GEOMETRIA ANALITICA EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA PREUNIVERSITARIA

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OBJETIVOs :
* Entender y aplicar correctamente la Geometría Analítica en diversos problemas planteados.
* Comprender las ecuaciones algebraicas para luego analizarlas si es posible en un plano cartesiano.
* Consolidar el aprendizaje y aplicar correctamente los conceptos sobre diagrama cartesiano, par ordenado, etc.
* Calcular la distancia entre 2 puntos cualesquiera del plano, y demostrar teoremas de figuras geométricas.
* Definir el concepto de pendiente, calcular los ángulos de inclinación de segmentos e identificar las condiciones que deben cumplir las rectas paralelas y perpendiculares.
* Calcular el ángulo formado por dos rectas cualesquiera.
* Calcular el área de cualquier polígono en el plano cartesiano dados su vértices correspondientes.
* Calcular la ecuación de una recta, dados como datos: dos puntos, pendiente y un punto, el ángulo de inclinación y un punto.
*Obtener la ecuación de una recta, a partir de la pendiente y ordenada al origen.
* Identificar la pendiente, la abscisa y la ordenada al origen a partir de la ecuación general de una recta.
* Graficar la recta a partir de su ecuación general.
* Identificar la ecuación general de segundo grado y los elementos que la componen .
* Reconocer los elementos esenciales de la ecuación de segundo grado, para considerarla una circunferencia real, una circunferencia imaginaria o un punto.
* Identificar los elementos necesarios que debe contener la ecuación general de segundo grado, para considerarla una parábola, una elipse o una hipérbola.
* Identificar las características de una parábola de acuerdo a su definición como lugar geométrico, y sus elementos preponderantes como vértice, foco, etc.
* Calcular las ecuaciones de una parábola con vértice dentro y fuera del origen.

* Definir la elipse y reconocer sus características de acuerdo a su definición y sus elementos: centro, focos, lado recto.
* Calcular las ecuaciones de la elipse, con eje focal paralelo al eje «x» y paralelo al eje «y», con centro fuera y dentro del origen.

* Definir la hipérbola como lugar geométrico e identificar sus elementos.
* Calcular las ecuaciones ordinaria y general de la hipérbola con su eje focal paralelo a los ejes del sistema de referencia .
INTRODUCCIÓN :
El primer gran paso adelante en la geometría, después de la época de los griegos fue el desarrollo de un nuevo método llamado geometría cartesiana (geometría analítica).

Esta geometría es la fusión de la geometría clásica con el álgebra, creada por René Descartes en el siglo XVII, para dominar los posibles movimientos de los puntos sobre el plano a través de algo que ya sabemos manejar, los números. René Descartes, matemático y filósofo francés (1 596 – 1 650) en su juventud se volvió soldado en el ejército del príncipe Mauricio Nassau, es autor del libro Discurso del Método fue él quien usó por primera vez pares ordenados de números para la ubicación de un punto en el plano, a lo que se le denomina coordenadas cartesianas del punto. El desarrollo del sistema de coordenadas cartesianas sirvió de fundamento al cálculo infinitesimal descubierto poco después por Newton y Leibnitz.

DESIGUALDAD :
Es aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad: <, >, , . Luego si a y b son números reales, entonces: ab, ab y ab se llaman desigualdades , y se leen :
ab : «a mayor que b»
ab : «a menor o igual que b»
ab : «a mayor o igual que b»

RECTA NÚMERICA :
Es la presentación geométrica de los números reales , donde a cada punto le corresponde un número real y viceversa.

* O : origen
* 2 : es la coordenada del punto Q
* –3 : es la coordenada del punto P
DEFINICIONES :
1) Un número a se llama positivo si y sólo si a>0.
2) Un número a se llama negativo si y sólo si a<0. 3) es positivo (a - b>0)
4) es negativo (a – b<0) 5) Si {a; b} entonces 6) 7) 8) Ley de Tricotomía : ; sólo se puede establecer una y sólo una de las tres relaciones : TEOREMA: , se tiene INTERVALOS Sea I un subconjunto de . Decimos que I es un intervalo , si y sólo si es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales). CLASES DE INTERVALOS : Si I es un intervalo, puede ser : acotado o no acotado. i)INTERVALO ACOTADO : Es aquel intervalo cuyos extremos son finitos . Este puede ser : i-1)INTERVALO ABIERTO : El conjunto de los números x que satisfacen la desigualdad a < x < b se denomina intervalo abierto y se denota por ó Por tanto : Representaciones : i-2)INTERVALO CERRADO : Si con , se llama intervalo cerrado y se denota por , al conjunto de todos los números reales x, tales que Es decir : Representación: O también: i-3)INTERVALO CERRADO : El intervalo semiabierto por la izquierda es el intervalo abierto junto con el extremo derecho b. Este intervalo se denota por ; de modo que Representación : Se define el intervalo semiabierto por la derecha de manera similar y se denota por * Asi: Representación: i-3)INTERVALO SEMIABIERTO : Es aquel intervalo donde al menos un extremo es el ideal ó Los siguientes intervalos son no acotados. a) b) c) d) * Toda la recta numérica * Si * Si (Es el conjunto vacío) operaciones entre intervalos Si los conjuntos A y B representan un intervalo de números reales , se realizan entre ellas las siguientes operaciones: I) Unión: II) Intersección: III) Diferencia: IV) Complemento : A’ = complemento de A respecto a A’ = – A PROPIEDADES : valor absoluto Se llama valor absoluto de un número real x y se denota por al número real no negativo que cumple: * También: Ejemplos: * |–5|= –(–5)=5 ya que –5 < 0 * |x2+1|= x2 + 1 ya que x2 + 1>0

* |0|=0

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
La distancia de un número real a cero se le denomina valor absoluto y se le representa entre barras.

Ejemplo:

* El valor absoluto de –6 es 6, ya que la distancia de –6 a 0 es 6 y se representa |–6|=6.

* También |6|=6

* En general

PROPIEDADES :

PLANO CARTEsIANO
Es aquel plano que se forma por la intersección de dos rectas numéricas perpendiculares entre sí , en sus orígenes.

* Donde “0” origen de coordenadas .

coordenada de un punto
A todo punto del plano cartesiano se le asocia un par ordenado y viceversa. Se presenta por P(a ; b).
* Donde :
a : abscisa del punto P
b : ordenada del punto P

* Del gráfico :
Ejemplo :

radio vector (r)
Es la distancia del origen de coordenadas a un punto cualquiera del plano cartesiano . En el gráfico anterior el radio vector (r) correspondiente al punto p(x0 ; y0).

COORDENADAS DEL PUNTO
MEDIO DE UN SEGMENTO

Ejemplo :
Halle las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo.

Resolución :

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DADOS
A y B puntos de paso.

Ejemplo :
Halle la distancia entre los puntos A(3; – 5) ; B(–1; –2).
resolución :

Ejemplo :
Halle las distancias en cada caso:

ojo:

Ejemplo :
Halle las coordenadas del baricentro en :

Resolución :

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO
EN UNA RAZÓN DADA
Sea P0(x0 ; y0) un punto cualquiera sobre un segmento de extremos P1(x1 ; y1) y P2(x2 ; y2)

tal que:

Las coordenadas de P0 son:

LA RECTA INCLINACIÓN DE UNA RECTA
Es el ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas. Se mide a partir del eje x hasta la ubicación de la recta, tomado en sentido antihorario .

: Medida del ángulo entre la recta L y el eje x.
: Medida del ángulo entre la recta L1 y el eje x

PENDIENTE DE UNA RECTA
Se denomina pendiente de una recta a la tangente trigonométrica de la medida del ángulo formado por la recta y el eje x.

Convencionalmente la pendiente de una recta se denota con la letra m minúscula .
En la figura : Sea m la pendiente de la recta L.
Luego:
Si;entonces m es positiva.
Sea : m1 la pendiente de la recta L1
Luego :
Si ;entonces m1 es negativa

CALCULO DE LA PENDIENTE
La pendiente de un recta puede ser calculada conociendo las coordenadas de dos puntos de dicha recta.

En la figura :
Sea la recta L cuya pendiente es m.
Luego : m = tg
En el AMB :

Entonces:

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Luego :

Luego:

Reemplazando :
Se tiene :

nota :
Analizando esta expresión se tiene:
Si:
Esto quiere decir que las rectas son paralelas .

En la figura :
Si :

m1 y m2 son las pendientes de las rectas L1 y L2 respectivamente .
Si :
Esto quiere decir que las rectas son perpendiculares .

En la figura:
Si:
m1 y m2 son las pendientes de las rectas L1 y L2 respectivamente .

ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS VARIABLES
La ecuación de la forma Ax+ B y + C=0 representa geométricamente la ecuación de una recta , así tenemos
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Toda ecuación lineal de la forma Ax + B y+ C=0, se denomina ecuación lineal en variables x e y o de primer grado donde (x ; y) pertenece a dicha recta. Esto es la ecuación general de una recta , se cumple para todo valor de x e y que satisfase dicha ecuación.

Del gráfico :

Ecuación general
donde: A , By + C son constantes
siendo m1 su pendiente.

FORMA DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE
La ecuación de un recta que pasa por un punto P(x1;x1) y tiene una pendiente m es: y – y1=m(x – x1)

Sea , luego
por cálculo de la pendiente

Luego:
Ecuación punto pendiente
Donde:
* P(x1 ; y1) : punto de paso (dato o se debe calcular )
* A(x;y) : punto genérico (la ecuación queda en función de x e y)
* m : pendiente
FORMA DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA DADO SU PENDIENTE Y SU ORDENADA AL ORIGEN
La ecuación de la recta que pasa por (0;b) y tiene una pendiente m es:

Por la ecuación punto – pendiente

ecuación y – intercepto o ecuación de pendiente y ordenada al origen.
m: pendiente
FORMA DE LA ECUACIÓN DE COORDENADAs AL ORIGEN
La ecuación de la recta que pasa por (0 ; b) y (a ; 0) es:

FORMA DE LA ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA
Del gráfico:
ecuación simétrica de la recta

DISTACIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Sea L una recta cuya ecuación es de la firma Ax + By+C=0 y un punto P(x1 ; y1) que no pertenece a dicha recta , luego la distancia del punto P a la recta L está dada por:

Del gráfico:

d(p , L):distancia del punto P a la recta L.

DiSTANCIA ENTRE DOS
RECTAS PARALELAS
Sean las rectas paralelas y cuyas ecuaciones son:
L1:Ax0+By0+C1=0 y L2:Ax0+By0+C2=0, luego la distancia entre dichas rectas está dada por:

Del gráfico:

RESUMEN :

i) Pendiente de una recta conociendo su ángulo de inclinación.

; m: pendiente

ii) Pendiente de una recta conociendo dos puntos de paso.

m : pendiente

iii) Pendiente de la recta conociendo su ecuación general.

m : pendiente

Observación :
Coordenadas del punto de intersección de dos rectas.

* Resolviendo :

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE RECTAS

I) Cuando se tienen rectas paralelas sus pendientes son iguales.

II) Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a –1

EJEMPLO :
Se tienen 2 rectas paralelas L1 y L2 cuyas ecuaciones son:
L1 : 2x + 3y + 5 = 0
L2 : kx + 7y – 2 = 0

Halle : k
Resolución :
Igualamos las pendientes por ser paralelas

Ejemplo :

Se tienen 2 rectas perpendiculares L1 y L2 cuyas ecuaciones son : L1 : 6x – 4y + 5 = 0
L2 : 2x + ay + 1 = 0
Halle : a

Resolución :

ÁREA DE UNA REGIÓN POLIGONAL CONOCIENDO LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES

Ordenando las coordenadas de los vértices en una matríz , en el sentido que indica la flecha.

Observación :
Al ordenar los pares ordenados en la matriz siempre inicias y terminas con el mismo par ordenado.

CÓNICAS
La denominación de seciones cónicas que se suele dar a la circuferencia , parábola , elipse e hipérbola , proviene de la época en que fueron descubiertas como interseciones de un plano con un cono circular recto:

Figura 2: corte longitudinal del cono mediante un plano que contiene al eje. Consideremos un cono que se extiende a ambos lados de su vértice.

Cada una de las partes en las que el vértice divide al cono se denomina hojas. Sea el semiángulo del cono, es decir , el ángulo que forma el eje del cono con una generatriz.
Supongamos un plano que corta al cono formando un ángulo con su eje.
Un corte longitudinal del cono y el plano secante se puede apreciar en la figura 2.
Los distintos tipos de secciones cónicas aparecen según sea la relación entre los ángulos .
En esta forma se obtiene:
a) Una circunferencia si (plano perpendicular al eje )

c) Una parábola si (plano paralelo a una generatríz)

d) Una hipérbola si

Las circunferencias y elipses son secciones que se obtienen cuando los planos cortan todas las generatrices de una de las hojas del cono . Las parábolas se obtienen cuando los planos cortan algunas de las generatrices de una del cono . Las hipérbolas se obtiene cuando los planos cortan algunas de las generatrices de las dos hojas del cono.
CIRCUnFERENCIA
Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a una misma distancia de otro punto fijo del mismo plano denominado centro.

ECUACIÓN ordinaria DE LA CIRCUnFERENCIA
Sea P(x ; y)un punto del plano x – y cuya distancia constante a otro punto fijo C(h ; k) es R,luego la ecuación de la circunferencia es : C, así:

En la figura :

Entonces por distancia entre dos puntos:

Ecuación ordinaria de la circunferencia .

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUFERENCIA
La ecuación general de la circunferencia de los puntos P(x ; y)de centro C(h ; k) y cuyo radio R, es:

Desarrollando y ordenando:

haciendo:

Luego:

Ecuación general de la circunferencia.

PARÁBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto y de una recta del mismo plano
El punto se denomina foco y la recta directríz.

Vértice :V(h;k)
Foco :F
directríz :
Eje focal :
Cuerda :
Cuerda focal :
Lado recto :
Se denomina parámetro de la parábola a la distancia (VF=p) que hay entre el vértice y el foco.
Se cumple :

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
Ecuación de la parábola de vértice V(h ; k) y cuyo eje es paralelo al eje x.

Punto genérico: P(x;y)
Parámetro de la parábola: P
Según el gráfico: PH+HT=PT
PH+h–p=x

Condición de lugar geométrico.

Elevando al cuadrado y reduciéndose se obtiene la ecuación ordinaria.

Desarrollando la ecuación ordinaria (y–k)2=4p(x–h)se obtiene la Ecuación General de la parábola

Si la parábola se abre hacia la izquierda , entonces su ecuación es:

Vértice : V(h;k)
Foco : F
Parámetro : P

ecuación ordinaria

ECUACIÓN canónica DE LA PARÁBOLA
Si el vértice de la parábola coincide con el origen de coordenadas entonces las ecuaciones de la parábola que se abre a la derecha o izquierda son respectivamente.

Ecuación de la parábola de vértice V(h ; k) y cuyo eje es paralelo al eje y .

Punto genético : P(x;y)
parámetro de la parábola : p
según el gráfico : PH+HT=PT
PH+k–p=y
Condición de lugar geométrico

Elevando al cudrado se obtiene la ecuación ordinaria .

Desarrollando la ecuación ordinaria se obtiene la ecuación general de la parábola.

Si la parábola se abre hacia abajo su ecuación es:

Vértice : V(h;k)
foco : F
parámetro : P

ECUACIÓN CANÓNICA
Si el vértice coincide con el origen de coordenadas entonces las ecuaciones son respectivamente.

Foco:F

Foco:F

ELIPSE
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del mismo es constante. Los puntos fijos se denomina focos.

Centro : O
focos : F y F’, FF’=2c
Cuerda :
Cuerda focal :

Lado recto :

Eje mayor :
Eje menor :

Eje focal :
Eje normal :
En toda elipse se cumple :

Como B pertenece a la elipse entonces:

BOF: Torema de Pitágoras

ecuación de la elipse
Ecuación de la elipse de centro (h;k) con el eje mayor paralelo al eje x.

Centro : O(h;k)
Punto genérico : P(x;y)
Sabemos : PF’+PF=2a…….(1)
Del gráfico :

Reemplazando en (1) y simplificando:

Si el centro de la elipse coincide con el origen entonces h=k=0

Ecuación de la elipse de centro (h ; k) con el eje mayor paralelo al eje y.

Centro : O(h;k)
Punto genérico : P(x;y)
Sabemos : PF+ PF’=2a…….(1)
Del gráfico

Reemplazando en (1) y simplificando:

Si el centro de la elipse coincide con el origen , entonces:
h=k=0

HIPÉRBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se llaman focos.

Centro : O
Focos : F y F’, FF’=2c
Eje real o transverso :
VV’=2a
Eje imaginario o conjugado :

Asímismo

Se cumple :

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
Ecuación de la hipérbola de centro (h;k) con el eje transverso paralelo al eje x.

Centro: O(h;k)
Punto genérico:P(x;y)
Sea PF’–PF=2a…………………..(1)
Del gráfico:

Reemplazamos en (1) y simplificando:

Si el centro de la hipérbola coincide con el origen, entonces.

Ecuación de la hipérbola de centro (h;k) con el eje transverso paralelo al eje y.

Centro: O(h;k)
Punto genérico: P(x;y)
Sea: PF’–PF’=2a ………………………………..(1)

Reemplazando en (1) y simplificando:

Si el centro de la hipérbola coincide con el origen entonces h=k=0.