GRADOS DE UN POLINOMIO PROBLEMAS RESUELTOS

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Grados de un polinomio
Grado relativo (G.R.)
El grado relativo de un polinomio está representado por el Mayor Exponente de dicha letra o variable.
Ejemplo (1)
 Dado el polinomio:

– Grado relativo con respecto a la variable “x” es: 5
– Grado relativo con respecto a la variable “y” es: 4
Ejemplo (2)
 Dado el polinomio:

– Grado relativo con respecto a la variable “x” es: 3
– Grado relativo con respecto a la variable “y” es: 5
– Grado relativo con respecto a la variable “z” es: 6
Grado absoluto (G.A.)
El grado absoluto de un polinomio está representado por el monomio de mayor grado.
Estimado alumno, no vayas a cometer el error de decir:
; porque esto es falso.
Grado de las operaciones algebraicas
El grado de una expresión algebraica se determina después de realizar operaciones indicadas, las reglas que debemos aplicar son las siguientes:
I.- Grado de un producto:
Se suma los grados de los factores.
Ejemplo (1) El grado de:
;
será:
Ejemplo (2) El grado de:
;
será:
II.- Grado de un cociente:
Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor.
Ejemplo (1) El grado de: ;
será:
Ejemplo (2) El grado de:
será:
III.- Grado de una potencia:
Se multiplican el grado de la base por el exponente.
Ejemplo (1) El grado de: ;
será: 3 .2 = 6
Ejemplo (2) El grado de:
será: 6 . 3 . 2 = 36
IV.- Grado de una raíz:
Se divide el grado del radicando entre el índice del radical.
Ejemplo (1) El grado de: ;
será: 8 : 4 = 2
Ejemplo (2) El grado de:
será: 12 : ( 2 . 3 ) = 2
Ejercicio 1 En el polinomio: . Calcular: “m” y “n” ; si el grado con respecto a “y” es 4 y el grado absoluto del polinomio es 12.
Resolución:

 Del enunciado:
* ) G.R.(y): n + 2 = 4 à n = 2
**) G.A. : m + n + 4 = 12
m + 2 + 4 = 12 à m = 6
Ejercicio 2 Calcular: “m” y “n” para que el monomio: sea de grado absoluto 80 y de grado relativo a “y” 20.
Resolución:
 De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones:
G.R. (y) : 3m – 2n = 20 . . . . . (1)
G.A.: 4(m + n) + 3m – 2n = 80 à 7m + 2n = 80 . . . (2)
Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2):
m = 10
Reemplazamos el valor de m = 10 en la expresión (1): 3(10) – 2n = 20 à 30 – 2n = 20 n = 5
Ejercicio 3 Hallar el coeficiente del monomio: ; si su grado absoluto es 10 y el grado relativo
a “x” es 7.
Resolución:
 De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones:
G.R. (x) : 3m + 2n = 7 . . . . . (1)
G.A. : 3m + 2n + 5m – n = 10
8m + n = 10 à n = 10 – 8m . . . . . (2)
Reemplazamos la expresión (2) en (1):
3m + 2 (10 – 8m) = 7 à 3m + 20 – 16m = 7
13 = 13m m = 1
Reemplazamos el valor de m = 1 en la expresión (2):
n = 10 – 8(1) n = 2
Luego, hallamos el coeficiente del monomio:
Coeficiente del monomio = , reemplazando el valor de m = 1 y n = 2, obtenemos:
Coeficiente del monomio =
Coeficiente del monomio = 1 Rpta.
Ejercicio 4 En el polinomio:
se verifica que la diferencia entre los grados relativos a “x” e “y” es 5 y además que el menor exponente de “y” es 3. Hallar el grado absoluto del polinomio.
Resolución:
 G.R.(x): m +n + 5
 G.R.(y): m + 2
* Del enunciado, planteamos la ecuación;
(m + n + 5) – (m + 2) = 5 à n + 3 = 5
n = 2
** El menor exponente de “y” es 3, o sea: m – 4 = 3
m = 7
Luego, calculamos el grado absoluto del polinomio,
veamos:
Grado absoluto:
(n + m + 5) + (m – 4) = 2m + n + 1
2(7) + 2 + 1 = 17
Grado absoluto del polinomio es 17 Rpta.
Ejercicio 6 Calcular el valor de: (a + b) si el polinomio: Q(x ; y) = x3a-b-3ya+2b+4+x3a-b-2ya+2b-2 + x3a-b-1ya+2b es de grado absoluto 29 y la diferencia de sus grados relativos a “x” e “y” vale -5.
Resolución:
Q(x ; y) = x3a-b-3ya+2b+4+x3a-b-2ya+2b-2 + x3a-b-1ya+2b
 G.R.(x): 3a – b – 1
 G.R.(y): a + 2b + 4
* Del enunciado, planteamos la ecuación;
(3a – b – 1) – (a + 2b + 4) = -5
à 2a – 3b – 5 = -5 à 2a = 3b . . . (1)
** G.A. del polinomio: 4a + b + 1 = 29
à b = 28 – 4a . . . (2)
Reemplazando la expresión (2) en (1)
2a = 3(28 – 4a) à 2a = 3(28) – 12a
à 14a = 3(28) \ a = 6
Reemplazamos el valor de a = 6 en la expresión (2):
b = 28 – 4(6) \ b = 4
Luego: a + b = 6 + 4 = 10 \ a + b = 10