FUNCIONES ELEMENTALES 4TO DE SECUNDARIA – ESO EJERCICIOS RESUELTOS

Share Button

– Función cuadrática.
– Función de proporcionalidad inversa.
– Función exponencial.
Después de Euler aún siguió, entre los matemáticos,
la discusión sobre qué requisitos eran imprescindibles
para definir una función y cuáles no. En 1923 se llegó
a la siguiente definición, muy parecida a la que se usa
actualmente.
Se dice que y es una función de x si a cada valor
de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia
se indica mediante la ecuación y = f (x).
Pero en esa búsqueda de la precisión, se generaron
una serie de funciones estrafalarias que llevaron a
Poincaré, en el año 1899, a decir:
“Durante medio siglo hemos visto una masa de
funciones extrañas construidas de modo que se
parezcan lo menos posible a las funciones honestas
que sirven a algún propósito. Antes, cuando se
inventaba alguna función, era con alguna meta
práctica. Hoy son inventadas con el fin de mostrar
que el razonamiento de nuestros antecesores
fue erróneo”.
En esta unidad vamos a dedicarnos a esas funciones
honestas que propugnaba el gran Poincaré, esas funciones
que sirven para algo más que para construir o
desmontar conceptos.
DEBERÁS RECORDAR
■ Cómo se obtienen puntos de una función dada
por su expresión analítica.
■ Cómo se obtiene la ecuación de la recta que pasa
por dos puntos.
Funciones
elementales
56 1 Distintos tipos de funciones lineales
Función de proporcionalidad: y = mx
Las funciones de proporcionalidad se representan
mediante rectas que pasan por el origen. Describen
una proporción entre los valores de las dos variables.
La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad,
m.
y = mx
Y
X
Función constante: y = n
Se representa mediante una recta paralela al eje X.
Su pendiente es 0.
La recta y = 0 coincide con el eje X.
y = n
y = 0
n
X
Y
Expresión general: y = mx + n
Su representación es una recta de pendiente m que
corta al eje Y en el punto (0, n). Al número n se
le llama ordenada en el origen.
Por ejemplo:
La recta °F = 32 + 1,8 °C permite pasar de una
temperatura en grados centígrados, °C, a la correspondiente
en grados Fahrenheit, °F.
y = mx + n
n
Y
X
1 Representa:
a) y = 2x b) y = 23
x c) y = –14
x d) y = –73
x
2 Representa:
a) y = 3 b) y = –2 c) y = 0 d) y = –5
3 Representa:
a) y = 2 x – 3 b) y = 23
x + 2
c) y = – 14
x + 5 d) y = –3x – 1
4 Un móvil, en el instante inicial, está a 3 m del origen
y se aleja de este con una velocidad de 2 m/s.
Halla la ecuación de su posición en función del tiempo
y represéntala.
5 El coste del uso doméstico de gas ciudad es de 12 €
al bimestre más 0,05 € por cada kWh consumido.
Escribe la ecuación del coste bimensual, C, en función
del número de kWh (E ) de gas consumido.
Actividades
El espacio recorrido con movi miento
uniforme (velocidad cons tante) en función
del tiempo es:
e = v · t
v es la pendiente de la recta que relaciona
e con t.
Ejemplo
• El precio de la comida en algunos
restaurantes es constante, no depende
de la cantidad que nos sirvamos.
• La distancia de un satélite artificial
a la Tierra es constante, no varía
con el tiempo.
Ejemplos
200
100
100
°C
°F
°F = 32 + 1,8 °C
5
57
2 Ecuación de una recta en la forma punto-pendiente
Pendiente de una recta
La pendiente de una recta es la variación de la y (aumento o disminución)
cuando la x aumenta una unidad.
Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta, P(x1, y1) y Q(x2, y2), para
hallar la pendiente, procedemos así:
Pendiente =
y2 – y1
x2 – x1
y2 – y1 es la variación de la y.
x2 – x1 es la variación de la x.
La pendiente de una recta dada por su ecuación es el coeficiente de la x cuando
está despejada la y.
Por ejemplo, observemos una tabla de valores correspondientes a y = 2x + 1:
Advertimos que cuando la x avanza 1, la y
sube 2; es decir, la pendiente de la recta es 2.
x 0 1 2 3 4
y 1 3 5 7 9
Ecuación de una recta en la forma punto-pendiente
Con mucha frecuencia hemos de escribir la ecuación de una recta de la cual conocemos
un punto y la pendiente. La damos a continuación.
Punto: P(x0, y0) Pendiente: m Ecuación: y = y0 + m(x – x0)
■Recta dada por dos puntos
Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, procedemos así:
• A partir de los dos puntos, obtenemos su pendiente.
• Con la pendiente y uno de los puntos, obtenemos la ecuación.
Hallar la ecuación de cada una
de las rectas siguientes:
a) Pasa por (0, 4) y tiene una
pendiente de 73
.
b) Pasa por (–2, 7) y por (4, 5).
Ejercicio resuelto
a) y = 4 + 73
x. Observa que (0, 4) está en el eje Y. Es decir, 4 es la ordenada
en el origen.
b) Empezamos hallando su pendiente: m = 5 – 7
4 – (–2)
= –2
6
= – 13
Ecuación de la recta que pasa por (–2, 7) y cuya pendiente es – 13
:
y = 7 – 13
(x + 2)
1 Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas:
a) Pasa por (–3, –5) y tiene una pendiente de 49
.
b) Pasa por el punto (0, –3) y tiene una pendiente de 4.
c) Pasa por (3, –5) y por (– 4, 7).
2 Indica un punto y la pendiente de cada una de las
rectas siguientes:
a) y = –4 + 3(x – 1) b) y = –2(x – 3) c) y = 1 + 4x
Actividades
(x2, y2)
(x1, y1)
x2 – x1
y2 – y1
La pendiente de la recta
3x – 2y + 1 = 0
es m =
3
2
.
58
58 3 Parábolas y funciones cuadráticas
La curva que describe un balón cuando se lanza a canasta es una parábola. También
describen parábolas las bolas de golf o los chorros de agua. Parabólicas son
las secciones de las antenas que captan las emisiones de televisión procedentes de
los satélites artificiales y las secciones de los faros de los coches. Y otros muchos
objetos presentes en nuestra vida.
También hay muchas funciones que se representan mediante parábolas:
— El área de un cuadrado en función de su lado (A = l2) o la de un círculo en
función de su radio (A = πr2).
— La altura a la que se encuentra una piedra que lanzamos hacia arriba en función
del tiempo transcurrido desde que se lanzó (a = v0t – 4,9t2).
— El espacio que recorre un coche desde que decidimos frenar hasta que realmente
se para, en función de la velocidad que llevaba (e = 0,0074v2 + 0,21v).
— …
Parábola tipo: la función y = x2
Empecemos por representar el modelo de parábola más
sencillo, que corresponde a la función y = x2.
Se trata de una curva simétrica respecto al eje Y; tiene
un mínimo en el punto (0, 0), al que llamamos vértice.
Tiene dos ramas, una decreciente y otra creciente.
Es una función definida en todo Á y continua, pues
no presenta saltos: se puede representar de un solo trazo.
Como veremos a continuación, las gráficas de todas las
demás funciones cuadráticas son similares a esta.
Otras parábolas
Observa las siguientes curvas con sus respectivas ecuaciones:
tabla de valores
x y
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
16
9
4
1
0
1
4
9
16
y = x2 y = 3×2
y = x2 – 6x + 6
y = 3×2 – 18x + 24
Puedes comprobar, en cada una de ellas, que las coordenadas de los puntos señalados
cumplen las correspondientes ecuaciones.
5
10
15
–4 –2 0 2 4
eje
ramas
vértice
y = – — x2 112
2
112
2
y = – — x2 + 2x – 4
59
Funciones cuadráticas
Las funciones y = ax2 + bx + c, con a ? 0, llamadas cuadráticas, se representan
todas ellas mediante parábolas y son continuas en todo Á.
Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y.
Su forma (hacia abajo, hacia arriba, más ancha…) depende de a, coeficiente
de x2, del siguiente modo:
• Si a > 0, tienen las ramas hacia arriba, y si a < 0, hacia abajo. • Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola. Representación de funciones cuadráticas Veamos algunos pasos que conviene dar para representar y = ax2 + bx + c: 1.º La abscisa del vértice es p = – b 2a . Calculamos la ordenada. 2.º Obtención de algunos puntos próximos al vértice. Calculamos el valor de la función en abscisas enteras próximas al vértice, a su derecha y a su izquierda. Así se obtiene la curva en su parte más interesante. 3.º Puntos de corte con los ejes. — Corte con el eje X: se resuelve la ecuación ax2 + bx + c = 0. — Corte con el eje Y: es el (0, c). 4.º Representación. Escogeremos sobre los ejes unas escalas que nos permitan plasmar la información en un espacio razonable. Representar y = x2 – 3x – 4. 2 4 6 –2 –4 –6 2 y = x2 – 3x – 4 –2 4 Ejercicio resuelto 1.º Obtención del vértice: Abscisa: p = –(–3) 2 · 1 = 32 = 1,5 Ordenada: f(1,5) = –6,25 ° § ° ¢ § § ¢ £ § El vértice es (1,5; –6,25). 2.º Obtención de puntos próximos al vértice: x –2 –1 0 1 2 3 4 5 y 6 0 –4 –6 –6 –4 0 6 3.º Puntos de corte con los ejes: • Cortes con el eje X: x2 – 3x – 4 = 0 8 x = 3 ± √9 + 16 2 8 x1 = –1, x2 = 4 • Corte con el eje Y: (0, –4) (Esta información ya la teníamos en la tabla anterior) 4.º Puedes ver la representación a la izquierda. 1 Representa las siguientes parábolas: a) y = x2 + 2 b) y = x2 – 3 c) y = (x – 2)2 d) y = (x + 1)2 2 Representa las siguientes parábolas: a) y = x2 – 2x + 3 b) y = x2 – 6x + 5 3 Dibuja estas funciones: a) y = 14 x2 + x – 2 b) y = 2x2 – 10x + 8 Entrénate 60 4 Funciones de proporcionalidad inversa y radicales Funciones de proporcionalidad inversa De un rectángulo de 100 cm2 de superficie, desconocemos sus lados. Los llamamos x e y. Es claro que xy = 100. Lo ponemos así: y = 100 x (A igualdad de áreas, los lados son inversamente proporcionales). Las relaciones de proporcionalidad inversa, como la que acabamos de describir, se presentan con mucha frecuencia en la naturaleza, la física, la economía… Vamos a analizarlas teóricamente. Las funciones y = kx presentan las características siguientes: • No están definidas en x = 0. • Si x se acerca a 0, y toma valores cada vez más grandes. Por eso, decimos que el eje Y es una asíntota. • Si x toma valores cada vez más grandes, y se acerca a 0. Por eso, el eje X es asíntota. Esta curva es una hipérbola. Funciones radicales Las funciones y = √x e y = –√x se pueden representar punto a punto y dan lugar a las gráficas que ves debajo. Son mitades de parábola y juntas describen una parábola idéntica a y = x2, pero con su eje sobre el eje X. Y X Y X y = x y = – x El dominio de definición de estas funciones es [0, +@). k y = — x 5 5 10 15 20 25 30 10 15 20 25 30 y = x y = – x 1 Representa con detalle la parte positiva de la función y = 36 x . Para ello, dale a x los valores 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 y utiliza una hoja de papel cuadriculado para representar los puntos obtenidos. 2 Representa la función y = 6x . Para ello, da a x los valores ±1, ±2, ±3 y ±6. 3 Representa y = y di su dominio de definición. (Da a x los valores 0, –1, –4, –9, –16). 4 Representa estas funciones y di sus dominios: a) y = √x + 1 (Da a x los valores –1, 0, 3, 8, 15). b) y = √1 – x (Da a x los valores 1, 0, –3, –8, –15). Actividades 5 61 5 Funciones exponenciales Funciones exponenciales crecientes: y = ax, a > 1
En el margen tienes la gráfica de la función exponencial de base 2: y = 2x
x Ó 0:
x 0 1 2 3 4 …
2 x 1 2 4 8 16 …
Cuando x toma valores cada vez más grandes, 2x tiende a infinito.
x Ì 0:
x –1 –2 –3
2 x 2–1 = 12
= 0,5 2–2 = 14
= 0,25 2–3 = 18
= 0,125
Cuando x toma los valores –4, –5, –6, –10, …, 2x se hace muy pequeño. Es
decir, hacia la izquierda, 2x tiende a cero.
Se llaman funciones exponenciales a las que tienen la ecuación y = ax.
• Todas ellas son continuas, están definidas en todo Á y pasan por los puntos
(0, 1) y (1, a).
• Si la base es mayor que 1 (a > 1), entonces son crecientes.
• Crecen tanto más rápidamente cuanto mayor es a.
Funciones exponenciales decrecientes (0 < a < 1) La función y = (12 )x también es exponencial. Como su base (1/2) es menor que 1, la función es decreciente. Las funciones y = ax con 0 < a < 1 también pasan por (0, 1) y (1, a), son continuas y definidas en todo Á, pero son decrecientes. Decrecen tanto más rápidamente cuanto más próximo a 0 sea a. –4 0 4 y = 2x 5 10 15 –4 0 4 5 y = 2x 10 15 y = 3x y = (—1)x 2 1 Calcula los valores de la función y = 1,5x para los valores enteros de x comprendidos entre –6 y 6. Representa la función. 2 Calcula los valores de la función y = 0,8x para los valores enteros de x comprendidos entre –8 y 8. Representa la función. 3 La función y = 50,2x puede ponerse de forma exponencial y = ax teniendo en cuenta que 50,2x = (50,2)x. a) Calcula 50,2 y guarda el resultado en la memoria: 5 ‰0,2 =m. b) Representa la función dando valores a x. Por ejemplo, para x = 4: щ4 ={∫«…\“}. Actividades y = 3x crece más deprisa que y = 2x. 62 Ejercicios y problemas Consolida lo aprendido utilizando tus competencias ■ Practica Pendiente de una recta 1 Halla gráficamente la pendiente de las rectas que pasan por los siguientes puntos: a) (2, 4) y (–1, –2) b) (–3, 5) y (3, –1) c) (–3, 5) y (2, 1) d) (3, 2) y (5, 2) 2 Halla las pendientes de las siguientes rectas, obteniendo dos de sus puntos: a) y = 4 x – 2 b) y = – 45 x c) y = 5x 4 + 3 d) y = 8 – 5x Comprueba, en cada caso, que coinciden con el coeficiente de la x (puesto que la y está despejada). ¿Qué relación existe entre el crecimiento o el decrecimiento de una recta y su pendiente? 3 Halla las pendientes de las siguientes rectas: a) 6x + 3y – 4 = 0 b) x + 4y – 2 = 0 c) –3x + 2y = 0 d) 3y – 12 = 0 Ecuación y representación de una función lineal 4 Asocia a cada recta su ecuación. Di, en cada caso, cuál es su pendiente. a) y + 2 = 0 b)3x – y = 3 c) y = 2 – x d)2x – 3y = 12 u t s r 2 –2 X Y 2 5 Halla la ecuación de las rectas que cumplen las siguientes condiciones y dibújalas: a) Pasa por (5, 3) y tiene una pendiente de 3/5. b) Pasa por el punto (5, 3) y tiene pendiente –1/2. c) Pasa por el punto (5, 6) y tiene la misma pendiente que la recta 2x + y = 0. 6 Halla la ecuación de las rectas que pasan por los puntos que se indican y represéntalas: a) (2, 3) y (7, 0) b) (–2, 5) y por el origen de coordenadas c) (–3, 2) y (3, 2) d) (0, 4) y (4, 0) Funciones cuadráticas 7 Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice de cada parábola: x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y … … … … … … … … … a) y = x2 + 3 b) y = x2 – 4 c) y = 2×2 d) y = 0,5×2 8 Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos próximos a él y los puntos de corte con los ejes: a) y = ( x + 4) 2 b) y = 13 x2 + 2x c) y = –3×2 + 6x – 3 d) y = –x2 + 5 9 Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) donde se encuentra el vértice de estas parábolas señalando, en cada caso, si se trata de un máximo o de un mínimo: a) y = x2 – 5 b) y = 3 – x2 c) y = –2×2 – 4x + 6 d) y = 3×2 – 6x Representa cada una de esas parábolas. 10 Asocia a cada una de las gráficas una de las expresiones siguientes: III I II IV a) y = x2 b) y = (x – 3)2 c) y = x2 – 3 d) y = x2 – 6x + 6 63 Otras funciones 11 Dibuja la gráfica de estas funciones, dando a x los valores que se indican en cada caso: a) y = 3x x = –3; –1; –1/2; 1/2; 1; 3 b) y = – 3x x = –3; –1; –1/2; 1/2; 1; 3 c) y = 1 x – 2 x = –2; 0; 1; 3/2; 3; 4 d) y = – 1 x + 1 x = –3; –2; –3/2; –1/2; 0; 1 12 Representa las funciones siguientes: a) y = √x + 2 b) y = 2 – √x c) y = √3 – x d) y = 2 √x + 2 13 Representa las siguientes funciones dando a x valores comprendidos entre –4 y 4: a) y = 1,4x b) y = 0,75x c) y = 2x – 1 d) y = 0,5x + 2 14 Asocia a cada gráfica una de las fórmulas que aparecen debajo: III) y = 1 2 – x III) y = 3 – 1 x – 3 III) y = 2 + 2x IV) y = –1 x + 3 ■ Resuelve problemas 15 Disponemos de 40 cm de cuerda con los que podemos construir cuadrados. a) Escribe la ecuación de la función que nos da el perímetro de un cuadrado construido con parte de esa cuerda o con toda ella, en función de su lado. b)Halla el dominino de definición de la función. c) Representa la función. 16 Ana corre una carrera popular de 10 km a una velocidad constante de 12 km/h. El pequeño David, que corre a 6 km/h, solo quiere hacer los últimos 5 km y llegar a la meta con Ana, así que sale desde el kilómetro 5. Los dos comienzan a correr a las 10:00 h de la mañana. a) ¿A qué hora estará Ana en el punto desde el que salió David? ¿A qué distancia de la salida estará David en ese momento? b)Dibuja, en los mismos ejes coordenados, la gráfica de cada recorrido. 17 Observa los datos de esta tabla: altura (m) 0 360 720 990 temperatura (°C) 10 8 6 4,5 a) Representa los puntos en una gráfica. b) Suponiendo que se sigue la misma pauta, halla la expresión analítica de la función altura-temperatura. c) ¿A partir de qué altura la temperatura es menor que 0 °C? 18 Un fontanero cobra 18 € por el desplazamiento y 15 € por cada hora de trabajo. a) Haz una tabla de valores de la función tiempocoste y represéntala gráficamente. b) Si ha cobrado por una reparación 70,50 €, ¿cuánto tiempo ha invertido en la reparación? 19 Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de la salida, cuando se encuentra a 6 km, hace una parada de 10 minutos. Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber salido. a) Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa. b) ¿Lleva la misma velocidad antes y después de la parada? (Suponemos que en cada etapa la velocidad es constante). UNIDAD 5 a b 2 4 Y X –4 –2 4 2 2 4 6 Y X 4 6 2 c Y d X –6 –4 –2 4 2 2 4 Y X –2 –2 –4 –2 –4 4 2 64 20 ¿Cuál es la ecuación de la función que nos da el área de un cuadrado dependiendo de cuánto mida su lado? Haz su representación gráfica. 21 La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, una piedra que lanzamos verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s viene dada por: h = 20t – 5t2 a) Representa gráficamente la función. b) Di cuál es su dominio de definición. c) ¿En qué momento alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura? d) ¿En qué momento cae la piedra al suelo? e) ¿En qué intervalo de tiempo la piedra está a una altura superior a 15 metros? 22 En el contrato de alquiler de un apartamento figura que el precio subirá un 5% anual. a) Si el precio es de 450 € mensuales, ¿cuál será dentro de 5 años? b) Escribe la función que da el precio del alquiler según los años transcurridos. 23 Una furgoneta que costó 20 000 € se deprecia a un ritmo de un 12% anual. a) ¿Cuál será su precio dentro de 4 años? b) Halla la función que da el precio del vehículo según los años transcurridos. c) Calcula cuánto tiempo tardará el precio en reducirse a la mitad. Ejercicios y problemas Consolida lo aprendido utilizando tus competencias ¿Manejas con destreza las funciones lineales? 1 Escribe la ecuación de cada una de estas rectas: a) Pasa por el punto (1, –2) y tiene pendiente 3/2. b) Pasa por los puntos (–2, –5) y (1, 1). 2 Estas son las tarifas de dos compañías telefónicas: A: 0,30 € por establecimiento de llamada y 0,20 €/min B: 0,22 €/min a) ¿Cuánto cuesta una llamada de 5 minutos en cada compañía? ¿Y de 15 min? ¿Y de 20 min? b) Haz, para cada una de las dos compañías, la gráfica de la función que nos da el precio de la llamada dependiendo del tiempo que dure. ¿Conoces familias de funciones (cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales) y las representas a partir de sus ecuaciones, y viceversa? 3 Representa las siguientes funciones: a) y = x2 – 4 b) y = x2 + 4x – 5 c) y = –1 x d) y = 1 x – 3 e) y = √–x + 2 f ) y = 2x – 3 4 Asocia a cada una de las gráficas una ecuación: I II –1 1 1 3 –3 3 5 –2 2 4 2 III IV –4 –2 2 2 –2 –2 2 4 2 4 a) y = –x2 – 4x – 3 b) y = 1,5x c) y = 1x + 1 d) y = √x + 3 ¿Asocias una situación real con algún modelo de función y te basas en él para interpretarla? 5 En el contrato de trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un 10% anual. Su sueldo inicial es de 24 000 € anuales. a) ¿Cuánto ganará dentro de 10 años? b) Escribe la función que relaciona el dinero que gana con el número de años transcurridos. Autoevaluación 1 Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice de cada parábola: a) y = x2 + 3 b) y = x2 – 4 c) y = 2×2 d) y = 0,5×2 –4 … –3 … –2 … –1 … 0 … 1 … 2 … 3 … 4 … x y 1 32 3 –2 2 –2 –4 9 16 –4 –1 4 18 1 y = x2 – 4 y = 2×2 y = 0,5×2 y = x2 + 3 x y= x2 + 3 y = x2 – 4 y = 2×2 y = 0,5×2 –4 19 12 32 8 –3 12 5 18 4,5 –2 7 0 8 2 –1 4 –3 2 0,5 0 3 –4 0 0 1 4 –3 2 0,5 2 7 0 8 2 3 12 5 18 4,5 4 19 12 32 8 VÉRTICE (0, 3) (0, –4) (0, 0) (0, 0) F u n c i o n e s c u a d r á t i c a s