HABILIDAD OPERATIVA-TRUCOS MATEMÁTICOS PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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La habilidad operativa es la manera en que un individuo utiliza sus facultades y habilidades innatas para realizar operaciones matemáticas, operaciones de orden lógico,etc.
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, es lo que el humano utiliza en diferentes ámbitos y la manera en como se las arregla en determinado momento, eS cómo reacciona ante alguna situación. Por lo general suele confundirse con un reflejo, pero no es así. En el presente capítulo aplicaremos métodos que nos permitirán ahorrar tiempo en los cálculos, tiempo que en un cualquier tipo de examen resulta determinante como para no desperdiciarlo en cálculos u operaciones tediosas. Otro punto que dehemos tener en cuenta, es que aprenderemos las diferentes formas de cómo afrontar un ejercicio que aparentemente tiene una solución operativa, pero con un poco de habilidad en las operaciones se puede resolver de una forma más práctica y rápida.


TRUCO MATEMATICO COMO MULTIPLICAR DOS NUMEROS DE DOS CIFRAS MAS RAPIDO QUE LA CALCULADORA

d


TRUCO MATEMATICO Cómo multiplicar números menores de veinte más rápido que una calculadora


MULTIPLICACION DE DOS NUMEROS POR EL METODO EGIPCIO


MULTIPLICACION DE DOS NUMEROS POR EL METODO RUSO


MULTIPLICACION RAPIDA CON EL 11


HABILIDAD OPERATIVA EJERCICIO RESUELTO 2


HABILIDAD OPERATIVA EJERCICIO RESUELTO 1


HABILIDAD OPERATIVA EJERCICIO RESUELTO 3


HABILIDAD OPERATIVA EJERCICIO RESUELTO 4 EMPLEANDO DIFERENCIA DE CUADRADOS


HABILIDAD OPERATIVA EJERCICIO RESUELTO 5 EMPLEANDO DIFERENCIA DE CUADRADOS


HABILIDAD OPERATIVA PROBLEMA RESUELTO 6


HABILIDAD OPERATIVA EJERCICIO RESUELTO 7 EMPLEANDO BINOMIO AL CUBO


RAZONAMIENTO LOGICO NUMERICO PROBLEMA RESUELTO DE NIVEL INTERMEDIO


Debemos saber que Ramanuján al responder instantáneamente no lo hizo por arte de magia, sino como
trabajaba constantemente con los números ya sabía de los cubos perfectos de memoria; sólo tuvo que
percatarse que dos de ellossumasen 1729.
1729 = P + 123 = 93 + 103
Cierta vez un matemático llamado H. Hardy al visitar a su amigo Ramanuján, que estaba enfermo en un
hospital, le dijo: “Vine en el taxi 1729, el número me pareció muy banal y espero que no sea de mal agüero”. Al
contrario, contestó Ramanuján, el número es muy interesante, es el menor número que se puede expresar
comosuma de2 cubos en dosformas distintas:
Lo más importante, entonces, es el interés y la voluntad de estudiar en forma objetiva la matemática con un
método razonadoy ameno; para complementarlo con un manejo práctico de la parte operativa.
Debido a la escasa práctica de ciertas operaciones matemáticas y por el poco uso de métodos abreviados,
suele parecer la matemática como un conjunto de fórmulas y propiedades tediosas que sólo un matemático
puede entenderlo; esta idea debemos “desterrarla”, ya que la parte operativa sólo es como los abdominales
para un atleta (lo más importante para un atleta es su salud, su alimentación y su voluntad de querer llegar a la
meta).
Este capítulo debe ser estudiado con mucho interés y desde la base de ejercicios diversos, ya que la práctica
será decisiva en su aprendizaje.
En esta oportunidad estudiaremos un capítulo que contribuirá en gran medida a familiarizarnos con las
operaciones matemáticas, a través del ejercicio con diversos tipos de multiplicación abreviada, potencia de un
número, raíces cuadradas, adición, multiplicación ydivisión defracciones, etc., para lo cual debemos recordar
ciertos conocimientos básicos como: la teoría de exponentes, ecuaciones,factorización, etc.
Infroduttión
1. Resolver las operaciones básicas con fluidez y habilidad en la solución de situaciones
complejas.
2. Dominar métodos prácticos en las operaciones, para aplicarlos en la multiplicación,
adición, potenciación, etc.
3. Afianzar los conceptos elementales de la aritmética y el álgebra.
ObjefiVos
www ¡)fatematícal .com
En este capitulo veremos métodos, que nos permitirán ahorrar tiempo en los cálculos, tiempo que en cualquier
tipo de examen resulta determinante como para no desperdiciarlo en cálculos numéricos elementales. Otro
aspecto importante, de esta parte del curso, es que nos enseña las diferentes formas de cómo afrontar un
ejercicio que aparentemente tiene una solución operativa, pero que con un poco de habilidad en las
operaciones se puede resolver de una forma más rápida. Por ejemplo, para resolver la situación dada en el
gráfico (arriba) la solución tradicional sería elevar cada número al cuadrado y luego proceder a hallar su
diferencia, sin embargo, empleando criterios prácticos, podemos recordar la diferencia de cuadrados y
aplicarlo, así:
99952
– 99942 = (9995 + 9994) x (9995 – 9994)
\,. J Obs.: 182 – b2 = (8+b)(8-b) I
v
Diferencia de = (19989) x (1) = 19989
cuadrados
A continuación, veamos el estudio de algunos casos sobre el desarrollo abreviado de ciertas operaciones
básicas:
MULTIPLICACiÓN POR 5
Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo:
426 x 5 =?
= 426 x [~O]
4260
=
2
= 2130
Para multiplicar por 5, al número se le
agrega un cero a su derecha y el resultado
se divide entre 2.
Ejemplos:
230
1. 23 x 5 = = 115
2
9760
2. 976 x 5 = = 4880
2
47830
3. 4783 x 5 = = 2391
4. 7114×5=
Para practicar:
2
71140
2
= 35570
1. 648 x 5 = ……………….. .
2. 9737 x 5 = ………………. .
DIVISiÓN POR 5
Deduzcamos el procedimiento a partir de un
ejemplo:
135
5
= ?
135X2 270
=
10 10
3. 419971 x 5 = …………… . www ¡)jatematícal .com = 27
MULTIPLICACiÓN POR 25
Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo:
24 x 25 =?
24 x [1 ~O] = 2:00
= 600
Para multiplicar por 25, al número se le
agrega dos ceros a su derecha y el resultado
se divide entre 4.
Ejemplos:
7200
1. 72 x25 = –= 1800
4
22900
2. 229 x 25 = = 5725
4
79800
3. 798 x 25 = — = 19950
4
369700
4. 3697 x 25 = = 92425
4
Para practicar:
1. 124 x 25 = ……………. .
2. 645 x 25 = ……………. .
3. 4797×25= ……………. .
Para dividir por 5, al número se le multiplica
por 2 y el resultado se divide entre 10, es
decir, se cancela un cero o se corre la coma
decimal un lugar hacia la izquierda.
Ejemplo:
1. 385 385 x 2 770
= = — =77
5 10 10
2. 32140 32140 x 2 64280
= = = 6428
5 10 Hí
3. 4318 4318 x 2 8636
= = = 863.6
5 10 10
Para practicar:
1. 8125+5= ……………….. .
2. 94540 + 5 = ……………….. .
3.71853+5= ……………….. .
Si deseas, puedes hacer un método práctico para
dividir por 25, utilizando la misma idea que en los
casos anteriores.
MULTIPLICACiÓN POR 11
Ejemplo 1
r—-,1 er paso
1 \
=>@1)x 11 =®.L® lf j6do paso
3er paso
Ejemplo 2
3124 x 11 =? beP
1 \1°
=>Ql 1 2@ x 11 = (]) d- J- ,§,@
\1\1\1
+ + + = 6
=3
=4
I.IJ 1m ni l! lIJ l.li\.1l
Sigue el procedimiento, según el orden que
se indica.
Ejemplo 3
8572 x 11 =?
Operando te”,n.;..:e:..;.m,,-o:….:s,,-: ___ -, 1- \1°
=>®57(1)x11 =®d–6.~(1)
\1\1\1
+ + + = 9
=12
=13
I.IJ I “H1ilM llJ Il~lI
Como se observa, cuando la suma parcial
de 2 cifras resulta un número de 2 cifras
(ejemplo 5 + 7 = 12), se coloca la cifra de
las unidades y se lleva la otra cifra para
adicionar en el resultado del paso siguiente.
Ejercicios:
1. 79 x 11 = 8
2. 4599 x 11 = -5 –5 —
3. 790047 x 11 = 8 o 7
4. 9876543 x 11 = —-6 —9 —
¿ Tienes curiosidad por conocer ¿cuál es la regla
práctica para multiplicar 111 x 1111, .. , etc?
iAverigualo! como sugerencia utiliza un ejemplo
en forma similar al que se utilizó en la
multiplicación por 11
MULTIPLICACiÓN POR 9, 99, 999, 9999,
Deduzcamos el procedimiento a partir de un
ejemplo:
~x~ = 374(100
1
-1),= ,34íOO’- 347 = 34353
Nos damos cuenta de que efectuar una sustracción
es más fácil que multiplicar.
Entonces:
www ))fatematical .com
Para multiplicar cualquier número natural (N)
por otro número natural que está formado
íntegramente por cifras 9, al otro número (N)
hay que agregarle a su derecha tantos ceros
como cifras nueves hay, y al número que
resultare le restamos el mismo número (N).
Es decir:
N x 99 oo. 99 = Noo … 00 -N
‘—-v–‘ ‘—-v–‘
“n” cifras “n” cifras
N representa a cualquier número natural
Ejemplo 1
Calcule 21 x 14
8 1
21×14= … ?~ ~
,—A–,
Regla Práctica
Ejemplo 2
Calcule 23 x 21
8 + 1
x(X2x
(FI~L) (1 CIO)
1°3×1=3
Ejemplos: www ;11atematical .com ~ 2+6
2° 2×1 +2×3=8
3° 2 x 2 = 4
1. 123 x 99 = 12300 -123 = 12177
2. 746 x 9999 = 7460000 – 746 = 7459254
3. 3785 x 999 = 3785000 – 3785 = 3781215
4. 844371 x 99999 = 84437100000 – 844371
= 84436255629
Ejercicios prácticos:
1. 87 x 99 = ……………… .
2. 23 x 9999 = ……………… .
3. 501 x 999 = ……………… .
4. 1007 x 99999 = ……………… .
MULTIPLICACiÓN DE 2 NÚMEROS DE
2 CIFRAS CADA UNO
Deduzcamos el procedimiento del ejemplo
siguiente:
Producto de las
cifras de las
decenas (2 x 1)
~x
..
2:3:
2f6
~ ‘1·’ ~ Producto de las
cifras de las
unidades (3 x 2)
Suma de los (2×2) + (1×3)
productos en aspa
Apliquemos nuestras deducciones en los
siguientes ejemplos:
Ejemplo 3
Calcule 41 x 12
1°1×2=2
2°4×2+1×1=9
3° 1 x 4 = 4
Si en una o en más de las operaciones parciales
resulta un número mayor que 9, dejamos la
cifra de las unidades y llevamos las cifras
restantes para la siguiente operación.
Por ejemplo: 64 x 43 = ?
18-“,~16
24 =( x~ = 1 [2J
VliliJ ~
1 ~18+ 16+ /3~
~24+3=27
Practica:
1. 34 x 46 = ……………. ..
2. 53 x 67 = ……………. ..
3. 87 x 77 = …………….. .
4. 98 x 93 = ……………. ..
EMPLEO DEL COMPLEMENTO
ARITMÉTICO (C.A.)
Para realizar algunas multiplicaciones. si nos
preguntasen cuánto le falta a 4 para ser 10,
responderíamos inmediatamente que 6; y si
consideramos el número 941, ¿cuánto le falta
para ser 100? pues 9 ¿verdad?; y ¿cuánto le
falta a 885 para ser 1 OOO?, es claro que le falta
115 y podríamos seguir así con más preguntas
de este tipo, es decir calculamos la cantidad
que le falta a un número para que sea igual a
una unidad del orden inmediato superior.
Lo que hemos realizado empíricamente es el
cálculo de complementos aritméticos.
¿QUÉ ES UN COMPLEMENTO ARITMÉTICO?
www¡)fatematícal .com
Se denomina complemento aritmético (CA) de
un número natural a la cantidad que le falta a
dicho número natural para ser igual a una unidad
del orden inmediato superior.
Ejemplo:
Halla el CA de 748 y 5136
Resolución:
1.
11.
CI3~2~1Jo~I– orden
1 O O O
__ 7H4~8~== número dado
252 C.A.
CA (748) = 252
[1 4U3J2U1 ]0]-1– orden
100 O O
5 1 3 6 — número dado
4864 CA
.. CA (5136) = 4864
FORMA PRÁCTICA PARA CALCULAR EL C.A.
DE LOS NÚMEROS NATURALES
A partir del menor orden se observa la primera
cifra significativa, la cual se resta de 10 Y las
demás cifras se restan de 9. Veamos algunos
ejemplos:
Ejemplos:
Calcula en forma práctica del CA de:
1. 748
11. 5136
111. 7040
IV. 9986
Resolución:
9 9 10
1. CA (7 4 8) = 252
. I 1 ’11
9 9 9 10
11. CA (5 1 3 6) = 4864
L…-‘C :::tl=tl gJJI 11′
9
111. CA (7
9 10
O 4 .Q) = 2960
9 9
IV. CA (9 9
~
9 10
8 .§) = 14
\..J
Utilicemos ahora el CA para calcular algunas
multiplicaciones. Los factores son muy cercanos
a una potencia de diez.
Ejemplo 1
Calcula el resultado al multiplicar: 992 x 991
Resolución:
10 Paso: Calculamos los C.A. y los
multiplicamos. Al resultado le hemos
colocado un cero en el lugar mostrado
para que su número de cifras sea igual
al de cada uno de los factores.
992 x 991 = …………….. 072
.I …I .. :f .,’ .’ (~::~.::::~) ………….. .
2° Paso: Restamos de uno de los factores el CA
del otro factor. Podríamos tomar por
ejemplo el factor 992 y restarle 9 (que
es el CA de 991).
992 x 991 = 983072
A9~
El producto será: 983072
Ejemplo 2
Calcula la suma de las cifras del resultado de:
999987 x 999993
Resolución:
1° Paso:
E = 999987 x 999993 = ……………. 000091
, ….. 1. ……………… 1.. . , ~
: 13 x 7 : ……………….. ..
•.•……………………..• ~
Al resultado le colocamos 4 ceros para que su
número de cifras sea igual al de cada uno de los
factores.
2° Paso:
E = 999987 x 999993 = 999980000091
,~
7
Entonces el producto será: 999980000091
Nos pide la suma de las cifras:
9+9+9+9+8+9+1 =54
Ejemplo 3
Calcula la suma de las cifras del producto de:
99986 x 99989
Resolución:
Esa vez haremos el cálculo de manera directa
integrando los dos pasos descritos:
99986 x 99989 = 9997500154 b ! 1- ( 1~ x “i)1 ~m.mt/
El producto es: 9997500154
Nos pide la suma de cifras:
3(9) + 7 + 5 + 1 + 5 + 4 = 49
Ejemplo 4
Calcula el producto de las cifras de la suma de
cifras de A.
A = 9999984 x 9999988
Resolución:
9999984 x 9999988 = 9999972 0000192
~ . …J … ¿ / L….1 .. 9. …. .!S. …………………… 1.? .. ; …………….. !
:. A = 99999720000192
Suma de cifras de A = 66
Nos pide: 6 x 6 = 36
CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS
Si tomamos como base el criterio práctico de
multiplicación de dos números, cada uno de dos
cifras anterior, podemos deducir un
procedimiento sencillo para este caso.
Analicemos un ejemplo:
(13)’= 13×13=??
1 I L.1°) Cuadrado de la cifra de las unidades: 3′ = 9
2°) Doble del producto de sus cifras: 2(1×3) = 6
3°) Cuadrado de la cifra de las decenas: F = 1
Hagámoslo más práctico en los siguientes
ejemplos:
Doble del producto: 2(2×1)
;::: ¡
(21)’=441
I L-I t
L……8lcuadrado
Al cuadrado
Doble del producto: 2(4×1)
;::: ¡
(4 1)’ = 1 6 8 1
I lIt
Al cuadrado
Al cuadrado
En caso de que algún producto parcial obtenido
en el procedimiento resulte mayor que 9,
dejaremos la cifra de las unidades y llevaremos
las cifras restantes a la siguiente operación. Por
ejemplo, si en un producto parcial obtienes 2,
entonces dejas 5 y llevas 2; ó si te sale 137,
dejas 7 y llevas 13.
Ejemplos:
1. (§.5\’ = l.Q2 5
1:0′ tx6
Ejemplos: www¡)fatematícal .com 2. (1f~)’ = T L2
2(4 x 3) =~4
;:: +
(43)’ = 1 849
1
I – t
L-. ——Ir 3′ – 9
4′ +~= 18
Para que practiques:
1. (34)’ = ………………..
2. (52)’ = ………………..
3. (86)’ = ………………..
4. (93)’ = ………………..
5. (35)’ = ………………..
10
) 21 x 8) +®¡ Imo
2°) (98)’ = 96 O 4
1 – t
1 18′ =@4
30) 9′ +Im= 96
CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA
EN LA CIFRA 5
Deduzcamos una regla práctica a partir de los
siguientes ejemplos:
(15)’= 225 1- t- (25)’ = 6 25 1- t- (35\’ =@2 25
( tx2
x3 x4
Nos damos cuenta de que un número que termina
en cifra 5 al elevarse al cuadrado, su resultado
siempre terminará en 25, y que las cifras restantes
del resultado se obtendrán de multiplicar el número
(sin tomar en cuenta la cifra 5) por su consecutivo
inmediato superior.
Es decir:
(m)2 =.:&:’25 1- ¡-
.(N + 1)
x11
3. (785)’ = 6 1 6225 T- fx79
4. (9995)2 = 99900025 T- fx1000
Para practicar:
1. (85)’ =
2. (235)’ =
3. (555)’ =
4. (1005)’=
ALGUNAS OPERACIONES BÁSICAS CON
FRACCIONES
a) Adición y sustracción
v= 3×5 +2×4 = z:j’ 4×5
x
56 -12
21
~.7′ = 55 + 42 O’ 66
x
44
21
97
66
1 + 2 3 x 1 + 2 5
= =
3 3 3
-,::
4 – -5= 32 – 5 =2-7
8 8 8 -,::
13+ 7 65 + 7 72
= =
5 5 5 -,::
b) Homogenización de denominadores
1..+..1 = 2(2) +..1=’±+..1=~
3 6 3(2) 6 6 6 6
1… _ ~ = .lliL.2 = 28 _ -ª- = 23
2 8 2(4) 8 8 8 8
1..+ 1…=l@l + lill = ~+ 35 = 41
5 3 3(2) 3(5) 15 15 15
l.._ ..l=l..@ _ Jill =.:!..2._ -±- = 11
4 5 4(5) 5(4) 20 20 20
c) División
x@~i _ ‘–.2.. – J..2sl.._l.. 2 x2 – 4
3
extremos y medios)
2
2 1 2 x 5
— =– =– =10
1 1 1 x 1
5 5
2 2
3 3 2×1 2
–=–=–=-
7 7
1
3 x 7 21
PROBLEMAS RECREATIVOS
1. Forma los números: 1, 2, 3, 4, 5 con 3 cifras
“cinco”. Te mostramos 2 ejemplos:
1 = (~ r =1F
= 55 – 5
5 + 5
2 = — =
5
3 = ………………….
4 = ………………….
5 = ………………….
2. Coloca convenientemente los paréntesis y
los símbolos +; -; x; +, sobre las líneas
punteadas para obtener los resultados dados
Ejemplo:
(3 x 3 x 3) + 3 = 9
3×3+3+3=10
Ahora, hazlo tú:
a. 3 ….. 3 ….. 3 …… 3 = 1
b. 3 ….. 3 ….. 3 …… 3 = 2
c. 3 ….. 3 ….. 3 …… 3 = 3
d. 3 ….. 3 ….. 3 …… 3 = 4
e. 3 ….. 3 ….. 3 …… 3 = 5
f. 3 ….. 3 ….. 3 …… 3 = 6
g. 3 ….. 3 ….. 3 …… 3 = 7
h. 3 ….. 3 ….. 3 …… 3 = 8
( PROBLEMAS RESUELTOS)
PROBLEMA 1
Indica cuál es el exponente de b” en la siguiente
3
expresión E = b’
Solución:
Muchos pensarán que la respuesta es 3.
Pero recuerda que no es lo mismo:
En este caso,
el exponente de
b’ si es 3
Aplicando conceptos básicos de leyes de
exponentes nos daremos cuenta que la
respuesta es otra. Veamos:
El exponente de b’ es b’
PROBLEMA 2
Si: (x + y + z + w)’ = 4(x + z)(y + w)
Calcula:
3X- Y+3Z-WJ x-3y+z-3w
M= 3
Resolución:
El problema parece ser operativo, pero si
observamos bien la forma que tiene, nos daremos
cuenta de que tiene una particularidad:
M
3x+ 32:- Y -w J3X + z – 3y -3w
Vemos que en el problema aparecen x + z y
“y + w”. Por tanto para facilitar las operaciones
hagamos un cambio de variables:
………………… . ……………… ..
¡x+z=a¡ y ¡y+w=b¡
……………….. “” “‘ ……………… “”
3(x + z)-(y + wV (x + z)-3(y +w) 3a- b ~
M = 3 =—..,3
Del dato:
b .——–.. (x + y + Z + w)’ = 4(x + z)~ + .)….1. (a + b)’ = 4ab
~ t….f ….” ‘—v-‘
a a b a2 + 2ab + b2 ::: 4ab
Entonces en M:
a2 _ 2ab + b2 ::: O
‘—-v—-‘
(a·b)’=O
a – b = O
….1. a=b
….”
:.M=~ W=3·’=..l.
3
Otro método
Si asignamos valores adecuados a las variables
para que se cumplan las condiciones del
problema, entonces estos mismos valores darán
la respuesta de lo que se pide. Así, para el
problema podemos considerar: x=1; y=1; z=1;
w=1
Veamos si estos valores satisfacen la condición
inicial:
(x+y+z+w)’ = 4(x+z)(y+w) e¿ 4′ = 4(2)(2)
jjjj jjjj
111 1 1 1 1 1
iSí cumple!
….a… 3X- y+3Z-WJ x-3y+z-3w
….”M = 3
3-1+3-1~1
= —–..,3
M
3(x + z)-(y + wV 3 (x + z) – 3(y + w) :\/.’ . 1 4r4 ., 1 www ./rlatematICa .com M — -V 3 — 3 — -3
PROBLEMA 3
Efectúa y da como respuesta la suma de cifras
del resultado:
A = 25 + 2525 + 252525 + + 252525 … 25
37 3737 373737 … 373737 … 37
~’————–V,————;I
111 sumandos
Solución:
Antes de iniciar con los cálculos debemos analizar
minuciosamente el problema y ver qué
particularidad presenta. Nos damos cuenta de que
en cada fracción la cantidad de cifras del numerador
y el denominador es la misma y presenta la misma
característica (repetición de cifras). Si analizamos
los numeradores, obtendremos.
• 25 = 25 x 1
101
~
• 2525 = 2500 + 25 = 25(100 + 1) = 25 x 101
• 252525 = 250000 + 2500 + 25
= 25(10101)
• 25252525 = 25(1010101)
En general
• 252525 … 25 = 25(10101 … 01)
Del mismo modos podemos analizar los
denominadores
Luego:
A= 25×1 +~+ 25×1
37 x 1 ~ 37 x 1 .. 01
~-,————~v-·- ———–~I
111 sumandos
25 +3’7
~’——–~V,——–~I
111 sumandos
=* A=111(~~) = 3(25) = 75
Sei!ras = 7 + 5 = 12
PROBLEMA 4
Calcula: a + b, si:
(1 x 3 x 5 x 7 x …………. )’ = ……….. ab
‘——.,v——–‘
1999 factores
Solución:
ObStnilclóD:
“Cuando se multiplica un número
por S, el resultado termina en
cero o termina en 5″
Así:
5 II (número impar) = ….. 5
5 II (número par) = ….. O
También, recuerda que todo número que termina
en 5 al elevarlo al cuadrado su resultado
terminará en 25. Se representa así:
( …….. 5)” = …………… .25
Donde: n :> 2( n E Z’)
Entonces:
(1 x3x@x7x9 …. ) = … ab
t t t tt
impares
(@ x impar)’ = ~
( ………….. 5)’ = ~
………….. 25 = … ab tt 1I
a+b=2+5=7
ObStnilclóD:
El producto de dotl número. Impares origina
como resultado otro número también Impar.
1 x 3 x 7 x 9 x …. = un número Impar
, I
f
Impares
PROBLEMA 5
Si: x – y = y – z = V6 ‘ calcula el valor de:
(x – z)’ + (y – z)’ + (x – y)’
A = -‘—-‘–“—‘–‘–…;..;….
66
Solución:
En la expresión A ya conocemos a x-y y y-z, pero
falta conocer x-z.
x-Jf=~, +
Jf-z=V6/
x-z=2V6
Reemplazando:
[2~’sJ[\f6J+[\f6J 2′ x 6 + 6 + 6
A = 66 = 66
66 x 6
=
66 .. A= 6
PROBLEMA 6
Halla: x + y, si: vx -.yy = 2
x – Y = 16
Solución:
Una forma de resolver el problema sería operando
algebraicamente; pero como las cantidades
numéricas son pequeñas, con un simple análisis
llegaremos más rápido a la solución.
1. ..¡x -.,¡y = 2, resultado entero =>..¡x y.,¡y
son también enteros yen conclusión x e y
son cuadrados perfectos; es decir, tienen
raíz cuadrada exacta.
11. Según el dato, busquemos dos cuadrados
perfectos cuya diferencia sea 16.
(x – y = 16).1, 4,@, 16, @, 36, 49, …
…….1.,. y I y = 9 I
Verificando en (i) :…[25 -V9 = 2···icumple!
:. x + y = 25 + 9 = 34
PROBLEMA 7
Calcula el valor de ‘-fX ‘ si x E Z’ Y además
2x’ + 4 + 2…J 2(2 + x’) = 48
Solución:
Al igual que el problema anterior, como el valor
numérico es pequeño, analizar resulta más rápido
que operar. Veamos:
cuadrado
perfecto
~
2(x’ + 2) + 2…J2(x’ + 2) =
I I
48 = 36 +2~
T T
2(x’ + 2) = 36 ::; x’ + 2 = 18 ::; x’ = 16
::; x = 4 (x E Z’)
PROBLEMA 8 1
Si: x +…!. = 2
x
Halla: A + B, si:
A = XlI} + X
19 + X
18 + … + x3 + X2 + X
B = x·20 + X·19 + X·18 + .,. + x·3 + x·2 + x·1
Solución:
Hagamos lo posible por evitar las operaciones,
simplemente analicemos nuestros datos asi:
1 + 1
~ 1″‘
x+-=x 2″””….”,. x=1
A = x” + X 19 + … + X2 + X = 1 + 1 +. . + 1 + 1 = 20
\ I v
20 sumandos
B = x'” + x·19 + … + x” + x” = 1 + 1 + … + 1 + 1 = 20 , I v
20 sumandos
A + B = 20 + 20 = 40
PROBLEMA 9
Si: …¡x + _1 =-{7 …¡x
Halla:
Solución:
x’ +_1_
x’
En este problema no podemos hacer lo mismo
como en el anterior, (dar un valor adecuado a x),
puesto que el valor de ~ no es un número
entero. Entonces, elevando al cuadrado, tenemos:
[…¡x+~r= [~r
[…¡xr + 2[…¡xJ[~] + [~ r = 7
x+2+ =7
x
….,….. IX+¿=51 ………….. (*)
Recordemos:
(a+b)S = a3 + 3a2b + 3a1J2 + b”
(a+b)S = a3 + b” + 3ab(a+b)
Elevando (*) al cubo obtendremos lo que nos pide:
[x +~r = 5′
x’ +[~]\ 3(XHH x +~] = 125
‘-r—‘ ‘—,,-‘
3 5
1 x’ + – = 125 – 15 = 110 x’
PROBLEMA 10
Se tiene: x’ + x~ = 14
Calcula. E = x – x”
Solución:
Este problema es el caso contrario anterior;
porque, no vamos a trabajar directamente con el
dato, sino vamos a trabajar con lo que nos pide E.
Entonces, elevando al cuadrado E tenemos:
.”.”.”.,”. E2 + 2 = X2 +
1
X2
1 x2 -2x+X2
Luego elevando nuevamente al cuadrado ambos
miembros: n …
1 1 1 …. :1′, \E’ + 21′ = (x2 + X2 )’ = (X2)’~)+~)’=:.)(~':+ 2 +~ .. X4)
I I ··.··1
(@) + 2)’ = 16
L 2 =* E2 = 2{E =~M [~~~U~i~~~sJ
E = – ’12
PROBLEMA 11
Si: ………. 3518 .;- 9999 = abcd
I
l’ E _ 5[ a x b x c x d]
Ca cu a. – a + b + c + d
Solución:
………. 3518 .;- 9999 = abcd
— …… — …….. 3518 – abcd “‘T abcd x 9999 = ……. 3518
9999
Nos damos cuenta de que se trata de una
multiplicación cuyo número está formado por
cifras “9”. Entonces:
k abcd x 9999 : ……… .
abcdOOOO – abcd – ……… .
Ordenando en columna:
abcdOOOO –
abcd
3518
6=a –111 1 d=2
4=b c=8
Reemplazando:
3518
3518
E = 5[6 x 4 x 8 x 2] _ ~[6 x 4′ x 8 x 2]
6+4+8+2 – 2rJ
= 6 x 8 x 2 = 96
PROBLEMA 12
Simplifica: E = 3 256 x 264 + 16 x2
123×137+49 fr
Solución:
Si procedemos a desarrollar las operaciones, va
a resultar algo complicado el problema. Al
observar tenemos:
-4 +4
~ … ~
256 = .. ~~9.': 264
luego:
d +7
,r~ … ~
123 = .. P9.': 137
E = 3 (260-4)(260+4)+42 x2
(130-7)(130+7)+72 fr
La idea de este problema es utilizar la diferencia
de cuadrados. Recordemos:
Entonces:
E =
Io
Solución:
De la primera condición:
‘Py 8 8
y” Y = x” …… 3 3(x+y)
~ ….,.~;;;; X =x
LI ___ —-11
Reemplazando el ‘y’ en la segunda condición
obtendremos:
[
8 J2 8 2 x.·Y = yn ::; x .. •y = X 3(x+y) 3 . X 3(x+y) X”‘3
Recuerda: “En ecuaciones, si las bases son iguales,
entonces los exponentes también son iguales”
=.j(+y,:
,.. .. 16 .. ··
_ ~ 9(x+y).~ x – x· …….. ·
(x + y)’ =~
9
x + y = ~
16
~ x + y = 9(x+y)
PROBLEMA 15 nr—-
Determina el valor de:
A=
Solución:
En la expresión observamos:
n
A= x
(~~”: ~
:. ~~f:”. “T A ………. .’
x
“~”T A-_:¡-¡x
A
(elevando a la n)
An = ~ ~ A”. A = x
A
A =nYx
PROBLEMA 16
Calcula: a + b, si:
a =
Solución
Primero: a = 1 + ,hh.{2.:’.
a –
a – 1 = -/2 ( a – 1)
(a – 1)’ = 2(a – 1) ; a ‘* 1
(a – 1)~= 2~
a – 1 = 2 =* a =3
Luego:
= ~6 q~)~~::.–; ………. .
._—–~.~.~.}.:
b – 3
b . 3 =,¡ 6(b-3)
(b – 3)’ = 6(b – 3) ; b ‘” 3
(b . 3) (tv1í = 6~)
b – 3 = 6
.. a + b = 3 + 9 = 12
PROBLEMA 17
Simplifica: E = (V16 + V54 + V128)’
Solución:
Desarrollar el trinomio al cubo seria demasiado
operativo. Observando detenidamente el problema,
obtenemos:
2 3
:. E = 93 X 2 = 1458
PROBLEMA 18
Si x = if2, halla:
,..4,.. .,
M = [.,f 1 + (x + 1 )(x’ + 1 )(x – 1 )(x’ + 1 )]3
Solución
Si observamos detenidamente veremos:
M = [.,f 1 + (x + 1 )(x2 + 1 )(x – 1 )(x’ + 1 )]3
‘–y-J
(x2
• 1′)
M = [.,f 1 + (x2 – 1 )(x2 + 1 )(x’ + 1l
‘–y-J
(X2)2 _1 2
PROBLEMA 19
Halla el valor de:
E =.,f (7000)’ – (6999)’ . (6999)2·7(6999)(10)’
Solución:
Resultaria muy operativo elevar al cubo y al
cuadrado los números; pero si factorizamos
adecuadamente, obtendremos:
E =.,f (7000)3 – (6999)3 – (6999)2 – 7(6999)(10)3
E =.,f (7000)3 – [(6999)3 + (6999)’]- 7(6999)(10)’
E =.,f (7000)’ – (6999)'(6999 + 1) – 7(6999)(10)3
E =.,f (7000)’ – (6999)'(7000) – (6999)(7000)
E =.,f (7000)’ – (6999)(7000)[6999 + 1]
E =-! (7000)’ – (6999)(7000)(7000)
E =-! (7000)’ – (6999)(7000)’
E =-! (7000)'[7000 – 6999]
E =-! (7000)’ x 1 = -! (7000)’
:. E = 7000
PROBLEMA 20
Solución:
Hay que relacionar lo que se nos pide con lo que
se nos da como dato. Planteando:
Del dato:
1 1 1 1
-+-+-=-
a bcd
1 1 1 1
-+-=—
a b d c
b+a c-d
“”””81J – “””(jC
b+a -(d-c)
— – — :::; (b + a)dc = -(d – c)ab
ab dc
Reemplazando en @
-(d-c)ab
~
E = 2 f~”~’DH~~
-~
E = 2 x ……. E = -2
~….,
PROBLEMA 21
Calcula: A’ + 1
4 1+2+3+ … +n
A = (2 X 2′ x 2′ x 2 x … x 2″ )
Solución:
Recuerda: “Cuando se multiplica, si las bases son
iguales, entonces los exponentes se suman”
A= (211-21″31- …… “) 1 +2+3+ … +n
nt x 1 ó! a A= 2
.. A’ + 1 = 2′ + 1 = 5
PROBLEMA 22
Si V3 = vx: halla x
Solución:
Si a una expresión cualquiera le sacamos raíz
n-ésima y la elevamos a la potencia n-ésima, la
expresión no varía. Así:
~NO varía porque laj
A = VA’ raíz y el exponente
pueden cancelarse
Ahora saquemos raíz cúbica y elevamos al cubo,
para que no varíe:
comparando: .. x = 27
PROBLEMA 13
Si ~ + b = 18, calcula:
b a
Solución:
:~r: :. .’.l./.x.. ..:
a-b
..fab
Partamos del dato y demos la forma de la
expresión que buscamos:
a b a’ + b’
– + – = 18 ~ = 18
b a ab
r2~16ab
1)’ = 18ab
~ a’ – 2ab + b’ = 16ab
(a – b)’ = 16ab ~ a – b =.y16ab
~ a – b = 4.yab
a-b
.yab
PROBLEMA 24
Si x = 0,1′ + 0,2 x 0,9 + 0,81
xy = 5-‘
halla x + y
Solución:
2(0,1) (0,9)’
,——A——, ,——A——,
x= 0,1′ + 0,2xO,9 + 0,81
4
x = (0,1)’ + 2 x (0,1) (0,9) + (0,9)’
\ v
Trinomio cuadrado perfecto
x= (0,1 +0,9)’= 1’= 1
Reemplazando en el 2do_ dato:
xy = 5-‘ ~ (1) _ y = 5-1
1 6
x+y=1+-=-
5 5
PROBLEMA 25
Calcula a + b + c
1
~ y=-
5
99 cifras 98 cifras 97 cifras 96 cifras
__ r–“—-. r—–‘—-, r—–‘—-, r—–‘—-,
… abc = 999 … 99 + 111…1 + 99 … 9 + 111…1 + …
+999+11+9
Solución:
Ordenando dichos sumandos en columna:
99 e”tras
99
sumandos
9 9 9 9
1 1 1
9 9 ;;;~1~1~1 +
9 9 9 9 9 9
111111
: : . . .: (98 términos)
9 ; m~; ~ (49 parejas)
9 9 9
1 1
9
:. a + b + C = 2 + 9 + 9 = 20
PROBLEMA 26
Calcula la suma de cifras del resultado de A + D
A= (Log1 + Log2 + Log3 + .. + Log100)(1′-1~X’·-18·IV17″ … (1~-1’1
D = 999 x 1000 x 1001
Solución:
Para resolver A, debemos tener en cuenta su
exponente. Éste es igual al producto de diferencia
de cuadrados de números que suman 20.
(20) (20) (20) (20) f+\ f+\ f+\ f+\
(1′ -19′) (2′ – 18′) ……….. (10′ – 10′) ……….. : ~
A= (log1 + log2 + log3 + … + log100)
Vemos que hay un factor que es igual a cero: (10′ – 10′)
Por lo tanto, el exponente de A es igual a cero.
Luego:
A = (Log1 + Log2 + Log3 + … + Log100)’ = 1
D = 999 x (1000 + 1) x 1000
= (999000 + 999) x 1000 = 999999000
:. A + D = 1 + 999999000 = 999999001
Suma de cifras: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 55
PROBLEMA 27
Si 0,00″ .091 = 91 x 1 O””, halla x + 30
‘—v—-‘
23 cifras
Solución:
91
0,00 … 091 = – = 91 X 10′”
‘—v—-‘ 1 O”
22 cifras
iguales
~
91 x 10′” = 91 x 10″”
=>x-10=-22 =>x=-12
:. x + 30 = – 12 + 30 = 18
PROBLEMA 28
Halla la suma de cifras del resultado de
A = 7777777 x 999999999
Solución:
Sabemos que:
abc x 9999 = abcOOOO – abc
‘–“””” ‘–“”
=> 7777777 x 999999999 => 77777770-0-0000000 – 7777777 7777777000000000 –
7777777
= 7777776992222223
Por lo tanto, la suma de cifras sería:
7+7+ … +7 +6+9+9+2+2+ .. +2+3
~ \ vr–J
6 veces 6 veces
= 42 + 24 + 12 + 3 = 81
PROBLEMA 29
Si 2x + y + Z = O, calcula el valor de A
A= [x+ YJ[x2:~:YzJ2x1999″X2
x + z.J
Solución:
Como la parte del exponente es sumamente
complicada, analicemos solamente la base.
Se sabe que 2x + y + Z = O => Y = -2x – z
x + y _ X + (-2x – z) _ -x – z __ (x + z) _
— —- —-1
x+z x+z x+z x+z
Reemplazando: /”” par
[x+ y+zJ2 – ‘¡’}
2 3 x 1999″” x 2 El exponente es Z+ y par A= (-1) x+ y
:. A = (-1)'”‘ = 1
PROBLEMA 30
Se sabe que a es par, b es impar y c es igual a
cero. El resultado de A, ¿será par o impar?
A = 1999 x ab2 x ba x (a + b + ac)’ x b
Solución:
ObSl:nilClón:
Reruerda que:
1. (nIúmmpearro ) + (núpmaer ro) = (número)
Impar
EJemplo: 3 + 2 5
n. (nIúmmpearro )+(nIúmmpearro ) = (n<:ro) EJemplo: 7 + 5 12 IJI. (nI.úmmpearro )x ( núpmaer ro) = (n<:ro) Ejemplo: 3 x 2 6 1\1. (n!n;o)x(n:n:) = (n:n~o) E,iemplo: 9 x 5 45 impar par - - ~= A = 1999 x ab2 x ba x (a + b + ac)' x b im~ar im~ar : fi!ri '------r-' im~ar impar A = par PROBLEMA 31 Si A = 1 + .y3 +...¡s +...¡i5 B = 1 -...[3 -...j5 +fi5 Calcular A x B Solución: A = (1 +..¡i5) + (.y3 +...j5)'1 x B = (1 +..¡i5) - (...J3 +--/5)" Ax B = (1 + --Ji5)2 - (-.J"3 +...j5)2 AxB=(1+2~+15) - (3 +2..¡:?+5) "AxB=8 PROBLEMA 32 Calcula la suma de cifras de: A = (11111 ... 1113)2 - (11111 ... 1111)2 \ v I \ v I 100 cifras 100 cifras Solución: Diferencia de cuadrados r~--------~A~--------~, A = (11111 ... 1113)2 - (11111 ... 1111)2 '~--~vr--~J '~--~vr--~J 100 cifras 100 cifras suma diferencia I A~ _ ~, I A~ _ ~, [ 11111 ... 1113 +] 11111 ... 1111 [ 11111 ... 1113 -] 11111 ... 1111 A = [22222 ... 2224] [ 2] =.- A = (22222 ... 2224) x 2 = 44444 ... 4448 \ J \ J V V 100 cifras 100 cifras Sei!ras = ~ + 4 + 4+ 4 + 4 + ... + 4 + 4 + 4 + ~ v 99 cifras = 4(99) + 8 = 404 PROBLEMA 33 Si y.,¡x + 8 - y.,¡x - 12 = 5, halla M = y.,,¡x + 8 + y.,,¡x - 12 Solución: Una primera línea ideal sería hallar "x" a partir del dato; pero si nos damos cuenta de que en él se nos da la diferencia y se nos pide la suma, entonces vamos a multiplicar a ambos, recordando además que: Así: (a - b) (a + b) = a2 - b2 y.,¡x + 8 - y.,¡x - 12 = 5 ) x y.,¡x + 8 - y.,¡x - 12 = M [y.,¡x + 8r- [y.,¡x - 12J = 5M [-¡: + 8] - [-¡: - 12] = 5M =.- 20 = 5M :. M = 4 PROBLEMA 34 Calcula el valor de 3 (1025 x 1023 + 1) x 9 x 111 E= 32' x 37 Solución: -1 +1 Veamos lo siguiente: ~ ... ~ 1023 : .. ~~?~.~ 1025 3 [(1024 + 1) (1024 -1) + 1] x 9 x 111 E= 32' x 37 E= [(1024)2 - 12 + 1] x 9 x 111 32' x 37 3 (1024)2 x 9 x 111 3 (210)2 x 9 x 111 E= = 32' x 37 (2')' x 37 E = 3J 9 x 111 = ~9X3 = 3 37 PROBLEMA 35 1 Si ~n 7' = 4, calcula 1~n 4 Solución: 1 Recuerda que no es lo mismo ~n 7 0 (aquí el 4 exponente sólo afecta a n) que[: n ]±O (aquí el exponente afecta todo) Luego, 1 1 -o -n 4 = 4 4 .!l => n 4
4 n
=16 => Tn =16
Sacamos raíz cuarta a todo para obtener lo que
se nos pide:
~6 r:::- n
Vn = 2
PROBLEMA 36
Calcula el valor de
16 r——–::—-:-:–
A = V 3 x 5 x 17 X (2′ + 1) (218 + 1)
Solución:
Vemos que en una parte del problema aparecen
potencias de 2, así que a todo le damos la misma
forma:
A = V 1 x 3 x 5 x 17 X (2′ + 1) (216 + 1) + 1 (2q
(2′ + 1)
(22 + 1)
(2′ + 1)
=> A=V(2-1)(2+1)(22+1)(2’+1)(2’+1)(1216+1) + 1
~)¡/
(2’_1 )(2’+ 1)
~
(2’_1 )(2’+1)
~
(216_1 ~(216+/1)
(2″-1)
A = V (2″ – 1) + 1 = V 2″ = 22 = 4
PROBLEMA 37
Calcula la suma de cifras del resultado de:
E = (777778)2 – (222223)2
Solución:
diferencia de cuadrados
___ –‘A’-__ __. r – ,
E = (777778)2 – (222223)2
suma diferencia
,….—-A—– ,….—-A—–
E = [777778 +] [777778-1
222223 222223 J
E = (1000001) x (555555)
E = (100000 + 1) x 555555
=> E = 555555000000 + 555555
E = 555555555555
Sumacifras = 5 + 5 + 5 + … + 5 = 12(5) = 60
” V J
12 cifras
PROBLEMA 38
Si:
A=_3_+_7_+~+ … + 39 + 43
1 x 2 3 x 4 5 x 6 19 x 20 21 x 22
y
B = _5_ + _9_ + ….:!.l.. + … + 41 + 45
2 x 3 4 x 5 6 x 7 20 x 21 22 x 23
halla A – B
Solución:
r—-‘
Sabemos que
1 1 -+-
a b
,, b + a’,
, a x b, .. _–_.1
es decir, si vemos una fracción, donde su
denominador es el producto de dos números
y el numerador es la suma de ellos, entonces
esa fracción se puede descomponer en la
suma de dos fracciones cuyos denominadores
son dichos números.
Ejemplo:
7 1 1
• — = + 13+4=71
3×4 3 4
11 1 1
• — = + 15+6=111
5×6 5 6
Descomponemos cada sumando y restamos
miembro a miembro:
l;r···l·: ~i· ··l·: ~l· ··i·: A – B –:· -1+ :.+:. + :.+:. + : + ….. .
‘….. . . . . … ‘….. . . . . … ‘ ………. .-
…… + i~·.~.¿j + ¡A~.~.: ]-
[il· ··l·: ¡l· ··1·:- ¡l· ···Ir· < . + .+. + . . + . . ….. : ……….. : : ……….. : : ……….. : + ¡~.. . ;.~.. : + ¡r;·x:] …… : O 1: :12 23 : ” ………… ‘ ………… .. Restamos miembro a miembro: 1 1 23 – 1 _ 22 :. A- B = “1 – 23 = 23 – 23 PROBLEMA 39 ¿Cuál es el menor número que se debe multiplicar por 360 para obtener un cubo perfecto? Solución: primero vamos a descomponer a 360: 360 180 90 45 15 5 1 2 2 2 3 3 5 360 = 23 x 32 X 5 Vemos que en 350 hay un cubo (23). También está (32) y (5) que no son cubos, pero que multiplicándolos por un cierto valor se pueden volver cubos . Ejemplo: 5 para ser cu bo r;;¡ —–:——-+~ 53 = 5 x ~ le falta (52) para ser cu bo r.il 32 —–!=.:….:~.:..:.:..:…–+~ 33 = 32 X t.!J le falta (3) Por lo tanto hay que multiplicarlo por lo que le falta es decir, por 3 x 52; además para que siga siendo un cubo se le puede multiplicar adicionalmente por un cubo (1′ ; 23 ; 33 ; etc.); pero como se nos pide que sea mínimo, no lo haremos. : . Se le debe multiplicar por 3 x 52 = 75 PROBLEMA 40 ¿Por cuánto se le debe multiplicar a N para que tenga raíz cuarta exacta? (Da como respuesta el menor posible) N = 2′ X 5′ x 3 x 7′ x 11′ Solución ya tiene / raizcuadrada~ N = @X23X53X3X72 éj} xéj} l’~ “1,3′ ,p 24 = 23 xL~. j 34 = 3 x[~~:: 54 =53xis: 1 •••• 74 = 72 X !.~.: Se le debe multiplicar por 2 x 5 X 33 X 72 = 13230 PRACTICANDO 01 I 1. Se sabe que a – b = b – c = c – d = V5 Calcula el valor de: A) 1 B)2 C)4 D)6 E)-.J5 2. Halla: E =[~rX.1 si: 32x ~2X 16 = A) 1 B)2 C)~ D)O E)4 3. Si a + b + C = O Halla: A) 1 B)6 C) -2 D)O E) ~ 4. Halla 2x – 5 si: 0,00 … 001234 = 1234 x 10x ‘—-v—–‘ 23 ceros A) 48 B)30 C) -59 D)43 E) -40 5. ¿A qué es igual 3x + 2? si: ~~VX =w A)9 B)29 C) 30 D) 81 E)25 6. Resuelve: = 1,5 Indica el valor de E = _x2 + 2x – 5 A)-8 B)5 C)-13 D)-9 E)13 7. Si: b320 + b320 + b320 + … + b320 = 81 81 \. _—1 V 81 veces Halla: E = (b – 1 )(b-1) (b – 1) A)8 B)16 C)32 D)4 E)3 8. Simplifica: E = (3″ x 3″ x 3″ x … x 3″) x (2″ x 2″ x 2″ x … x 2″) \, V J \, v I n factores n factores A) 52″ B) 6n C) 5n D) 6″2 E) 6n2 9. Calcule x en: A)3 B)33 C)99 D)11 E)39 10. Resuelve: [ (1984(2016) + 25615 A= l (959)(1041) + 1681) A) 32 B)64 C)128 D)256 E) 1024 11. Si KENAR x 99999 = … 12345, Halla: (K + A + R + E + N) A) 28 B)29 C)30 D)31 E)40 12. Si: x(y – z) + y(z – x) + z(x – y) = O Halla y A) 1 B) 2 C)3 13. Si: X2 = 3x – 1; halla D)4 1 x’+x’ A) 27 B) 8 C)18 D)24 E) T.A. E)21 14. Halla el valor de x para que verifique: A)4 B)49 C) 81 D)100 E) 169 15. Si X2 + y2 = 20 Calcula K = (x + y)2 + (x _ y)2 A)20 B)40 C)30 D)50 E)~ 16. Un matemático tiene 3 números; luego los suma de 2 en 2 y obtiene otros tres números que son 13, 17 Y 24. Halla la semisuma de los dos mayores. A) 20,5 B) 15 C) 12 D) 24 E) 30 17. Si ~=~=~ y axbxc=27 b a c Calcula el valor de K=a+b+c A)3 B)6 C)9 D)12 E)18 18. Reduce E = (12345)2 – (12343)2 10′ + 2344 A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 19. Simplifica A)a B) a2 C) a/2 D)2b E)2a 20. Si (+)(+) = (-)(-), calcular el valor de: A = [ENERO + DINERO + MASA]5 ERA DIRA AMENOS A)81 B)64 C)246 D)O E) 243 21. Si ~ = i, calcula el valor de A = [(1-i)'” – (1 + ij””‘r”” A) 1 B) 2(2″) C) O D) 2″ E) -2′”” 22. Si [~J\ [~r = 731, M’ x – y Calcula L = Vx’ y’ A)±2 B)±3 C)7 D)±11 E)17 23. Halla K en: A) 1 B) 2 C) 3 D)5 E)7 24. Halla la suma de cifras de R: R = (10″ + 1)( 1 O” – 1) A) 630 8)540 C)360 0)270 E) 300 25. Si 3 = 1, calcula el valor de: 3 + 3 + 3 + … (8k + 10 veces) A = 3 + 3 + 3 + … (18k + 1 veces) A) 1 B)2 C)3 D)4 E)5 26. Si xY = y” ; x e y E T, x y, Calcula: (y – xrY ) A)2 B)4 C)16 D)32 E)64 27. Calcula la suma de cifras del resultado de E E = ” 1 x 3 x 5 x 17 x 257 + 1 A)6 B)12 C) 10 D) 16 E) 13 28. Calcula la suma de cifras del resultado de 60 cifras ~ A=..!l+ 1313 + 131313 + … + 1313 … 13 15 1515 151515 1515 … 15 A)6 B)7 C)9 29. Calcula el valor de x’ + 1 si: D)8 ‘——–v—– 60 cifras E) 10 2(5x’ + 15) + ~ 5(6 + 2x’) = 420 A)35 B)36 C)37 D)38 E)39 x7 30. Si XX = 7 Calcula el valor de: A) n B) n’ C) 7n D) 49n E) 14n 31. Si (x – 2)’ + (x – 1)’ + x’ = (x + 1)’ + (x + 2)’ Halla: x x-4 A)O B)1 C)3/2 D)2 E)AóC 32. Calcula la suma de las cifras de N, luego de efectuar: N = 22 x 202 x 20002 x 100000001 A) 128 B) 140 e) 150 D) 138 E) 100 33. Halla la suma de cifras del resultado de: M = (5555556)’ – (4444445)’ A) 14 B) 12 C) 21 D) 20 E) 28 34. Calcula: R= (323 x 325 + 1) x 9 x 111 18′ x 37 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 35. Halla el resultado de: 38. Si x – y = 3. además xy = -2, calcula C = 2,52(0,16)2 + (0,16)’ + (0,84)2 x E = x’ + y’ (0,48)+(0,84)’ A) 10 B) 15 C)23 D)13 E) 17 A) 5,25 B) 1 C) 3,87 D) 1,03 E)2 39. Si 3a + 2b + c = 0, halla 36. Si 2′ = 8′” E=[~f;~J a+b 9Y = 3x. g A)8 B)4 C) -8 Halla x + y D) -4 E)6 A) 21 B)6 C) 27 D)18 E)35 40. Si xy = z yz = x zx = y 37. Si m – 3n = 4p, calcula E = p+n X2 + 2y2 + 3z2 m – p Calcula E= xyz A) 1 B) 1/3 C)3 A)2 B)3 C)4 D)4 E) 1/4 D)5 E)6 1. D 9. e 17. e 25. B 33. B 2. A 10. E 18. D 26. E 34. e 3. D 11. e 19. B 27. E 35. B 4. e 12. E 20. E 28. D 36. e 5. B 13. e 21. e 29. D 37. B 6. e 14. E 22. E 30. e 38. E 7. B 15. B 23. e 31. E 39. e 8. D 16. e 24. B 32. A 40. E PRACTICANDO 02 I 1. Si:a+b=ab/a;bENhallar: a) 1 d)O a 1920 – b1920 a+b b) 2 e)4 2. Reducir: a3 + b3 – (a + b) (a2 + b2 ) a+b a)-ab d)ab 3. Luego de simplificar: 2n + 1 _ 23n —2,-,n- –….,….-; se obtiene: + 2 _ 2n + 1 a) 1 b) 2 e) 22n – 1 4. Resolver en ”x” x x a2 + 2ab + b2 c) 1920 a c)b – + – =—–;ab-=f-O a b ab Siendo: a + b-=f-O a)a+b d)a/b b)a-b e)b-a c)ab 5. Si se cumple: x! + 12 Y = (y + 6f indicar el valor de: 1y 4 4 E = (x + y – 2X2 y2)[(X + y)(x – y)P ~1 ~3 ~6 d) 12 e) 36 6. Si: x + y = 5; x y = 2 Calcular: a) O, 1 d)2 1 7. Si: x+ – = 5 x Hallar: a) 100 d)25 8. Calcular: b)0,5 e) 0,2 b)95 e) 110 c) 1 c)30 [(1001 )(999) – (1002)(998)]2 a)3 d)4 9. Efectuar: b)9 e)O c) 2 (200)[3002 + (300)(100) + 1002 ] + 1003 a) 30cJ d) 4003 10. Hallar: b) 3cJ e) 2008 c) 3003 E =_1_ [..J 2(1000)(S01)(1004)(1006) + (1 X 22) – 1] 100 ..J 1 x 2 x 3 x 4 + 1 – 1 11. Calcularla suma de cifras de: M = (99995)2 + (999995)2 + (9999995)2 a) 36 d)32 b)48 e) 50 e) 45 12. Calcularla suma de cifras de: a) 385 d)467 (666 … 66)2 ~ 23 cifras b) 392 e) 546 13. En qué cifra termina: a) 1 d) 6 (89462)278 b) 2 e)4 14. En qué cifra termina: (654393)’3375 a) 5 d)4 b)3 e)8 15. En qué cifra termina: e) 189 e) 3 e)7 E = (AFUL236 + INGRES0120)CORPORACION a) 5 d) 6 b) 2 e) 8 16. Si: a2 +b2 +e2 = 26 ab +ae+be= 5 Hallar: a) 1 d) 9 a+b 6-c a+e + + 6-b b) 2 e) 36 e) 3 b+e 6-a e) 3 17. Si: a + b + e = 20, calcular: E = J..j (10 – a)3 + (10 – by + (1 O – e y + 3abe a) 10 d)40 18. Evaluar: b)20 e) 50 Si: a; b; e; verifican la relación: a) 2 d)4 b)3 e) 1 e) 30 a b – + – = -1 e e e)5 a b e 19. -=-=- y(a2 + b2 + e2)(b2 + e2 + d2) = 8100 e e d Calcular: E = ab + be + ed a) 10 d)30 b)90 e) 19 e) 80 20. Sea: a + b + e = a2 +b2 +e2 =1 + A {a, b, e} e R indiqueelvalorde: a) 2 d) 5 (ab)’ + (be)’ + (ae)’ abe b)-2 e) -5 e)3 21. Si: (x+y)2=(1 +x)(1 +y)-1, y”,-x Calcular el valor de la expresión: a) 2 d) 1 [ X2 + xy + y2 ]2 x+y b)-2 e) -1 1 e) 2 22. Si: x =.,f5 -..J3 y =.,f2 – -{5 z =..[:3 -.,f2 El valor numérico de: [ x’+Y’+Z’] [x, y’ Z’] E = xy + yz + zx – yz + Xz +”y b) 1 e) -5 d)6 e) -6 23. Sabiendo que: (a + 2 ..¡ab + b)(a – 2..¡ab + b) = O Hallar el valorde: a + 2b p = —-,– + a+b a) 12 d)27 b) 17 e) a’ +b’ 24. Calcular el resultado de: e) 19 [(10001 )(9999) – (1 0002)(9998 )]2 a) 3 d)4 25. Calcular: b)9 e) 12 e) 2 [6002 + 3002 + 2(300)600)]’/2 + [4003 + 1003 + 3(500)(400)(1 00)] 1/3 a) 1050000 d) 1070000 b) 1060000 e) 103000 e) 4300000 26. Calcular: a + b (2376)2 + (825)’ + (23476)6 + (12925)8 = … ab a) 2 b) 6 c)7 d)8 e) 12 27. Hallarla suma de las cifras de: (1111)’ + (11111)’ + (111111)2 a) 31 d)41 b)32 e) 48 28. En qué cifra termina: e) 34 –__ AMOR E = (TE 132 + QUIERO 023 + MUCHO) donde O = cero a) 1 d)4 b) 2 e) 5 29. En qué cifra termina: D = (AMOR 27 – MIO 24) 1234 a) 3 d) 2 b)4 e) 1 30. En qué cifra termina: E = (GIS 17 + JUN 18)UNIDAD a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 e) 3 e) 8 c)4 PRACTICANDO 03 I 1. Hallar “x”: n-5 n-5 2 + 3 n-5 —-=—–=– = 36x – 1 5-n 5-n 2 + 3 a)1 d) 1,2 2. Simplificar: m b) 1,3 e) 1,5 m2+3 m2+2 m2-1 3 + 2(3 ) – 6(3 ) c)2,5 a)1 b)2 c)3 d)~ e)~ 3. Simplificar: n+1 3n 2 -2 -n+2 n+1 2 -2 a)1 4. Calcular: b)2 2n-1 e)2 (13794528)2 – (13794527)2 a)1 d) 23457 x 104 -1 5. Si: M + M = 5 3 3 Hallar: M + M a)100 d)25 b)15 e)374159928 b)95 e) 110 n c)2 c)27589055 c)30 6. Reducirsin realizar operaciones: (22000)(0,39)0,00035) (0,15)(770000)(0,0000026) a) 0,1 d)100 7. Calcular: b) 0,01 e)1 c)10 5+5+5+5+5+~ + ~ + ~ + ~ + ~ 5 5 555 a)1/5 b)1 c)5 d)1/25 e)25 8. Si: a(a -1) + b(b -1) = 2-{clb (-{clb -1) Calcular: …¡a +…[b a)1 d) 1[3 b) 1/2 e) 1[5 9. Dado: a2 + b2 + c2 = 29 a+b+c=9 Hallar: E = ab + ac + bc a)24 d)22 b)26 e)20 10. Si: a – b = b – c = W c) 1[2 c)28 (a-b)3 + (b-C)3 + (a-c )3 Calcular: S = 10 a)3 b)2 e) W 10 c)1 -1 -1 -1 11. Si: a + b + e = O Hallar el valor de: a b e a b e M=-+-+-+-+-+b a a e e b a)-1 d) -3 12. Efectuar: b) 1 e)O c)3 (200)[3002 + (300)(100) + 1002] + 100′ a)300 2 d) 400 3 13. Hallar: b)30 2 e) 100 3 M = ~1 +.,¡a -~1 +.,¡a Para a = 0,75 a) 1 ,75 d)0,75 b) 1 ,05 e)0,5 x y 14. Si: -+-=62 y x Hallar: E = 3 FY ~~ a)1 d) ‘h 15. Hallar: b)2 e) 1/3 c)1 c)3 E = _1_ [../2(1000)(501)(1004)(1006) + 4′ _ 1] 100 .,}2x3x4+1-1 a)2305 d)2515 b)2420 e)2525 c)2505 16. Hallar el valor de: P = (y – a)(y – b)(y – c) … (y – z) a)1574515 d)1447915 b)O e) F.D. 17. Calcular el valor de: Sabiendo que: x + y = 3~xy 18. Calcular: e) 1 (135)2 + (85)2 + (65)2 + (145)2 a)50700 d)75000 b)57000 e) 70050 e) 70500 19. Hallar la última cifra luego de efectuarse el producto. P= (looo +1)(21999 +1) (21998+1) … (l +1) a)1 d)7 b)3 e)9 e) 5 20. Calcular la suma de las cifras del resultado: a)900 d) 1200 21. Calcular: P = (333 … 33)’ “-v—-‘-‘ 100 cifras b) 1000 e)1300 c)1100 ~3(22 + 1)(2 4 + 1)(2 8 + 1) + 1 a)16 b)18 c)9 d)8 e)1 22. Dada la expresión: Hallarel valor de k, para n = % a) 16 d)32 b)8 e) 1/4 23. Si: (+) (+) = (-)(-) SUMA Hallar K = SUMENO a)1/2 b)1 d)2 e)2,5 + e)25 AMOR MORENO e) 1,5 24. Hallar la suma de cifras del resultado de: a)5 d)10 M =–1123456789 – 2468 b)7 e)17 25. En que cifra termina: a)3 d)2 b)O e)7 e)9 e)5 26. Hallar la suma de las dos últimas cifras del resultado de: (176)2 + (12476)3 + (77776)7 a)9 d)10 b)8 e)7 27. En que cifra termina: e)11 (AMORCITO 23 + CHIQUITO 76t O ajO d)7 b)1 e)2 e) 9 28. En qué cifra termina: (AQU 132 + TOMAMOS91 + PILSEN74) SALUD44 a)1 d)9 b)3 e)5 29. En qué cifra terminar: e)7 (JACINTA5555 – SIGIFRED079(‘ENSA a)4 d)O b)6 e)2 30. En qué cifra termina: a)7 d)1 1982 1983 . (1981 ) b)5 e)O 31. En qué cifra terminar: e)8 .. 2001 e)3 (SABER47 + AFUL815)INGRES02001 a)2 d)8 b)4 e)O 32. Si: p – q – r = 2 pq + pr = qr Hallar p2 + q2 + r2 a)4 d) -2 b)-4 e)q e)6 e)2