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LA FUNCION SENO Y SU GRAFICA

LA FUNCION COSENO Y SU GRAFICA

LA FUNCION TANGENTE Y SU GRAFICA

LA FUNCION COTANGENTE Y SU GRAFICA

LA FUNCION SECANTE Y SU GRAFICA

LA FUNCION COSECANTE Y SU GRAFICA

Al finalizar el presente capítulo el lector estará en la capacidad de:

* Analizar y determinar el campo de definición , campo de variación y representación cartesiana de una función.
* Reconocer las funciones seno y coseno.
* Reconocer sus características.
* Analizar sus características.
• Realizar las gráficas de las funciones trigonométricas (F.T.) básicas del seno y del coseno.
• Identificar las gráficas de los F.T. básicas del seno y el coseno
• Identificar el dominio y el rango de las F.T. básicas del seno y del coseno
• Obtener el máximo y el mínimo valor de las F.T. básicas del seno y del coseno.

* Aplicar el estudio de las funciones trigonométricas a situaciones de la vida cotidiana.

Introducción :
Los fenómenos naturales como el sonido, la luz, los movimientos telúricos, en fin, los fenómenos ondulatorios; así como los latidos del corazón, el péndulo, etc. son muy bien caracterizadas matemáticamente mediante ciertas funciones trigonométricas.
El hecho de que una función se pueda representar gráficamente, permite estudiar sus características y el comportamiento a lo largo de la variable independiente.
Antes de pasar a definir una función, daremos algunos conceptos básicos para la mejor comprensión del tema.

ANALISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
FUNCIÓN SENO

El dominio de la función y = sen x son todos los números reales. En la siguiente tabla listamos algunos pares ordenados de dicha función. Nótese que los valores del dominio (x) están expresados en radianes y son ángulos especiales del primer y segundo cuadrante, de tal forma que los valores correspondientes de la imagen (y) son fáciles de calcular.

Luego marcamos en el plano cartesiano las parejas ordenadas obtenidas en la tabla anterior, tal como se muestra en la figura adjunta.

Al marcar otros pares ordenados (utilizando una calculadora científica) y unirlos mediante una curva suave o lisa se obtendrá la gráfica de la función y = sen x, llamada senoide.

De la gráfica de la función y = sen x tenemos:

• Es una función impar, ya que sen (–x) = –sen x (la gráfica presenta simetría con respecto al origen de coordenadas).
• Es creciente y decreciente ; donde .
• Es periódica y su periodo es 2p.
• Es continua , o sea es continua en su dominio.
También es de uso frecuente la definición siguiente para la función seno
Definición: Si una función f cumple la propiedad f (x + T) = f(x) para todo x de su dominio, siendo T una constante real diferente de cero, entonces f es periódica. El menor número positivo T se denomina período (período principal o período mínimo) de la función f.
Ejemplo 1
Averigüe si existe el período de las funciones cuya regla de correspondencia es:
I. f(x) = sen x
II. g(x) = tg x
Resolución:
I. f(x) = sen x
Primer método. Por definición
Esquema a plantear:
Si: f (x + T) = f(x) ………. (1)
pasando a un solo miembro se tiene:
f(x + T) – f(x) = 0
(De esta ecuación debemos obtener al menos una ecuación que involucre sólo a la variable T).
Si no se puede obtener aquello se sobreentenderá que la función no es periódica; en el ejemplo tenemos:

f(x) = sen x ………. (2)
f(x + T) = sen (x + T) ………. (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) obtenemos:
sen (x + T) = sen x
sen (x + T) – sen x = 0 …. (4)
y por transformación a producto de (4) se obtiene:

Reduciendo de donde obtenemos dos condiciones.

y puesto que al menos una de las dos condiciones involucra sólo a T (a), luego resolviendo:

Del capítulo de C.T. se tiene que si:

Como T debe ser diferente de cero, por consiguiente K también debe serlo , por lo que nuestro correcto planteamiento sería:
de (5) T = 2kp dando algunos valores a K obtenemos:

Si:
Si:
Si:
Si:

de donde:

Pero como habíamos mencionado, se considera como periodo principal o mínimo al menor valor positivo de estos valores (6), en consecuencia escogemos: T = 2p.
Luego podemos afirmar que para la función:
f(x) = sen x existe un periodo T y éste es 2p.
Segundo método. Método de identidad
A partir de la definición:

desarrollando el primer miembro por identidad de arcos compuestos.

sen x cos T + sen T cos x = sen x ……. (2)
Completando el segundo miembro se tiene:

Identificando obtenemos:
cos T = 1 y sen T = 0
(No olvide que estas dos condiciones deben verificarse en simultáneo para que la igualdad (3) se cumpla).
Como T debe ser positivo T > 0

De (4) a (5) se obtiene que los valores deT son:

Puesto que se escoge el periodo T como el menor valor positivo, éste sería 2p. Luego podemos afirmar que la función f(x) = sen x es periódica de periodo T = 2p.
Tercer método. Tanteo por ángulos cuadrantes
A partir de:

Por las identidades de reducción al primer cuadrante se tiene que T debe ser un ángulo cuadrantal , de tal forma se emplearía el tanteo con:

(No cumple la condición (1) porque el segundo miembro debería ser sen x).
, en consecuencia seguiremos nuestro tanteo con el siguiente ángulo cuadrantal:

(No cumple la condición 1).
El período no es p, en consecuencia proseguimos nuestro tanteo.

(No cumple la condición 1).
El período no es , luego seguirmeos tanteando con el siguiente ángulo cudrantal.

(Sí cumple la condición 1).
Puesto que el valor de T = 2p cumple, podemos afirmar luego que los valores de T serán los múltiplos de 2p, esto es: T = 2p; 4p; 6p; 8p; …
Pero se escoge como periodo al menor positivo, por lo que podemos afirmar que la función:
f(x) = sen x es periódica y de periodo igual a 2p.
FUNCIÓN COSENO
El dominio de la función y = cos x son todos los números reales. En la siguiente tabla listamos algunos pares ordenados de dicha función. Nótese que los valores del dominio (x) están expresados en radianes y son ángulos notables de uso muy frecuente, esto se hizo por el motivo de que los valores correspondientes de la imagen (y) son fáciles de calcular.

Luego la función coseno como conjunto de pares ordenados será:

Al marcar otros pares ordenados obtenidos a través de una calculadora o un programa y unirlos mediante una curva suave y lisa, se obtendrá la gráfica de función y = cos x llamada cosenoide, la cual se representa a continuación.
A partir de la gráfica de la función podemos obtener las siguientes conclusiones:

• Es una función par ya que cos (–x) = cos x. Esto se muestra porque la gráfica presenta simetría respecto del eje de ordenadas.
• Es decreciente: y creciente: donde:
• Es periódica y su periodo es 2p.
• Es continua: , esto quiere decir que es continua en su dominio.