FUNCION SENO , COSENO , TANGENTE , COTANGENTE , SECANTE Y COSECANTE EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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OBJETIVOS :
* Explicar la idea de función.
* Definir dominio, rango y gráfica de una función real de variable real.
* Reconocer las características principales de las funciones trigonométricas ; como su dominio , rango, gráfica , periodo , etc .
• Utilizar las gráficas de las funciones trigonométricas para explicar el comportamiento de ciertos fenómenos
de la vida diaria.
Introducción :
En muchos de nuestros que haceres cotidianos las relaciones entre los elementos de dos conjuntos juega un papel muy importante. Como por ejemplo; un padre relaciona la edad de sus hijos con su peso, un agricultor relaciona su producción con sus ingresos, el desgaste de una máquina con el número de horas trabajadas. Estos ejemplos se pueden representar matemáticamente a través del concepto de función, que al parecer fue introducida por René Descartes (1596 – 1650). El concepto de función es algo abstracto, sin embargo la representación gráfica de una función (Gráfica de una función), nos muestra con claridad el comportamiento de este tipo de relaciones, en diferentes problemas reales como: la simulación del crecimiento anual de una población, desplazamiento de un móvil en un tiempo dado, reproducción de una bacteria, fenómenos económicos (oferta y demanda, consumo, ingresos) y muchos otros fenómenos como en la medicina, física, electrónica, psicología, etc.
Las funciones reales de variable real son las que dependen de una sola variable (como en el caso de la longitud de la circunferencia que depende solo de su respectivo radio).
La idea de función la entendemos también como la relación que existe entre dos conjuntos, donde a cada elemento de un conjunto le corresponde uno y solo un elemento del otro conjunto.
Así por ejemplo, en esta aula , si en un primer conjunto A colocamos a todos sus integrantes y en otro conjunto
B colocamos los nombres y apellidos de dichos integrantes, tendremos en consecuencia que a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo elemento del conjunto B.

Formalmente una función real de variable real, queda definida por su regla de correspondencia y = f (x) donde a cada elemento de la variable independiente (x) le corresponde uno y sólo un elemento de la variable dependiente (y).
En el estudio de las funciones trigonométricas directas observamos que su propiedad fundamental es la periodicidad, ya que es un instrumento matemático para describir todos los fenómenos periódicos como los latidos del corazón (mediante el electrocardiograma) y las ondas sonoras. La mayoría de animales obtienen información del medio ambiente que los rodea detectando algunos tipos de ondas, y se comunican entre sí, produciendo otros tipos de ondas; por ejemplo, el hombre detecta la frecuencia de la luz y el sonido, con los oídos, y la radiación infrarroja con la piel.

FUNCION SENO Y SU GRAFICA

LA FUNCION COSENO Y SU GRAFICA

LA FUNCION TANGENTE Y SU GRAFICA

LA FUNCION COTANGENTE Y SU GRAFICA

LA FUNCION SECANTE Y SU GRAFICA

LA FUNCION COSECANTE Y SU GRAFICA

OBJETIVOS :
* Explicar la idea de función.
* Definir dominio, rango y gráfica de una función real de variable real.
* Reconocer las características principales de las funciones trigonométricas ; como su dominio , rango, gráfica , periodo , etc .
• Utilizar las gráficas de las funciones trigonométricas para explicar el comportamiento de ciertos fenómenos
de la vida diaria.
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Introducción :
En muchos de nuestros que haceres cotidianos las relaciones entre los elementos de dos conjuntos juega un papel muy importante. Como por ejemplo; un padre relaciona la edad de sus hijos con su peso, un agricultor relaciona su producción con sus ingresos, el desgaste de una máquina con el número de horas trabajadas. Estos ejemplos se pueden representar matemáticamente a través del concepto de función, que al parecer fue introducida por René Descartes (1596 – 1650). El concepto de función es algo abstracto, sin embargo la representación gráfica de una función (Gráfica de una función), nos muestra con claridad el comportamiento de este tipo de relaciones, en diferentes problemas reales como: la simulación del crecimiento anual de una población, desplazamiento de un móvil en un tiempo dado, reproducción de una bacteria, fenómenos económicos (oferta y demanda, consumo, ingresos) y muchos otros fenómenos como en la medicina, física, electrónica, psicología, etc.
Las funciones reales de variable real son las que dependen de una sola variable (como en el caso de la longitud de la circunferencia que depende solo de su respectivo radio).
La idea de función la entendemos también como la relación que existe entre dos conjuntos, donde a cada elemento de un conjunto le corresponde uno y solo un elemento del otro conjunto.
Así por ejemplo, en esta aula , si en un primer conjunto A colocamos a todos sus integrantes y en otro conjunto
B colocamos los nombres y apellidos de dichos integrantes, tendremos en consecuencia que a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo elemento del conjunto B.

Formalmente una función real de variable real, queda definida por su regla de correspondencia y = f (x) donde a cada elemento de la variable independiente (x) le corresponde uno y sólo un elemento de la variable dependiente (y).
En el estudio de las funciones trigonométricas directas observamos que su propiedad fundamental es la periodicidad, ya que es un instrumento matemático para describir todos los fenómenos periódicos como los latidos del corazón (mediante el electrocardiograma) y las ondas sonoras. La mayoría de animales obtienen información del medio ambiente que los rodea detectando algunos tipos de ondas, y se comunican entre sí, produciendo otros tipos de ondas; por ejemplo, el hombre detecta la frecuencia de la luz y el sonido, con los oídos, y la radiación infrarroja con la piel.

Concepto de Función :
Sean A y B ciertos conjuntos numéricos diferentes del vacío , se llama función f al conjunto de pares ordenados (x;y) tales que para cada xA existe uno y sólo un elemento y .
Dominio de una Función :
Es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que define a la función, y se denota por
A la notación y=f(x) se le llama regla de correspondencia o dependencia funcional.
se lee: y igual a f de x, donde la variable y se dice variable dependencia y la variable x, variable independiente.
Función Real de Variable Real
Se llama así si a cada número real x le corresponde un número real y.
Gráfica de una Función
Se denomina gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos en el plano cartesiano cuyas coordenadas satisfacen la condición y = f(x).
* Dada la función: y = f(x)
x : variable independiente (dominio)
y : variable dependiente (rango)

Ejemplos :

Como y = f(x), entonces, Dom(f) = y Ran(f)=

nota :
Si la gráfica de una función y = f(x) se dibuja con precisión, usualmente es posible ver el dominio y el rango de f. Nótese que el dominio de f es algún intervalo u otro conjunto de números reales en el ejeX (se proyecta la gráfica de f sobre el eje X), y el rango de f es algún intervalo u otro conjunto de números reales en el eje Y (se proyecta la gráfica de f sobre el eje Y).

Sabemos que por cada x en el dominio de f corresponde un valor único f(x) en el rango. Esto significa que cualquier recta vertical que intersecte la gráfica de f puede hacerlo como máximo en un punto. Y viceversa, si cada recta vertical intersecta la gráfica de una relación por lo menos en un punto, entonces la relación es una función.
A continuación , se tiene la gráfica de algunas funciones que se usarán con frecuencia.

Función Par
Una función es par si :

* Ejemplo de funciones pares:
y=f(x)=x2–1

* Probando

* Graficando:

OBSERVACIÓN :
El gráfico de una función par es simétrico al eje y (eje de ordenadas).
* Otras funciones pares:
* y=cosx * y=secx
Función Impar
Una función f es impar si:

Ejemplo funcionales impares :
* y=f(x)=x3
Probando:

* Graficando:

* Otras funciones impares:
* y=senx * y=cotx
* y=tanx * y=cscx
OBSERVACIÓN :
El gráfico de una función impar es simétrico al origen de coordenadas.

Función Creciente
Una función f es creciente en un intervalo I de su dominio, para todo par de número x1 y x2 de dicho intervalo, se cumple que.

Ejemplo:

Función Decreciente
Una función es f decreciente en un intervalo I de su dominio, si para todo par de números x1 y x2 de dicho intervalo se cumple.

Ejemplo :

Función Periodica
Se denomina de esta manera a aquellas funciones cuyos valores se repiten cada cierto intervalo de su dominio. Gráficamente muestran un tramo repetido cada cierto intervalo de su dominio, denominándose al menor valor de dicho tramo: periodo principal de la función, denotándose por “T” (También se le llama periodo mínimo).
* Por ejemplo en las gráficas siguientes :

Matemáticamente, dada la función:
y=f (x)

Si existe un número real “T” (T0), tal que:

OBSERVACIÓN :
El número T se denomina periodo principal, si es positivo y mínimo entre todos los periodos positivos.
Ejemplo:
* Sea f(x)=cosx
* Entonces :

* Desarrollando:
cosxcosT–senxsenT=cosx
* Para que se de la igualdad podemos concluir que:

! conclusión ¡
Las funciones que tienen un patrón repetitivo son llamadas funciones periódicas.
Si una función f cumple la propiedad f(x+ T) = f(x) para todo x de su dominio , siendo T una constante real diferente de cero , entonces f es periódica. El menor número positivo T se denomina periodo (periodo principal o periodo mínimo) de la función f.
La característica principal de las funciones trigonométricas es que son periódicas, lo que ocasiona que su uso sea frecuente para modelar de forma matemática diversos fenómenos reales.
Función Acotada
Se dice que una función f, es acotada, si
tal que:
Ejemplo:
La función f(x)=cosx es acotada, ya que tal que M puede tomar cualquier valor mayor o igual que 1. además del rango de la función se observa.

Función Continua
y Discontinua
La noción intuitiva de continuidad de una función en un punto está relacionada estrechamente con el aspecto gráfico de la función en los alrededores del punto , sugerimos que lea la siguiente definición provisional de lo que es una función continua.
Una función y=f(x) es continua en un punto x=a de su dominio, si en ese punto la gráfica de la función no presenta saltos (se puede realizar su gráfica sin levantar el lapicero).

nota :
La definición formal de continuidad de una función lo podrás observar en el capítulo de límites y derivadas trigonométricas
ESTUDIOS DE LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas son el conjunto no vacío de pares ordenados (x;y) tal que la primera componente es un valor angular expresado en radianes (número real) y la segunda componente es el valor obtenido mediante una dependencia funcional.

Función Seno
El dominio de la función y=senx son todos los números reales.

En la siguiente tabla listamos algunos pares ordenados de dicha función, nótese que los valores del dominio (x) están expresados en radianes y son ángulos especiales del primer y segundo cuadrante, de tal forma que los valores correspondientes de la imagen (y) son fáciles de calcular.
* Tabulando valores que x e y

* Llevando estos valores al sistema de coordenadas rectangulares obtenemos su gráfica:

Estos puntos y muchos otros más se ubican en el plano cartesiano y determinan una curva que es precisamente la gráfica de la función seno.

* Análisis del Gráfico:

* De donde podemos concluir:
1) Dominio :
Rango :
2) Es un función creciente y decreciente

3) Es una función continua en su dominio .

4) Es una función impar:
(la gráfica presenta simetría con respecto al origen de coordenadas) .

5) Es una función periódica :

6) Curva
senoide :

7) La función está acotada inferior y superiormente. Valor máximo = 1 ; Valor mínimo =-1

Función Coseno

* Tabulando valores para x e y :

* Llevando estos valores al sistemas de coordenadas rectangulares obtenemos la gráfica:

* Análisis del Gráfico:

* De donde podemos concluir:
1) Dominio :
Rango :
2) Es una función creciente y decreciente
3) Es una función continua
4) Es una función par :
(la gráfica presenta simetría con respecto al eje Y ) .

5) Es una función periódica :
6) Si :
7) La función está acotada inferior y superiormente. Valor máximo = 1 ; Valor mínimo =-1

Función Tangente

Para determinar los puntos de la función tangente se da valores a «x» (números reales), como se muestra en el cuadro adjunto:

De acuerdo con lo obtenido en este cuadro, algunos elementos de la función tangente son:

* De la gráfica de obtiene:
1) Dominio :

2) Rango :
La función no está acotada inferior ni superiormente, esto significa que no tiene máximo ni mínimo valor.
3) Curva :
Tangenoide; Si :
4) Función impar :
5) Función creciente
6) Continua :
para todo x del dominio, entonces la función es Impar.

7) Periodo
8) Asintotas :
Observe que la función y = Tan x no está definida para:

Función Cotangente

* De la gráfica se obtiene:
1) Dominio :
2) Rango :
3) Curva : contangéoide ; si

4) Función impar :
5) Función decreciente en su dominio
6) Continua :
7) Periodo :
8) Asíntotas :
Función Secante

* De la gráfica se obtiene:
1) Dominio :
2) Rango :

3) Curva ; Secantoide :
Si :
4) Función par : (la gráfica presenta simetría con respecto al eje Y ) .
5) Periodo : …….(es periódica)
6) Asintotas : , es decir que es continua en
Función Cosecante

* De la gráfica se obtiene:
1) Dominio :
2) Rango :
3) Función impar :
4) Periodo : ……es periódica
5) Asíntotas :
6) Curva : Cosecantoide ; si

7)creciente y decreciente
resumen :

DOMINIO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Es el conjunto que tiene como elementos a los valores de la variable “x”(en radianes); de tal manera que la función exista.
* Recordar:

Ejemplos:
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
I) y=senx II) y=ctgx III) y=secx – cscx
RESOLUCIÓN:

II) y = ctgx
* Sabemos que es fracción existe si el denominador:

* Es decir:
III) y=secx – cscx
* Sabemos que esta función existe
si
* Es decir:
* Ordenando:

A continuación se indica el dominio de las funciones trigonométricas elementales.

RANGO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Es el conjunto que tiene como elemento a los valores de la variable “y” tal que y=F.T(x).
Los criterios que se tiene para calcular el rango de una función trigonométrica es dependiendo de la forma y tomando en cuenta los criterios de las funciones reales.

Ejemplos:
Hallar el rango de las siguientes funciones:
I) y=senx II) y=2senx+3 III)y=3senx + 4cosx+1
RESOLUCIÓN:
I) y = senx
* Sabemos que la extensión de:

II) y = 2senx+3

* Se sabe que : :
* Formado la función:

III) y= 3senx+4cosx+1
* Se sabe que:

propiedad de ángulos compuestos

* En el cuadro adjunto se muestra el rango de algunas funciones elementales:

* Recordar:

v)

DETERMINACIÓN
DEL PERIODO PRINCIPAL
Sabemos que las funciones trigonométricas son periódicas (sen , cos , sec , csc: 2p ; tan , cot:p); sin embargo este periodo es susceptible de ser modificado cuando sobre la función se efectúa en algún tipo de operación o sobre la variable. Aquí vamos a dar un criterio de análisis del periodo de una función.
* Se define:

* Donde su periodo es “T”; el cual solo va a depender de “n” y “B”; mediante el siguiente criterio.

* Donde:
* A : Indica “estiramiento” o “encogimiento” vertical de la gráfica básica.

*C : Indica “desplazamiento” vertical de la gráfica básica.

* : Indica “desplazamiento” horizontal de la gráfica básica.

* B : Indica “estiramiento” o “encogimiento” horizontal de la gráfica básica.

Ejemplo :

Ahora bien, si la función a analizar no tiene las características de la mostrada en la fórmula, se deberá usar de la definición matemática de función periódica; es decir ; damos a y = f(x); x , x + T , x–TDf , se deberá cumplir: f(x+T)=f(x); T: periodo principal de la función.
OJO :
El menor valor positivo de T se le denomina periodo
mínimo o simplemente periodo.
Ejemplo:
Hallar el periodo de la siguientes funciones:
I)F(x)=sen2x y II)F(x)=cos(cosx)
RESOLUCIÓN:

* Aplicando el criterio de reducción al primer cuadrado se reemplaza T por los ángulos cuadrantes:

CÁLCULO DE PERIODOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Sea la función: F(x)=AF.T. n(Bx+C)+D para calcular su periodo interviene las constantes n y B.

I) Si F.T .: sen , cos , sec , csc .
* Para n impar :
* Para n par :
Ejemplos :

II) Si F.T.: tan ,Ctg

* Para n par o impar :

Ejemplos :

GRAFICAS ESPECIALES

NOTA:

REGLAS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES
Desplazamiento Vertical :
Dada la gráfica de la función y=f(x), para construir la gráfica de la función y=f(x)+c es necesario desplazar la gráfica de f a lo largo del eje de ordenadas.
* Hacia arriba en c, unidades si: c > 0
* Hacia abajo en c, unidades si: c < 0 Ejemplo: graficar : F(x)= Versx=1–cosx RESOLUCIÓN: Desplazamiento Horizontal : Dada la gráfica de la función : y=f(x), para construir la gráfica de la función y=y=f(x–c) es necesario desplazar la gráfica de f a lo largo del eje de abscisas. * A la derecha si: c > 0
* A la izquierda si: c < 0 F(x) = Asen(Bx + C) Desplazamiento Horizontal NOTA : *F(x)=A F.T.(Bx+C) La constante C no altera el periodo. * F(x) = A F.T.(Bx) + D La constante D no altera el periodo. Ejemplo: Graficar : RESOLUCIÓN: I) Graficamos : F(x)=3sen2x II) Con desplazamiento NOTA: Gráficas Generalizadas a) F(x)=Asen(Bx+C)+D, (A > 0)

b) F(x)=acos(Bx+C)+D

Donde:
I) Amplitud :

Siendo: Fmáx =A+D ,y, Fmín=A–D

II)Periodo:

III) Desplazamiento horizontal:

IV) Desplazamiento Vertical: D=Fmáx–A

Opuesto de una Función
Dada la gráfica de la función y=f(x), para construir la gráfica de la función y=–f(x) es necesario reflejar en forma simétrica a la gráfica de f con respecto al eje de abscisas.
Ejemplos:

Valor Absoluto
de una Función
Dada la gráfica de función y=f(x), para construir la gráfica de la función es necesario invertir sin cambios los tramos de la gráfica de f que están por encima de eje x y refleja en forma simétrica a los tramos de la gráfica de f que están por debajo del eje x.
Ejemplo :