GEOMETRIA ANALITICA

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El objeto de este espacio es presentar los conceptos fundamentales de la Geometría analítica plana.
Estos conceptos son fundamentales en el sentido de que constituyen la base del estudio de la Geometría analítica. En particular, se hará notar cómo se generalizan muchas de las nociones de la Geometría elemental por los métodos de la Geometría analítica.
Un buen fundamento en Geometría analítica del espacio es de gran valor para estudios posteriores de Matemáticas. Por ejemplo, un estudio razonado de intersección de superficies y curvas en el espacio será una gran ayuda para la comprensión de muchos temas de Cálculo infinitesimal.

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GEOMETRIA ANALITICA DE LEHMANN

SOLUCIONARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA DE CHARLES LEHMANN PDF

GEOMETRIA ANALITICA TRIDIMENSIONAL

OBJETIVOS
 Definir conceptos sobre números reales, recta numérica.
• Determinar puntos en un sistema bidimensional de coordenadas que corresponden a pares ordenados de números reales.
• Reconocer y aplicar fórmulas básicas del cálculo de una distancia entre dos puntos.
• Reconocer y aplicar fórmula para el cálculo de las coordenadas del punto medio y división de un segmento en una razón dada.
El plano euclidiano
Los ejes coordenados
El plano cartesiano
Si stema de coordenadas
Operaciones con parejas ordenadas
Longitud de un segmento
Disrancia entre dos punros
Segmentos dirigidos
División de Iln segmento
Punto medio de un segmemo
Razón aritmética de segmentos. Razón algebraica de segmenros dirigidos
División de un segmento en una razón dada
Fórmula para el punto de división de un segmento
Unidad 2 La línea recta
Ángulo de i nc linació n de Ilna recta ca n respecto al eje X
La pendiente de una recta
Cálculo de la pendiente cuando se conocen dos puntos de la recta
Uso de la calculadora para obtener una aproxi mación de a
Cómo graficar la recta conociendo uno de sus pumas y su pendieme
Ecuación de la recta conociendo uno de sus puntos y 5U pendiente
Forma punro-pendieme
Forma pendiente-ordenada al origen
Ecuación de la recta conociendo dos de sus pBntos
Rectas verticales 51
Forma general de la ecuación de la recta
Forma simétrica de la eCllación de la recta
Intersección de rectas fíO
Ángulo entre dos rectas
Paraleli5mo y perpendiclllaridad
Relación entre las pendientes de rectas paralefas o perpendiculares
Desi’llaldades y re,iones del plano
Regiones del plano dererminadas por rectas no verticales
Regiones del plano dererminadas por rectas verticales
Punto de equil ibrio
Distancia de un pllnto a una recta
Distancia entre dos rectas paralelas
Lados opllmos (semiplanos) respecto a IlM recta
D:Js orientaciones de los lados de una recta
Distancia dirigida de un pllnto a Ilna recta
Coordenadas de un punto respecto a dos rectas ortogonales
Bisectriz de un ángldo
EcuadolWs paramétricas de una recta
Resohlción de problemas
l..u.gares geométricos
Unidad 3 Las cónicas
Las secciones cónicas
El circulo
La palábola
La eli pse
La hipérbola
Equivalencia enue las definiciones de las cónicas medianre cortes
de un cono o un cilindro por un plano, y las definiciones
en términos de distancias
Traslaciones de 105 ejes
Unidad 4 El círculo
Definición del círculo
Ecuación del círculo con centm en el origen
Ecuaciones estándar y general del círculo
Intersección de un círculo con una recta
Recta rangentea un drculo
Intersección de dos circulos
El círculo que pasa por tres puntos
El circulo de los nueve pu ntos
Ecuaciones paramétricas del círculo
Desigualdades y el círculo
Resolución de problemas
lugares geométricos
Unidad 5 La. parábola
Definición de la parábola
Las parábolas con vértice en el origen
Parábolas verticales
Parábolas horizontales
Con5trucción de la parábola
Sugerencias para [razar una parábola conociendo su ecuación
Consnucción de la parábola. con el uso de instrumentos
Ecuaciones estándary general de la parábola
Algunas aplicaciones de la parábola
Amenas parabólicas
Puentes colgames
Tiro parabólico
Arquitectura
l.a$ funciones cuadráticas y las parábolas
Desigualdades y la parábola
La recta tangente a la parábola
Ecuaciones paramétricas de la parábola
Re50lución de problemas
Lugares geométricos
Unidad6 Laelipse
Definición de la elipse
Elipse con centro en el origen
Elipse horizontal
Elipse vertical
Construcción de la e lipse
Sugerencias para trazar una el ipse
Construcción de la elipse con el uso de instrumentos
La excentricidad de la elipse
Otra manera de definir elipse. Directrices de la elipse
Elip5e$ cone;e focal paralelo a un eje cartesiano
Directrices de una elipse con centro en C(h,k)
Algunas aplicaciones de la elipse
Propiedad de reflexión de la elipse
Arquitectura
Medicina
Astronomfa
Otra interpretación de la definición de la elipse
Desigualdades y la elipse
Recta tangente a una elipse
Ecuadones paramétricas de la elipse
Resolución de problemas
Lugares geométricos
Unidad 7 La hipérbola
Definición de la hipérbola
La hipérbola con centro en el origen
Hipéroola horizontal
Hipérbola vertical
Las asíntotas de la hipérbola
La eXOi!ntricidad de la hipérbola
Otra manera de definir una hipérbola
Directrices de la hipérbola
Construcción de la hipérbola
Sugerencias para trazar una hipérbola
Construcción de la hipérbola con el uso de instrumentos
Hipérbolas con eje focal paralelo a un eje cartesiano
Di recuices de ~ h i pérbo la con centro en C(h, k)
Aplicaciones de la hipérbola
Propiedad de reflexión de la hipérbola
Sistema de navegación loran
Arquitectura
Asuonomía
Otra interpretación de la definición de la hipérbola
Las funciones cuadráticas y las hipérbolas
Desigualdades y la hipérbola
Recta tangente a una hipérbola
Ecuaciones paramétricas de la hipérbola
Resolución de problemas
Lugares geométricos
Unidad 8 La ecuación general de segundo grado
Rotación de 105 ejes de coordenadas
Ecuación general de las cónicas
Caso B – O. Traslación de ejes
Caso B .. O. Rotación de ejes
Discriminante de la ecuación general
Resolución de problemas
Lugares geométricos
Apéndice
Uso de la hoja de cálculo para hacer gráficas 436
Solucionario
Índice analítico
RENÉ DESCARTES (1596 – 1650)

Filósofo y matemático francés nació en La Haya el 31 de Marzo de 1596 y murió en Estocolmo (Suecia) el 11 de Febrero de 1650. Descartes usó su nombre latinizado Renatus Cartesius; pues el latín era el lenguaje erudito y esta costumbre era muy común. Tuvo problemas con una tos crónica y cuando fue al colegio se le permitió permanecer en cama cuando lo desease, mantuvo durante toda su vida la costumbre de trabajar en la cama. Es esta enfermedad que lo llevó a la tumba. Cuando en 1633 tuvo noticia de la condena de Galileo por la herejía, abandonó por el momento el libro que estaba escribiendo sobre el universo en el que aceptaba la teoría de Copérnico. Es el padre de la Filosofía moderna y contribuyó principalmente a la ciencia con sus matemáticas inventando el sistema de coordenadas el cual lleva su nombre.

NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Concepto
Los sistemas numéricos: Naturales, enteros, racionales y reales, constituyen estructuras algebraicas que se utilizarán en Trigonometría plana. El estudio de estos sistemas numéricos se desarrollan en principio en un sistema unidimensional y posteriormente en un sistema bidimensional ideado por el filósofo francés René Descartes, quien pudo dar consistencia al estudio de las relaciones y funciones.

SISTEMA UNIDIMENSIONAL
Los números reales se pueden ubicar en una recta numérica por convención los números positivos se ubican a la derecha del cero (0) y los números negativos a la izquerda de este.
Debido a la gran densidad de los números reales, estos pueden estar ubicados en la recta numérica.
La figura 1 nos ilustra un poco más al respecto:

Figura1

Existiendo una relación biunívoca entre los números reales y cada punto de la recta; es decir, a cada punto de la recta le corresponde un sólo número real, asimismo a cada número real le corresponde un punto de la recta.
Como se puede ver en la figuar 1, el punto O corresponde al cero (0) el punto A corresponde al dos (2), al punto C le corresponde el tres (3).
En general si al número real x le corresponde el punto P entonces se denota como P(x), que se lee como “el punto P con coordenada x”.
Entonces, si tenemos:

Se podrá calcular la distancia entre P1 y P2 la cual se definió como:

TEOREMA:
En un sistema coordenado lineal, la distancia dirigida entre los puntos P1(x1) y P2(x2) sobre una recta está dado por:

En un sistema de coordenadas lineal, la distancia no dirigida entre dos puntos se obtiene como el valor absoluto de la longitud que une estos puntos.

Ejemplo:
1. Calcular la distancia entre P1 y P2 si:

Resolución:
1. Se hará la orientación positiva:

2. Se hará la orientación negativa:

SISTEMA BIDIMENSIONAL
A partir del concepto de un sistema unidimensional se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y pares ordenados de números reales.
Lo cual permite denominar lo que es el PLANO CARTESIANO que es un sistema formado por dos rectas numéricas las cuales se cortan perpendicularmente en sus orígenes y dicha intersección será el origen de coordenadas.
A la recta HORIZONTAL se le conoce como EJE DE ABCISAS (X), mientras que a la recta VERTICAL se le denomina EJE DE ORDENADAS (Y).
En la figura adjunta podemos observar al plano cartesiano cuyas características son las siguientes:
* “O”: Origen
de coordenadas
* El eje :
Eje de Abcisas
(Eje X)
* El eje
Eje de Ordenadas
(Eje Y)
* Se observa también que el plano está dividido en 4 regiones denominados cuadrantes y numerados como se indica en la figura.
* También se determina:
– : Semieje positivo de las abcisas.
– : Semieje negativo de las abcisas.
– : Semieje positivo de las ordenadas.
– : Semieje negativo de las ordenadas.
1. UBICACIÓN DE UN PUNTO:
La ubicación de un punto en el plano cartesiano se representa mediante un par ordenado (x; y); en donde a este punto se conoce como “Coordenadas del Punto”.
Entonces:
* a x se le denomina Abcisa del punto P.
* a y se le denomina Ordenada del punto P.

Entonces:
* P(x; y) se lee: El punto P de coordenadas x, y.
* P IC se lee : El punto P pertence al primer cuadrante.
* El punto R se halla en el plano cartesiano, pero no pertenece a cuadrante alguno, se dice que pertenece al semieje positivo de abscisas.

1. Si: P(x; y) IC x>0; y>0
Si: P(x; y) IIC x<0; y>0
Si: P(x; y) IIIC x<0; y<0
Si: P(x; y) IVC x>0; y<0

2. A la distancia de un punto del plano cartesiano al origen se llama RADIO VECTOR (r) y se le considera positivo.

De la figura: : radio vector (r)

Ejemplo :
1. Halle el radio para el punto: (8; 15), (–3; 4),
(–5; –4) y (–7; 24)
Resolución:
* (8; 15) r=
* (–3; 4)
* (–5; -4)
* (–7; 24)

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:
La distancia entre dos puntos cualesquiera que pertenecen a un plano, se calcula de la siguiente manera:
Sean los puntos:
ubicados en un plano cartesiano, entonces:

Por el Teorema de Pitágoras:

Ejemplos:
1. Hallar la distancia entre los puntos A(3; 7) y
B (–2; 4)
Resolución:
Partiremos de los componentes del punto A.

2. Dado los puntos A(-4; 3); B(-4; -13) y C(4;2) forman un triángulo al unir los puntos. Calcular su perímetro.
Resolución:
Graficando los puntos:

* : Como los puntos A y B tienen las mismas abcisas, entonces:
=13 – (–2)=15
* : Los puntos B y C tienen las mismas ordenadas, entonces:
= 4 – (–4)=8
*

3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA:
Para calcular las coordenadas de un punto que divide a un segmento en partes proporcionales mediante una razón se tiene:

* Sean los extremos de un segmento
* Sea P(x;y) un punto colineal con P1 y P2, el cual divide al segmento P1P2 en una razón.

* P1 AP PB P2

* P1 AP PB P2

Por lo tanto; las coordenadas del punto P serán:

Ejemplos:
1. Los puntos extremos un segemento son A(3; 6) y B (10; –2). Hallar las coordenadas de un punto P tal que:

Resolución:
en las fórmulas se tiene:

2. Sean los puntos colinelaes, si Hallar x – y.
Resolución:
Se tiene que r=–2, entonces:

4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
Si: M(x; y) es el punto medio del segmento que tiene por extremos: P1 (x1 ; y1) y P2 (x2 ; y2), entonces se tiene:

* Por propiedad de Trapecio (Base media).
x – x1 = x2 – x

* Por propiedad de Trapecio (Base media).

Ejemplos:
1. Calcule las coordenadas del punto medio M(x,y) del segmento cuyos extremos son:
(–4; 12) y (6; –6)
Resolución:
Entonces del enunciado tenemos:

2. Si las coordenadas del punto medio del segmento AB es (–2; 1), calcular las coordenadas del punto B si A tiene como coordenadas (8; 12)
Resolución:
Sea M(x;y), las coordenadas del punto medio entre A y B.

Como

5. COORDENADAS DEL BARICENTRO
DE UN TRIANGULO:
Sean las coordenadas de los vértices de un triángulo y sea G(x;y) las coordenadas del baricentro del triángulo, entonces:

* Se traza P2M, donde M punto medio, entonces sus coordenadas serán:

* Como G(x; y) es el baricentro entonces se cumple que:

* Aplicando la fórmula de la división de un segmento en una razón dada tenemos que:

Luego las coordenadas del baricentro G(x;y) será:

Ejemplo:
1. Calcule las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son A(–3; 4); B(4; 8) y C(–6; –3).
Resolución:
De la fórmula se tiene:

2. Calcule las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son: A(0; 0); B(2; 4) y C(–3; –5).
Resolución:
Sea G el baricentro. De la fórmula se tiene:

6. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR:
Sean P1 (x1 ; y1); P2 (x2 ; y2) y P3 (x3 ; y3) los vértices de un triángulo. Entonces el área S de una región triangular en función de las coordenadas de los vértices será igual a:

Para obtener el orden de la expresión 1 se escoge un vértice cualquiera y se sigue en sentido antihorario, en este caso se escogió P1, luego P2 y finalmente P3.
Entonces:

Ejemplo:
1. Los vértices de un triángulo son A(–2; 5); B(3; 7) y C(6; –3). Calcule su área.
Resolución:
Primeramente representaremos los pares ordenados en el plano cartesiano:

Sea S el área de la región triangular ABC.
Aplicando la fórmula y siguiendo el orden:
A–C–B–A

El mismo procedimiento se puede aplicar al área de una región poligonal.
11. Calcule el perímetro del cuadrado ABCD si:
A(–1 ; 1) y C(3 ; 5).

Rpta.:

12. Calcule la mínima y máxima distancia del punto P(1 ; 2) a la circunferencia de centro C(6 ; 14) y de radio 5.

Rpta.:

13. Calcule las coordenadas de los puntos más alejados a los ejes coordenados que pertenecen a la circunferencia de centro (5 ; 6) y de radio 2.

Rpta.:

14. Calcule las coordenadas de un punto que pertenece al eje de las ordenadas que equidista de los puntos P(3 ; 1) y Q(6 ; 2).

Rpta.:

15. Halle las coordenadas del centro de la circunferencia inscrita en el triángulo AOB si:
A(0 ; 3), B(4 ; 0) y “O” es el origen de las coordenadas.

Rpta.:
7. Calcule las coordenadas del baricentro del triángulo ABM si M es el punto medio de en el triángulo ABC donde:
A(–5; –3), B(–2; 6) y C(13; 9)
  A) (1; 1) B) (1; 2) C) (–1; 1)
D) (–1; 2) E) (–2; 1)

8. Halle las coordenadas de los puntos de trisección del segmento AB si A(2; 3) y B(5; 6).
  A) (3; 4) ; (4; 5) B) (3; 3) ; (4; 4)
C) (4; 3) ; (5; 4) D)
E)

9. Se tiene el cuadrado ABCD donde:
A(–2; 6), B(4; 3) y C(1; –3). Calcule las coordenadas del punto D.
  A) (–4; 0) B) (–5; 0) C) (–6; 0)
D) (–7; 0) E) (–3; 0)

10. En un triángulo ABC:
A(1; 3), B(–2; –3) y C(3, –1) se traza la bisectriz interior , halle las coordenadas del punto F.
  A) (1; –2) B) (1; –1) C) (2; –1)
D) E)