HABILIDAD MATEMATICA 20 PROBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL PREUNIVERSITARIO PDF

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PREGUNTA N.o 21
En una caja, se tiene 200 canicas de color verde,
200 de color rojo, 200 de color azul, 200 de color
negro y 250 de color amarillo. ¿Cuál es el menor
número de canicas que se debe extraer al azar
para tener, con certeza, al menos 100 canicas del
mismo color?
A) 497
B) 498
C) 495
D) 496
E) 494
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PREGUNTA N.o 22
Álvaro, Benito, César y Darío poseen, cada uno,
un celular del mismo tamaño y forma, pero de
diferentes colores: negro, verde, azul y rojo. Al
apagarse las luces, cada uno cogió un celular que
no era el suyo. Después de esto, se determinó que
– Darío se quedó con el celular azul porque su
celular lo tomó César.
– Álvaro dice: “Si me prestan el celular azul,
devuelvo su celular verde a César”.
– Benito se quedó con el celular rojo porque su
verdadero dueño no devolvió el celular verde
a su propietario.
¿Quiénes son los dueños de los celulares negro y
rojo respectivamente?
A) Darío y Benito
B) César y Álvaro
C) Benito y Álvaro
D) Darío y César
E) Darío y Álvaro
PREGUNTA N.o 23
Miguel colocó 4 dados normales sobre una mesa
no transparente como muestra la figura. ¿Cuántos
puntos en total no son visibles para Miguel?
A) 23
B) 22
C) 24
D) 21
E) 25
PREGUNTA N.o 24
Tania, Norma, Pedro, Fredy, Darío y Rocío se
ubican simétricamente en seis asientos alrededor
de una mesa circular. Tania no está al lado de
Norma ni de Pedro. Fredy no está al lado de
Rocío ni de Pedro. Darío está junto y a la derecha
de Norma, pero Norma no está al lado de Rocío
ni de Fredy. ¿Quién está ubicado junto y a la
izquierda de Fredy?
A) Darío
B) Rocío
C) Norma
D) Pedro
E) Tania
PREGUNTA N.o 25
Amílcar empaqueta un regalo para cada una de
sus cuatro hermanas, tomando en cuenta el color
de preferencia de cada una de ellas, en cuatro
cajas idénticas. En una de ellas coloca una cartera
de color blanco; en otra, una de color rojo, y en
cada una de las otras dos, una de color marrón.
Luego, las cierra y, al etiquetarlas con el color de
las carteras que contiene cada caja, se equivoca en
todas. Para etiquetarlas correctamente, ¿cuántas
cajas se debe abrir como mínimo y cuál o cuáles
de ellas?
A) 1 y la caja etiquetada con “cartera de color
rojo”.
B) 1 y la caja etiquetada con “cartera de color
marrón”.
C) 2 y las cajas etiquetadas con “cartera de
color marrón”.
D) 1 y la caja etiquetada con “cartera de color
blanco”.
E) 2 y la caja etiquetada con “cartera de color
marrón” y la “de color rojo”.
PREGUNTA N.o 26
En la lista de precios de una librería, se observa:
– Un plumón más un lapicero cuesta lo mismo
que seis cuadernos.
– Dos plumones cuestan, lo mismo que un
cuaderno más un corrector.
– Dos cuadernos cuestan, igual que un corrector.
Por el precio de dos lapiceros, ¿cuántos cuadernos
se podrá comprar?
A) 8
B) 7
C) 9
D) 6
E) 10
PREGUNTA N.o 27
En un centro de investigación trabajan 67
personas. De estas, 47 hablan inglés; 35 hablan
francés y 23 hablan ambos idiomas. ¿Cuántas
personas no hablan inglés ni francés en el centro
de investigación?
A) 8
B) 9
C) 7
D) 6
E) 10
PREGUNTA N.o 28
En la Facultad de Ciencias Sociales de la UNMSM,
se realizará un campeonato de fulbito con seis
equipos. Si jugaran todos contra todos, ¿cuántos
partidos deberán programarse como mínimo?
A) 12
B) 10
C) 14
D) 8
E) 15
PREGUNTA N.o 29
Halle la suma de las cifras del resultado de R.
R = (666 66) + 222 22 2 … …
9 cifras 9 cifras
 
A) 101 B) 100 C) 99
D) 98 E) 102
PREGUNTA N.o 30
Si se empieza a escribir uno a continuación de
otro la secuencia de los números naturales pares
hasta el 38, como se muestra a continuación:
2468…343638, ¿cuál será el residuo al dividir
entre 9 el número así formado?
A) 4
B) 2
C) 5
D) 3
E) 7
PREGUNTA N.o 31
Si los primeros términos de una secuencia son
log4, log9, log25, log49, …, loga2, …, log361,
logb2, log841; donde 11 < a < 17, halle log(b – a). A) 1 B) 3 C) 2 D) 5 E) 10 PREGUNTA N.o 32 Si x x5 1 75 125 = , halle el valor de x. A) 1 5 75 B) 1 5 5 C) 1 5 25 D) 1 3 5 E) 1 3 25 PREGUNTA N.o 33 Si f ( 2) = 1 y f(x+y)=f(x)+f(y), para todo x, y ∈ R+, halle f (3 2). A) 3 2 B) 2 C) 2 D) 3 E) 3 2 2 PREGUNTA N.o 34 Si x – y=1, donde x ≠ 0, y ≠ 0, halle el valor de x y x y 3 3 2 2 1 1 1 2 − − + − − A) 1 2 B) 2 3 C) 1 D) 3 2 E) 2 PREGUNTA N.o 35 La suma de lo que gana y gasta diariamente una persona es S/.300, y la relación de lo que gasta y gana diariamente es 1 2 . ¿En cuánto tiene que disminuir su gasto diario para que la relación de lo que gaste y gane sea 2 5 ? A) S/.30 B) S/.25 C) S/.15 D) S/.35 E) S/.20 PREGUNTA N.o 36 En la figura, el cuadrado ABCD está subdividido en 100 cuadraditos congruentes. ¿Qué fracción del área del cuadrado ABCD representa la región sombreada? B C A D A) 1 2 B) 2 5 C) 1 3 D) 3 5 E) 2 3 PREGUNTA N.o 37 En la figura, BAC es un triángulo rectángulo recto en A y DEFG es un cuadrado inscrito en el triángulo. Si BF=16 m y GC=9 m, halle el área del cuadrado. B F G C E A D A) 145 m2 B) 143 m2 C) 142 m2 D) 146 m2 E) 144 m2 PREGUNTA N.o 38 En la figura, OA=6 cm y la circunferencia está inscrita en el sector circular AOB. Si P, T y Q son puntos de tangencia, halle el perímetro de la región sombreada. 60º O Q B T A P A) 4(2+π) cm B) (2+4π) cm C) 6(2+π) cm D) (3+2π) cm E) 8(1+π) cm PREGUNTA N.o 40 En la figura, M y N son puntos medios de AD y CD respectivamente y el área de la región cuadrada ABCD es 30 cm2. Halle el área de la región sombreada. B C A M D N A) 1 cm2 B) 2 cm2 C) 0,5 cm2 D) 1,5 cm2 E) 3 cm2 HABILIDAD MATEMÁTICA resolución 21 TEMA: Máximos y mínimos I Análisis de los datos o gráficos En una caja se tienen 200 canicas de color verde 200 de color rojo, 200 de color azul, 200 de color negro y 250 de color amarillo. Operación del problema Verde, rojo, azul, negro, amarillo # canicas que extraeremos en : 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 1 = 496 el peor de los casos Conclusiones y respuesta Por lo tanto en el peor de los casos tendremos que extraer: 496 canicas para obtener al menos 100 canicas del mismo color Respuesta: 496 resolución 22 TEMA: Orden de información Análisis de los datos o gráficos • Dario se quedo con el celular azul porque su celular lo tomo César. • Álvaro dice: “Si me prestan el celular azul, devuelvo su celular verde a César”. • Benito se quedo con el celular rojo porque su verdadero dueño no devolvió el celular verde a su propietario. Operación del problema Dueño Rojo Azul Verde Negro Agarraron Verde Rojo Negro Azul Nombres Álvaro Benito César Dario Conclusiones y respuesta Dario es dueño del celular de color negro y Álvaro es dueño del celular de color rojo. Respuesta: Dario y Álvaro resolución 23 TEMA: Razonamiento lógico Análisis de los datos o gráficos Miguel coloco 4 dados normales sobre una mesa no transparante como muestra la figura Operación del problema En un dado normal las caras opuestas suman siempre 7 Puntos no visibles 3 + 7 7 7 24 Conclusiones y respuesta Por lo tanto la suma de todos los puntos de las caras no visibles es: 24 Respuesta: 24 resolución 24 TEMA: Orden de información Análisis de los datos o gráficos Tania, Norma, Pedro, Fredy, Darío y Rocío se van a sentar alrededor de una mesa circular con las siguientes condiciones: • Tania no está al lado de Norma ni de Pedro • Fredy no está al lado de Rocío ni de Pedro • Darío esta junto y a la derecha de Norma • Norma no está al lado de Rocío ni de Fredy Operación del problema • Colocando el dato 3 tenemos: Darío Norma • Del dato 1 y 4 se tiene que Norma no está al lado de Tania ni de Rocío ni de Fredy. Por lo tanto Norma debe estar al lado de Darío y de Pedro Darío Pedro Norma • Del dato 1 y 2 se tiene que Pedro no está al lado de Tania ni de Fredy, además del esquema anterior Pedro no está al lado de Darío. Por lo tanto Pedro debe estar al lado de Norma y Rocío. Darío Pedro Norma Rocío • Del dato 2 Rocío no está al lado de Fredy. Darío Pedro Norma Rocío Tania Fredy Conclusiones y respuesta Entonces el que está ubicado junto y a la derecha de Fredy sería Darío Respuesta: Darío resolución 25 TEMA: Razonamiento lógico Análisis de los datos o gráficos Se coloca en cada una de los cuatro cajas una cartera. En una de ellas se coloca una cartera de color blanco, en otra, una de color rojo, y en cada una de las otras dos, una de color marrón. Luego de cerrar las cajas son etiquetadas con el color de las carteras que contienen cada caja equivocandose en todas. Operación del problema Blanco Rojo Marrón Marrón Como todas las etiquetas están equivocadas podemos afirmar que en las cajas que dicen marrón no hay cartera marrón, entonces deben estar las carteras de color blanco y rojo. Blanco Rojo Marrón Marrón Marrón Marrón Blanco Rojo 14444442444443 Conclusiones y respuesta Entonces para saber a que cajas pertenece las carteras blanca y roja solo será necesario abrir una de las cajas que dice marrón. Respuesta: 1 y la caja etiquetada con “cartera de color marrón” resolución 26 TEMA: Sistema de ecuaciones lineales Análisis de los datos o gráficos Piden “n” (número de cuaderno) dado: costo de un plumón: x costo de un lapicero: y costo de un cuaderno: z costo de un corrector: w x + y = 6z (1) 2x = z + w (2) 2z = w (3) 2y =nz (4) Operación del problema (3) en (2): 2x = 3z x = 3z 2 En (1): 3z 2 + y = 6z 2y = 9z De (4) : nz = 9z Conclusiones y respuesta n = 9 Respuesta: 9 resolución 27 TEMA: Conjuntos Análisis de los datos o gráficos • 67 personas trabajan (Total) • 47 hablan Inglés (I) • 35 hablan Francés (F) • 23 hablan ambos idiomas • x número de personas que no hablan Inglés ni Francés Operación del problema 67 x 24 23 I=(47) F=(35) 47–23 Del gráfico: 35 + 24 + x = 67 x = 8 Conclusiones y respuesta 8 personas no hablan Inglés ni Francés Respuesta: 8 resolución 28 TEMA: Conjuntos Análisis de los datos o gráficos • Se realiza un campeonato con 6 equipos: {a; b; c; d; e; f} • Jugaran todos contra todos. Operación del problema Los partidos se jugaran de 2 en 2 entonces se formaran los subconjuntos binarios. N° subconjuntos binarios: C6 2 = 6! 4! × 2! = 15 Conclusiones y respuesta Se debe programar 15 partidos como mínimo. Respuesta: 15 resolución 29 TEMA: Razonamiento inductivo Análisis de los datos o gráficos Halla la suma de las cifras del resultado de R. R = (666…66)2 + 222…22 1442443 1442443 9 cifras 9 cifras Operación del problema Aplicando el razonamiento inductivo Caso I: 62 + 2 = 38 123 Suma cifras: 11 = 11(1) Caso II: 662 + 22 = 4378 123 Suma cifras: 22 = 11(2) Caso III: 6662 + 222 = 443778 123 Suma cifras: 33 = 11(3) Conclusiones y respuesta Por lo tanto en el caso general R R = (666…66)2 + 222…22 1442443 Suma de cifras de R: 11(9) = 99 Respuesta: 99 resolución 30 TEMA: Divisibilidad Análisis de los datos o gráficos • Número formado: 2468…. 343638 • R: residuo que se obtiene al dividir entre 9 el número formado. Operación del problema 2468….343638 = 9 ° + R Donde: 2 + 4 + 6 + … + 36 + 38 = 9 ° + R 19 × 20 = 9 ° + R 380 = 9 ° + R 9 ° + 2 = 9 ° + R R = 2 Conclusiones y respuesta El resto de la división es 2 Respuesta: 2 resolución 31 TEMA: Logaritmos Análisis de los datos o gráficos Piden: E = Log(b–a) Dada la secuencia Log4; Log9; Log25; Log49; …; Loga2; …; Log361, Logb2; Log841 Donde: 11< a < 17 Operación del problema Log22; Log32; Log52;… ;Loga2;…; Log192; Logb2; Log292 Se observa potencias de números primos consecutivos ⇒ a = 13 ∧ b = 23 Luego: Log (b – a) = Log10 = 1 Respuesta: 1 resolución 32 TEMA: Teoría de exponentes Análisis de los datos o gráficos Tenemos: xx5 = 1 75 125 Operación del problema Elevando a la quinta xx5 5= 1 75 125 5 xx5 5= 1 5 5 = 1 5 5 3 75 1 25 Luego: x5 x5 = 15 1 5 x5= 15 Conclusiones y respuesta x = 15 5 Respuesta: x = 1 5 5 resolución 33 TEMA: Funciones Análisis de los datos o gráficos Tenemos que: f( 2) = 1 y f(x + y) = f(x) + f(y) Nos piden: f(3 2) Operación del problema De: f(x +y) = f(x) + f(y) Planteamos: F(2 2)+ 2) = F(2 2) + F( 2) F(3 2) = F(2 2) +F( 2) 14243 F(3 2) = F(2 2) + 1 …… (a) Ahora: f( 2 + 2) = f( 2) + f( 2) 14243 14243 f(2 2) = 1 + 1 f(2 2) = 2 …. (b) Conclusiones y respuesta Por último, reemplazaremos (b) en (a) f(3 2) = f(2 2) + 1 14243 f(3 2) = 2 + 1 f(3 2) = 3 Respuesta: 3 resolución 34 TEMA: Productos notables Análisis de los datos o gráficos Piden: N = x3– y3 – 1 x2 + y2 – 1 – 12 , dado x – y = 1; x ≠ 0; y ≠ 0 Operación del problema (x– y)3 = 13 ⇒ x3 – y3 = 1 + 3xy (x – y)2 ⇒ x2 + y2 = 1 + 2xy Luego: N = 1 + 3xy – 1 1 + 2xy – 1 – 12 N = 32 – 12 N = 1 Respuesta: 1 resolución 35 TEMA: Razones y proporciones Análisis de los datos o gráficos • La suma de loque gana y gasta es 300 • La relación de lo que gasta y gana es 1/2. Operación del problema gasta gana = 1 × 100 2 × 100 suma = 300 Luego el gasto disminuye “x” gasta : gana : 100 – x 200 = 25 x = 20 Conclusiones y respuesta El gasto debe disminuir en S/. 20 Respuesta: 20 resolución 36 TEMA: Áreas de regiones cuadrangulares Análisis de los datos o gráficos Piden: Área de reg. sombreada Área de la región cuadrada ABCD A D B P Q K L M N H T C R S O F G J U E I Operación del problema Calculemos las áreas de las regiones parciales • S[BPNT] = 7 u2 • S[PQRS] = 6 u2 • S[KLMN] = 6 u2 • S[CHT] = 9/2 u2 • S[EFGI] = 6 u2 • S[AUE] = 15/2 u2 • S[FOJ] = 3 u2 ∴ S[sombreada] = 40 u2 Conclusiones y respuesta Pedían: Área de regiones sombreada Área de región cuadrada = 40 100 = 25 Respuesta: 2 5 resolución 37 TEMA: Área de regiones cuadrangulares Análisis de los datos o gráficos Como: m∠C = m∠BEF BEF ∼ DCG Además sea el lado del cuadrado de medida “l” B C E D F G A a a 16m 9m l l Operación del problema Por semejanza se tiene: BEF ∼ DCG 16 l = l9 → l 2= 144 Pero área de la región cuadrada es l 2 Sd = 144 m2 Conclusiones y respuesta Área de la región cuadrada es 144 m2 Respuesta: 144 m2 resolución 38 TEMA: Sector circular Análisis de los datos o gráficos Radio del sector circular. OA = 6 Propiedad: 60° r R Se cumple: R = 3r Operación del problema De la figura: O A P r=2 T Q 60° B R=6 • OA = OB = 6 • mAB = π 3 (6) = 2π • Longitud de la circunferencia inscrita: L = 2π (2) = 4π Conclusiones y respuesta Perímetro de la región sombreada: Per = 6 + 6 + 2 π + 4 π = 12 + 6 π Per = 6(2 + π) Respuesta: 6(2 + π) resolución 39 TEMA: Congruencia – Cuadriláteros Análisis de los datos o gráficos Piden: CF = x Se prolonga AB y CE El ΔCAV (isósceles) ⇒ CE = EV = μ Se prolonga DE Operación del problema A B H F 3 E D C x μ μ 4 α α β β θ θ V CDE ≅ VHE ⇒ DE = EH = 4 Conclusiones y respuesta En el CDHB ⇒ CB = DH x + 3 = 8 ∴x = 5 Respuesta: 5 resolución 40 TEMA: Área de regiones triangulares Análisis de los datos o gráficos Como “M” y “N” son puntos medios de los lados: n < CBN = m < MCD = 53 2 Además: m < CHN = 90° Operación del problema A B 53/2 53/2 M N 37° F H E D C 4K 3K Se traza NF//BC//AD ⇒ m < CBN = m < FNB = 53 2 m < ANF = m < NAD = 53 2 ∴ m < HNE = 53° Luego: HN = 3K ∧ HE = 4K ∴ Sx = (3K)(4K) 2 = 6K2 * En el CHN: CN = 3K 5 * En el BCN: BC = 6K 5 … pero BC es lado del cuadrado Dato: Área de la región cuadrada es 30 cm2 ∴ 30 = (6K 5 )2 1 cm2 = 6K2 ⇒ Sx = 6K2 = 1 cm2 Conclusiones y respuesta Área de región sombreada es 1 cm2 Respuesta: 1 cm2