FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 8 – OCTAVO AÑO PDF

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* Circunferencia: su perímetro y sus
elementos
, Círculo, circunferencia, área y
perímetro
, Área total de pirámides y conos
, Área total de prismas y cilindros
, Volumen de pirámides y conos
LABORATORIO Calcular el volumen de
pirámides y conos
, Volumen de prismas y cilindros
LABORATORIO Calcular el volumen de
prismas y cilindros
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En el mundo real
En las ciudades vemos distintas figuras
tridimensionales o cuerpos geométricos en varias
estructuras arquitectónicas. Muchos edificios son
prismas rectangulares mientras que otros tienen
forma de cilindros o pirámides. Para construirlos
fue necesario calcular áreas y volúmenes.
• Usar fórmulas para calcular áreas, perímetros y
volúmenes.
• Resolver problemas relacionados con medición
y fórmulas.
De dónde vienes
Antes
• Aprendiste cómo trasladar, reflejar y
rotar una figura.
• Aprendiste a teselar.
En este capítulo
Estudiarás
• Cómo calcular el perímetro de una
circunferencia.
• Cómo calcular el área de un círculo.
• Cómo definir un lugar geométrico.
• Cómo reconocer cilindros y conos.
• Cómo calcular el área y el volumen
de los cuerpos geométricos.
Hacia dónde vas
Puedes usar las destrezas aprendidas
en este capítulo:
• Para calcular la capacidad de
cualquier cuerpo geométrico o
recipiente que se asocie con alguno
de ellos.
• Para calcular la cantidad de material
que necesitas en alguna obra concreta
que quieras realizar.
Vocabulario
Conexiones de vocabulario
Considera lo siguiente para familiarizarte con
algunos de los términos de vocabulario del
capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario
o un diccionario si lo deseas:
1. Cada vez que tengas un conjunto de puntos
que cumplan una condición definida, lo
llamarás lugar geométrico.
2. Cuando tengas una condición y debas
encontrar el conjunto de puntos que
la satisface, recuerda considerar varias
posibilidades. A veces se obtiene mas de una
figura.
lugar geométrico
círculo
circunferencia
cono
cilindro
generatriz
apotema lateral
pirámide
prisma
cara
perímetro
radio
cuerda
diámetro
arco
tangente
secante
área
centro de
la circunferencia
superficie
Vistazo previo
106
Encuentra el perímetro de cada circunferencia en función de π aproximándolo a la
décima más cercana. Usa 3,14 para π.
1
2
3
4
1. circunferencia con un diámetro de 6 cm 2. circunferencia con un radio de 3,2 m
Encuentra el área de cada círculo en función de π aproximándolo a la décima más
cercana. Usa 3,14 para π.
3. círculo con un radio 4,1 cm 4. círculo con un diámetro de 15 cm
5. Representa gráficamente un círculo con centro (–2, 1) que pase por el punto (–4,1).
Encuentra el área en función de π y aproxímalo a la décima cercana. Usa 3,14 para π.
6. Una rueda tiene un diámetro de 3,5 cm. ¿Qué distancia recorre aproximadamente si
completa 20 revoluciones? Usa 22
7
para π.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
Ver Ejemplo 1 Encuentra el perímetro de cada circunferencia en función de π y aproxímalo a la décima
más cercana. Usa 3,14 para π.
7. circunferencia con un radio de 9 cm 8. circunferencia con un diámetro de 6,3 m
Ver Ejemplo 2
Encuentra el área de cada círculo en función de π y aproxímalo a la décima cercana. Usa
3,14 para π.
9. círculo con un diámetro de 32 cm 10. círculo con un radio 2,5 m
Ver Ejemplo 3 11. Calcula en forma aproximada la cantidad de cuadraditos de un
centímetro de lado que están encerrados por la circunferencia.
¿Cuántos cm2 son?
Ver Ejemplo 4 12. Si el diámetro de una rueda es 5 cm, ¿cuántos metros recorre aproximadamente la
rueda si completa 134 vueltas? Usa 22
7
para π. (Pista: 1 m = 100 cm).
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Encuentra el perímetro de cada circunferencia y el área de cada círculo aproximándolos a
la décima más cercana. Usa 3,14 para π.
13. 14. 15.
1,7 m 14 cm 9 m
Encuentra el radio de cada circunferencia según la medida dada:
16. P = 26π m 17. P = 12,8π cm 18. P = 15π m
19. A = 36π cm2 20. A = 289π cm2 21. A = 136,89π m2
16. Un cono de helado tiene un diámetro de 4 cm y una generatriz de 11 cm. Inventa y
resuelve un problema sobre el cono de helado.
17. Se conocen las dimensiones de la altura y de la base de un cono. Explica cómo
encontrar la generatriz.
18. Desafío Se cree que la pirámide más antigua es la pirámide escalonada del rey Zoser,
construida alrededor del 2650 a.C. en Saqqara, Egipto. La base es un rectángulo que
mide (aproximadamente) 109 m por 125 m y la altura de la pirámide es de 62 m
(aproximadamente). Encuentra el área total lateral aproximada de la pirámide.
15. Una pirámide triangular mide 12 m de altura. La base triangular mide 12 m de altura
y 12 m de ancho. Explica si duplicar la altura de la base duplicaría el volumen de la
pirámide.
16. Antonio hizo pequeños conos de masa para una fiesta de cumpleaños. Cada cono
medía 3 decímetros de altura y tenía un radio de ¾ de decímetro. Usa una calculadora
para encontrar el volumen del cono aproximándolo a la centésima más cercana
(1dm=10cm).
27. Una pirámide tiene una base rectangular que mide 12 centímetros por 9 centímetros. La altura es de
15 centímetros. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?
540 cm3 405 cm3 315 cm3 270 cm3
30. 9 + t = 18 31. t – 2 = 6 32. 10 + t = 32 33. t + 7 = 7
Resuelve:
28. Un cono tiene un diámetro de 12 centímetros y una altura de 9 centímetros. Usando 3,14 para π,
encuentra el volumen del cono aproximándolo a la décima más cercana.
1 356,5 cm3 339,1 cm3 118,3 cm3 56,5 cm3
29. Supongamos que un cono tiene volumen de 104,7 centímetros cúbicos y un radio de 5 centímetros.
Encuentra la altura del cono al centímetro más cercano. Usa 3,14 para π.
Razonar y comentar
Inténtalo
Busca o construye un cilindro hueco y un cono hueco que
tengan bases y alturas congruentes.
1. ¿Cuántos conos completos hicieron falta para llenar un cilindro con base y
altura congruentes?
2. Usa una fracción para expresar la relación entre el volumen de un cono y el
volumen de un cilindro con base y altura congruentes.
3. Si el volumen de un cilindro es Bh o π r2h, escribe una regla para encontrar el
volumen de un cono.
1. Usa la regla que has elaborado en el ejercicio 3 del apartado Razonar y comentar para encontrar el
volumen de otro cono. Comprueba tu regla siguiendo los pasos de la actividad 2. Revisa tu regla si
fuera necesario.
2. El volumen de un cono es 3,7 m3. ¿Cuál es el volumen de un cilindro con igual base y altura? Explica
tu razonamiento.
3. El volumen de un cilindro es 228 cm3. ¿Cuál es el volumen de un cono con igual base y altura?
Explica tu razonamiento.
4. Iván usa un cono de plástico para construir un castillo de arena. El cono tiene un diámetro de
10 cm y una altura de 18 cm. ¿Cuál es el volumen del cono?
5. Anita tiene dos conos de papel. El primero tiene un radio de 20 cm y una altura de 30 cm. El
segundo tiene la misma base pero el doble de altura. Anita dice que el volumen del segundo cono
es el doble del primero. ¿Está en lo cierto? Explica tu razonamiento.
Biología El Tanque Oceánico Gigante de
forma cilíndrica que se encuentra en el
Acuario de New England, Boston EE. UU.,
tiene un volumen de 200 000 galones.
a. Un galón de agua equivale a 4 545 cm3.
18. Biología En un espacio de 0,08 m3 pueden vivir hasta 60 000 abejas. En una
colmena de observación rectangular que mide 0,6 m de largo por 0,9 m de altura
hay aproximadamente 360 000 abejas. ¿Cuál es el ancho mínimo posible de la
colmena de observación?
19. ¿Dónde está el error? Un estudiante leyó este enunciado en un libro: “El
volumen de un prisma triangular con una altura de 15 cm y un área de base de
20 cm es 300 cm3”. Corrige el error del enunciado.
27 pies 7 pulg
13 pies 7 pulg
?
1 m
1 m
8 m
12 m
5 m
b. Usa la respuesta del apartado a como el volumen. El tanque tiene una
profundidad de 732 cm. Encuentra el radio en cm del Tanque Oceánico
Gigante.
20. Escríbelo Explica por qué 1 decímetro cúbico
equivale a 1 000 centímetros cubicos.
21. Desafío Una sección de 5 metros de un bloque
hueco mide 12 metros de alto y 8 metros de
ancho en su borde externo. El bloque tiene un
grosor de 1 metro. Encuentra el volumen del
bloque sin el interior hueco.
longitud.
25. Encuentra la altura de un rectángulo con un perímetro de 14 cm y una longitud de 3 cm. ¿Cuál es el área
del rectángulo?
Con
Biología
¿Cuántos centímetros cúbicos de agua hay en el Tanque Oceánico Gigante?
Actividad 1
Actividad 2
Razonar y comentar
Inténtalo
Puedes usar objetos concretos como modelos para explorar el volumen de prismas rectangulares y
cilindros.
Usa cinco prismas rectangulares de distintos tamaños,
por ejemplo, cajas vacías.
a. Cubre la parte inferior de cada prisma con cubos
para encontrar el área de la base del prisma. Anota la
información en una tabla.
b. Llena el prisma con cubos. Encuentra la altura. Luego,
cuenta los cubos para encontrar el volumen del prisma.
Anota la información en la tabla.
Objeto
Área de la base
Altura
Volumen
Usa cinco cilindros de distintos tamaños, por ejemplo, latas vacías.
a. Mide el radio de cada base circular y calcula el área. Anota la información en una
tabla.
b. Mide la altura de cada cilindro. Anota la información en una tabla.
c. Llena cada cilindro con granos de maíz.
d. Usa una taza para medir cuánto maíz cupo en el cilindro.
e. Encuentra el volumen aproximado de cada cilindro. 1 taza = 250 cm3. Anota la
información en una tabla.
1. ¿Qué observas sobre la relación entre la base, la altura y el volumen de los prismas
rectangulares? ¿Y de los cilindros?
2. Haz una conjetura sobre cómo encontrar el volumen de cualquier prisma rectangular
o cilindro.
1. Usa tu conjetura para encontrar el volumen de otro prisma rectangular. Comprueba tu
conjetura siguiendo los pasos de la actividad 1. Revisa tu conjetura si es necesario.
2. Usa tu conjetura para encontrar el volumen de otro cilindro. Comprueba tu conjetura
siguiendo los pasos de la actividad 2. Revisa tu conjetura si es necesario.
1. Observa la figura, que corresponde a una
circunferencia de centro O y de radio r.
¿Cómo se llama en segmento AB ?
2. En la figura, que corresponde a una
circunferencia, el ángulo dibujado está
formado por:
3. El perímetro de una circunferencia de
radio 10 cm es: (usar π = 3,1)
4. El área de un círculo de radio 10 cm es:
(usar π = 3,1)
5. ¿Para qué radio positivo r el perímetro de una
circunferencia es igual al área de un círculo?
7. Según el dibujo anterior de la pirámide de
base cuadrada, ¿cuánto mide la superficie
de una de las caras laterales?
6. Observa la pirámide de base cuadrada
dibujada. Su área basal es:
8. El perímetro de la circunferencia dada
mide 6 m. ¿Qué información adicional se
necesita para Encontrar el volumen del
cilindro?
9. La bombilla tiene diámetro de 0,6 cm.
¿Cuál es su área total redondeada a la
décima más cercana? Usa 3,14 para π.
A
B
D
C
11,7 cm2
5,5 cm2
37,7 cm2
36,7 cm2
10. Encuentra el volumen del cilindro,
redondeado a la décima más cercana.
Usa 3,14 para π.
19,5 cm
8 cm
12 cm
5 cm
3 cm
14 cm
A
B
Responde verdadero (V) o falso (F)
18. _____ El radio y una cuerda son algunos
elementos de la circunferencia.
19. _____ Una circunferencia de radio 3,5 cm
tiene un perímetro de 34,5086 cm.
20. _____ El volumen de una pirámide de base
7 cm y altura 6 cm es 42 cm3.
15. Un poliedro tiene dos bases cuadradas
paralelas con aristas de 9 m de largo y
una altura de 9 m. Identifica la figura
y encuentra su volumen. Muestra tu
trabajo.
16. ¿Cuál es la longitud de la base de un
paralelogramo que mide 8 cm de altura
y tiene un área de 56 cm2?
17. Usa la figura para
resolver los siguientes
problemas. Redondea
tus respuestas
a la centésima
más cercana si es
necesario. Usa 3,14
para π.
a. ¿Qué figuras
tridimensionales
forman la
escultura?
b. ¿Cuál es el volumen combinado de las
figuras A y B? Muestra tu trabajo.
c. ¿Cuál es el volumen del espacio que
rodea las figuras A y B? Muestra tu
trabajo y explica tu respuesta
GLOSARIO :
Absurdo: opuesto a la razón. En matemática
reducir al absurdo es un método de
demostración que parte de una hipótesis
verdadera que se quiere demostrar y para
ello suponemos que es válida una hipótesis
opuesta a la verdadera.
Aleatorio: depende de algún suceso fortuito,
casual.
Aproximación: ajuste en las cifras de un número
después de separar las que
sobran.
Biunívoco: correspondencia entre elementos
de un conjunto, de tal forma que, a cada
elemento del primer conjunto se corresponde
con solo un elemento del segundo conjunto,
y cada elemento del segundo conjunto
se corresponde con solo un elemento del
primer conjunto
Constante: cantidad que no cambia de
valor en una relación general entre
variables.
Cuadrante: una de las cuatro divisiones
de un plano.
Determinista: suceso que no depende del
azar; que está completamente determinado
por la condición inicial.
Error: incertidumbre en una medida o estimación
de una cantidad.
Experimento: hecho inducido o natural que
provoca un resultado.
Fracción algebraica: expresión algebraica
escrita como el cociente de dos
polinomios.
Generatriz: en geometría son líneas y superficies
que al moverse generan una superficie
o un cuerpo. En aritmética son las
fracciones ordinarias que dan origen a un
decimal periódico.
Homólogos: correspondencia entre los
lados de dos figuras geométricas
semejantes.
Intersección: cruce, punto común de dos
o más rectas o planos. Intersección de conjuntos:
conjunto de los elementos comunes
a dos o más conjuntos.
Intervalo: conjunto de números reales, definidos
como todos los valores entre dos números
fijos, estos reales fijos pueden o no
estar incluidos en el intervalo.
Si a < b, éstos se llaman extremos inferior y superior, el intervalo se representa: a < x < b Monotonía: referente a la uniformidad. Probabilidad: posibilidad de que ocurra un suceso especial de un conjunto de sucesos posibles. Razón: es la relación entre 2 números o cantidades de la misma especie e indica el número de veces que la una contiene a la otra. Sucesión: conjunto ordenado de números según cierta ley, dichos números son los términos de la sucesión. Suceso: resultado de un experimento. Trigonometría: estudio de las relaciones entre lados y ángulos de un triángulo.