GEOMETRIA VECTORIAL BASICA PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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Los vectores representarán cantidades que tienen magnitud, dirección y sentido. Es costumbre representar un vector por un segmento rectilineo que tiene un puntoinicial Ey un punto final F, en este último punto va una punta de flecha la que indica el sentido del vector, a la longitud de dicho segmento se suele definir como la norma o magnitud del vector y se denotará por || EtF ||ß así entonces
En forma más precisa diremos que la dirección de un vector da la pendiente o inclinación de la recta portadora y el sentido de un vector indica en qué forma actúa a lo largo de dicha recta.

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Ejemplo 1
Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se dimidian
Demostración.
Ejemplo 3.
Demostrar que la recta que une el punto de intersección de los lados de un trapecio
con el punto de intersección de sus diagonales, dimidia las bases.
Demostración.
Ejercicios Resueltos
“Þ Demuestre que en todo paralelógramo, el segmento que une un vértice con el punto
medio del lado opuesto, triseca una diagonal y es trisectado por ella.
2. Sea H el punto medio de la transversal de gravedad EI del triángulo EFGÞ La
recta FH corta a EG en el punto JÞ Determine vectorialmente la razón en que
J divide EGÞ
Solución.
3. Si EFG es un triángulo cualquiera PßQßR los puntos medios de sus lados, EFß
FG y GE respectivamente, demostrar que EPQR es un paralelógramo.
Demostración.
4. Se da en un triángulo EFGß la transversal de gravedad EH. Por F se traza una
recta FIJ que pasa por el punto medio I de EHaJ sobre EGbÞDemostrar que:
$EJ oe EG Þ
5. Demostrar que si en un triángulo EFGß las transversales GHßEI y FJ son
concurrentes en Tß se tiene:
6. En el paralelógramo de la figura, si T divide al trazo EF en la razón -,
demuestre que la recta HT divide a la diagonal EG en la razón
7. Demuestre que los segmentos que unen los puntos medios de los lados sucesivos de
un cuadrilátero EFGH determinan un paralelógramo cuyo centro es
8. En un triángulo EFGß se trazan las transversales de gravedad EQ y FRß por
R una paralela a FG y por G una paralela a FRÞ Estas dos rectas se cortan en
T y sea H el punto medio de TRÞ Demostrar que GH es paralela a QRÞ
8 Demostrar que en todo triángulo, las transversales de gravedad se trisecan
mutuamente.

Demostración.
14. Demostrar que si dos fuerzas concurrentes son representadas por 8StE y 7StFß
su resultante está dada por Ð7  8ÑStTß donde T es el punto de intersección de
EF t con dicha resultante.
16. En un plano se dan los triángulos EFG y PQRß si TßUßV son los puntos
medios de los trazos EPß FQ y GR demostrar que los centros de gravedad de
los triángulos EFGß PQR y TUV son colineales.
17. Dados los triángulos EFG y PQR tales que las rectas que unen los vértices
homólogos se cortan en un punto W. Demuestre que los puntos de intersección de
los lados homólogos de estos triángulos, son colineales.
18. Demostrar que las bisectrices de un triángulo EFG de lados +ß , y – concurren al
punto MÐincentroÑ

19. Sea H el punto de contacto de la circunferencia inscrita a un triángulo EFGß
con el lado EFÞDemostrar que el punto medio Q de EFß el incentro M y el
punto medio R de GH son colineales.

1. Demuestre que todo vector +t se puede expresar como la suma de su proyección
ortogonal sobre un vector ,t y otro vector que es ortogonal con t,Þ +t no paralelo
a t,Þ
Demostración
11. Por un punto interior a un círculo dado se trazan dos semi-rectas perpendiculares
entre si. Sean E y F los puntos en que ellas cortan a la circunferencia. Hallar
vectorialmente el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas EFÞ

13. Demostrar que si en un tetraedro dos pares de aristas opuestas son perpendiculares,
las del tercer par son también perpendiculares, y la suma de los cuadrados de dos
aristas opuestas es la misma para cada par.
15. Si desde un punto E de una recta perpendicular a un plano Tß se baja la
perpendicular a una recta V del plano TÞ Demostrar que la recta determinada por
los pies de las perpendiculares, es perpendicular a la recta PÞ
Demostración.

21. Demostrar que las alturas de un triángulo son concurrentes.
Ejercicio 3
Dados los puntos E
a) Demostrar que el triángulo EFG es equilátero
b) Determine el punto de intersección de las alturas.
c) Calcule su área.
7. Una cara de un poliedro, de área Eß se dice que tiene el área vectorial E8s donde
8s es un vector unitario normal a E y con dirección hacia afuera. Demostrar que
las cuatro caras de un tetraedro EFGH tienen áreas vectoriales tales que su suma
es cero.
Solución.
Ejemplo 3
Determine la ecuación paramétrica y simétrica de la recta

Solución.
1. Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos
2 Determine la ecuación de un plano que contiene a tres puntos no colineales
3 Determine el punto de intersección de la recta y el plano, cuyas ecuaciones se
indican
5. Dados los planos … Encontrar la ecuación
del plano que pasa por el punto … y es perpendicular a la recta de intersección
de los planos dados
Solución.
6. Encontrar la ecuación del plano que:
a) Pasa por un punto y es paralelo a dos rectas no paralelas.
b) Contiene a una recta y es paralelo a otra.
c) Pasa por dos puntos dados y es paralelo a una recta dada.
d) Contiene a una recta y pasa por un punto.
Solución.
19. Si desde un punto E de una rectaß perpendicular a un plano 1ß se baja una
perpendicular a una recta V del plano 1, demuestre que la recta determinada por
los pies de estas perpendiculares es perpendicular a la recta VÞ
Problema 1.
Demuestre que en todo paralelógramo, el segmento que une un vértice con el punto
medio del lado opuesto, triseca una diagonal y es trisectado por ella.
Problema 2.
Sea H el punto medio de la transversal de gravedad EI del triángulo EFGÞ La
recta FH corta a EG en el punto JÞ Determine vectorialmente la razón en que
J divide EGÞ
Solución.
Problema 3.
Si EFG es un triángulo cualquiera PßQßR los puntos medios de sus lados, EFß
FG y GE respectivamente, demostrar que EPQR es un paralelógramo.
Demostración.
Problema 4.
Se da en un triángulo EFGß la transversal de gravedad EH. Por F se traza una
recta FIJ que pasa por el punto medio I de EHaJ sobre EGbÞDemostrar que:
$EJ oe EG Þ
Problema 5.
Sea EFG un triángulo, Q el punto medio de FGà R el punto medio de GE y
T el punto medio de EFÞ Probar que ETQRß es un paralelógramo.
Solución.
Problema 8.
En un triángulo EFGß se trazan las transversales de gravedad EQ y FRß por
R una paralela a FG y por G una paralela a FRÞ Estas dos rectas se cortan en
T y sea H el punto medio de TRÞ Demostrar que GH es paralela a QRÞ
Demostración.
Problema 29.
En ‘$ß dada la recta 6 À oe oe
B  # C  ” D
$ ” %
a) Determine 5 para que el plano 1, que pasa por los puntos Ea#ß $ß 5b y
Fa”ß #ß $b sea perpendicular a la recta 6Þ Encuentre la ecuación del plano 1.
b) Encuentre las coordenadas del punto G de intersecciónß del plano 1 con la
recta 6Þ
Solución.