GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA PROBLEMAS RESUELTOS TIPO INGRESO A LA UNIVERSIDAD PDF

Share Button


CLICK AQUI PARA VER PDF
PREGUNTA 1 :
El volumen de un paralelepípedo rectangular es
1890 cm3. Halle su área total si las medidas de
las aristas que concurren en un vértice están en
la razón de 2 : 5 : 7.
A) 1062 cm2 B) 1060 cm2 C) 1058 cm2
D) 1064 cm2 E) 1072 cm2
CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Resolución
Tema: Paralelepípedo rectangular
Observación
Un paralelepípedo rectangular es un poliedro cuyas caras son
regiones rectangulares.
a
b
c
AST=2(ab+bc+ac)
V=abc
Análisis y procedimiento
Nos piden AST(paralelepípedo rectangular)
Datos:
• V(paralelepípedo rectangular)=1890 cm3
• Las aristas están en la razón de 2; 5 y 7.
2k
7k
5k
Entonces las aristas tendrán longitudes de la forma
2k; 5k y 7k.
Reemplazamos en el volumen conocido, y tenemos
que
1890 cm3=(2k)(5k)(7k)
k=3 cm
Luego, reemplazamos en lo que nos piden.
AST(paralelepípedo rectangular)=
=2((6)(15)+(6)(21)+(15)(21))
∴ AST(paralelepípedo rectangular) =1062 cm2
Respuesta
1062 cm2
PREGUNTA 2 :
Halle la distancia del punto A(4; 13) al centro de
la circunferencia C : x2+y2 – 4x+2y – 31=0.
A) 12 2 u
B) 10 2 u
C) 11 2 u
D) 195 u
E) 175 u
Resolución
Tema: Geometría analítica
Observación
Distancia entre dos puntos
X
Y
d
A(x1; y1)
B(x2; y2)
d = AB = (x1 − x2 ) + (y − y )
2
1 2
2
Análisis y procedimiento
Nos piden la distancia del punto A hacia el centro
de la circunferencia C.
Dato:
El punto A(4; 13) y la ecuación de la circunferencia
C es x2+y2 – 4x+2y – 31=0
X
Y
C
A(4; 13)
O(2; –1)
6
d
• Sea d la distancia pedida y O el centro de la
circunferencia.
De la ecuación de la circunferencia, hallamos las
coordenadas del centro.
x2+y2 – 4x+2y – 31=0
x2 – 2(2)(x)+22 – 22+y2+2(1)(y)+
+12 – 12 – 31=0
(x – 2)2+( y+1)2=36
Entonces, las coordenadas del centro de la circunferencia
son O(2; –1) y el radio mide 6.
Finalmente, hallamos la distancia de A hacia O.
d = (4 − 2) + (13 − (−1)) 2 2
→ d = 4 + 196
∴ d = 10 2 u
Respuesta
10 2 u
PREGUNTA
En la figura, AB es diámetro de la semicircunferencia;
AO=OB; A, B y D son puntos de tangencia.
Si AE=2 m y CB=8 m, halle el área de la región
sombreada.
A O B
E
D
C
A) 3π m2 B) 5π m2 C) 6π m2
D) 4π m2 E) 2π m2
Resolución
Tema: Áreas de regiones de circulares
Observación
A O C
B
N
M α
θ θ
α
Si A, B y C son puntos de tangencia, NO y MO     son bisectrices
de los ángulos BNC y AMB. Se cumple que
mMON=90º
Análisis y procedimiento
Nos piden ARS.
Datos
AE=2 m, CB=8 m y O es el centro de la semicircunferencia.
A O B
D
E
C
8
8
2
2
R
R
R
R
Se observa que mCOE=90º, entonces
ARS
R =  2
4
Se traza el radio OD, entonces OD ⊥ CE.
Luego, en el COE aplicamos relaciones métricas,
entonces
R2=(2)(8) → R=4
Reemplazamos en lo que nos piden.
ARS = 4
4
2
∴ ARS=4π m2
Respuesta
4π m2
PREGUNTA
En la figura, ABDC es un paralelogramo. Si
AM=MC y el área del paralelogramo es z m2,
halle el área del triángulo CDE.
A
B
C
D
E
M
A)
z
6
m2 B)
z
3
m2 C)
2
3
z 2
m
D)
z
2
m2 E)
z + 2
4
m2
Resolución
Tema: Áreas de regiones paralelográmicas
Observación
Si ABCD es un paralelogramo y AM=MD, se cumple lo
siguiente.
A
B
D
C
m M m
s
S
A = ABCD
12
Análisis y procedimiento
Nos piden A CDE.
Datos
A ABDC=z m2; AM=MC
α θ
A
B
C
2m D
E
2a
a
m M m
θ z/12 α
Sea AM=MC=m y BD=2m.
Por teorema, se cumple
A
A
CEM A
ABDC
CEM
z =  =
12 12
Luego, BDE ∼ CME, entonces
BD
MC
DE
EM
m
m
DE
EM
DE a
EM a
= = =
=
; ;
2 2
Por razón de áreas de regiones triangulares,
tenemos
A
A
CDE A
CEM
a CDE
a
= = 2 2
1
;
z/12
A CDE
z =
6
m2
Respuesta
z
6
m2
PREGUNTA
Si en la figura AC=BC, halle x.
α
α
A H
O
x
56º
C
B
A) 22º B) 24º C) 44º
D) 34º E) 20º
Resolución
Tema: Triángulos
Observación
El triángulo isósceles es aquel triángulo que presenta dos lados
de la misma longitud.
A C
a
B
a
α α
Análisis y procedimiento
Nos piden x.
Dato:
AC=BC
α
α
A H
O
x
56º 2α
C
B
m m
En el AHO, tenemos
α+56º=90º
α=34º
Como AC=BC=m, entonces
mCAB=mABC=2α
Luego, en el BHC, tenemos
x+2α=90º
x+2(34º)=90º
∴ x=22º
Respuesta
22º
PREGUNTA
En la figura, ABCD es un cuadrado. Si BE=a,
EF=b y FD=c, halle la relación entre a, b y c.
A
E
B C
F D
A) b2=a2+c2
B) a2=b2+c2
C) c2=a2+b2
D) a2=2b2 – c2
E) b2=2a2 – c2
Resolución
Tema: Cuadriláteros
Análisis y procedimiento
Nos piden la relación entre a; b y c.
Datos:
ABCD es un cuadrado, BE=a; EF=b y FD=c.
A
B C
D
E
F
a
b
c


Sea  la longitud del lado del cuadrado.
En los triángulos rectángulos EBC y CDF, aplicamos
el teorema de Pitágoras.
(EC)2=a2+2 (I)
(CF)2=c2+2 (II)
Finalmente, en el CFE, por el teorema de
Pitágoras.
(EC)2=b2+(CF)2 (III)
Reemplazamos (I) y (II) en (III)
a2 + 2 = b2 + c 2 + 2
∴ a2=b2+c2
Respuesta
a2=b2+c
PREGUNTA
En el espacio, se tiene un plano P y dos puntos
M, N ubicados a uno y otro lado de P respectivamente.
La proyección ortogonal de MN sobre P
es M ‘N ‘ y mide 12 cm. Si MM ‘=2 cm y NN ‘=4 cm,
halle MN.
A) 7 5 cm B) 8 5 cm C) 6 3 cm
D) 6 5 cm E) 5 3 cm
Resolución
Tema: Geometría del espacio
Observación
En el gráfico, A’B’ es la proyección ortogonal de AB sobre el
plano P.
A
P
A’
B’
B
Análisis y procedimiento
Nos piden MN=x.
Datos:
• M’N’ es la proyección ortogonal de MN sobre
el plano P.
• M ‘N ‘=12 cm, MM ‘=2 cm y NN ‘=4 cm
Por dato, los puntos M y N están ubicados en diferentes
semiespacios; los graficamos de la siguiente
manera.
M’
N ‘
M
N L
12
12
4 x 4
2
P
Ahora, prolongamos MM ‘ y trazamos NL perpendicular
a dicha prolongación.
En el rectángulo N ‘NLM ‘, NL=12 y M ‘L=4.
Finalmente, en el MNL, por teorema de Pitágoras
x2=122+62
∴ x = 6 5 cm
Respuesta
6 5 cm
PREGUNTA
Dos cajas de cartón de forma cúbica tienen las
medidas de sus aristas en la relación de 3 a 2 y la
diferencia de sus áreas laterales es 500 cm2. Halle
el volumen de la caja más pequeña.
A) 1000 cm3
B) 3375 cm3
C) 2000 cm3
D) 1075 cm3
E) 900 cm3
Resolución
Tema: Hexaedro regular o cubo
En un hexaedro regular, el área de su superficie
lateral es la suma de cuatro regiones cuadradas.
a
a
a
ASLhexaedro
regular
=4a2
Análisis y procedimiento
Nos piden el volumen del menor cubo Vcubo
menor ( ).
Datos:
Las cajas cúbicas presentan sus aristas en la razón
de 3 a 2, y la diferencia de sus superficies laterales
es 500 cm3.
3k
cubo
menor
cubo
mayor
3k
3k
2k
2k
2k
ASLcubo
menor
=4(2k)2=16k2 ASLcubo
mayor
=4(3k)2=36k2
Del dato
ASLcubo
mayor
– ASLcubo
menor
=500 cm2
36k2 – 16k2=500 cm2
20k2=500 cm2
k=5 cm
Luego, nos piden Vcubo
menor
Vcubo
menor
=(2k)3
Vcubo
menor
=(10 cm)3
∴ Vcubo
menor
=1000 cm3
Respuesta
1000 cm3
PREGUNTA
En la figura, la rueda de radio R pasa de P a Q,
dando cuatro vueltas completas. Si PQ=80π cm,
halle el valor de R.
R
P Q
A) 10π cm
B) 8 cm
C) 8π cm
D) 9 cm
E) 10 cm
Resolución
Tema: Número de vueltas
Análisis y procedimiento
Nos piden el valor de R.
R
P Q
n: n.º de vueltas (n=4)
R: radio de la rueda
PQ: longitud recorrida por el centro (PQ=80π)
n
PQ
R
= ( )
2
 4 =
80
2

(R)
→ 8πR=80π
∴ R = 10 cm
Respuesta
10 cm