IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS POBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL UNI

Share Button

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS RECIPROCAS

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PITAGORICAS

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS POR COCIENTE

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS AUXILIARES









IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PITAGORICAS SENO Y COSENO – DEMOSTRACION








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PITAGORICAS SENO Y COSENO EJERCICIOS RESUELTOS








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PITAGORICAS SENO Y COSENO PROBLEMA RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PITAGORICAS TANGENTE Y SECANTE DEMOSTRACION








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PITAGORICAS TANGENTE Y SECANTE EJERCICIO RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PITAGORICAS TANGENTE Y SECANTE PROBLEMA RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PITAGORICAS COTANGENTE Y COSECANTE DEMOSTRACION








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PITAGORICAS COTANGENTE Y COSECANTE EJERCICIO RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PITAGORICAS COTANGENTE Y COSECANTE PROBLEMA RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS SENO Y COSECANTE DEMOSTRACION








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS SENO Y COSECANTE EJERCICIOS RESUELTOS








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS SENO Y COSECANTE PROBLEMA RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS COSENO Y SECANTE DEMOSTRACION








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS COSENO Y SECANTE EJERCICIOS RESUELTOS








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS COSENO Y SECANTE PROBLEMA RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS TANGENTE Y COTANGENTE DEMOSTRACION








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS TANGENTE Y COTANGENTE EJERCICIOS RESUELTOS








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS TANGENTE Y COTANGENTE PROBLEMA RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS POR COCIENTE – DEMOSTRACION








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS POR COCIENTE EJERCICIOS RESUELTOS








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS POR COCIENTE PROBLEMA RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS AUXILIARES DEMOSTRACION








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS AUXILIARES EJERCICIOS RESUELTOS








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS AUXILIARES PROBLEMAS RESUELTOS








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS EJERCICIOS DE DEMOSTRACIONES RESUELTAS








SENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ARCOS – ANGULO COMPUESTO DEMOSTRACION








IDENTIDADES DEL SENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ARCOS – ANGULO COMPUESTO EJERCICIO RESUELTO








IDENTIDADES DEL SENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ARCOS – ANGULO COMPUESTO PROBLEMA RESUELTO








SENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ARCOS PROPIEDAD DEL PRODUCTO DEMOSTRACION








SENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ARCOS – PROPIEDAD DEL PRODUCTO EJERCICIO RESUELTO








SENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ARCOS – PROPIEDAD DEL PRODUCTO PROBLEMA RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS AUXILIARES








IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS RECIPROCAS








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS POR COCIENTE








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PITAGORICAS








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ARCO MULTIPLE PROBLEMA RESUELTO DE TRIGONOMETRIA PREUNIVERSITARIA








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PROBLEMA RESUELTO DE TRIGONOMETRIA PREUNIVERSITARIA








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ANGULOS








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PROBLEMAS RESUELTOS








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ARCO COMPUESTO PROBLEMA RESUELTO








identidades trigonometricas fundamentales EJERCICIO RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS EJERCICIOS RESUELTOS Y DEMOSTRACIONES








identidades trigonometricas de ángulos compuestos EJERCICIO RESUELTO








IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS     

OBJETIVOS :
* Deducir las identidades trigonométricas fundamentales.
* Verificar identidades trigonométricas usando las identidades fundamentales.
* Utilizar las identidades fundamentales en la simplificación de expresiones , en problemas con una condición y en la eliminación de arcos.
CLASIFICACIÓN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Para la mejor comprensión e identificación de las identidades trigonométricas. éstas se dividen en cuatro grandes grupos:
* Las identidades con un arco simple.
* Las identidades con arcos compuestos (suma y diferencia de arcos)

* Las identidades con arcos múltiples (doble. mitad y triple).
* Las identidades que transforman (transformaciones trigonométricas) sumas algebraicas de senos y/o cosenos a productos y el caso viceversa.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
CON UN ARCO SIMPLE
Se dice que una igualdad que relaciona razones trigonométricas de un arco es una identidad, si ésta se verifica para cualquier valor admisible de dicho arco.
Así por ejemplo: senxcscx=1 es una identidad para valores de con k un número entero.
Identidades fundamentales
Son identidades trigonométricas que se obtienen relacionando las líneas trigonométricas mediante operaciones elementales.

IDENTIDADES POR DIVISIÓN

Identidades Auxiliares
Al igual que las identidades fundamentales, son de gran importancia en la resolución de problemas con identidades trigonométricas. Entre las más importantes mencionaremos:

Demostración de (iv): Basta ver que uno de los miembros genera al otro:

Demostración de (v):

Demostración de (vii) :

Tipos de problemas
que se presentan
Antes de empezar con el desarrollo de los tipos de problemas, se debe comprender que para los dos primeros tipos, no es necesario que estemos al tanto de los valores admisibles de la variable angular, porque se sobreentiende que estamos realizando operaciones con dichos valores admisibles, así es que las identidades se pueden utilizar sin temor a equivocamos.
I) Simplificaciones o Reducciones :
Una expresión dada se reduce a su mínima expresión. en forma directa usando las identidades fundamentales o en forma indirecta expresándola en términos de senos y coseno.
Ejemplo 1 :
simplifique la siguiente expresión:

Resolución:
Utilizando la identidad por divisón y la recíproca y en la expresión tenemos:

Efectuando las operaciones y eliminando algunos términos tenemos: Finalmente, empleando la identidad pitagórica la expresión tiene como resultado: 1
Ejemplo 2 :
Si

Resolución:
Separando la constante en el radical, tenemos:

Empleando las identidades pitagóricas :

Empleando la identidad auxiliar :

Efectuando la raíz cuadrada:

Empleando la Identidad auxiliar y Simplificando:

Empleando la identidad recíproca :

Ejemplo 3 :
Simplifique:

Resolución:
Aplicando la identidad recíproca :

Aplicando la identidad pitagórica :

Llevando la expresión en términos de senos y cosenos:

Operando la expresión:
Aplicando la identidad auxiliar :

Finalmente, simplificando la expresión se tiene:
A=2Sen2x
Ejemplo 4 :
Simplifique:
Resolución:
Expresando en términos de senos y cosenos:

Finalmente: M=Cosx

Ejemplo 5 :
Reducir la expresión:
RESolución:
Usando la forma directa:

Ejemplo 6 :
Simplificar:
RESolución:

II) Problemas con una condición :
En este tipo de problemas , la expresión que se pide calcular depende de la condición. por lo tanto, se recomienda poner a la expresión que se pide calcular en función de la condición o viceversa. También, si fuese posible , se puede calcular el valor de una razón trigonométrica de la condición y utilizarlo en la expresión que se pide calcular.
Ejemplo 1 :

Resolución:
Operando en la expresión de la izquierda tenemos:

Reduciendo el numerador tenemos:
Igualando las expresiones:
Finalmente, se tiene que: A=Cosx
Ejemplo 2 :
Si: Tanx=Cosx ,calcule: M=Senx + Cos4x
Resolución:
Expresando la igualdad, en términos de seno y coseno se tiene que: Senx=Cos2x
* Elevando al cuadrado, se tiene: Sen2x=Cos4x
* Llevando estos resultados a la expresión M, tenemos: M =Cos2x+Sen2x
* Finalmente, aplicando la identidad pitagórica el valor de: M=1
Ejemplo 3 :

Resolución:
De la identidad pitagórica tenemos:

Utilizando el valor de la condición, tenemos:

Finalmente:

Ejemplo 4 :

Resolución:
Elevando al cuadrado el dato del problema:

Ejemplo 5 :

Resolución:
Desarrollando la expresión:
Sen2x+Csc2x+2SenxCscx=9
Aplicando la identidad recíproca , tenemos:
Sen2x+Csc2x=7
De la misma forma, restando 2 a ambos miembros, tenemos: Sen2x+Csc2x–2=5
Aplicando la identidad recíproca tenemos: Sen2x+Csc2x–2SenxCscx=5
Finalmente, dando la forma de un binomio:
(Cscx–Senx)2=5
Ejemplo 6 :

Resolución:
De la condición:

Aplicando la identidad pitagórica , tenemos:

Expresando el seno en términos del coseno:

Finalmente, despejando el valor del coseno:

Ejemplo 8 :

reSolución:
Poniendo «E» en función de la condición:

De la condición:

Ejemplo 9 :
Si :

RESolución:
Calculando los valores de Secx y Tgx de la condición:

III) Problemas de eliminación de arcos :
Dadas dos condiciones, para eliminar el arco , se recomienda calcular el valor de un par de razones trigonométricas y luego reemplazarlas en la identidad fundamental más conveniente. De otra forma, el arco también se elimina efectuando operaciones algebraicas con las condiciones, de modo que conduzcan a la eliminación del arco.
Ejemplo 5 :
Halle una relación entre x e y que sea independiente de «q » a partir de las condiciones:

RESolución:
Eliminar una variable significa que, a partir de las condiciones o expresiones dadas, se debe obtener una expresión adicional, en la cual la variable a eliminar (en nuestro ejemplo q) no deba estar presente, para ello podemos realizar todas las operaciones matemáticas permitidas con las expresiones dadas como son sumar, restar, elevar al cuadrado, etc.

Calcularde las condiciones y reemplazarlas en la identidad fundamental
De (I) (II):

Reemplazando en

Ejemplo 6 :
Eliminar de las condiciones:

RESOLUCIÓN
Efectuando operaciones con (I) y luego sustituyendo (II) :

Reemplazando (II) se tiene:

Iv) Demostración de Identidades :
Para demostrar identidades trigonométricas no hay una técnica ni un procedimiento especial. Las siguientes sugerencias ayudan a realizar dichas demostraciones.
* Demostrar que un miembro de la igualdad dada es igual al otro.

* Escoger el miembro más complicado de la identidad.

* Colocar el miembro escogido en términos de senos y cosenos.

* Hacer uso de las identidades algebraicas. Entre las identidades más importantes tenemos:

·

Para verificar que la igualdad dada es una identidad, o como suele decirse demostrar la identidad, debemos trabajar cada lado de la igualdad de manera independiente. Es decir, al demostrar una identidad no se debe realizar las «mismas operaciones» en ambos lados, como cuando se resuelve una ecuación. Por ejemplo, si intentamos verificar una identidad, no se debe multiplicar ambos lados de la ecuación por la misma cantidad, esto sólo puede hacerse cuando se supone cierta la identidad. A continuación, la demostración del siguiente ejemplo lo desarrollaremos transformando sólo el primer miembro.

Ejemplo 1 :
Demuestre que:

Resolución:
Considerando el lado izquierdo:

Formando el binomio y aplicando la identidad pitagórica:

Ejemplo 2 :
Demostrar que :
resolución :
Se transformará sólo las razones trigonométricas que se hallan en el primer miembro de tal forma que se obtenga las razones que se hallan en el segundo miembro.
Utilizando :
obtenemos :
Efectuando la suma de fracciones :

* Pero de la identidad sen2x + cos2x = 1 ,reemplazando :
*Lo cual es equivalente a :

Ejemplo 3 :
Demostrar que :
resolución :
* Partiremos del primer miembro y lo transformaremos de tal manera que se obtenga el segundo miembro.
*multiplicamos y dividimos por sen2 x :