IDENTIDADES DEL ANGULO DOBLE EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA DE NIVEL UNI

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OBJETIVOS :
Al finalizar la unidad , el alumno será capaz de :
* Diferenciar entre función del ángulo doble y doble de una función.
* Establecer las relaciones fundamentales del ángulo doble en términos del ángulo simple.
* Degradar funciones cuadráticas en términos de funciones de primer grado.
* Deducir fórmulas del ángulo doble en función de la tangente del ángulo simple.
FUNCIÓN SENO , COSENO y TANGENTE DEL ÁNGULO DOBLE
Antes de comenzar a deducir las fórmulas fundamentales del ángulo doble debemos señalar que es un error frecuente considerar la unión del operador trigonométrico con el ángulo como una multiplicación:

Gráficamente podemos ver las diferencias:

En la deducción de las fórmulas del ángulo doble consideraremos:

A través de las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos podemos deducir las fórmulas del ángulo doble , considerando los ángulos iguales.

SENO DEL ÁNGULO DOBLE
El seno del ángulo doble se obtiene a partir del , haciendo: así :

Entiéndase que el seno de un ángulo es igual al doble producto del seno y coseno de la mitad de dicho ángulo o, el doble producto del seno y coseno de un mismo ángulo es igual al seno de su respectivo doble.

Ejemplos:

COSENO DEL ÁNGULO DOBLE
El coseno del ángulo doble se obtiene a partir del
haciendo: así:

Ejemplos:

TANGENTE DEL ÁNGULO DOBLE
La tangente del ángulo doble se obtiene a partir de , haciendo así:

Ejemplos:

RESUMEN:

DEGRADACIONES
* Como: cos2x = 1–2sen2x; entonces:

* También: cos2x = 2cos2x – 1; entonces:

ejemplos :
* 2sen210° = 1 – cos20°
* 2sen24x = 1 – cos8x

Además :

Triángulo Rectángulo
del Arco Doble
Las relaciones fundamentales del ángulo doble se pueden expresar en función de la tangente del ángulo simple. Una forma sencilla de obtener estas fórmulas es a través de la tangente del ángulo doble, la cual se puede llevar a un triángulo rectángulo y, de ese modo, obtener un triángulo notable.
Si consideramos a (agudo), en forma gráfica se tiene.

* Luego de este triángulo podemos evaluar cada una de las funciones trigonométricas del ángulo doble y todas dependerán de la tangente del ángulo simple, por lo que deducimos:

Del mismo modo se pueden obtener las funciones restantes (cotangente, secante y cosecante)

Propiedades :
Además de las relaciones fundamentales existen algunas igualdades que nos pueden ayudar en la solución de problemas. Señalemos las más conocidas:

ejemplo s:

ejemplos:

ejemplo:
* tan20° + cot20° = 2csc40°

* tan3x/2 + cot3x/2 = 2csc40°

ejemplo :

* Cot110° – tan10° = 2cot20°

ejemplos :

nota :
Es importante tiene en cuenta que:

Si :
Calcular:

Si :
Calcular:

Si:
Calcular el valor de :

Reducir:

Calcular
A)1 B)0 C)2 D)3 E)4
Calcular x en la figura:

Calcular:
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
Simplificar :

Reducir :

Reducir :

S i :
Calcular :

Simplificar la expresión :

Si:
Calcular la expresión:

Si : 5AD= 2CD. Hallar

Reducir :

Calcular:
A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5
Reducir :
A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5

Si :
Calcular:

A) 2 B) 0 C)1 D)3 E) 1/9
Calcular el valor de :

A) 8 B)5 C)7 D)6 E) 2
Calcular: