INECUACIONES CON RADICALES PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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INECUACION IRRACIONAL CONCEPTO Y EJEMPLO


INECUACION CON RAIZ CUADRADA-EJEMPLO , CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES


INECUACION IRRACIONAL EJERCICIO RESUELTO-CON DOS RADICALES


INECUACION CON UN RADICAL EJERCICIO RESUELTO


INECUACION CON RADICALES EJERCICIO RESUELTO POR PUNTOS CRITICOS


INECUACION IRRACIONAL EJERCICIO RESUELTO DE LA SUMA DE DOS RADICALES


INECUACION IRRACIONAL Y FRACCIONARIA PROBLEMA RESUELTO


INECUACION CON LA RESTA DE DOS RADICALES PROBLEMA RESUELTO


INECUACION CON RADICAL PROBLEMA RESUELTO


INECUACIONES CON DOS RADICALES PROBLEMA RESUELTO     

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INECUACIONES IRRACIONALES
Una inecuación irracional en una variable tiene la forma
donde H(x) es una expresión algebraica irracional.
Ejemplo
Las siguientes inecuaciones son irracionales:
.Jx+9 >x-l
~X3 -2x+l > x
Resolución de una inecuación irracional
Para resolver una inecuación irracional se procede de manera similar que
para la resolución de ecuaciones irracionales. Cuando se trabaje con radicales
de Índice impar, las operaciones se efectúan en forma directa.
Por ejemplo, para resolver la inecuación irracional Vx3
– 2x +1> x, elevamos
al cubo directamente. Así:
~ -2x+l>O
~ 1> 2x
1
~ x<- 2 .. CS = \ -00; ~) TEOREMAS PARA RESOLVER INECUACIONES IRRACIONALES Teorema 1 Dado n natural, se cumple: Ejemplo Resuelva la inecuación irracional .J4 - x +tJx +2 2': O. Resolución -J4-x+lJx+22':0 H 4-x2':0 /\ x+22':0 H x~4 /\ x2':-2 H -2~x~4 CS={x E lR/ -2 ~x~ 4}=[-2; 4] Teorema 2 .,J;.o/\x~i)
Ejemplo
Resuelva la inecuación irracional -Jx +6 < x. Resolución La inecuación es equivalente al resolver el sistema ¡x+6 2': O x>O
x+é < x2 (l) (JI) (III) De (1): x 2': -6 De (JI): x > O
De (I1I): x2-x-6 > O
H (x- 3)(x+2) > O
H xE(-00;-2)u(3;+00)
Intersectando Al n A2 n A3 se tiene el CS=(3; +00).
Teorema 3
\j y < O: -IX 2': Y H X 2': O Ejemplo Resuelva la inecuación irracional ~ x2 -12 - x > -3 .
Resolución
~ x2 -12 – x > -3 H x2 -12 – x 2′: O
H (x-4)(x+3) 2′: O
H X E (-00; – 3] u [4; +00)
CS=(-oo; – 3] u [4; +00)
Teorema 4
v y > o: JX > y H X ~ o /\ X > i
Ejemplo
Resuelva la inecuación irracional ~ x2 – 3x +2 ~ 2 – x.
Resolución
El radical nos proporciona el CVA
x2-3x+2~0 H (x-2)(x-1)~0
Luego el CVA=(-oo; 1] U [2; +00)
Es conveniente separar en dos casos:
Primer caso: x E [2; +00)
Luego tenemos: x ~ 2 ~ 2 -x ~ O
Se observa que el segundo miembro es negativo o nulo, es decir, la
inecuación ~ x2 – 3x +2 ~ 2 – x se verifica V x ~ 2.
51=[2; +00)
Segundo caso: x E (- 00; 1]
Luego tenemos: x ~ 1 ~ – x ~ -1 ~ 2 – x ~ 1
Se observa que en la inecuación ~ x2 – 3x +2 ~ 2 – x ninguno de los
miembros es negativo, entonces podemos elevar al cuadrado cada
miembro
2
x~l /\ ~x2 -3x+2 ~ (2-x)2
~ .e si /\ ;1-3x+2~4-4x+;I
~ x~l /\ x~2 ~ xE
.. 52=<1>
Luego, reuniendo las soluciones del primer y segundo caso
CS=51 U 52=[2; +00)
TeoremaS
Si n E .IN, entonces
1. 2zya·b?0 H (a=O) v (a>O /\ b?O)
11. 2zya·b<0 H a>O /\ b ~ -1 .
-i x +1
Resolución
Nótese que CVA=[O; +00)
Como ~ +1> O, multiplicamos la inecuación por este factor:
l>(Fx+l)(Fx-l) –7 l>x-l
–7 x<2 --7 XE (-00;2) CS=(-oo; 2) n CVA=[O; 2) 4. Resuelva la inecuación irracional .Jx+4+2 ----:=== ~X - 4. 2-.Jx+4 Resolución Cálculo del CVA rx+"4+2 x+4~0 1\ c-;-;¡~O 2-",x+4 H x~-4 1\ 2-.Jx+4>0
H x~-4 1\ .Jx+4<2 H x~-4 1\ x+4 < 4 H x~-4 1\ x < O H -4:Sx<0 H xE[-4;0) Luego, CVA=[-4; O) Observemos que el segundo miembro es negativo \:;j x E CVA, luego su CS=CVA=[-4; O) 5. Resuelva la inecuación irracional Resolución Equivalentemente escribimos ~6X2 -12x+7 <2x-x2 La inecuación es equivalente al sistema j 6x2-12x+7 ~ O 2x-x2> O
6×2-12x+7 < (2x_x2)2 (I) (II) (I1I) ~Nota Las raíces del polinomio 2 p(x)=X - 2x - 7 son x1=1-2.fi /\ X2=1+2.fi "Nota El polinomio 2 P(x)=32x +39x+12 siempre es positivo, pues tiene: • Coeficiente principal=32 > O
• Discriminante:
~=392 – 4(32)(12) < O Resolvemos cada una de las inecuaciones: De (1): 6x2-12x+7 ~ O H 6(x-1)2+1 ~ O Como 6(x-l)2+1~0; \:jXE lR, entonces la inecuación (1) se verifica \:jx E lR. De(II): 2x-x2>0 H x(x-2)<0 -7 00 /\ x= l
H x2.fi+l
53 = (-00; 1- 2.J2) U(2.J2 +1; +00)
Finalmente:
CS=51n52n53=lRn(0; 2) n (-00; 1-2.fi)U(2.fi +1; +00)
CS=
6. Halle el conjunto solución de la inecuación irracional
~ ~3X+2 –JL.X-rl < 3 -2-. Resolución 1. Hallamos el CVA 2x+l~0 H x~-l/2 -7 CVA=[-l/2; +00) 11. Elevamos a la sexta para eliminar radicales ( (2x +1)3 < 3-X2+2- )2 H x(32x2+39x+12) < O Como 32x2+39x+ 12> O; \:jx E lR
Luego
x(32×2+39x+12)<0 H x COS1t
-JI +x +-Jl- x ~ 1
(1)
(II)
“_Nota __j
Cuando ——1
~F6 -(J]. _)3)x-x2 i
existe, nunca es negativo.
Luego
~r:F6=-_-(;-J].=–2-)3–=3::-t:-) :; >-1
para todo x E CVA de la expresión
irracional.
Resolución
Como cos 1t= -1, la inecuación (I) se puede escribir así:
~.J6 – (-Ji _.J3)x-x2 >-1
H .J6- (-Ji – .J3) x – x2 ~ O
H (x-.J3)(x+-Jiho
• Resolvemos la inecuación (II)
CVA:
l+x~O /\ l-x~O H x~-l /\ x~ 1
~ -l~x~l~ CVA=[-l;l]
Elevamos al cuadrado para eliminar radicales
~ 1+X+l-x+2~1-x2 z i
~ 2~1- x2 ~ -1 se verifica \:j x E CVA (en I1)
• Finalmente
CS=[-l; 1]
9. [ ]
1/2
. ., .Jx2 -5x-.J3X
Resuelva la mecuacion ~ x -10.
9-x
Resolución
Tenemos
~X2-5x-..Jh
——~x-10.
9-x
Como no conocemos el signo de (x-lO), es conveniente calcular
el CVA.
1.
2 ~X2 -5x-.[3;
X – 5x ~ O /\ 3x ~ O /\ ~ O; x;t:9
9-x
Efectuando los dos primeros tenemos …Observación
Fíjese que V x ;::: 5 la expresión
irracional ~ x2 – 5x +Ex siempre
es positiva.
x(x-5)~0 /\ x~O
~ x~5 v x=O (a)
Luego, en la tercera condición
~X2 -5x-.[3;
——>90-x· -, x;t:9
Entonces
(.Jx2-5x+J3x)(.Jx2-5x-J3x) O ( r: ‘3=) ————————-> ·vx–5x+~~x
9-x
x2-8x x(x-8):s;0
~ ~O ~
9-x x-9
Como x~ 5 v x=O
((3)
De (a) y ((3) tenemos
CVA:(x~5 v x=D) /\ 8:S;x<9 CVA=[8; 9) JI. Como la solución se encuentra en el CVA, entonces investigamos el signo de (x-lO). Sabemos que x E [8; 9), es decir 8:S;x<9 H -2:S;x-1O<-1 o sea (x -1O) es negativo \:j x E CVA. Por lo tanto, la inecuación se verifica \:j x E CVA ~ CS=[8; 9) U {O}