IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Esta parte es muy importante a su vez por que va a servir como base para capítulos posteriores, esta considerado como clave dentro de la trigonometría, y definitivamente tendremos que razones por las cuales se les considera de gran importancia en el desarrollo de la asignatura.
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OBJETIVOS :
* Conocer las relaciones básicas entre las razones trigonométricas de una cierta variable.
• Reconocer las diferentes identidades trigonométricas
• Aplicar correctamente las identidades trigonométricas en las demostraciones
• Utilizar adecuadamente las identidades fundamentales en la simplificación de ejercicios.
 Reconocer las identidades trigonométricas auxiliares.
• Aplicar correctamente las identidades trigonométricas auxiliares.
 Reconocer un problema condicional.
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• Conocer las identidades básicas y reconocer las formas alternativas de cada una.
• Conocer las técnicas empleadas para la verificación de cada una de las identidades.
• Conocer las diversas propiedades de las identidades trigonométricas.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS AUXILIARES
Reconocer las principales identidades auxiliares.
• Aplicar las identidades auxiliares en situaciones problemáticas.
• Relacionar las identidades auxiliares con las básicas.
IDENTIDADES CONDICIONALES
• Identificar los problemas de identidades condicionales.
• Relacionar la condición con las identidades trigonométricas.
• Eliminar el ángulo a partir de las condiciones.
Ejemplo 1
Si: sen x ± cos x = n
Demuéstrese que:
Resolución:
De la condición: sen x ± cos x = n
elevamos al cuadrado:
(sen x ± cos x)2 = n2
sen2 x ± 2 sen x cos x + cos2 x = n2
1 ± 2 sen x cos x = n2
± 2 sen x cos x = n2 – 1

Ejemplo 2
Si: reducir:
Resolución:
Sabemos:

Reemplazando en la ecuación:

Ejemplo 3
Eliminar x de:
sen x = m + n … (1)
cos x = m – n … (2)
Resolución:
Para eliminar el ángulo se relaciona las funciones trigonométricas dadas.
Sabemos: sen2 x + cos2 x = 1
De las condiciones (1) y (2) tenemos:
(m + n)2 + (m – n)2 = 1
reduciendo: 2 (m2 + n2) = 1

Ejemplo 4
Eliminar x de:
… (1)
… (2)
Resolución:
Sabemos: tg x ctg x = 1
de las condiciones (1) y (2):

INTRODUCCIÓN:

A continuación se estudiarán las equivalencias que relacionan las razones trigonométricas de un mismo ángulo, dichas identidades tiene un papel muy importante en la matemática, física, etc, en las cuales se utiliza para simplificar y poder obtener una expresión equivalente la cual puede ser más sencilla para analizarla.
Como todas las identidades trigonométricas son igualdades que se verifican para todo valor admisible de la variable angular (arco). Seguidamente presentamos algunos ejemplos de identidades.

 
 

Bueno señor lector para que usted tenga un mejor entendimiento de lo que es un valor admisible, preste atención a lo siguiente: Las identidades trigonométricas sólo se pueden aplicar cuando las razones trigonométricas de un cierto ángulo están definidos o tienen un valor determinado.
Ejemplo:
i) tg 60º =
( es un valor real; tiene un valor fijo) entonces podemos utilizar las identidades

ii) ctg 180º (no tiene un valor real)
es decir ctg180º
En consecuencia no se puede utilizar la identidad
(esto es incorrecto)
De donde afirmamos que:

Seguidamente se citan las identidades trigonométricas fundamentales acompañados de sus respectivas restricciones.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES
Identidades Pitagóricas.

Identidades Por Cociente.

Identidades Recíprocas.

A continuación se presenta algunas demostraciones a partir de un arco dirigido en posición normal .
Dado un arco .

P pertenece a la C.T. entonces debe utilizar la ecuación de la C.T. esto es:

De donde:
(Identidad Pitagórica)

Por definición:
… (1)
como tg(rad) = tg … (2)

(2) en (1)
(Identidad por Cociente)

Por definición:
… (1)
como csc( rad) = csc … (2)

(2) en (1)
(Identidad Recíproca)

Los problemas sobre identidades los podemos dividir en cuatro grupos.
i) Problemas de demostración.
ii) Problemas de simplificación o reducción.
iii) Problemas sobre eliminación de la variable angular.
iv) Problemas condicionales.
En este último problema es donde se debe tener en cuenta acerca de los valores admisibles, en los demás no, se sobreentiende que en ellos se trabaja con valores admisibles.
Ejemplo 1:
Si: , calcule sen cos
Resolución:

De donde:

Ejemplo 2:
Simplifique la expresión:

Resolución:
Se sabe que
Luego:

Como:

PROPIEDADES

Ejemplo 1:
Si: . Calcule sen

Resolución:
De:
Se observa que:

Ejemplo 2:
Calcule tg si se cumple que

Resolución:
De: 3sen – 4cos = 5

Se observa que

Como:
Las identidades auxiliares principales son:
1. sen4 x + cos4 x = 1 –2 sen2 x cos2 x
2. sen6 x + cos6 x = 1 – 3 sen2 x cos2 x
3. tg x + ctg x = sec x csc x
4. sec2 x + csc2 x = sec2 x csc2 x
5. (1 + sen x – cos x)2 = 2 (1 + sen x) (1 + cos x)
Además:
• (1 + sen x – cos x)2 = 2 (1 + sen x) (1 – cos x)
• (1 – sen x + cos x)2 = 2 (1 – sen x) (1 + cos x)
En general:
• (1 ± sen x ± cos x)2 = 2 (1 ± sen x) (1 ± cos x)
Ejemplo 1
Demuéstrese que: sen4 x + cos4 x = 1 – 2 sen2 x cos2 x
Resolución:
sabemos: sen2 x + cos2 x = 1
luego: (sen2x + cos2 x)2 = 12
desarrollando: sen4x + 2 sen2x cos2 x + cos4 x = 1
sen4 x + cos4 x = 1 – 2 sen2 x cos2 x
Ejemplo 2:
Demuéstrese que: tg x + ctg x = sec x csc x
Resolución: se tiene que:

Ejemplo 3
Demuéstrese que: (1 + sen x + cos x)2 = 2 (1 + sen x) (1 + cos x)
Resolución:
Agrupando:
Recordando: cos2 x = 1 – sen2 x = (1 + sen x) (1 – sen x)
Reemplazando: (1 + sen x + cos x)2 = (1 + sen x)2 + 2 (1 + sen x) cos x + (1 + sen x) (1 – sen x)

= (1 + sen x) (2 + 2 cos x)
= (1 + sen x) 2 (1 + cos x)
Si: a = sen q y b = tg q
calcular: K = (1 – a2) (1 + b2)
A) 1 B) 2 C) 3 D) E)

2. Si: a es un ángulo agudo,
además:
A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4
D) 0,5 E) 0,6

3. Si: sen x + csc x = 4
calcular: E = sen2x + csc2 x
A) 2 B) 12 C) 16 D) 14 E) 18

4. Si: tg x + ctg x = 2
calcule: K = tg3x + tg5x + ctg3x + ctg5x
A) 40 B) 32 C) 16 D) 44 E) 4

5. Hallar la relació entre a y b si:
tg x + ctg x = a … (1)
sec x + csc x = b … (2)
A) a2 + 2a = b2 B) a2 – 2a = b2
C) a2 + b2 = 2 D) a + b = ab
E) a2 + 2ab = b2

6. Si:
calcule: K = cos2x cos2y – sen2x sen2y
A) B) C)
D) E) 1

7. Si: sen3x + sen x = a
cos3x + cos x = b
calcular: K = a csc x + b sec x
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Si: tg2x + tg x = m
calcule: E = m ctg x – tg x
A) 1 B) 2 C) tg x
D) tg2x E) ctg x

9. Si: 0º < a < 90º además: A = 1 + sen2a + sen4a + sen6a + … B = cos2a + cos4a + cos6a + … calcule: (A – 1) B A) 1 B) 2 C) tg2a D) ctg2a E) 3 10. Si: sen x + sen2x = 1 calcular: K = 1 + cos2x + cos4x A) 1 B) 2 C) 3 D) sen4x E) cos4x