GEOMETRIA EUCLIDIANA CONCEPTOS Y EJEMPLOS PDF

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Objetivos
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• Identificar los términos geométricos indefinidos y algunas
construcciones básicas de la geometría euclidiana.
• Identificar la relación de los ángulos que se forman entre dos rectas
paralelas y una recta secante que las corta.
• Utilizar y reconocer los teoremas de Thales, Pitágoras y la fórmula de
Herón como herramientas básicas en la resolución de problemas de
tipo geométrico.
• Utilizar las proporciones para expresar la relación entre las partes
correspondientes de figuras semejantes.
• Deducir las fórmulas para hallar las áreas de: paralelogramos,
triángulos, trapecios y polígonos regulares.
• Identificar y representar los elementos geométricos que caracterizan a
los cuadriláteros, triángulos, polígonos regulares y figuras circulares.
• Calcular el área y perímetro de figuras planas.
• Calcular el área lateral, área total y volumen de cuerpos geométricos:
prismas, pirámides, conos, cilindros y esferas.
• Identificar y trazar los elementos de cuerpo sólidos: prismas, pirámides,
cilindros, conos y esferas.
• Aplicar las fórmulas que involucran figuras planas y cuerpos sólidos en
la resolución de problemas geométricos.
Antecedentes históricos
Términos indefinidos
Plano
Segmentos de línea
Congruencia de segmentos
Longitud de un segmento
Segmentos proporcionales
Concepto de ángulo
Congruencia de ángulos
Bisectriz de un ángulo
Medición de ángulos
Tipos de ángulos
Clasificación
Teorema de Thales
Rectas perpendiculares
Mediatriz de un segmento
Triángulos
Clasificación de triángulos
Líneas en triángulos
Congruencia de triángulos
Semejanza de triángulos
Teorema de Herón
Teorema de Pitágoras
Prueba del teorema de Pitágoras
Polígonos
Área del rectángulo
Área del paralelogramo
Área del cuadrado
Área del triángulo
Área del trapecio
Área del rombo
Área del polígono regular
Generalidades de un polígono regular
Relaciones entre segmentos y apotemas en algunos polígonos regulares
Circunferencia y área del círculo
Longitud de arco, áreas de un sector y de un segmento
Medición de ángulos y arcos en un círculo
Áreas y volúmenes de sólidos
Geometría del espacio
Ángulo diedro
Ángulo poliedro
Clasificación de sólidos
Área del prisma
Volumen del prisma
Volumen de la pirámide
Área del tronco de pirámide regular
Volumen del tronco de pirámide regular
Superficie cilíndrica
Cilindro circular recto
Volumen del cilindro
Superficie cónica
Área lateral del cono
Volumen del cono truncado
Revolución de una línea poligonal regular
Volumen de la esfera
Resumen
Paralelepípedo
Prisma
Cilindro circular recto
Cono circular recto
Tronco de un cono
circular recto
Pirámide
Tronco de pirámide
Esfera
Triángulos semejantes
Triángulo
Triángulo rectángulo
Fórmula de Herón
Triángulo equilátero
Paralelogramo
Trapecio
Rectángulo
Triángulo
Círculo
Sector circular
Corona
Triángulo rectángulo
Antecedentes históricos
La geometría es una ciencia muy antigua y su origen se debe a la necesidad
de medir del hombre. Los egipcios (3000 a.c.) desarrollaron una serie de reglas
prácticas que permitían medir figuras geométricas y determinar algunas
de sus propiedades. La palabra geometría se deriva de la palabras griegas geo
(tierra) y metron (medida).
Los griegos fueron quienes dieron a la geometría su máximo desarrollo,
los cuales trataron de sistematizar los datos geométricos que conocían
estableciendo razones lógicas y relaciones entre ellos; por hombres como
Tales de Mileto (600 a.c.), Pitágoras (540 a.c.), Platón (390 a.c.) y Aristóteles
(350 a.c.) y la mayor parte de lo que se estudia actualmente en geometría,
se encuentra en el texto de geometría escrito por Euclides (300 a.c.) títulado
Elementos, el cuál se ha utilizado por más de 2.000 años.
El estudio de la geometría es necesario en la preparación del ingeniero,
del arquitecto, del dibujante; existen muchos ejemplos de formas geométricas
en el mundo físico y con el paso del tiempo, el hombre empezó a clasificar
esas formas, les dio nombre y creó definiciones para describirlas. Por medio
de la geometría se aprecia el orden y la belleza de las formas geométricas que
abundan en la naturaleza.
Términos indefinidos
Se les puede dar un significado por medio de descripciones, los cuales no se
consideran como definiciones; estos términos indefinidos son:
Punto
No tiene ubicación, longitud, anchura ni altura. Se designa al punto
conceptual por medio de una letra mayúscula, así: A. B. C.
Recta
 

Longitud ilimitada, derecha sin grosor ni extremos. Se designa con
letras mayúsculas en dos puntos cualesquiera sobre ella o con una
letra minúscula, así:
Plano
Un plano tiene longitud y anchura pero no espesor. Un plano se
representa como parte de un objeto físico, como el corte más delgado
posible; pero no son las representaciones reales de un plano.
El punto, la recta y el plano cumplen las siguientes propiedades:
• Existen infinitos puntos.
• Por un punto pasan infinitas rectas.
• Dados dos puntos diferentes, estos determinan una única recta.
• Una recta contiene infinitos puntos.
• Existen infinitas rectas.
• Tres puntos que no están en una recta determinan un plano.
• Un plano contiene infinitos puntos.
Algunas relaciones entre puntos y rectas en un plano.
Puntos colineales
Tres o más puntos son colineales si pertenecen a una misma recta ().
Puntos coplanares
Son puntos que se encuentran en un mismo plano ().



Rectas intersecantes
Son dos rectas con un punto en común.
l


Rectas paralelas
Son rectas que están en el mismo plano y no se intersecan, no tiene un
punto en común, es decir l es paralela a  y se nota l  .
Rectas concurrentes
Son tres o más rectas coplanares que tienen un punto en común.
Tipos de ángulos
Ángulo agudo: es un ángulo que mide entre 0° y 90°.
Ángulo recto: es un ángulo que mide 90°.
Ángulo obtuso: es un ángulo que mide más de 90° y menos de 180°.
Ángulo llano: es un ángulo que mide 180°.
Ángulo completo: es un ángulo que mide 360°.
Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si la
suma es un ángulo recto 90°.
Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios si la suma
es un ángulo llano 180°.
Las tres medianas de un triángulo se intersectan en un punto llamado
baricentro.
Las tres bisectrices de un triángulo se intersectan en un punto llamado
incentro.
Las mediatrices de un triángulo se intersectan en un punto llamado
circuncentro.
Las tres alturas se intersectan en un punto llamado ortocentro.
Congruencia de triángulos
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño.
La palabra congruente se deriva de las palabras latinas con que significa
“con” y gruere, que significa “concordar, convenir”. Las figuras congruentes
pueden hacerse coincidir parte por parte, donde las partes coincidentes se
llaman partes correspondientes. El símbolo para notar congruencia es ,; el
cual es la combinación de dos símbolos;
 ; que significa tener el mismo tamaño.
 ; que significa tener la misma forma.
Triángulos congruentes: son los que tienen el mismo tamaño y la
misma forma.
Si dos triángulos son congruentes, sus lados y ángulos correspondientes
son congruentes.
Principio del Lado, Ángulo y Lado (LAL)
Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son congruentes
con las partes correspondientes de otro triángulo, entonces los
triángulos son congruentes.
Principio de Ángulo, Lado y Ángulo (ALA)
Si un lado y los dos ángulos adyacentes de un triángulo son congruentes
con las partes correspondientes de otro triángulo, entonces los
triángulos son congruentes.
Principio del Lado, Lado y Lado (LLL)
Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de
otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Semejanza de triángulos
Dos figuras son similares si tienen la misma forma aunque no el
mismo tamaño. El símbolo para “similar” es . El triángulo  es
similar al triángulo ’’’ ya que, los ángulos correspondientes son
congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales.

Fórmula de Herón
Se utiliza para hallar el área de un triángulo, cuando solo se conoce los lados
de un triángulo y no se conoce la altura ni ninguno de los ángulos. Este teórema
es de Herón de Alejandría quien vivió hacia el siglo III A.C; son conocidas
varias obras suyas, pero se le recuerda sobre todo por la llamada fórmula de
Herón.
Generalidades de un polígono regular
Si se divide la circunferencia en tres o más arcos congruentes y si se unen
los puntos consecutivos mediante cuerdas, se obtienen polígonos regulares
inscritos. Además, al unir los vértices consecutivos con el centro de la
circunferencia, siempre se forman triángulos cuya altura sobre el lado del
polígono recibe el nombre de apotema.

Áreas y volúmenes de sólidos
Geometría del espacio
El conjunto de todos los puntos se llama espacio. La geometría del espacio
también llamada frecuentemente geometría de los sólidos, trata básicamente
de las figuras que no se encuentran en el mismo plano, es decir; una figura
en el espacio es una combinación de puntos, rectas y superficies que pueden
ser planas y curvas.

Ángulo diedro
Un ángulo diedro es la unión de una recta y dos semiplanos no
coplanares que tienen a la recta como su borde en común. La recta se
llama arista del ángulo diedro y la unión de la arista y su semiplano se
llama cara o lado del ángulo diedro.

Ángulo poliedro
Sea  un polígono cerrado que se encuentra en un plano
y sea  un punto exterior al plano del polígono. El conjunto de los
puntos  sobre los rayos desde  que pasan por todos los puntos 
del polígono se llama Ángulo poliendro.

Clasificación de sólidos
Poliedros
Un poliedro es un sólido limitado únicamente por un número finito de
superficies planas que son regiones poligonales que cumple:
– El interior de dos regiones cualesquiera no se intersectan.
– Cada lado de cualquiera de los polígonos, es también un lado de
uno de los otros polígonos.
– La intersección de dos caras cualesquiera del poliedro es una arista

Superficie cilíndrica
Superficie cilíndrica es la generada por una recta que gira paralela a sí
misma y que intersecta a una curva plana dada. La recta que gira se
llama generatriz y la curva fija se llama directriz.
Cilindro circular recto
Cilindro circular recto es un sólido geométrico limitado por una superficie
cilíndrica y dos planos paralelos que intersectan a todas las generatrices. Estos
dos planos paralelos y congruentes son las bases del cilindro. La superficie
cilíndrica limitada es la superficie lateral del cilindro, la altura del cilindro es
la distancia perpendicular entre las bases. El cilindro circular puede ser recto
u oblicuo, depende de la linea generatriz, si esta es perpendicular u oblicua
a las bases