GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS , AMPLITUD Y PERIODO PROBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL UNI PDF Y VIDEOS

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FUNCIONES PERIODICAS

LA FUNCION SENO Y SU GRAFICA

LA FUNCION COSENO Y SU GRAFICA

LA FUNCION TANGENTE Y SU GRAFICA

LA FUNCION COTANGENTE Y SU GRAFICA

LA FUNCION SECANTE Y SU GRAFICA

LA FUNCION COSECANTE Y SU GRAFICA

OBJETIVO :
Efectuar análisis de gráfica y comportamiento de las funciones trigonométricas básicas.

¿cómo transmite una radio?
Debido a que el sonido se atenúa a medida que el receptor se aleja de la fuente emisora, surge la necesidad de hallar algún método que permita transmitir música o palabras a lugares lejanos a la fuente. Este es el objetivo de la radiodifusión, es decir, que una señal electromagnética viaje desde la emisora hasta los aparatos de radio donde es transformada en sonido. Una de las técnicas utilizadas para lograrlo es la Modulación en Amplitud (AM).
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Los sonidos a emitir son variaciones en la presión que el aire ejerce sobre los oídos. Aparatos como micrófono transforman esas variaciones en señales eléctricas.
Antes de que esa señal eléctrica pueda enviarse desde la emisora, debe pasar por un proceso electrónico llamado modulación, que consiste en «mezclarla» con una señal eléctrica de forma senoidal (función seno).
Así, lo que la radio emite al aire es una función senoidal que cambia de amplitud según cambia la onda del sonido que se quiere transmitir.

La señal emitida tiene, como todas las funciones senoidales, un cierto período, es decir, que tarda un determinado tiempo en cumplir un ciclo. Para medirlo, en AM, suele usarse la frecuencia (cantidad de ciclos que cumple la función en un segundo), la cual se mide en Hertz.
Cuando se sintoniza en un aparato de radio una emisora, por ejemplo, AM 670, se captará una onda senoidal de 670 000 ciclos por segundo, detectará las variaciones de amplitud de esa señal y sus parlantes las transformarán en sonido.
Otro método para enviar información a través del aire es la Frecuencia Modulada (FM), la que hace variar la frecuencia de la onda senoidal y en esas variaciones se encuentran los sonidos.
Cada método tiene sus ventajas y desventajas; por ejemplo AM tiene mayor alcance, pero FM logra mayor fidelidad.
Amplitud , Periodo , Fase
Uno de los conceptos trigonométricos más importantes es el de «curvatura sinusoidal». Se presenta en innumerables partes de astronomía , matemáticas y de todas las ciencias que incluyen a las ciencias sociales. Es simplemente, la gráfica· de y=A sen(Bx+C), siendo A, B, C constantes positivas.
Comenzamos comparando las gráficas de y=senx; y=Asenx que se muestran superpuestas sobre los mismos ejes , y con las mismas escalas, en la siguiente figura
Puesto que el máximo valor de senx es 1, y se presenta para

Es evidente que el máximo valor de Asenx es A.

La constante A recibe el nombre de amplitud de la curva seno (curva sinusoidal), el período T de y=senx; es T=2p . Comparemos ahora las gráficas de y=senx
y=senBx
Sitanto,el período de
de donde tenemos

La frecuencia de una oscilación es el número de periodos que hay en un intervalo de unidad de tiempo, normalmente un segundo. La frecuencia se mide en períodos por segundo o, en lenguaje más corriente en ciclos por segundo.
Un ciclo es lo mismo que un período. La unidad empleada en la radiodifusión es el kilociclo (mil ciclos) por segundo. Estos números son los que marca el dial de un aparato de radio. La corriente normal de las casas es de «60 ciclos», lo que significa una frecuencia de 60 ciclos/s. Si una oscilación tiene un período de T segundos, su frecuencia es ciclos/seg
La frecuencia de , y la de es f ciclos/s. el período de las ondas de radio se expresa, normalmente en un función de la distancia recorrida por la onda de T segundo. Esta distancia se llama longitud de onda . Como la velocidad de una onda de radio es 3×1010cm/s, longitud de onda correspondiente a un período de T segundos será 3T×1010cm. Así, pues, función de la frecuencia.

Con esta fórmula se pueden convertir frecuencias en longitudes de onda y viceversa. Así, una señal, emitida con una frecuencia de 600kc/s tiene una longitud de onda.

Como se sabe, las ondas de radio transmiten los sonidos de las voces humanas y de los instrumentos musicales. Para más sencillez, vamos a limitarnos a la consideración de un tono musical puro.
Estos tonos puros se representan por una curva sinusoidal en la que la amplitud corresponde a la altura del sonido y la frecuencia f al tono.

1
T

Por ejemplo, la frecuencia media f es de 512 ciclos/seg. Como hemos visto, la ecuación de una de estas curvas sinusoidales es: y=Asen(2ft)…..(I)
La estación de radio transmite una onda portadora, que es también una curva sinusoidal cuya frecuencia es la asignada a la estación en particular. Estas frecuencias son mucho más altas que las de ondas sonoras , por ejemplo,800 000ciclos/seg. para emisiones corrientes y 8 000 000 ciclos/seg. para la parte sonora de una señal de televisión. Escribiremos la ecuación de esta onda normal así :
y =Aosen(2ft) …..(II)

Siendo Ao su amplitud, y f su frecuencia La onda portadora se puede emplear ahora para transmitir el tono puro de (I) anterior, imponiéndole un cambio periódico en su amplitud Ao , En vez de mantener A, constante, la estación modula A , de acuerdo con el valor :
Ao(t) =Ao+mAosen(2ft)
Siendo f la frecuencia del tono puro en la relación (II) y m un factor de proporcionalidad llamado grado de modulación. La onda entonces tiene por ecuación

Cuya gráfica esta construída en la siguiente figura .
El receptor convierte así esta señala de nuevo en el tono puro original, que se difunde fuera a través del micrófono. Este proceso se llama amplitud modulada (AM).

Se pueden modular alternativamente la frecuencia de la onda normal según el tono en que se va a transmitir. Para hacerla se relaciona una banda de frecuencias concentrada en torno a la frecuencia normal, o sea la del intervalo [fo–a ; fo+a]. La frecuencia fo de la onda portadora debe variar entonces de acuerdo con la ecuación.

y la onda transmitida tendrá por ecuación :

Según gráfica es la de la Figura 6. Este proceso se llama frecuencia modulada (FM).

Consideremos la gráfica de y =sen(x +c). Cuando x+c=0 , x=-c, y cuando x+c=2p, x=2p-c, la gráfica de la siguiente figura es por tanto, una curva sinusoidal desplazada a la izquierda en c.

La constante -C se llama el cambio de fase, o ángulo de fase.
En la curva y=sen(Bx+C) vemos que cuando Bx+C=0 , x = C/B y citando Bx+C=2p ,

x=(2p -C)/B

De aquí que el cambio de fase venga dado por el número x = C/B

Finalmente, representamos la curva sinusoidal más general : y = Asen (Bx+C)
La amplitud es A , el período es , y el cambio de fase es
AMPLITUD y PERIODO
AMPLITUD (A) :
La amplitud de una función periódica (senos y cosenos), se define como el valor máximo que alcanza la ordenada «y» de dicha función. En general, la amplitud de una función con valor máximo M y valor mínimo m, es:

Para el caso de las funciones y= aSenbx e y = a Cosbx la amplitud es: .

Gráficamente se puede interpretar a la amplitud como la ordenada del punto donde la función alcanza su máximo valor.
ejemplos :

PERIODO (T) :
Sabemos que el periodo de las funciones y = Senx e y = Cosx es 2p , y el periodo de la función y = Tanx es p .
Pero si a la variable angular la multiplicamos por una constante «b» entonces, el periodo varía, por ejemplo, analicemos la función y = Sen2x

Su gráfica es:

Como se puede observar el periodo de y = Sen2x es p debido a que esta función completa un ciclo en ese tramo, de igual forma se pueden analizar otras funciones trigonométricas y llegamos a la siguiente conclusión:

ejemplos :
Calcule la amplitud y periodo de cada función:

Resolución:

nota:
Las reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la gráfica de una función se pueden aplicar a las funciones trigonométricas, recordadas en el siguiente diagrama:

ejercicio 1 :
En el gráfico, se muestra una carrera de autos, en la cual la pista está descrita por una curva que tiene por ecuación . Determine la distancia que separa a los móviles en dicho instante.

A)8km B)10km C)15km D)13km E)16km
RESOLUCIÓN :
Gráfico en el espacio :

Considerando los lados

Dada la ecuación y=AcosBx se observa que :

pero
Luego :

OMN (teorema de Pitágoras)

RPTA : ‘‘D’’
ejercicio 2 :
Halle la expresión general de los puntos de corte de la función con el eje «x».
Resolución:
* Calculemos el periodo de la función:

Ahora grafiquemos la función en el plano Xy :

Los puntos de corte con el eje «x» son:

Las funciones trigonométricas
El hecho de considerar una variable como función de otra variable no es una idea reciente. Dos siglos antes de nuestra era, el astrónomo griego Hiparco elaboró una tabla en la que se daban los valores de las cuerdas correspondientes a varios arcos de circunferencia con el fin de facilitar los cálculos para localizar los astros. Por espacio de muchos siglos, fueron frecuentes en los libros de matemática las tablas que daban para determinados valores de una magnitud variable los valores correspondientes de otra magnitud correspondiente de la primera. Las tablas más comunes de este tipo eran las trigonométricas y las logarítmicas.
En el siglo XVII, René Descartes descubrió que era posible «visualizar» las correspondencias entre las magnitudes de tales tablas mediante una representación geométrica. Parece ser que fue el 10 de noviembre de 1619 la fecha que tuvo esta idea a la vez simple y genial; es decir, empleó únicamente un eje X y no se refirió para nada a un eje Y. De cada valor de X calculaba el correspondiente valor de Y mediante la ecuación, obteniendo de esta forma las coordenadas de X e Y. Evidentemente el uso de los ejes no es una necesidad, sino una conveniencia.
Anotamos también que F. Engels dijo: «El punto de viraje de la matemática fue la variable de Descartes. Gracias a esto se introdujo en la matemática el movimiento y con él la dialéctica, merced a lo cual surgió la inmediata necesidad del cálculo diferencial e integral, que comienza inmediatamente a partir de entonces y que Newton y Leibniz en general, perfeccionaron, pero no inventaron».

Una de los aplicaciones de las funciones trigonométicas está dado en las comunicaciones inalámbricas; como las que se usan en los equipos cotidianos que, transmiten datos digitales como los teléfonos celulares incluyendo los de las redes locales que enlazan las computadoras con otros equipos electrónicos. Las transmisiones de radio, son sinusoidales, es decir, ondas en forma de seno, las cuales serán estudiadas y analizadas matemáticamente.

La funciones trigonometricas son útiles para estudiar un movimiento vibratorio u oscilante, como puede ser el de una partícula de una cuerda de guitarra en vibración, o un resorte que se ha comprimido o estirado, para luego soltarlo y dejarlo oscilante de un lado a otro. El tipo fundamental de desplazamiento de partículas en esos ejemplos se llama movimiento armónico.

Movimiento armónico simple, movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas que se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno.
Para ayudar a la descripción del movimiento armónico, imagínese un punto P que se mueve a velocidad constante en la circunferencia de radio a (con el sentido

invariable)

Ejemplo :
Un cuerpo está vibrando verticalmente de acuerdo con la ecuación
, donde f(t) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central (el origen) a los t
segundos, considerando como sentido positivo hacia arriba.
• Como la amplitud es 8, el máximo desplazamiento es 8cm.
• El período es
Por lo tanto, se requieren 6 segundos para una vibración completa del cuerpo.

• Inicialmente, el cuerpo se encuentra 8 cm por arriba del origen, la posición central. En el primer ½ segundo el cuerpo baja 1,1 cm, es decir, se encuentra situado a 6,9cm arriba del origen, etc.

• La gráfica de la función y=f(t) se muestra en la siguiente figura:

Suma de Funciones
Dadas la gráficas de la funciones f(x) y g(x), construir la gráfica de la función y=f(x)+g(x), es necesario sumar los valores correspondientes de las ordenadas de f(x) y g(x) .
Ejemplo:

Producto de Funciones
Dadas la gráficas de las funciones f(x) y g(x) para construir la gráfica de la función y=f(x)×g(x), es necesario multiplicar los valores correspondientes de las ordenadas de f(x) y g(x) .
Ejemplo: