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Principio de inducción matemática
si para cada entero positivo n hay asociado un enunciado , pn , entonces todas las afirmaciones pn serán válidas siempre y cuando se satisfagan las dos condiciones siguientes :

I) que p1 sea cierta
II) que siempre que pn sea válida para un entero positivo ‘‘n’’ , entonces pn+1 también es cierta.

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales.
El esquema del razonamiento es el siguiente: Llamemos Pn la proposición al rango n :
* Se demuestra que P0 es cierta (iniciación de la inducción).
* Se demuestra que si se asume Pn como cierta, entonces Pn+1 lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n. (relación de inducción).

La inducción es el proceso de razonar por el cual se extraen conclusiones a partir del análisis de casos particulares. La deducción , por el contrario , permite extraer conclusiones particulares a partir de casos generales . Cuando un experimentador observa que varias sustancias se dilatan al aumentar su temperatura, y de esta observación infiere que todas las sustancias tienen dicho comportamiento , está haciendo uso del proceso de inducción, sin embargo el análisis de algunos casos no permite saber a ciencia cierta que la conjetura sea válida, por ejemplo el agua cuando pasa de 0°C a 4°C, se contrae, no se dilata.
En matemática , disciplina deductiva por excelencia, el razonamiento inductivo sólo es utilizado en la fase creativa y de construcción. Cuando un matemático encuentra ciertos patrones y regularidades al manipular los objetos matemáticos , utiliza el razonamiento inductivo al proponer una conjetura a partir de los casos que ha analizado , pero para demostrar dicha conjetura deberá utilizar necesariamente métodos deductivos.
Aclaremos esto con un ejemplo, supongamos que un alumno ha sumado los tres primeros números impares positivos, obteniendo 1+3+5=9, observa además que 9 es el cuadrado de tres. Toma ahora un número mayor de sumandos , digamos 6, y obtiene 1+3+5+7+9+11= 36 , observa ahora que 36 , es el cuadrado de 6. Esto no puede ser casualidad, el alumno sospecha que debe existir algún patrón general , al parecer siempre se obtienen cuadrados perfectos al sumar los primeros números impares. El alumno inicia una comprobación ordenada.
* Con un sumando : 1 =1
* Con dos sumandos : 1+3 = 4
* Con tres sumandos : 1+3+5 = 9
* Con cuatro sumandos : 1+3+5+7=16
Sucede que en cada caso se obtienen números cuadrados perfectos, además tenemos que cada cuadrado está en relación con el número de sumandos, observemos esto.
* Con un sumando : 1 =1=12
* Con dos sumandos : 1+3 = 4=22
* Con tres sumandos : 1+3+5 = 9=32
* Con cuatro sumandos : 1+3+5+7=16=42
El alumno ahora utiliza el razonamiento inductivo para elaborar una conjetura sobre la suma de los n primeros impares: 1+3+5+7+…+ (2n –1) = n2 , enunciándola verbalmente sería: La suma de los n primeros impares positivos es igual al cuadrado del número de términos.
Preguntamos ahora ¿bastará la comprobación de unos cuantos casos particulares para asegurar la validez de esta proposición? Es evidente que no, hemos comprobado la proposición para n=1; 2; 3; 4, pero nada nos asegura que el patrón se siga manteniendo. Para poder afirmar categoricamente que la propiedad se verifica para cualquier valor de n deberíamos comprobarla para cada uno de estos valores. Es decir, un proceso infinito, o inventar un conjunto de pasos que nos garanticen la comprobación para infinitos casos.
Es aquí que acude en nuestra ayuda un método de demostración conocido con el nombre de método de inducción matemática. Aunque su nombre haga referencia al proceso inductivo de razonamiento, este método es deductivo. Fue el matemático francés Blas Pascal, quien en el siglo XVII, lo usó por primera vez de manera sistemática logrando demostrar con su ayuda numerosas propiedades numéricas. El método goza hoy de gran prestigio entre los matemáticos, y ha servido para demostrar teoremas en geometría, en teoría de grafos, teoría de números y otros campos de la matemática.



Inducción matemática
Existen proposiciones que su valor de verdad depende de un número natural
 por ejemplo, hallar la suma de los cien primeros números naturales
1  2  3 . . . 98  99  100
Observemos que la suma 1  2  3  . . .  98  99  100, la podemos
asociar así:
(1  100)  (2  99)  (3  98)  . . .  (50  51) 
101 50 = 5.050, que equivale, en este caso, al sumar

 veces el primer número 1, más el último, 100, es decir,
           
 
 .
El anterior razonamiento nos permite inferir la proposición: la suma de los
primeros  números naturales es igual a 

.
De hecho esta afirmación contiene las siguientes proposiciones:
Para   (      
 ;
para   (     J
 
 ;
para   (        J
 ;
para   
(   
  

  J
 .
Hemos verificado la validez de la proposición solo para algunos valores
de , como  puede tomar infinitos valores, tenemos que cada proposición
que dependa de , contiene infinitas proposiciones
Para demostrar proposiciones de este tipo se desarrolla el método de
demostración que tiene como fundamento el principio de inducción
matemática.
Principio de inducción matemática
Supóngase que
,
,
,… es una sucesión de proposiciones; es decir,
para cada número entero positivo , se tiene una proposición
. Si se
cumplen las dos condiciones siguientes:
! 
 es cierta.
!! Para cada entero positivo 7,
7 implica
7
Entonces cada proposición
,
,
… es cierta; esto es,
7 es cierta
para todos los enteros positivos.
Ejemplo
1. Aplicaremos el principio de inducción matemática para
demostrar que:
    J 

Se sabe que
 es cierta para algunos valores de , esto no
significa que se cumpla para cualquier valor de .
Para demostrar que
 es, en efecto, cierta para todos los
valores de , se tienen que verificar las siguientes condiciones:
 !
 es cierta.
!! Si
7 es cierta, entonces
7 es también cierta, siendo 7
un número entero positivo.
La condición ! puede verificarse directamente por medio de su cálculo;
para
 la proposición establece que:
J  
 , lo que evidentemente es cierto.
Para probar la condición !! se va a demostrar que
7 implica
7; es
decir, se va a demostrar que si
7 se supone cierta, entonces
7 tiene que
ser cierta, o sea que:
    7  J
  K   L

7 7
Supóngase
7 cierta; es decir, supóngase que:
    MJ77 

Como
7es válida, sumando 7 a los dos miembros de la igualdad,
se tiene que:
    M M      7  
77 
 ; factorizando,
     

7  7 
    K   L

7  7
Pero esta última proposición es precisamente
7.
Como se ha probado la condición !! , entonces, por el principio de
inducción matemática, se concluye que
 es cierta para todo entero
positivo ; por lo tanto,
    J

 para todo entero positivo .
Ejemplo
2. Demostrar que:
   3   3       3               K    LJ  K   NL 

para todo entero positivo .
! Para    tenemos que:  
 K   3LJ  J  ;
 es
cierta.
!! Supongamos que
7 es cierta, es decir,
   3    3    K  7  3L 

7K  7  3L
Debemos demostrar que
7 es cierta.
Puesto que la último igualdad es
7, entonces,
7 es cierta si
7 es
cierta; por el principio de inducción matemática, concluimos que
 es
verdad para todo entero positivo . Es decir, para todo  entero y positivo.
          


5. Probar que 9 es divisible entre 9 para todo  entero
positivo si *9.
Por el principio de inducción matemática, probaremos las dos
condiciones siguientes:
! Para   , 9 9, que es divisible por 9 ;
 cierta.
!! Supongamos que
7 es cierta, es decir 797 es divisible por 9 .
Debemos probar que
7 es cierta, o sea, que 797 es divisible por
9 .
Ahora: 7  97  7  97  97  97
 7  97  97  97
 7  97  97  9
97 9 es divisible por 9 , como 797 es divisible por 9 hipótesis
de inducción,  797 97 9 es divisible por 9 ; por lo tanto,

7 es cierta y la demostración queda completa.