¨ Î ñ ¨ ë ë www com . . M atematica1 ï ß Þ Í Í Í = ðô ïî ô ë = ïî ô ë Caso 2: Al multiplicar por ¨ ð el sentido de la inecuación se invierte obteniéndose: ë¨ í ì Multiplicamos por ì ë a ambos miembros de la inecuación se obtiene: ïî ¨ ë Para el Caso 2 se obtiene una solución parcial î Í , la cual debe incluir todos los números reales que cumplan con: ¨ ð y ïî ¨ ë Si Ý Í es el conjunto solución de ¨ ð y Ü Í al conjunto solución de ïî ¨ ë entonces la solución parcial î Í será: î Ý Ü Í Í Í . Ý Í = ôð ¨ Î ñ ¨ ð Ü Í = ïî ïî ô ¨ Î ñ ¨ ë ë î Ý Ü Í Í Í = ôð ïî ô ë = ôð Teniendo ya las soluciones parciales para los Casos 1 y 2, entonces podemos obtener la solución general que será denotada por Ù Í y que vendrá dada por la unión de ï Í y î Í , es decir: 0 ) 12/ ] 12/ ( [ 0 www com . . M atematica1 Ù ï î ïî Í Í Í ôð ô ë 7) Dada la siguiente inecuación î ¨ î î¨ ï ï î ¨ í î ì . Halle el conjunto solución y grafíquelo. Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para obtener: î î ì ¨ î ê î¨ ï í ïî¨ ì¨ è ïî¨î ê í ïî¨î Sumando 8 y ïî¨î a ambos miembros de la inecuación se obtiene: ì¨ ê í è ì¨ ê í è Sumando 6 a ambos miembros de la inecuación se obtiene: ì¨ ë Multiplicamos por ï ì a ambos miembros de la inecuación se obtiene: ë ì ¨ S= ë ë ô ñ ì ì ¨ Î ¨ INECUACIONES CUADRÁTICAS Procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas de forma analítica: Primer Paso: Factorizar el polinomio. Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación. Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado. Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla. Ejemplos 1) Dada la siguiente inecuación ¨î ë¨ ê ð . Halle el conjunto solución y grafíquelo. 5/4 www com . . M atematica1 Primer paso: Factorizar el polinomio dado: ¨î ë¨ ê ¨ í ¨ î quedando una inecuación de la forma: ¨ í ¨ î ð Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes: Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir: ¨ í ð y ¨ î ð Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir: ¨ í ð y ¨ î ð Solución Caso I: Sea ß Í el conjunto solución de la inecuación ¨ í ð y Þ Í al conjunto solución de la inecuación ¨ î ð , la solución del Caso I viene dada por: × ß Þ Í Í Í Solución para ß Í í ð í ¨ ¨ íô ñ í ß Í ¨ Î ¨ Solución para Þ Í î ð î ¨ ¨ îô ñ î Þ Í ¨ Î ¨ La solución para × Í es entonces: × ß Þ Í Í Í íô îô îô × Í îô ¨ Î ñ ¨ î Solución Caso II: Si llamamos Ý Í al conjunto solución de la inecuación ¨ í ð y Ü Í al conjunto solución de la inecuación ¨ î ð , la solución del Caso II viene dada por: ×× Ý Ü Í Í Í Solución para Ý Í : ¨ í ð ¨ í –2 ( –3 ( www com . . M atematica1 ½ Í ô í ¨ Î ñ ¨ í Solución para Ü Í : ¨ î ð ¨ î ¼ Í ô î ¨ Î ñ ¨ î La solución para ×× Í es entonces: ×× ½ ¼ Í Í Í ô í ô î ô í ×× Í ô í ¨ Î ñ ¨ í Solución General La solución general será la unión de × Í y ×× Í , es decir: Ù × ×× Í Í Í îô ô í El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad. Ejemplos: 1) Dada la siguiente inecuación ¨î ë¨ ê ð , halle el conjunto solución y grafique. Se factoriza el polinomio, ¨î ë¨ ê ¨ í ¨ î , quedando la inecuación de la forma: ¨ í ¨ î ð 3 ) -2 ) www com . . M atematica1 Las raíces que anulan ¨ í ¨ î son ¨ í y ¨ î . Se ubican sobre la recta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos. Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real. Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la
solución viene dada por:
ô í îô Ù Í
2) Dada la siguiente inecuación
î î ï ï è
î í í
¨ ¨
, halle el conjunto solución y
grafique.
Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la
inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo:
¨î î¨ ïë ð
Factorizando el polinomio resultante, se tiene: î ¨ î¨ ïë ¨ ë ¨ í , resultando
una inecuación de la forma: ¨ ë ¨ í ð
Las raíces de ¨ ë ¨ í son ¨ ë y ¨ í , las cuales se ubican sobre la recta real. Se
le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la
desigualdad.
www com . . M atematica1
Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos
donde el producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por:
íôë ñ í ë Ù Í ¨ Î ¨
Gráficamente:
INECUACIONES RACIONALES
Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el
denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a
2. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método
gráfico.
Ejemplo:
1) Dada la siguiente inecuación
î
î
í ïð
ð
î
¨ ¨
¨ ¨
halle el conjunto solución y grafique.
Factorizando los polinomios dados:
¨î í¨ ïð ¨ ë ¨ î ,
¨î ¨ î ¨ î ¨ ï
Las raíces que anulan el numerador son ¨ ë y ¨ î , y las que anulan el denominador
son ¨ î y ¨ ï, las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores
arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.
3
)
5
)
www com . . M atematica1
Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos
donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por: Ù Í ëô î ïô î Gráficamente: Ejemplos ï÷¨ ë î¨ ê î÷ë¨ ïî í¨ ì í÷¨ ¨ î¨ ê ë ø ¨ ï÷ø ï÷ ¨ ï ë¨ í¨ ì ïî î¨ è ¨ ì ¨ è¨ îï ê ç¨ îé ¨ í ê îï è¨ ì÷í¨ ï í¨ é¨ î ïì ø ì¨ ïî÷ø ï÷ ì é¨ î ¨ í -5 ø ÷ -2 1 ø ÷ 2 www com . . M atematica1 î î î ï î ë øî ï÷øí î÷ øí ï÷øî ë÷ ð ð í ï í î øí ï÷øí î÷ ê é î ê ïí ë ê é ê é ð ðø ï÷ ð øí ï÷øí î÷ øí ï÷øí î÷ øí ï÷øí î÷ î ï î ë ë÷ í ï í î ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ î é í ê ­±´ò ø ô ÷ ø ô ÷ INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Definición de valor absoluto Sea ¨ Îò Se define el valor absoluto de x como: ­· ð ­· ä ð ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ Veamos los siguientes ejemplos Ejemplo 1 a. î ï î ï b. î ï ÷ î ï ø î ï . Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo. www com . . M atematica1 c. Si x>2 entonces ¨ î ¨ î , pues x 2>0 y así usamos la primera parte de la
definición. Visto de otra manera a la expresión que le estamos tomando valor absoluto es
de signo positivo y el valor absoluto lo deja igual.
d. Si x<2 entonces ¨ î ¨ î , pues x 2<0 y así usamos la segunda formula de la definición. Visto de otra manera a la expresión que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo y el valor absoluto le cambia de signo. Algunas propiedades del valor absoluto Sean ¨ô § Îò i) ¨§ ¨ § ii) ½±² ð ¨ ¨ § § § iii) ¨ § ¨ § Desigualdad triangular. iv) ¨ § ä ¨ § Desigualdad triangular. Demostración: ¨ § ã ¨ ø §÷ ä ¨ § ¨ § §¿ ¯«» § ð °±® ¼»º·²·½·-² ¼»´ ª¿´±® ¿¾­±´«¬±ò ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Si x es una incógnita en la expresión ¨ í , entonces no sabemos si x 3 es positivo o negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuación: ¨ í =5, deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas: x 3=5 o x 3= 5 La primera es en el caso que x 3 sea positivo, la segunda en la situación que sea negativo. Resolviendo las dos ecuación, tenemos que x=8 o x= 2 www com . . M atematica1 Efectivamente estos valores de x satisfacen la ecuación: ¨ í =5. Ejemplo 1. Resolver ¨ ì í Solución: Hay dos posibilidades ì í é ì í ï ¨ ¨ - ¨ ¨ Las soluciones de ellas son 7 y 1. Efectivamente el lector puede comprobar que si sustituimos estos valores en la ecuación ellas satisfacen la igualdad. Ejemplo 2. Resolver í ë ì¨ ç Solución: Sabemos resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor absoluto está solo en el lado izquierda, así que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3. De esta manera la ecuación dada es equivalente a: ë ì¨ í Ahora esta ecuación en valor absoluto es equivalente a ï ë ì í î ë ì í î ¨ ¨ - ¨ ¨ La solución de ellas son î ï y 2. Podemos representar el conjunto solución de nuestra ecuación 3 ë ì¨ ç a través de la notación de conjunto como: { î ï ,2}. Recuerde que un valor absoluto siempre es mayor o igual a cero, nunca negativo. Ejemplo 3. Resolver ¨ ë î Solución: Esta igualdad es imposible de cumplirse. Por tanto la solución es vacía... |a b | = | b a| representa la distancia entre a y b. www com . . M atematica1 Desigualdades con valor absoluto La expresión |x|<2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen es menor que 2, estos x son todos los números que están entre 2 y 2. Así la desigualdad |x|<2 es equivalente a 22 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen es mayor
que 2, estos x son todos los números mayores que 2 y los menores que 2. Así la
desigualdad
|x|>2 es equivalente a x< 2 ó x>2
Sea ¨ô¿ Îô ¿ ð . Se tiene entonces:
1) ¨ ¿ ­·· ¨ ¿ ¨ ¿ – ¿ ¨ ¿
Intervalo simétrico respecto a cero.
2) ¨ ¿ ­·· ¨ ¿ ¨ ¿
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
a a
] [
[ ]
a a
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Í ëôï ¨ Î ñ ë ¨ ï
Í çô í ¨ Î ñ ç ä ¨ ä í
Sean ¨ô¿ô¾ô½ Î . Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar
las siguientes formas:
1) ¿¨ ¾ ½ § –
¿¨ ¾ ½
½ ¿¨ ¾ ½
¿¨ ¾ ½
Ejemplos:
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: ë¨ ïð ïëy grafique.
ïë ë ïð ïë
îë ë ë
ïë ïð ë ïð ïð ïë ïð îë ë ë ë ï
ë ë ë
¨
¨
¨ ¨ ¨
b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: î ä ï
í
¨ y grafique.
ï ä îä ï
í
í ä ä ï
í
í í ä íä ï í
í
ç ä ä í
¨
¨
¨
¨
2) ¿¨ ¾ ½ – –
¿¨ ¾ ½
¿¨ ¾ ½ ¿¨ ¾ ½
¿¨ ¾ ½
Ejemplos:
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: í¨ è î y grafique.
( )
9 3
5 1
[ ]
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í è î
í î è
í ïð
ïð
í
¨
¨
¨
¨
í è î
í î è
í ê
ê
í
î
¨
¨
¨
¨
¨
b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: î â ï
í
¨ y grafique.
Observación: Estas propiedades también aplican para ¿¨ ¾ ½ y ¿¨ ¾ ½
Ejemplo 1 Convertir las siguientes desigualdades en otra proposición equivalente sin
valor absoluto.
a) ¤ î¨ ï¤ ï es equivalente a î¨ ï ï o î¨ ï ï. (Note que 2x 1 hace las
veces de x)
b)¤ î ë¨ ¤ í Usamos la forma 2. Observe que un resultado similar a 2 se cumple en el
caso de la desigualdad con .
¤ î ë¨ ¤ í es equivalente a í î ë¨ í.
c) ì ¤ï ¨ ¤ ï
Para usar algunas de las dos formas anteriores, debemos primero dejar el valor absoluto
completamente despejado en el lado izquierdo de la desigualdad.
ì ¤ ï ¨ ¤ ï Como el 4 está sumando, pasa restando al otro lado
¤ï ¨ ¤ í Multiplicamos por – ambos lados de la desigualdad, hay que
recordar que la desigualdad cambia de sentido.
¤ ï ¨ ¤ í. Esta es la forma 2
Finalmente:
¤ï ¨ ¤ í es equivalente a ï ¨ í ó ï ¨ í
î ï ï í
í í
¨ ¨
¨
ô ç íô
ï ð í 2
î ï í ç
í í
¨ ¨
¨
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x 3 1 ó x 3 1
x 2 ó x 4
x 2 ó x 4
A través de la notación el conjunto solución será St = ( , 2] [ 4, + )
Ejercicio 2: Convertir la siguiente desigualdad en otra expresión equivalente sin valor
absoluto.
î ¤ ¨ î ¤ ï î
Para usar algunas de las dos formas anteriores, debemos primero dejar el valor absoluto
completamente despejado en el lado izquierdo de la desigualdad.
î ¤ ¨ î ¤ î ï
î
í
¨ î
î
í
¤ ¨ î ¤ , que es equivalente a
î
í
î
î
í
¨
î
î
í
î î
î
í
¨
î
é
î
ï
¨
A través de la notación el conjunto solución será St =
î
é
ô
î
ï
Para resolver completamente una desigualdad con valor absoluto, primero deberemos
expresarla de una manera equivalente pero sin valor absoluto, estas últimas serán las que
resolveremos con las reglas vistas anteriormente
Ejemplo 3. Resolver
a) ¤ î¨ ï¤ í es equivalente a í î¨ ï í , es decir tiene las mismas soluciones.
Esta última es la que resolvemos:
í ï î¨ í ï Primero restamos 1 a cada lado de la desigualdad.
î
ì
î
î
¨ Dividimos entre 2 cada miembro de la desigualdad.
ï ¨ î . Así la solución son todos los números contenidos en el
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intervalo cerrado [ 1,2]
b) ïð í¤ î¨ í¤ ì Primero, se busca escribir esta desigualdad con el valor absoluto
despejado del lado izquierdo. En la desigualdad ïð í ¤ î¨ í ¤ ì primero pasamos el
10 restando al otro lado
í ¤ î¨ í ¤ ê Dividimos entre 3 ambos lados
¤ î¨ í ¤ î
Esta desigualdad es de la forma 2. Por tanto es equivalente a
î¨ í î ó î¨ í î
Este tipo de desigualdades dobles no pueden ser resueltas de la manera sintetizada como
en el caso a). En el lado izquierdo resolvemos la primera y en el lado derecho resolvemos
la segunda desigualdad, manteniendo el conectivo “o”
î¨ í î ó î¨ í î Sumamos 3 a cada lado de la desigualdad
î¨ ë ó î¨ ï Dividimos entre 2 ambos miembros
î
ë
¨ ó
î
ï
¨
Así las soluciones de la desigualdad ïð í ¤ î¨ í ¤ ì es el conjunto
ô ÷
î
ë
÷ ø
î
ï
ø ô
Representados por
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El siguiente ejemplo muestra algunas desigualdades en valor absoluto cuya soluciones son
triviales: R ó o un punto.
Ejemplo 4. Resolver
a) ¤ ¨ ï¤ í
En la primera desigualdad estamos comparando un valor absoluto, el cuál es positivo, con
un número negativo. Obviamente esta relación no se cumple para ningún x. Así la solución
es el conjunto .
b) ï ¤ î¨ í¤ ì;
En este caso primero despejamos el valor absoluto en el lado izquierdo, dando
¤ î¨ í ¤ í. Para cualquier valor de x tenemos que¤ î¨ í ¤ ð, esto es por la propia
definición de valor absoluto y por tanto mayor que 3. Así la solución de está desigualdad
son todos los número reales R.
c) ¤ ¨ í¤ ð
Como el valor absoluto siempre da una cantidad mayor o igual a 0, la única forma que se
cumpla esta proposición es cuando ¤ ¨ í ¤ ð y esto ocurre solo cuando ¨ í. Así que la
única solución de esta desigualdad es el punto ¨ í
Comentario: Observe que el ejemplo 3 a no es de la forma 2, pues a tiene que ser
positivo. Por la misma razón, ¤ î¨ í ¤ í no es de la forma 1.
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