FUNDAMENTOS DE CALCULO EN TEXTO PDF

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Una historia breve del cálculo ,
El siglo XVII: Newton y Leibniz,
El siglo XVIII: Euler y Lagrange,
El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass,
El siglo XX: Lebesgue y Robinson ,
Los números reales,
Expansiones decimales,
El Sistema de los Números Reales,
Operaciones con los números reales,
El orden de los números reales,
Valor absoluto de un llúrnero real,
Completez de los números reales,
La Recta Real,
Ejercicios y problemas del capítulo,
Variables y funciones,
El concepto de variable y el de función,
Gráfica de una función,
Operaciones con funciones ,
Funciones racionales y trigonométricas,
l\1edición de ángulos: radianes,
Las funciones trigonométricas ,
Las funciones trigollOlnétricas inversas
Ejercicios y problemas del capítulo ,
Fundamentos del Cálculo,
Sucesiones reales ,
Convergencia de sucesiones,
Propiedades de las sucesiones convergentes ,
Sucesiones lllonótonas ,
Criterio de convergencia de Cauchy ,
Límite de una función en un punto ,
Continuidad de funciones,
Continuidad en intervalos compactos,
Ejercicios y problemas del capítulo ,
Medida de la razón de cambio: la derivada,
Definición de derivada ,
Interpretación geométrica de la derivada,
Derivada de algunas funciones elementales,
Reglas básicas de la derivación de funciones,
Derivadas de funciones racionales, trigonométricas
y trigonométricas inversas
Derivadas de orden superior,
Diferencial de una función ,
Cálculo de razones de cambio,
Teorema del valor medio y sus aplicaciones,
Motivaciones,
El teorema del valor medio,
Aplicaciones del teorema del valor medio ,
Significado del signo de la derivada
La función segunda derivada,
Curvatura de curvas en el plano,
El teorema de Taylor ,
Puntos regulares, críticos y de inflexión,
Reglas de L’Hospital ,
Ejercicios Y problemas ,
La función exponencial y sus aplicaciones,
La función exponencial ,
La función logaritmo natural,
Funciones de tipo exponencial,
A plicaciones de la función exponencial,
Ejercicios y problemas del capítulo,
La integral indefinida,
Antiderivadas e integrales indefinidas ,
Métodos de integración,
Integración por partes,
Integración por sustitución,
Integración por sustitución trigonométrica,
Integración de funciones racionales,
Ejercicios y problemas del capítulo ,
La integral definida,
La definición de integral definida ,
Propiedades de la integral definida,
El teorema fundamental del cálculo,
Integrales impropias ,
Integración de funciones continuas por secciones,
Ejercicios y problemas del capítulo ,
Aplicaciones de la integral definida,
o de áreas, volúlnenes y longitudes,
Áreas de regiones delimitadas por curvas suaves,
Volúmenes de sólidos de revolución
Longitudes de curvas …..
Área de superficies de revolución ..
Centros de masa y presión de fluidos
Centroides de varillas y regiones planas
Presión de líquidos sobre superficies
Ejercicios .Y problel11as del capítlllo . . . . . . .
Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones
El concepto de ecuación diferencial ,
La ecuación y'(x) + a(x)y(x) = f(x) ,
La ecuación yl/(x) + by'(x) + ay(x) = f(x),
La ecuación y 1/ (x) – cy(x) = O ,
Método de variación de constantes,
Leyes de movimiento de Newton,
Ejercicios y problemas del capítulo ,
Series,
Definición de serie y su suma ,
Propiedades de las series convergentes,
Series positivas ,
Series absolutamente convergentes,
Los criterios de Abel y Dirichlet ,
Series de potencias ,

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La invención del Cálculo en el último cuarto del siglo XVII representa un hito
en la historia de las matemáticas;aticas; puede decirse con toda certeza que ahı inician
las matematicas modernas, pues este acontecimiento dio origen al desarrollo de
multiples ramas de las matematicas, mantuvo practicamente la exclusividad del
trabajo de los matem´aticos durante un siglo, y a´un los ocupa en sus m´ultiples ramificaciones
y aplicaciones. Antes del C´alculo, las matem´aticas s´olo serv´ıan para
describir lo fijo y est´atico, con ´el se pudo describir el movimiento y lo din´amico;
estableciendo una comparaci´on, podr´ıa decirse que antes del C´alculo las matem´aticas
s´olo proporcionaban fotograf´ıas de la realidad, y despu´es de ´el, pel´ıculas. Adem´as
de describir el movimiento, el C´alculo lleg´o para resolver y unificar los problemas de
c´alculo de ´areas y vol´umenes, el trazo de tangentes a curvas y la obtenci´on de valores
m´aximos y m´ınimos, proporcionando una metodolog´ıa general para la soluci´on
de todos estos problemas; tambi´en permiti´o definir el concepto de continuidad y
manejar procesos infinitos. El resultado fue que el C´alculo y sus derivaciones pronto
encontraron m´ultiples aplicaciones y sirvieron para modelar procesos en todos los
´ambitos cient´ıficos, empezando por la f´ısica y las ciencias naturales, hasta llegar a
las ciencias sociales. Por todas estas razones, el conocimiento y manejo del C´alculo
marca una diferencia cualitativa muy importante en la formaci´on de una persona y en
su capacidad para utilizar las matem´aticas en otras ciencias y la ingenier´ıa. Podemos
afirmar, sin lugar a dudas, que un buen curso de C´alculo cambia la percepci´on del
estudiante universitario.
A escala mundial, la ense˜nanza y el aprendizaje del C´alculo Diferencial e Integral
presenta una severa problem´atica debido a los altos ´ındices de reprobaci´on y
deserci´on de estudiantes en los cursos b´asicos de esa materia a nivel de licenciatura.
En t´erminos generales, tanto en los pa´ıses industrializados como en los pa´ıses en
desarrollo se reportan ´ındices de reprobaci´on y deserci´on superiores al 50%, lo que
representa un costo muy elevado en recursos y en oportunidades desaprovechadas.
Siendo el C´alculo una disciplina fundamental en la formaci´on de ingenieros,
t´ecnicos y cient´ıficos, el problema educativo que presenta nos impulsa a la b´usqueda
de estrategias y metodolog´ıas, tanto disciplinarias como de car´acter pedag´ogico, que
permitan asegurar est´andares apropiados para poblaciones crecientes de estudiantes.
Los malos resultados que se presentan en el aprovechamiento y desempe˜no escolar
en los cursos de C´alculo se pueden considerar como producto de las dificultades y
caracter´ısticas de los conceptos y m´etodos propios de esta rama de las matem´aticas
y de la insuficiencia de profesores y recursos pedag´ogicos de apoyo a su ense˜nanza
y aprendizaje. Al masificarse la educaci´on universitaria, la homogenizaci´on de los
niveles de formaci´on en C´alculo Diferencial e Integral a nivel universitario se presenta
como uno de los grandes retos nacionales ante el imperativo de estandarizar la
calidad del sistema educativo y facilitar la integraci´on exitosa de los egresados a los
mercados de profesionistas que soportan el desarrollo econ´omico y social.
Ante esta situaci´on, un grupo de profesores del Departamento de Matem´aticas
de la Universidad de Sonora, encabezados por el Doctor Rub´en Flores Espinoza,
hemos propuesto un conjunto de estrategias para la homogenizaci´on y certificaci´on
de los cursos de matem´aticas a nivel estatal.
Como primera estrategia para la homogenizaci´on de los programas de C´alculo en
las instituciones de educaci´on superior en Sonora, se aborda el problema del uso del
libro obligatorio en los cursos de esta materia. Este problema constituye, en general,
una de las m´as notables deficiencias en la organizaci´on y atenci´on de los cursos
b´asicos en el sistema universitario en M´exico. Al no establecerse textos b´asicos obligatorios
que incluyan y desarrollen los contenidos completos de los programas, se
deja al estudiante sin una gu´ıa para su trabajo personal, a la vez que se propicia la
discrecionalidad en el cumplimiento de los programas, se dificulta el establecimiento
y evaluaci´on de los est´andares de calidad y se vuelve al estudiante m´as dependiente
del profesor. Para contribuir a resolver la problem´atica anterior, el texto que aqu´ı
se presenta desarrolla en forma completa los distintos conceptos, m´etodos y aplicaciones
del C´alculo que son necesarios y suficientes para una formaci´on de calidad en
ciencias e ingenier´ıa. Este texto permitir´a a todos los estudiantes y profesores de la
materia, contar con un referente completo sobre los contenidos y t´opicos del c´alculo,
as´ı como con un amplio conjunto de ejemplos, ejercicios y problemas para el estudio
y entrenamiento personal, los cuales se ampliar´an en un problemario aparte.
El segundo elemento estrat´egico para la homogenizaci´on de los cursos de C´alculo
a nivel superior contemplado en el proyecto antes citado, consiste en la constituci´on
de un Sistema de Entrenamiento y Evaluaci´on en L´ınea que tiene por prop´osito
el poner a disposici´on de estudiantes y profesores un sistema electr´onico basado
en el software MAPLE TA 30 de apoyo a la elaboraci´on, aplicaci´on y evaluaci´on
autom´atica de ex´amenes y pruebas, dise˜nados de un amplio banco de reactivos
y problemas sobre los distintos t´opicos de la materia. Este sistema permite la
aplicaci´on de ex´amenes simult´aneos a grandes conjuntos de estudiantes de distintas
instituciones, lo cual permitir´a establecer y conocer los niveles de calidad de la
formaci´on en esta materia.
En este texto, intitulado Fundamentos del C´alculo, se incluyen todos los t´opicos
de un programa b´asico en C´alculo Diferencial e Integral de funciones reales de una
variable real. El texto presenta una estructura acorde al desarrollo hist´orico del
C´alculo y orienta sus aplicaciones a la descripci´on y estudio de las leyes din´amicas
que constituyen su verdadero poder y que lo han significado como la invenci´on
matem´atica de mayor impacto en el desarrollo de la ciencia y la tecnolog´ıa en toda
la historia.
Varias particularidades importantes distinguen este libro de la gran cantidad de
textos sobre esta materia. En primer lugar, ha sido escrito en un lenguaje llano
y familiar, con un buen n´umero de observaciones y notas que buscan motivar y
explicar el sentido de los conceptos y resultados y llamar la atenci´on sobre puntos
y detalles importantes. Tambi´en se ha procurado mostrar las caracter´ısticas del
razonamiento y el discurso matem´atico presentando los conceptos con todo rigor
pero sin caer en sofisticaciones formales que a veces dificultan el aprendizaje, e
incluyendo demostraciones completas de todos los resultados. En este sentido, se
puede considerar el texto como una iniciaci´on al an´alisis matem´atico.
Por otro lado, el texto incluye un buen n´umero de las aplicaciones del C´alculo,
principalmente las orientadas a la descripci´on y estudio de los fen´omenos gobernados
por leyes din´amicas o de movimiento. Con ese prop´osito se incluye el estudio de
problemas cuyo planteamiento remite a ecuaciones dadas en t´erminos de los conceptos
y operaciones del C´alculo y cuya soluci´on requiere el uso y manejo de las reglas
de derivaci´on y el conocimiento de los distintos tipos de funciones. En particular,
se incluye el tratamiento completo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
con coeficientes constantes, por ser ´estas las de mayor aplicabilidad en problemas
b´asicos de mec´anica y otras disciplinas.
Por la precisi´on con que se presentan los conceptos, el cuidado puesto en las
demostraciones y el ´enfasis que se hace en los fundamentos del C´alculo, este texto
cumple con todo lo necesario para la formaci´on de los estudiantes en el ´area de
ciencias. Al mismo tiempo, por los temas abordados, las t´ecnicas desarrolladas y las
aplicaciones presentadas, resulta id´oneo para las carreras de ingenier´ıa, pues no solamente
incluye las t´ecnicas para la localizaci´on de m´aximos y m´ınimos, el c´alculo de
longitudes, ´areas y vol´umenes, la determinaci´on de presiones y la ubicaci´on de centros
de gravedad, sino que tambi´en proporciona elementos para comprender mejor
las relaciones est´aticas y din´amicas entre variables y construir modelos matem´aticos
que describan cuantitativa y cualitativamente los patrones de comportamiento surgidos
de la observaci´on.
El cap´ıtulo primero incluye una historia breve del C´alculo a partir de su invenci´on
en el siglo XVII y se describen las etapas sucesivas de su desarrollo, hasta llegar a
la ´epoca actual. Este referente hist´orico del texto se complementa mediante notas
de pie de p´agina con datos alusivos a personajes cuyas aportaciones aparecen en los
dem´as cap´ıtulos.
El cap´ıtulo segundo est´a dedicado a una presentaci´on del sistema de los n´umeros
reales y sus propiedades a partir de su representaci´on como expansiones decimales.
Este enfoque permite, desde un principio, poner al estudiante en contacto con nuevos
entes matem´aticos expresados como conjuntos infinitos de s´ımbolos sobre los cuales
se opera y argumenta en preparaci´on a la posterior formalizaci´on de los conceptos
fundamentales de l´ımite y convergencia de sucesiones. En este cap´ıtulo se presenta
la propiedad de completez o continuidad, que hace de los n´umeros reales el sistema
algebraico adecuado para la descripci´on de las magnitudes que toman valores continuos.
Aunque esta presentaci´on es en parte intuitiva, la formalizaci´on del uso de
esas representaciones que involucran un n´umero infinito de d´ıgitos puede lograrse
con los resultados del ´ultimo cap´ıtulo, referente a series.
El cap´ıtulo tercero est´a dedicado al concepto de funci´on, el cual se introduce
como una relaci´on entre variables o atributos, para despu´es abstraer su esencia
como regla de correspondencia entre conjuntos de n´umeros reales. Este enfoque
facilita el descubrimiento y construcci´on de funciones en contextos tanto de la vida
real como de origen matem´atico, en campos como la geometr´ıa o el ´algebra.
En el cap´ıtulo cuarto se introducen los Fundamentos del C´alculo a partir de los
conceptos de sucesi´on y convergencia; se incluyen demostraciones completas de los
principales resultados b´asicos del an´alisis matem´atico, procurando evitar complicaciones
o sofisticaciones formales en la medida de lo posible. El cap´ıtulo incluye
varios comentarios sobre aspectos finos en la definici´on y sentido del concepto de
continuidad de funciones y su relaci´on con las propiedades de los n´umeros.
El cap´ıtulo quinto aborda el concepto de derivada de una funci´on en un punto
como la raz´on de cambio puntual o instant´anea; se comenta el significado geom´etrico
y din´amico de la derivada y se presentan las reglas de derivaci´on para las diferentes
operaciones entre funciones, as´ı como su generalizaci´on a derivadas de orden superior.
El cap´ıtulo sexto muestra, a trav´es del teorema del valor medio y sus consecuencias,
el poder de la derivada en la descripci´on cualitativa del comportamiento de las
funciones, y concluye con la aproximaci´on polinomial que proporciona el teorema
de Taylor.
En el cap´ıtulo s´eptimo se caracteriza la funci´on exponencial a partir de las
propiedades de su funci´on derivada. Este enfoque muestra c´omo aparecen nuevas
familias de funciones a partir del estudio de leyes din´amicas y facilita la introducci´on
de la familia de funciones de tipo exponencial y logar´ıtmico, a la vez que nos prepara
para el cap´ıtulo octavo, donde se aborda el problema del c´alculo de antiderivadas o
integrales indefinidas.
Por otra parte, en el cap´ıtulo noveno se estudia el concepto de integral de Riemann
y sus propiedades cuando se aplica a funciones continuas, concepto surgido al
aplicar el m´etodo exhaustivo o de agotamiento al c´alculo del ´area bajo la gr´afica de
una funci´on. Tambi´en se muestra, con el teorema fundamental del C´alculo, c´omo el
proceso de integraci´on permite “integrar o sumar” las variaciones infinitesimales de
una funci´on a lo largo de un intervalo para obtener la variaci´on neta de la funci´on
en ese intervalo. En el caso particular del movimiento de una part´ıcula, hace posible
calcular el desplazamiento total de la part´ıcula en un intervalo de tiempo, a partir
de las velocidades instant´aneas mostradas durante ese intervalo.
En el cap´ıtulo d´ecimo se incluyen algunas de las aplicaciones m´as comunes de
la integral al c´alculo de ´areas y vol´umenes, lo mismo que al c´alculo de presiones de
fluidos sobre superficies.
El und´ecimo cap´ıtulo constituye a la vez una introducci´on a las ecuaciones diferenciales
y un ejemplo m´as elaborado de la aplicaci´on del C´alculo; en ´el abordamos
la soluci´on de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes,
cuyas aplicaciones en las ciencias naturales son de primera importancia.
En el duod´ecimo y ´ultimo cap´ıtulo, se presentan el concepto de serie y los criterios
m´as relevantes para decidir sobre su convergencia, para concluir con la presentaci´on
de la familia de las funciones anal´ıticas, o sea las funciones expresables como series
de potencias, y la demostraci´on de que constituyen una familia cerrada bajo la
operaci´on de derivaci´on, lo que resulta de gran trascendencia en varias ´areas de las
matem´aticas y sus aplicaciones.