FUNDAMENTOS DE ALGEBRA BASICA EN TEXTO PDF

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Número, concepto y fundamento ,
Álgebra, la aritmética superior,
Potencias y polinomios,
Productos notables y factorización,
Fracciones y fracciones parciales,
Logaritmos y funciones logarítmicas,
Sistemas de ecuaciones lineales,
Ecuaciones de segundo grado,
Ecuaciones simultáneas de primero y segundo grado,
Ecuaciones y desigualdades,
Progresiones aritméticas y geométricas

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Las matemáticas constituyen una parte fundamental en la formación de todo
profesional, independientemente del área en que se encuentre. En las ciencias
sociales, sobre todo en la economía y en la administración, son pieza importante
para lograr entender diversas teorías, comportamientos de fenómenos,
medición de tendencias, etcétera. En la vida profesional, los bancos, las casas
de seguros, las agencias investigadoras que analizan los hechos de la vida
económica, política y social hacen uso extenso de las matemáticas para llegar
a resultados y conclusiones.
Por ello, los estudiantes y estudiosos de las ciencias sociales que se enfrentan
al análisis y estudio de problemas económicos, administrativos, sociológicos
y psicológicos son cada vez más conscientes de la necesidad de adquirir
una preparación sólida en el campo de las matemáticas.
El presente libro tiene como propósito proporcionar las bases de álgebra
que un estudiante de ciencias sociales, en especial de economía y administración,
debe conocer y manejar. Se pretende que el alumno adquiera las habilidades
algebraicas necesarias en la solución de ejercicios y problemas que
aparezcan en sus áreas de estudio.
Este material ha sido diseñado por profesores de la Universidad Autónoma
Metropolitana que cuentan con amplia experiencia docente en esta materia.
Su intención es brindar apoyo a los alumnos que ingresan a esta institución
con serias deficiencias y problemas en este campo matemático. Sin embargo,
ellos están conscientes de que este apoyo sólo podrá ser aprovechado por
aquellos alumnos que reconozcan estas deficiencias y tengan el firme propósito
de superarlas.

El libro está estructurado de la siguiente manera: los primeros capítulos
introducen en los diferentes conjuntos de números (naturales, enteros, racionales,
irracionales) y en el lenguaje del álgebra. En los capítulos tres y cuatro
se trabajan operaciones algebraicas: suma, producto, división, hasta llegar a
los productos notables y factorización, fundamentales en los cursos posteriores
de matemáticas. En el capítulo cinco se aborda el tema de fracciones y
sus respectivas operaciones; mientras que en el seis se dan los elementos
para el manejo de logaritmos y sus funciones. A partir del capítulo siete se ven
los sistemas de ecuaciones lineales de primero y segundo grado, hasta llegar
en el capítulo diez, al estudio de las desigualdades para observar como se
encuentran casos donde las soluciones no son puntos sino áreas. Este tipo de
sistemas de desigualdades es también ampliamente utilizado en programación
lineal. El último capítulo aborda las progresiones aritméticas y geométricas
de mucha utilidad en las finanzas. Además, es necesario precisar lo
siguiente: se respetó el orden estructural de cada capítulo, pues cada autor y
autora así lo determinó. Los números y la creación se llevan muy bien.
El buen conocimiento y manejo del álgebra posibilita el que los siguientes
cursos de matemáticas se aborden de una mejor manera. Confiamos y deseamos
que el libro cumpla con las expectativas de estudiantes y profesores.

Así como estamos acostumbrados a sentir el sol, ver la luna y las estrellas, y
quizá por ello ya no apreciamos su importancia y su grandeza, del mismo modo
reaccionamos ante nuestro sistema de números. Existe la falsa creencia de que el
aprendizaje de números y operaciones numéricas es aburrido. Nada de eso. (No
descartamos, empero, la influencia malhechora de algún profesor en la escuela
primaria.)
El sistema de los números merece toda nuestra atención, no sólo porque es
base de las matemáticas, sino también porque contiene ideas significativas que
dan pie a interesantes aplicaciones las cuales, dicho sea de paso, no tienen
nada de monótonas y menos de aburridas.
Entre las civilizaciones del pasado, fueron los griegos los que mejor apreciaron
el prodigio y las virtudes del concepto de número. Para éstos, por ejemplo,
fue un maravilloso descubrimiento el hecho de que se pueda abstraer de muchas
y diversas colecciones de objetos una propiedad tal como la “cinquidad” (de
cinco). Sin embargo, existieron otros pueblos que, aunque bien dotados intelectualmente,
no consideraron los números de manera abstracta ni pudieron apreciar
con lucidez su grandeza.
Números enteros y fraccionarios
Los primeros números que aparecieron fueron los naturales N = {l , 2, 3, 4,
… } utilizados para contar,ligados siempre a objetos. Las operaciones bien definidas
entre ellos son la adición y la multiplicación. Entre los antiguos griegos hubo
quienes crearon una filosofla basada en los números: los pitagóricos. Es precisamente
Pitágoras quien fundó la secta religiosa que estudió tanto la filosafla
como la Naturaleza y que, contándose entre los fundadores de la gran civilización
griega, transmitió su actitud racional a los griegos. En la época de nuestro
personaje aún predominaban las creencias místicas y religiosas provenientes de
Egipto y sus vecinos de Oriente.
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A los pitagóricos les emocionaban los números, y puesto que eran místicos,
asignaban a aquéllos importancia y significados que ahora juzgamos infantiles.
Creían que el número “uno” era la esencia o la naturaleza misma de la razón,
pues de ésta resultaba solamente un cuerpo de doctrina. El número “dos” lo
identificaban con la opinión, yaqueésta implica claramente la posibi lidad deque
exista opinión contraria y. por consigu iente, hay por lo menos dos. En el “cua·
tro” reconocían lajusticia, porque éste es el primer número que resulta un pro·
dueto de iguales. Los pitagóricos representaban los números como puntos en la
arena o por medio de piedritas. Para cada número los puntos o las piedritas se
ordenaban de manera especial. El número “cuatro”, por ejemplo, se representaba
con cuatro puntos que sugerían un cuadrado. Así quedaban vinculados el cua·
drado y la justicia. Hoy en día, en español “cuadrar” significa ajustar una cosa
con otra. “Cinco” denotaba matrimonio por ser la unión del primer número mas·
culino, tres, con el primer femenino, dos. (Los números impares eran masculi·
nos y los pares femeninos). El número “siete” indicaba salud y el “ocho”, amistad
o amor.
Las especulaciones y los resultados obtenidos por los pitagóricos en relac
ión con los números naturales y sus razones, o fracciones, fueron el inicio de
un desarrollo largo y dedicado de la aritmética como ciencia, en contraste con
la aritmética como instrumento para apoyar aplicaciones.
Cuando el sistema numérico incluye al cero y los negativos, constituye los
números enteros = { .. . , -5, -4, -3, -2, -1, O, 1,2,3,4, 5, … }. En este sistema
ya están bien definidas las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.
Uno de los miembros más destacados de este sistema numérico es el representante
matemático de la ausencia de cantidad, es decir, el cero. (Se denotará
por Wa Nv {O}). Esta cifra es tan familia r, que por lo regular no reparamos en
dos hechos importantes: en primer lugar, este miembro del sistema numérico
llegó relativamente tarde. Los hindúes concibieron la idea de utilizar el cero y,
como otras ideas suyas, ésta pasó a Europa por medio de los árabes. A ninguna
de las civi li zaciones anteriores, ni siquiera a los griegos, se les ocurrió laconveniencía
de disponer de un número que representara la ausencia de objetos. Vinculado
con la aparición tardía de este número, está el segundo hecho importante: el
cero debe distinguirse de nada (vacío). Es indudable que, por no haber podido
hacer esta distinción, los pueblos antiguos tampoco lograron inventar el cero. La
distinción entre cero y nada podrá entenderse gracias a los siguientes ejemplos: la
cal ificac ión de un estudiante en un curso que no haya tomado nunca será ausencia
de cal ificación o nada. Sin embargo, podrá obtener la calificación de cero, en el
caso que sí haya asistido. La persona que carezca de cuenta bancaria no tendrá
saldo. En caso de que sí la tenga, su saldo podrá ser de cero.
Siendo el cero un número, se puede operar con él; por ejemplo se puede
agregar a otro, y así 5+0 = 5. La única restricción impuesta al cero como número
es que no se puede dividir entre él, muchos de los pasos en falso que se dan en
matemáticas provienen de div idir entre cero; conviene entender claramente por
qué está prohibido hacerlo. La respuesta a un problema de di visión, digamos 6/2,
es un número que al ser multiplicado por el divisor produce el d ividendo. En
nuestro ejemplo, 3 es la solución porque 3 • 2 = 6. Por consiguiente, la respuesta
a 5/0 tendrá que ser un número que multipl icado por O, dé el dividendo 5. No
hay, sin embargo, algún número que sirva de cociente porque todo número que
se multiplica porO da O. Si se presentara la fracción 010, cualquier número puede
ser la respuesta, y al no saber qué número elegir no se puede efectuar la operación.
Teniendo a su disposición el cero, los matemáticos pudieron establecer el método
actual de escribir números enteros. Primero se cuentan las unidades: las grandes
cantidades se miden en decenas o decenas de decenas o decenas de decenas
de decenas, etcétera. Así, el doscientos cincuenta y dos se representa como 252.
El2 de la izquierda signifi ca, dos decenas de decenas; el 5 indica 5 veces 10, Y el
2 de la derecha simbol iza 2 unidades. El concepto de cero hace que sea práctico el
sistema de escribir cantidades pues permite, por ejemplo, distinguir 22 y 202.
Como el lO desempeña un papel fundamental en el sistema numérico se le llama
sistema decimal, en el cual el lOes la base. Lo más seguro es que el uso del 10
resultó del hecho de que una persona contaba (y sigue contando) con los dedos y,
habiendo pasado por todos los dedos de las manOS, considero que el número al que
había llegado era la unidad mayor. Del principio de que la posición de Wl número es
10 que determina la cantidad que representa resulta la notación posicional. El sistema
decimal de notación posicional es legado hindú.
Los números nega tivos
Una ad ición al sistema de los números, y que incrementó considerablemente el
poder de las matemáticas procede de la Ind ia remota. Es común usar los números
para representar cantidades de dinero, en particular las que se deben. Quizá
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porque la condición normal de los hindúes era la de estar endeudados, se les
ocurrió que sería útil disponer de números que representaran el monto de las
deudas. En consecuencia, inventaron lo que ahora se conoce como números
negativos; los antecesores de éstos son los números positivos. Cuando es necesario
distinguir claramente los números positivos de los negativos, o cuando
hace falta recalcar que positivo es opuesto a negativo, se escribe -3,-5 en vez
de 3 o 5. En los bancos y en las grandes empresas comerciales, que manejan
constantemente números negativos, es frecuente que se escriban éstos con tinta
roja y los positivos con tinta negra. Sin embargo, es adecuado poner un
signo de menos a un número para indicar que es negativo.
El uso de números positivos y negativos no se limita a la representación de
ingresos y egresos, abonos y cargos, haberes y débitos. Se toman como negativas
las temperaturas por debajo de 0° y como positivas las que están por encima
de esta cifra. Las alturas sobre y bajo el nivel del mar se pueden representar
también con números positivos y negativos, respectivamente. A veces tiene sus
ventajas representar el tiempo anterior y el posterior a un acontecimiento dado
con números negativos y positivos. Por ejemplo, utilizando el nacimiento de
Cristo como punto de partida, el año 50 a.e. se podria indicar como el año -50.
Para sacar el máximo provecho del concepto de números negativos debe ser
posible operar con ellos igual que con los positivos. Son fáciles de entender las
operaciones con números negativos así como con números negativos y positivos
simultáneamente si se tiene en mente el significado fisico de dichas operaciones.
Supóngase, por ejemplo, que una persona tiene un activo de $ 3 Y un
débito de $8. ¿Cuál es el capital neto? Está claro que esta persona tiene $5 de
débito. Es posible hacer el mismo cálculo con números positivos y negativos
diciendo que deben restarse $8 de $3, es decir, $3 – $8, o que debe sumarse un
débito de $ 8 al activo de $3, o sea, +3 +{-8). La respuesta se obtiene restando
el valor numérico menor (es decir, el número que sea más pequef’io en términos
absolutos, independientemente de su signo) del valor numérico más grande y
poniendo al resultado el signo del valor numérico más grande. Así pues, resta
3 de 8, y consideramos negativo el resultado porque el valor numérico mayor, el
8, tiene signo negativo.
Toda vez que los números negativos representan deudas, y que por lo regular
la sustracción tiene el significado fisico de “quitar” o “extraer”, entonces la resta
de un número negativo significará la eliminación de una deuda. Por consiguiente,
si una persona tiene un haber de, digamos $3, y si le pagan una deuda de $8,
entonces la cancelación de ésta dejará a [a persona con un haber de $11. En
términos matemáticos se ve que +3 –{-8)= + ¡l. y en palabras se dice que, para
sustraer un número negativo, se añade el número positivo correspondiente.
Supóngase que cierta persona se endeuda a razón de $5 por día. Así, a los tres
días de una fecha dada, tendrá una deuda de $ 15. Si denotamos la deuda de $ 5
con -5, endeudarse a razón de $ 5 por día durante tres días se representa matemáticamente
como 3(-5) = – 15. Así, [a multiplicación de un número positivo
por otro negativo produce un número negativo, cuyo valor numérico es el producto
de los valores numéricos implicados.
Hay una definición más sobre los números negativos cuya veracidad es
fácil de percibir. Por razones obvias, se dice de los números positivos y del
cero que 3 es mayor que 2, que 2 es menor que 12, y que cualquier número
positivo es mayor que cero. De los números negativos se dice que son menores
que [os positivos y que el cero. Además, que -5 es menor que -3, o que – 3 es
mayor que -5.
Es fácil retener la posición relativa de los números positivos, los negativos
yel cero imaginando estos números como los puntos de una linea, como en [a
figura siguiente. Lo que se aprecia en esta figura no difiere mucho de lo que se
observa cuando se pone la escala de un tennómetro en posición horizontal
(véase la figura):
I I [ [
-4 -3 -2 – 1 o 2 3 4 5
Ejercicios
l. Supóngase que una persona tiene $3 y contrae una deuda de $5 ¿Cuál es su
capital neto?
2. Una persona debe $5 y luego adquiere una deuda nueva de $8. Utiliza números
negativos para determinar su situación financiera.
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3. Un comerciante debe $5 y gana $8. Utiliza números positivos y negativos
para calcular su capital neto.
4. Supóngase que una persona debe $13 y paga una deuda de $8. Utiliza números
positivos y negativos para calcular su capital neto.
5. Una persona pierde dinero en los negocios a razón de $100 por semana.
Indica este cambio de capital con -100, el tiempo futuro con números positivos
y el tiempo pasado con números negativos. ¿Cuánto perderá esta persona
en 5 semanas? ¿Cuánto tenía hace 5 semanas?
Operaciones aritméticas
Las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división
son familiares. Tal vez por eso no se percibe que son, a la vez, en extremo
complejas y de notable eficiencia. Se remontan a los tiempos de los griegos, y
poco a poco fueron evolucionando a medida que mejoraban los procedimientos
para escribir números y aparecia el concepto de cero. Los europeos heredaron
de los árabes los procedimientos correspondientes. Primero, los europeos utilizaron
el sistema romano de escribir números, y las operaciones aritméticas tuvieron
que basarse en este sistema. En parte porque estos procedimientos eran
laboriosos y en parte porque la educación estaba limitada a una minoría: los que
poseían el arte del cálculo tenían reputación de diestros matemáticos. En realidad,
los procedimientos aritméticos de la época ponían a prueba la inteligencia de
la mayoría, al grado de que llegaban a convencerse de que quienes dominaban
tales habilidades debían poseer poderes mágicos. Los buenos calculistas eran
conocidos como practicantes del “arte negro”.
Fracciones y operaciones entre fracciones
Cuando se introducen fracciones. y la división es también una operación
bien definida, se está trabajando con el sistema de los números racionales
Q={plqlp,q EZ.q … o}, es des;ir, Q es el conjunto de enteros con denominador
diferente de cero.
Por otro lado, el procedimiento común de escribir fracciones, por ejemplo, 2/
3 o 7/5, para expresar partes de un todo no es dificil de comprender. En cambio,
las operaciones con fracciones parecen tener algo de misterio. Para sumar 2/3 a
7/5, se lleva a cabo por el siguiente proceso:
2 7 10 21 31 – + – = – + – = –
3 5 15 15 15
Lo que se hizo fue expresar cada una de las fracciones en su forma equivalente,
de modo que los denominadores fueran iguales, y luego se sumaron los nume~
radores.
Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores.
o también,
2· ~ · 2 =2· ~ =~
3 5 15 15
La operación de dividir una fracción entre otra es un poco más dificil. El
procedimiento correcto consiste en multiplicar el numerador por el inverso del
denominador, esto es:
o bien:
Yt =f*T=1=6
Yt
X -3. · ~ -~-3 2 – —
l I 2 2
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Notación decimal
Las fracciones, como los números enteros, se pueden escribir en notación
posicional. Así
12520525
– = – = – + – = – + –
4 100 100 100 10 100
Si se conviene en suprimir las potencias de lO, esto es, 10 y 100, así como las
mayores potencias cuando las haya, entonces se puede escribir Y. = 0.25. El
punto decimal recuerda que el primer número es en realidad 2/l0; el segundo 5/
lOO, Y así sucesivamente. Los babilonios ya empleaban la notación posicional
para las fracciones, pero utilizaban 60 como base en lugar de lO, igual que para
los números enteros. La base decimal para las fracciones fue introducida por los
algebristas europeos del siglo XVI. Las operaciones con fracciones se pueden
efectuar también en forma decimal. Lo que resulta frustrante de la representación
decimal de fracciones es que no todas las fracciones simples se pueden
escribir como decimales con un número finito de dígitos. Así, cuando se trata de
expresar 1/3 como decimal, se encuentra con que no basta ni con 0.3 ni con
0.33, ni con 0.333, etcétera. Todo lo que puede decirse de este y otros casos
parecidos es que, agregando más y más dígitos, es posible aproximarse cada vez
más a la fracción, pero ningún número finito de dígitos dará la respuesta exacta.
Este hecho se expresa con la notación:
:11 = 0.333 … ,
en donde los puntos suspensivos indican que se debe añadir continuamente un
tres para aproximarse más y más a la fracción 113.
Es importante resaltar que la expresión decimal de los números fraccionarios
es finita o periódica; en el ejemplo anterior el periodo que se repite es el número
3,10 cual también se indica como:
1 “3 = 0.333 … ,= 0.3
Cuando la expresión decimal de un número no pertenece a ninguno de los tipos
mencionados, esto es, cuando es infinita no periódica, el número correspondiente
no es racional, entonces se llama irracional: {Irracionales} = Q’= complemento
de los Racionales Q.
Ejercicios
l. ¿Cuál es el principio de la notación posicional?
2. ¿Por qué es indispensable el número cero en el sistema de notación posicional?
3. ¿Qué significa la afirmación de que el cero es un número?
4. ¿Cuáles son las dos maneras de representar fracciones?
5. ¿Qué principio determina las definiciones de las operaciones con números
fracccionarios?
Los números irracionales
Los pitagóricos, como se hizo notar antes, fueron los primeros en captar el
concepto mismo de número, y en tratar de emplear los números para describir
los fenómenos fundamentales de los mundos fisico y social. Para los pitagóricos,
los números fueron también interesantes en sí mismos y por sí mismos. Les
gustaron los números cuadráticos, es decir, números como 4,9,16,25,36, etcétera,
y observaron que las sumas de ciertos números cuadráticos, o cuadrados
perfectos, eran también números cuadráticos. Por ejemplo, 9+16=25; 25+ 144= 169
y, 36+64= I OO. También se pueden escribir así estas relaciones:
y,
A los conjuntos de tres números cuyos cuadrados satisfacen igualdades como
éstas se les sigue llamando hasta hoy temas pitagóricas. Así 3, 4, 5 constituyen
una tema pitagórica porque:
31+42= 52
Los pitagóricos trabajaron mucho con estas temas, fundamentalmente porque
se prestaban a una interesante interpretación geométrica (Teorema de Pitágoras).
Si los dos números más pequeños son las longitudes de los lados que forman el
ángulo recto de un triángulo rectángulo, es decir los catetos, entonces el tercer
número será la longitud de la hipotenusa (véase la figura).

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Ejercicios
l. Demostrar que el cuadrado de cualquier número par es par también. (Suge·
rencia: por definición, todo número par contiene 2 como factor, es decir, se
IEPtffB Ita can o 21’1.)
2. Demostrar que el cuadrado de cualquier número impar es también impar.
(Sugerencia: todo número impar termina en 1,3,5,7 o 9 y puede represen·
tarse como 2n+I.)
3. See.a un número entero. Demostrar que si a2es par, entonces a es par taF.:bién.
(Sugerencia: utiliza el resultado del ejercicio 1).
4. Establece la verdad o la falsedad de la afirmación de que la suma de cuales·
quiera dos cuadrados es asimismo el cuadrado de un número.
Los pitagóricos edificaron una filosofia, para ellos mismos muy satisfactoria, en
la que se aseguraba que todos los fenómenos naturales y los conceptos éticos y
sociales no eran, en esencia, más que números enteros o relaciones entre núme·
ros enteros. Pero cierto día a uno de los miembros de la secta se le ocurrió
examinar el caso, al parecer más sencillo, del teorema de Pitágoras. Supongamos
que cada uno de los catetos de un triángulo (figura siguiente) tiene una longitud
de 1. ¿Cuál será entonces la longitud de la hipotenusa? El teorema de Pitágoras
dice que el cuadrado (de la longitud) de la hipotenusa equivale a la suma de los
cuadrados de los catetos. Por lo tanto, si llamamos “e” a la longitud desconocida
de la hipotenusa, de acuerdo con el teorema tendremos que
Ahora bien, 2 no es un número cuadrático, es decir, un cuadrado perfecto, y
entonces “e” no es un numero entero. Pero podría ser una fracción, es decir, que
seguramente habría una fracción cuyo cuadrado fuera 2. La fracción 7/5 se
acerca al valor correcto porque (7/5)2.: 49/25, que es casi 2. Pero por muchas
pruebas que se hagan no se encontrará la fracción cuyo cuadrado sea 2.
Para investigar si existe o no una fracción cuyo cuadrado sea 2, se razonó así:
se requiere encontrar un número representado con ,Ji Este símbolo significa un
número cuyo cuadrado es 2. Supóngase ahora que -ti es la fracción alb, en
donde a y b son números enteros. Además, para simplificar aún más el problema,
suponga que ya se han eliminado todos los factores comunes dea y b (alb es una
fracción irreducible).
La operación inversa de elevar al cuadrado, es sacar raíz cuadrada. Entonces
significa que una operación es inversa de otra cuando una deshace lo que hace la
otra. a .Ji=b
( 1)
De ser correcta la ecuación (1), elevamos al cuadrado sus dos miembros, este
paso se funda en el axioma de que números iguales multiplicados por números
iguales dan resultados iguales; multiplicando el miembro izquierdo -ti por
.Ji y el derecho por alb, se obtiene:
a’
2= –
b’
Aplicando de nuevo el axioma de que números iguales multiplicados por nú·
meros iguales producen resultados iguales, se obtiene el producto de ambos
miembros de la ecuación por b2
:
(2)
El miembro izquierdo de esta ecuación es un número par porque contiene 2
como factor. Por lo tanto, el miembro derecho deberá ser también un número
par. Pero si a2 es par, entonces, según los resultados del ejercicio 3, “a” deberá
ser par también. Si “a” es par deberá contener 2 como factor, esto es, a== 2d, en
donde “d” es un número entero. Sustituyendo este valor de “a” en (2) se obtiene
2b’=(2d)’=2d*2d–4d’
2b2=4d 2
Se pueden dividir ambos miembros de esta ecuación entre 2 para obtener
b2:2d 2
(3)
(4)
Por lo que b2es número par y, recurriendo una vez más al resultado del ejercicio
3, b tendrá que ser igualmente número par. .
Lo que demuestra esta argumentación es que si -fi = alb, entonces a y b
deben ser números pares. Pero la fracción es irreducible y ” a “, “b” siguen
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conteniendo 2 como factor común. ¡Contradicción! Como el razonamiento es
correcto, la única posible equivocación estriba en el supuesto de que.J2 equi·
vale a una fracción. En otras palabras,.J2 no puede ser la razón de dos números
enteros.
El símbolo Ji es un número porque representa la longitud de una línea: la
hipotenusa de un triángulo. Pero este número no es ni un entero ni una fracción.
La filosona pitagórica aseguraba que todo cuanto existe en el universo era redu·
cible anúmeros enteros. Ahora se evidenciaba la insuficiencia de la doctrina. La
existencia de números como .Ji fue una amenaza muy seria para la filosofia
pitagórica. También descubrieron que hay una colección indefinidamente grande
de otros números que tampoco son enteros o fracciones. Asr,J3.~ y~, y en
general la raíz cuadrada de cualquier número que no sea cuadrado perfecto, la
raíz cúbica de cualquier número que no sea cubo perfecto, y así sucesivamente,
son números que ni son enteros ni son fracciones. El número 1t, que es la razón
de la circunferencia a su diámetro, tampoco es entero o fraccionario. Todos
estos “nuevos” números se llaman números irracionales. La palabra “irracional”
significa ahora que estos números no pueden expresarse como razones de nú·
meros enteros, pero en tiempos de los pitagóricos era sinónimo de inmencionable,
inescrutable o inconocible.
Al agregar irracionales a los racionales, se obtiene el sistema de números
reales 9t=QJ{lrracionaJes}, en el que están bien definidas la adición, la sus·
tracción,la multiplicación, la división, la potenciación y la raíz de números no
negativos.
Para poder utilizar los números irracionales, se debe establecer la manera de
operar con ellos, es decir, cómo sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos.
Es cierto que
Para multiplicar raíces cuadradas, es suficiente con multiplicar los radicandos.
Para la división ~, el procedimiento es semejante al caso de la multiplica·
ción: “,4
~ = K
pues esta ecuación infonna sencillamente que 312~3f2..
El número irracional es la primera de muchas ideas sutiles que el matemático ha
introducido para reflexionar en ellas al tratar con el mundo real. El matemático
crea estos conceptos, idea maneras de trabajar con ellos de modo que se adapten
a situaciones reales y utiliza luego sus abstracciones para razonar sobre los fenómenos
a los que se apliquen sus ideas.