IDENTIDADES DEL ANGULO MITAD EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA DE NIVEL UNI

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OBJETIVOS :
Al finalizar la unidad , el alumno será capaz de:
* Diferenciar entre función del ángulo mitad y la mitad de una función.
* Establecer las relaciones trigonométricas fundamentales del ángulo mitad en términos del ángulo simple o ángulo completo.
* Deducir las fórmulas racionalizadas de tangente y cotangente del ángulo mitad.
* Obtener las razones trigonométricas de 22°30′ y 67°30′ ; 18°30′ y 71 °30′ ; 26°30′ y 63°30′.
FUNCIÓN SENO , COSENO y TANGENTE DEL ÁNGULO MITAD
Al igual que en el capítulo anterior , debemos advertir que es un error frecuente considerar la unión del operador y el ángulo como una multiplicación:

Gráficamente podemos ver las diferencias:

En la deducción de las identidades del ángulo mitad , consideraremos:

Identidades
del Ángulo Mitad
Así podemos deducir para la función seno , tenemos:
* Es decir :

Luego , para la función coseno:

En ambos casos, el signo del radical depende del cuadrante en que cae el ángulo mitad.
Ahora , para deducir la función Tangente se emplearán las identidades trigonométricas:

NOTA:
En cualquiera de los tres casos , el signo a emplear (±) dependerá del cuadrante en el que se ubique el ángulo “x/2” y de la R.T. que se va a calcular. así por ejemplo :Si: y además menor de una vuelta
Luego:
Por lo tanto, para efectos del signo (±) tenemos que tomar en cuenta el cuadrante de , es decir , en el ejemplo corresponde al segundo cuadrante (II C).

ejemplos :
Exprese con las fórmulas anteriores:
sen40°
RESOLUCIÓN:
*Como:, además: sen40° es (+) , usando(I):

cos100°
RESOLUCIÓN:
* Como: , además: cos100° es (–), usando (II):

tan96°
RESOLUCIÓN:
*Como:.además tan 96° es(–)
Usando (III):

más ejemplos :

FÓRMULAS RACIONALIZADAS
DE TANGENTE Y COTANGENTE
DEL ÁNGULO MITAD
Se pueden obtener fórmulas del ángulo mitad más simplificadas, sin radicales, pero para el seno y coseno no se han logrado fórmulas más simples; en cambio, para la tangente y cotangente sí se tienen relaciones racionalizadas:

demostración :

demostración :

Ejemplos:

Ejercicio 1 :
Calcular : Sen22°30’
RESOLUCIÓN:

Ejercicio 2 :
Calcular : Tan37°30’
RESOLUCIÓN:
Desarrollando con la fórmula racionalizada , se tiene :

Ejercicio 3 :

RESOLUCIÓN:
Desarrollando con la fórmula racionalizada, se tiene:

Aplicando reducción al primer cuadrante, se obtiene:

Finalmente:
Ejercicio 2 :
Calcular : Tan18°30’
RESOLUCIÓN:
Calcularemos las razones de estos ángulos a través de las fórmulas racionalizadas del ángulo mitad. Así , para la tangente 18°30′ tenemos:

Propiedad:
Si se cumplen las siguientes fórmulas :

Donde el numerador del Segundo miembro de la igualdad tiene “(n–1)” radicales.

Si:
Calcular :

Si:
Hallar:

Si:
Calcular :

Si:
Hallar:

Reducir:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Simplificar:

A)1 B) ctgx C)ctg2x D) E)

Si: y además:

Calcular:

Si:

Calcular:

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7
Simplificar :

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
Si: donde x es agudo.
Calcular:

Reducir:

A) 1 B)2 C) 1/2 D) 3 E) 4
Reducir:

Reducir:

Si se cumple:

Calcular:

Si: cuadrante.
Calcule:

Reducir:

Si:
Reducir:

Simplificar:

A) 1 B) 1/2 C) –1 D) 2 E) 0
Calcular aproximadamente:

Si:

Calcular:

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1