GEOMETRIA EJERCICIOS DEL TERCER BIMESTRE DE MATEMATICA DE TERCERO DE SECUNDARIA EN WORD

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1. PROYECCIONES: Es conveniente saber dos conceptos elementales sobre proyecciones :

a)Proyección de un punto sobre una recta: Sea P un punto fuera de la recta L (Fig. 01). Si se traza la perpendicular a la recta dada, se tiene que, P’ es la proyección de P sobre la recta L.

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Entonces, la proyección de un punto sobre una recta (situado fuera de ella), es el pie de la perpendicular trazada de dicho punto a la recta.

Si el punto está en la recta, su proyección sobre ella es el mismo punto. Así, en la figura anterior de M sobre la recta L es M’.

b) Proyección de un segmento sobre una recta: Sea un segmento y la recta (Fig. 02). Si se trazan las perpendiculares se tiene que a la recta dada, se tiene que es la proyección de sobre .

Entonces, la proyección de un segmento sobre una recta es el segmento determinado sobre la recta por las proyecciones de los extremos del segmento dado.

Según la posición del segmento a la recta, se tiene:
Si (Fig. 03)
Si (Figs. 04 y 05)
Si entonces la proyección es un punto (Fig. 06)

2. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

a) En un triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre dicha hipotenusa.

Sea el  BAC, recto en A.
m, la proyección del cateto c.
n, la proyección del cateto b.

Luego por semejanza de triángulos

Aplicación: En una circunferencia, la cuerda trazada del extremo del diámetro es media proporcional entre dicho diámetro y su proyección sobre él. (Fundamentalmente esta afirmación con la figura respectiva)

b) En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre dicha hipotenusa.

Por semejanza de triángulos:

Aplicación: En una circunferencia, la perpendicular trazada desde un punto cualesquiera al diámetro es media proporcional entre los segmentos que determina sobre dicho diámetro.
c) TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Ejemplos:

01. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm. si uno de los catetos mide 5 cm. más que el otro. ¿Cuánto mide cada cateto?

Solución:

En el  ABC se tiene:

(T. de Pitágoras)

Respuesta: AB = 15 cm. y AC = 20 cm.

Nota: En este problema queda descartada la posibilidad de que las medidas de los catetos sea negativa, por lo que no se ha tomado en cuenta el binomio ( x + 20)

02. En el triángulo rectángulo 30° – 60°, el cateto mayor mide cm. hallar la longitud de la hipotenusa.

Solución:

a) En el  BCA , BC = 2AB

( Postulado del  30° – 60°)

b) Luego:

Respuesta: La longitud de la hipotenusa es 20 cm.

03. En la circunferencia de centro O, se tiene:

cm.
¿Cuánto miden las cuerdas CD y DB?

Solución: Debemos hallar el valor de MB.

a)

Luego: CD = MR = 26 – 2 x 8 = 26 – 16 = 10 cm.

b) En el BMD:

Respuesta: CD = 10 cm. y DB = 14.42

Practica de clase

01. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm. y la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa es 4 cm. Hallar la longitud de dicho cateto.

02. En un triángulo, un cateto mide 12 cm. y su proyección sobre la hipotenusa es 8 cm. ¿Cuánto mide dicha hipotenusa?

03. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm. y el cateto menor 6 cm. ¿Cuánto mide las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa?

04. La altura trazada del ángulo recto de un triángulo rectángulo determina sobre la hipotenusa segmentos de 8 cm. y 6 cm. ¿Cuánto mide dicha altura?

05. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm. y la altura trazada del ángulo recto 12 cm.. Hallar la medida de los segmentos determinados sobre dicha hipotenusa.

06. De un punto de una circunferencia se traza un diámetro y una cuerda. Si el diámetro mide 9 cm. y la cuerda 6 cm. ¿cuánto mide la proyección de esta cuerda sobre el diámetro?

07. De un punto de una circunferencia se traza una perpendicular al diámetro. Si los segmentos determinados sobre dicho diámetro miden 36 y 16 cm. ¿cuánto mide la perpendicular?

08. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 54 y 72 cm. Hallar la longitud de la hipotenusa.

09. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 40 cm. y uno de sus catetos 32 cm. ¿cuánto mide el otro cateto?

10. La altura de un muro es 3.20 m. Una escalera de 4.20 m. de longitud se apoya sobre el muro de modo que sus extremos superiores coinciden. ¿cuál es la distancia que hay del pie del muro al pie de la escalera? (Con aproximación a centésimas)

11. Un poste de luz de 8 m. de altura se afirma con un cable que ejerce una fuerza contraria al viento. Si el poste se sujeta a partir de 0.80 m de su extremo superior y la distancia del pie del poste al pie del cable es 4 m, ¿cuánto mide el cable? (Con aproximación a centésimas)

12. Hallar la longitud la altura de un triángulo equilátero de 16 cm. de lado. (Con aproximación a centésimas)

13. La longitud de uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 15 cm. Si la base es 4/5 de este lado. ¿cuánto mide cada cateto?

14. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide cm. ¿cuánto mide cada cateto?

15. La altura de un triángulo equilátero es cm. ¿Cuánto mide cada cateto?

16. La diagonal de un cuadrado mide cm. ¿Cuánto mide su perímetro?

17. La base de un rectángulo mide el doble de su altura. Si su diagonal mide m. ¿Cuánto mide su perímetro?

18. En cada una de las figuras siguientes, halle los valores numéricos de x, y. (Opere con radicales si fuera necesario)

19. En un triángulo rectángulo, el cateto mayor mide 5 cm. más que el menor. Si la hipotenusa mide 25 cm. ¿Cuánto mide cada cateto?

20. Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética cuya razón es 3 cm. ¿cuánto mide cada lado?

Problemas Propuestos 01

01. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 8 cm. más que el cateto menor. Si el cateto mayor mide su perímetro?

a) 40 cm. b) 48 cm. c) 34 cm.
d) 49 cm. e) N.a.

02. En un triángulo rectángulo la diferencia de los catetos es 3 cm. Si la longitud de la hipotenusa es 15 cm. ¿cuánto mide cada cateto?

a) 12 y 9 cm. b) 12 y 10 cm. c) 10 y 9 cm.
d) 12 y 11 cm. e) N.a.

03. El perímetro de un rectángulo mide 112 cm. y la diagonal 40 cm. Hallar sus dimensiones.

a) 20 y 22 cm. b) 22 y 24 cm. c) 24 y 32 cm.
d) 30 y 40 cm. e) N.a.

04. En un trapecio rectángulo, el lado perpendicular a las bases mide 9 cm. y las bases 30 cm. y 18 cm. Hallar la longitud del cuarto lado.

a) 12 cm b) 14 cm c) 14, 5 cm
d) 15 cm e) N.a.

05. En un trapecio isósceles, los lados no paralelos forman con la base mayor ángulos de 45° i miden cm. cada uno. Si la base menor mide 56 cm, ¿cuánto mide la base mayor?

a) 64 cm. b) 70 cm. c) 38 cm.
d) 42 cm. e) N.a.

06. Las diagonales de un rombo miden 56 m y 42 m. Hallar su perímetro.

a) 40 m b) 70 m c) 140 m
d) 180 m e) N.a.

07. Los catetos de un triángulo rectángulo están en la relación de 3 a 4. Si la longitud de la hipotenusa mide 25 cm. Calcular la longitud del cateto mayor

a) 10 cm. b) 20 cm c) 22 cm
d) 28 cm e) N.a.

08. La altura de una pared es de 7 m. Una escalera de 25 m de longitud se apoya sobre la pared de modo que sus extremos superiores coinciden ¿Cuál es la distancia que hay del pie de la pared al pie de la escalera?

a) 24 m b) 22 m c) 21 cm
d) 18 m e) 15 m

09. La hipotenusa se un triángulo rectángulo isósceles mide cm. Calcular la longitud de cada cateto.

a) 18 cm. b) 19 cm c) 20 cm
d) 21 cm e) 22 cm

10. Calcular la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide cm.

a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm
d) 15 cm e) 30 cm

11. Calcular el lado de un cuadrado, si se sabe que la suma de su diagonal con su lado mide 16.8994 cm.

a) 7 cm b) 8 cm c) 9 cm
d) 10 cm e) 11 cm.

12. Calcular el lado de un triángulo equilátero cuya altura mide cm.

a) 28 cm. b) 30 cm c) 40 cm
d) 38 cm e) 41 cm.

13. Calcular la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide cm.

a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm
d) 8 cm e) 10 cm.

14. Desde un punto P se trazan una recta perpendicular PC y dos oblicuas AP y PB a un mismo lado de la perpendicular. Si AB = 26 cm., AC = 9 cm. y PA = 15 cm. Calcular la longitud de la oblicua PB.

a) 31 cm b) 33 cm c) 35 cm
d) 37 cm e) 40 cm

15. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo está en relación de 1 es a 2. Si la longitud del cateto menor mide cm. Calcular la longitud del cateto mayor.

a) 30 cm b) 35 cm c) 40 cm
d) 45 cm e) N.a.

16. En un triángulo rectángulo ACB recto en C, hallar a, si b = m2 – 1 y c= m2 + 1

a) m b) m2 c) m + 1
d) 2 m e) N.a.

17. En un triángulo rectángulo ACB recto en C, hallar c, si a = n2 – 1 y b = 2n.

a) ( n2 – 1 ) b) n + 1 c) ( n – 1 )
d) n2 + 1 e) N.a.

18. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 41 cm. y uno de los catetos 9 cm. Calcular la altura correspondiente a la hipotenusa.

a) 8, 78 cm b) 9, 56 cm c) 10, 34 cm
d) 6, 24 cm e) N.a.

19. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 34 cm. y la altura del triángulo 30 cm. Calcular la longitud de la base.

a) 30 cm. b) 32 cm c) 40 cm
d) 38 cm e) N.a.

20. La base de un triángulo es doble de su altura. Si su diagonal mide m. Calcular su perímetro.

a) 40 m b) 50 m c) 60 m
d) 70 m e) N.a.

Tarea Domiciliaria

01. Calcular la base de un rectángulo cuya diagonal mide m y su altura es igual a 2/5 de la base.

02. La base de un triángulo isósceles mide 34.6420 m. Los ángulos de la base mide 30°. Calcular la altura.

03. El perímetro de un rectángulo mide 82 m y la diagonal 29 m. Calcular el lado menor.

04. Hallar las diagonales de un rombo cuya suma es 42 m y uno de sus lados mide 15 m.

05. Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que un cateto es 8 cm. menos que la hipotenusa y 1 cm. más que el otro cateto.

06. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 26 cm y la suma de sus catetos 34 cm. Calcular la longitud del cateto mayor.

07. Los lados de un triángulo miden 11 cm., 18 cm, y 20 cm ¿cuántos centímetros debe quitarse a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo?

08. Desde un punto exterior se trazan 2 oblicuas a una recta, que miden 7 y 24 cm. Si la distancia entre los pies de dichas oblicuas es de 25 cm. Calcular la medida de la perpendicular bajada desde el punto exterior sobre la recta.

09. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 56 cm. la altura bajada de la hipotenusa mide 6.72 m. Calcular la longitud de los catetos.

10. Calcular el cateto menor de un triángulo rectángulo, cuyo perímetro mide 20 cm. y la suma de sus catetos 11.5 cm.

1. POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA:

Un polígono se llama inscrito en una circunferencia si todos sus vértices son puntos de dicha circunferencia, tal como el triángulo ABC de la figura 01.

Un polígono se llama circunscrito en una circunferencia si todos sus lados son tangentes a dicha circunferencia, tal como el cuadrilátero ABCD de la figura 02.

Cuando el polígono está inscrito, la circunferencia se llama circunscrita; cuando el polígono esta circunscrito, la circunferencia se llama inscrita.

Saber que:

a) Todo triángulo es siempre inscriptible en una circunferencia; pero un cuadrilátero para ser tal, debe tener sus ángulos opuestos suplementarios.

b) Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir en una circunferencia.

c) Los centros de la circunferencia inscrita y circunscrita a un polígono regular coinciden; y además, es el centro del polígono.

2. POLÍGONO REGULAR INSCRITO:

Sabemos que un polígono es regular si sus lados son congruentes.

En la figura 03, el pentágono ABCDE es un polígono regular inscrito.

En un polígono regular inscrito, el centro y el radio del polígono son el centro y el radio de la circunferencia.

Apotema de un polígono regular inscrito es el segmento perpendicular trazada del centro de la circunferencia al punto medio de un lado, tal como .

Además, en todo polígono regular inscrito los lados de un polígono son cuerdas congruentes de la circunferencia; por consiguiente, los arcos, así como los ángulos centrales son congruentes.

Cualquier polígono regular puede inscribirse en una circunferencia; pero, solamente estudiaremos: el cuadrado, el exágono regular y el triángulo equilátero.

Si r es el radio de la circunferencia c, l el lado del polígono ap su apotema, tenemos:

I. Cuadrado Inscrito.
a) Costrucción:
1) Se trazan dos diámetros perpendiculares de la circunferencia.
2) Se trazan las cuerdas que unen los extremos de los diámetros.
Así obtenemos el cuadrado inscrito ABCD (Fig. 04)

b) Cálculo del lado en función del radio:
En el  AOB (fig. 04), se tiene:

l 2 = r2 + r2 (Teorema de pitágoras)
l 2 = 2r2
l =
c) Cálculo del apotema en función del
radio:
En el  BCD (Fig. 04), O y M son puntos medio de dos lados, entonces
Luego:

II. Hexágono regular inscrito
a) Construcción:
1) Con una longitud igual al radio, se divide la circunferencia en 6 partes.

2) Se trazan consecutivamente las cuerdas que unen estos puntos de división.

Así, se obtiene el hexágono inscrito ABCDEF (Fig. 05)

b) Cálculo del lado en función del radio:
De la simple construcción se deduce que:

= r

c) Cálculo del apotema en función del radio:
En el  FMO (Fig. 05) se tiene:

III. Triángulo equilátero inscrito:
a) Construcción:
1) Con una longitud igual al radio, se divide la circunferencia en 6 partes.

2) Se trazan las cuerdas que unen los puntos de división no consecutivos.
Así, se obtiene el triángulo equilátero inscrito ABC.

b) Cálculo del lado del radio:
En el  CBD (Fig. 06) se tiene:

c) Cálculo del apotema en función del radio:
En el  CBD ( Fig. 06 ), O y M son puntos medios de dos lados, entonces

Luego:

Ejemplo 01: La apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 2 cm. ¿cuánto mide su perímetro?

Solución: Sabemos que:

De donde:

Además: l =
De donde: l =
Luego: p = 4l = 4 x 4 = 16 cm.

Respuesta: El perímetro del cuadrado mide 16 cm.

3. LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA:
Sabemos que un segmento puede medirse utilizando un instrumento como es la regla graduada; en cambio, tratándose de una curva y en particular de una circunferencia, no es posible esta medición mediante un instrumento rectilíneo, es decir, no se puede establecer una razón entre la curva y el segmento. Por tal razón, para calcular la longitud de la circunferencia emplearemos otro procedimiento geométrico.

Supongamos que los lados de un cuadrado inscrito se dupliquen sucesivamente ( Fig. 07 ), así obtendremos polígonos de 8, 16, 32, 64, ….. lados y cuyo perímetro es un número real que se aproxima a la longitud C de ka circunferencia como límite. Por consiguiente, si p es el perímetro de un polígono regular de n lados, tenemos:

Se lee: “p se aproxima a Como límite”.

Luego, podemos decir:

La longitud de una circunferencia es el límite de los perímetros de los polígonos regulares inscritos.

TEOREMA: La razón de la longitud de una circunferencia y su diámetro, es la misma para todas las circunferencias.

Sean C y C’ las longitudes de dos circunferencias de radios r y r’.

Luego:

La razón , que es la suma para todas las circunferencias, es un número que se llama “pi” y cuyo símbolo es .

De modo que: Si:

Esta fórmula expresa la longitud de la circunferencia.

 es un número irracional cuyas algunas aproximaciones son: 3, 3.14, 3.1416, 3.141592, ………

Para su aplicación usaremos:  = 3.14

Ejemplo 01:

• El apotema de un hexágono inscrito en una circunferencia mide cm. ¿Cuánto mide el perímetro del hexágono y la longitud de la circunferencia?

Solución:
Sabemos que:

De donde:

Luego: p = 6 l = 6 x 10 = 60 cm.
C = 2 r= 2 x 3.14 x 10 = 62.8 cm.

Respuesta:
El perímetro del hexágono mide 60 cm y la longitud de la circunferencia 62.8 cm.

Práctica de clase

01. ¿Cuánto mide la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 8 cm. de radio?

02. El apotema de un cuadrado inscrito mide 2.82 cm. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita?

03. ¿Cuánto mide el apotema de un exágono regular inscrito en una circunferencia de 16 cm. de diámetro?

04. El apotema de un exágono regular mide 3 cm. Hallar la longitud del radio de la circunferencia circunscrito.

05. El lado de un exágono regular inscrito mide 12 cm. ¿Cuánto mide el apotema del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferenci?

06. ¿Cuánto mide el diámetro de una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de 4.5 cm de apotema?

07. El lado de un cuadrado inscrito mide 12 cm. ¿Cuánto mide su apotema?

08. ¿Cuánto mide el lado y el apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 12 cm, de radio?

09. El apotema de un cuadrado inscrito mide 22, 56 cm. ¿Cuánto mide el radio de circunferencia circunscrita?

10. ¿Cuánto mide el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 62, 8 cm. de longitud?

11. El perímetro de un triángulo equilátero es 108 cm. ¿Cuánto mide su apotema?

12. El perímetro de un exágono regular inscrito es 48 cm. ¿Cuánto mide su radio u apotema?

13. Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita a un hexágono regular de 96 cm. de perímetro.

14. La longitud de una circunferencia mide 31. 40 cm. ¿Cuánto mide su radio?

15. La apotema de un triángulo equilátero inscrito mide 3 cm. Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita.

Problemas Propuestos

01. El lado de un triángulo equilátero inscrito mide 18 cm. ¿Cuánto mide su apotema?

a) cm b) cm c) 4 cm
d) 2 cm, e) N.a.

02. Cuánto mide el lado de un hexágono regular inscrito cuyo apotema mide 6 cm.?

a) cm b) cm c) cm
d) d) N.a.

03. El apotema de un triángulo equilátero mide 3. Calcular el valor del lado

a) cm b) cm c) 5 cm.
d) cm e) N.a.

04. El lado de un cuadrado inscrito mide 14.1 cm. Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita.

a) 62,8 cm b) 71,4 cm c) 40,3 cm
d) 20,2 cm e) 10,5 cm

05. El perímetro de un hexágono regular inscrito mide 48 cm. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia circunscrita?

a) 40 cm b) 50,24 cm c) 30,10 cm
d) 48,3 cm e) N.a.

06. La longitud de una circunferencia es 18.84 cm ¿Cuánto mide el lado del triángulo equilátero inscrito de dicha circunferencia?

a) 2 b) 3 c) 5,19
d) 6 e) 7,2

07. Hallar la longitud del apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 50.24 cm. de longitud?

a) 5,64 b) 3,12 c) 3,28
d) 1,12 e) N.a.

08. ¿Cuánto mide el apotema de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 1,256 de longitud?

a) 12,3 cm b) 17,3 cm c) 10,3 cm
d) 20,8 cm e) N.a.

09. Un arco de 36° pertenece a una circunferencia de 2 m de radio. Hallar la longitud de arco

a) 1,256 cm b) 2,13 c) 3,12 cm
d) 5,10 cm e) N.a.

10. En una circunferencia de 6 m de radio, se determina un arco de 48° 36’ ¿cuál es su longitud?

a) 5,08 m b) 3,12 m c) 2,25 m
d) 1,12 m e) N.a.

11. A un ángulo central de 60° le corresponde un arco de 12.56 cm. de longitud ¿cuánto mide el radio de la circunferencia que contiene a dicho arco?

a) 10 cm b) 12 cm c) 15 cm
d) 18 cm e) N.a.

12. La longitud de una circunferencia es 6.28 m. ¿cuántos grados tiene el arco que pertenece a dicha circunferencia y cuya longitud es 0.628 m?

a) 60° b) 30° c) 45°
d) 28° e) N.a.

13. Un niño que recorre el borde de la región circular de un coliseo de gallos da 120 pasos de 31.4 cm cada uno ¿cuánto mide el diámetro del coliseo?

a) 8 m b) 10 m c) 12 m
d) 15 m e) N.a.

14. El radio del arco de una bicicleta mide 32 cm y el diámetro de la goma 4 cm. ¿Cuánto ha recorrido un ciclista cuando la llanta delantera de su máquina ha dado 1000 vueltas?

a) 2,260 Km b) 2,1604 Km e) 3,420 Km
d) 2,148 Km e) N.a.

15. El diámetro de una de las llantas traseras de un tractor mide 1.20 m ¿cuántas vueltas dará dicha llanta para recorrer el largo de un terreno que mide 376.80 m?

a) 20 v b) 12 v c) 100 v
d) 28 v e) N.a.

Tarea Domiciliaria

01. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado circunscrito a una circunferencia de 15 cm. de radio?

02. El lado de un triángulo equilátero mide cm. hallar la medida del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

03. Calcular el valor de la medida del apotema de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 18 cm de radio?

04. La medida de un lado de un triángulo equilátero es 18 cm. Hallar el radio de una circunferencia circunscrita?

05. Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia que a su vez está inscrita en un cuadrado de 64 cm2. de área.

I. AREA DEL TRIÁNGULO
A. Área de un triángulo rectángulo:
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de sus catetos.

II. EXPRESIONES DEL ATREA DE UN TRIÁNGULO

A. En función de sus lados (Fórmula de Herón)

donde “p” es el semiperímetro del triángulo.

B. En función del radio “r” de la circunferencia inscrita:

C. En función del radio (R) de la circunferencia circunscrita:

D. En función del radio (r) de una de las circunferencias ex-inscrita:

Análogamente, tomando en cuenta las obras circunferenciales ex – inscritas, se verifica que:

E. Área del triángulo equilátero:

En función del lado (L) :

En función de la altura (h):
III. RELACIONES DE AREAS DE TRIÁNGULOS:

Teorema 1: Las áreas de dos triángulos que tienen la misma altura. Son proporcionales a sus respectivas bases.

Teorema 2: Las áreas de dos triángulos que tienen la misma base son proporcionales a sus respectivas alturas.

Teorema 3: Las áreas de dos triángulos cuales quiera son proporcionales a los productos de sus bases por sus respectivas alturas.

Teorema 4: Si dos triángulos son semejantes, sus áreas son proporcionales a los cuadrados de cualquiera de sus elementos homólogos o perímetros.

Practica de Clase

01. Hallar el área de la figura, si

a) 17 b) 8 c) 2
d) 3 e) 6

02. Hallar y el área del triángulo es igual a 42.

a) 4 b) 34 c) 18
d) 68 e) N.a.

03. Hallar el área del triángulo rectángulo ABC, si

a) 25 b) 19 c)28
d) 56 e) N.a.

04. Hallar el área del triángulo rectángulo ABC si

a) 8 b) 15 c) 5
d) 6 e) 12

05. Hallar el área de un triángulo equilátero, si el lado es
a) b) c)
d) e) N.a.

06. Hallar el área de un triángulo equilátero, si la altura del triángulo es
a) b) c)
d) e) N.a.

07. Hallar el área del triángulo ABC

a) 73 b) 75 c) 74
d) 72 e) N.a.

08. Hallar el área del triángulo PQR

a) 20 b) 40 c) 60
d) 70 e) 48

09. Hallar el área del triángulo PQN es 14, además N es punto medio de

a) 14 b) 7 c) 28
d) 15 e) 16

10. Hallar la altura del triángulo, si el área del triángulo ABM es 2 veces el área del triángulo MBC y el área de ABC es 24.

a) 8 b) 4 c) 3
d) 5 e) 7

11. Hallar el área sombrada:

a) 15 b) 30 c) 21
d) 42 e) N.a.

12. Hallar el área total del triángulo ABC

a) 48 b) 24 c) 32
d) 80 e) N.a.

13. Los lados de un triángulo son 11, 12, 13 cm. Hallar su área.

a) b) c)
d) e) N.a.

14. Los lados de un triángulo son 6a, 9a, 11a y su área es igual a . Hallar “a + 2”

a) 3 b) 5 c) 6
d) 4 e) N.a.

15. Hallar el área del triángulo ABC si y y

a) b) c)
d) e) N.a.

16. Dado un triángulo obtusángulo ABC, . Hallar el área de dicho triángulo.
a) 24 b) 84 c) 78
d) 42 e) 56

17. En la figura hallar el área del triángulo FAH si

a) 48 b) 52 c) 50
d) 51 e) 54

18. En un triángulo ABC, recto en B la proyecciones ortogonales de los lados sobre el lado son 49/25 y 576/26 . Hallar el área del triángulo.

a) 74 b) 82 c) 84
d) 86 e) 72

19. El área del triángulo ABC es 28 y . Hallar el área del triángulo ADC.

a) 28 b) 28/3 c) 23/8
d) 14 e) N.a.

20. El área del triángulo ABC es 20 y . Hallar la suma de las áreas de los triángulos ABC y ADC.

a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24

21. Se tiene un triángulo equilátero de 10 m. de lado, se unen los puntos medios de sus lados y se forma un triángulo cuya área es:

a) b)
c) d)
e) 3

22. El área del triángulo formado al unir los puntos medios de los lados de un triángulo es 7. Hallar el área del triángulo original.

a) 14 b) 28 c) 7
d) 21 e) N.a.

23. Hallar el área del rombo

a) 100 b) 96 c) 193
d) 192 e) 97

24. Hallar el área del rombo si su área

a) 15 b) 12 c) 9
d) 17 e) N.a.

25. Hallar el área sombreada, si el área del triángulo es 18.

a) 16 b) 14 c) 12
d) 15 e) 17

26. Hallar el área sombreada , si el área del triángulo es igual a 60.

27.Sean ; además la distancia entre ellos es 5m y . Hallar la suma de las áreas de triángulos ABC, ABD, ABE, ABF, ABG.

a) 80 b) n c) 40n
d) 80 d) 40

29. Si ABCD es un cuadrado de lado 4. Hallar el área sombreada, si P, Q, R, S son puntos medios.

a) 2 b) 4 c) 6
d) 2 e) N.a.

30. Si ABCD es un rectángulo de largo igual a 10 y ancho igual a 8. Hallar el área sombreada si P, Q, R, S son puntos medios.

a) 20 b) 40 c) 10
d) 30 e) 15
Problemas Propuestos

01. En un triángulo isósceles ABC, con AB = BC, la altura que parte de B mide 8 m. y el perímetro es 32 m. Hallar el área del triángulo.

a) 48 m2 b) 20 m2 c) 15 m2
d) 50 m2 e) N.a.

02. Si . Hallar el área del triángulo ABC.

a) 36/5 b) 100/2 c) 24/5
d) 12/5 e) 94/5

03. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 8, M y N son puntos medio. Hallar el área del cuadrilátero PBCD

a) b) c)
d) e) N.a.

04. En la figura, hallar la relación entre el área del cuadrado y el cuadrilátero BCDR, si el lado del cuadrado es 10, (P, Q son puntos medios)

a) 3/2 b) 3 c) 1
d) 1/2 e) 1/3

05. Hallar el área del cuadrilátero AMPN si la figura es un cuadrado de lado 6M y N son puntos medios.

a) 3 b) 6 c) 12
d) 9 e) 15

06. Hallar el área del triángulo rectángulo ABC, si

a) 60 b) 70 c) 50
d) 40 e) N.a.

07. En un triángulo recto en N, hallar el área de dicho triángulo. Si:

a) 21 b) 84 c) 74
d) 68 e) 42

08. Hallar el área del triángulo.

a) 10m2 b) 15m2 c) 20m2
d) 30m2 e) N.a.

09. Dos lados de un triángulo miden 9 y 13 si una de las alturas de dicho triángulo mide 12 cm. Hallar el área de dicho triángulo.

a) 120 cm2 b) 140 cm2 c) 150 cm2
d) 180 cm2 e) N.a.

10. Dos lados de un triángulo miden 15 y 7 cm. Si una de las alturas de dicho triángulo mide 8 cm. Hallar el área de dicho triángulo.

a) 56 cm2 b) 28 cm2 c) 15 cm2
d) 75 cm2 e) N.a.

11. Dos lados de un triángulo miden 5 y 12 cm. ; el ángulo comprendido entre los lados es igual a 150° . Hallar el área del triángulo.

a) 30 cm2 b) 12 cm2 c) 35 cm2
d) 15 cm2 e) N.a.

12. En un triángulo ABC: y la distancia del punto medio de es 4. Calcular el área de la región triángular ABC.
a) 40 b) 30 c) 100
d) 10 e) N.a.

13. Calcular el área de la región triangular regular sabiendo que ésta es numéricamente igual a la longitud de su altura.

a) b) c)
d) e) N.a.

14. En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 m y la altura relativa a la hipotenusa mide 2,4 m. Hallar el área de dicho triángulo.

a) 4 m2 b) 4,8 m2 c) 6 m2
d) 6,4 m2 e) 7,2 m2

15. Por el incentro “I”de un triángulo rectángulo ABC ( m ∡B = 90° ) se trazan I M ⊥ AI ( M en ), (N en ). Calcular el área de la región triangular INC; si

a) 1 m2 b) 2 m2 c) 3 m2
d) 1,5 m2 e) 2,5 m2

Tarea Domiciliaria

01. En un triángulo rectángulo ABC: m ∡B = 90°, se traza una altura . Si AH = 2 y HC = 8; Calcular el área de la región ABC.

02. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, el radio de la circunferencia inscrita mide 4 y m ∡ C = 37°. Calcular el área de la región ABC.

a) 96 b) 48 c) 120
d) 84 e) N.a.

03. Las medidas de los lados de un triángulo son 13, 14 y 15. Calcular el área de la región triangular correspondiente.

a) 48 b) 56 c) 80
d) 84 e) N.a.

04. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior si el área de la región ABC es 64 y . Calcular el área de la región ABD.

a) 20 b) 24 c) 30
d) 32 e) N.a.

05. En un triángulo ABC: AC = 8, calcular la longitud del segmento ( M  y N  ) para que las regiones MBN y AMNC sean equivalentes; además

a) 4 b) c)
d) e) N.a.

SOLUCIONARIO

Nº EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03
01. B A A
02. A C B
03. C D E
04. D A A
05. A B B
06. C C B
07. B A B
08. A B B
09. C A A
10. E A B
11. A B D
12. B A A
13. C C C
14. D A C
15. D C A
16. D
17. D
18. A
19. B
20. C