FRACCIONES Y NUMEROS MIXTOS EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 6–SEXTO AÑO PDF

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En esta unidad aprenderás a:
Resolver multiplicaciones y divisiones de fracciones.
Interpretar una razón como la comparación entre dos magnitudes utilizando su cociente.
Utilizar la propiedad fundamental de las proporciones para resolver diversos problemas.
Expresar un porcentaje mediante una fracción o un número decimal.
Emplear porcentajes para comunicar información.
• Efectuar multiplicaciones y divisiones de fracciones
positivas utilizando diversos procedimientos.
• Efectuar multiplicaciones y divisiones de números
decimales positivos utilizando diversos
procedimientos.
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**
• Estimar resultados de multiplicaciones y divisiones
con números decimales.
• Redondear cifras decimales y evaluar la pertinencia
de las aproximaciones según el contexto.
• Resolver problemas en contextos diversos aplicando
las operaciones con fracciones positivas y números
decimales positivos.

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se
necesitan para completar con éxito el capítulo 3.
C Que fracción de 1 litro representa:
1. 500 ml 2. 250 ml
3. 100 ml 4. 750 ml
C Comparar y ordenar fracciones y números mixtos
Compara. Escribe

Ordena de menor a mayor.

C Practicar operaciones de división
Halla el cociente.
17. 54 : 9 18. 42 : 6 19. 24 : 6 20. 120 : 4 21. 21 : 7
22. 84 : 7 23. 0 : 7 24. 36 : 4 25. 32 : 8 26. 72 : 2
27. 108 : 2 28. 56 : 8 29. 88 : 8 30. 60 : 2 31. 49 : 7
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
fracciones impropias
fracciones
mínima expresión
número mixto
PREPARACIÓN
fracciones impropias Son aquellas fracciones mayores que 1
fracciones equivalentes Son fracciones que representan la
misma parte o cantidad.
número mixto Son fracciones mayores que un entero y
están representadas por un entero mayor que cero y una
fracción entre 0 y 1.
números naturales Conjunto de números desde el 1 hasta
infinito.
250 ml
500 ml
750 ml
1000 ml
Capítulo 2 25

Para obtener el denominador 12,
multiplica el denominador por 2.

Para obtener el denominador 3, divide el
denominador entre 4.
• Observa los ejemplos A y B. ¿Qué operación da como resultado una
fracción con más partes que la fracción original? Explica cómo lo sabes.
Otra manera de hallar una fracción equivalente es multiplicar o dividir. Es posible multiplicar el
numerador y el denominador por el mismo número, que no sea 0 o 1. También se puede dividir un
numerador o un denominador entre un factor común mayor que 1.
Ejemplo 1 Completa.
Halla el m.c.d.
1. 8, 12 2. 21, 28
3. 9, 30 4. 32, 60
5. 20, 45
Vocabulario
fracciones equivalentes
mínima expresión o fracción
simplificada
máximo común divisor (m.c.d)
Para que el valor de la fracción sea el
mismo, también debes multiplicar el
numerador por 2.
Para que el valor de la fracción
sea el mismo, también divide el
numerador entre 4.
Fracciones equivalentes
y fracciones en su mínima expresión
Objetivo: identificar y escribir fracciones equivalentes, y escribir fracciones
simplificadas a su mínima expresión.
PROBLEMA Para una receta de galletas de avena, se necesitan
taza de azúcar. Daniel usará una taza de para medir las tazas
de azúcar. ¿Cuántas veces debe llenar la taza de de azúcar para
preparar las galletas de avena?
Las fracciones equivalentes son fracciones que representan la misma
parte o cantidad. Puedes representar fracciones equivalentes para
hallar cuántos octavos equivalen a 3

Puedes leer 3_ 4 5 6 _ 8 como tres
cuartos es equivalente a seis
octavos.
Actividad
Materiales ■ barras de fracción
• Comienza con tres barras de fracción de 1
4
.
• Coloca barras de fracción de 1
8
a lo
largo de las tres barras de 1
4
hasta que la longitud sea la misma.
• ¿Cuántas barras de 1
8
hay?
En la representación se muestra que 3
4
5 6
8
. Entonces, Daniel debe
llenar seis veces la taza para medir de 1
8
.
• Usa las barras de fracción. ¿Cuántas doceavas partes
equivalen a 3
4
? Completa 3
4
5
12
1
3
4
4
= ::
4
12
26
Fracción simplificada a su mínima expresión
Una fracción está en su mínima expresión cuando el único factor común del numerador
y el denominador es 1.
17
24
es una fracción en su mínima expresión porque el único factor común de 17 y 24 es 1.
18
24
no es una fracción en su mínima expresión porque 18 y 24 tienen el factor común 6.
1. Observa la representación. Cuenta para hallar cuántas
doceavas partes equivalen a 3
4
. Completa: 3
4
=
12
.
Completa.
2. 3
5
=
10
3. 5
6
=
24
4. 6
8
=
4
5. 2
10
=
80
6. 25
40
=
8
7. 8
12
=
36
Usa los factores comunes.
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
5
Usa un diagrama escalera.
2
2
3
_ 23_46_ 5 _ 2_
3
Entonces, 2_ 3 es la fracción en su mínima expresión 24 __ 36 .
Puedes hallar una fracción en su mínima expresión en un solo paso si divides por el máximo común
divisor (m.c.d).
Ejemplo 3 Escribe la fracción en su mínima expresión.
_1_8_
24
18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Halla el m.c.d.
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
m.c.d. 5 6
_2_0_
64
20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Halla el m.c.d.
64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
m.c.d. 5 4
Ejemplo 2 Escribe 2_4_ 36 como fracción en su mínima expresión.
Entonces, 3_ 4 es la fracción simplificada a su mínima
expresión de 1_8_ 24 .
Entonces, _5_ 16 es la fracción simplificada a su mínima
expresión de 2_0_ 64 .
Halla los factores
comunes de 24
y 36.
Divide el numerador y el
denominador entre un factor
común que no sea 1.
Repite el procedimiento hasta
que la fracción sea una fracción
en su mínima expresión.
Divide el numerador y el denominador
entre un factor primo común. Repite
el proceso hasta que solo tengan como
factor común a 1.
El nuevo numerador es 2 y el nuevo
denominador es 3.
Divide el numerador y el
denominador entre 4.
Divide el numerador y el
denominador entre 6.
Práctica con supervisión

Máquina de lavar
la ropa
_2_2_ 100
Ducha _1_7_ 100
Llave
de agua
_1_ 6_ 10 0
14
Pérdidas
de agua
___
100
Baño _2_7_ 100
Otros usos
domésticos
__1 _
100
Lavamanos __1 _
100
Uso promedio del agua en el hogar

14. Explica cómo hallar una fracción equivalente a 12
15
Práctica independiente y resolución de problemas
USA LOS DATOS Del 43 al 45, usa el gráfico.
43. ¿Qué uso doméstico del agua puede escribirse
como 4
25
en su mínima expresión?
44. La fracción que corresponde al uso del agua de
la ducha es 17
100
. ¿Es esta fracción una fracción en
su mínima expresión? Si no es así, redúcela a la
mínima expresión. Explica tu respuesta.
45. ¿Las fracciones de qué usos domésticos del agua
pueden escribirse como fracciones equivalentes
que tengan el número 50 como denominador?
46. María tiene 25 bolitas verdes, 36 amarillas, 10
azules y 29 rojas. Escribe una fracción reducida a
su mínima expresión.
para mostrar qué parte de las bolitas de su
colección son azules o verdes.
47. ¿Cuál es la pregunta? Luis tiene 8
manzanas rojas, 6 manzanas verdes y 4 manzanas
amarillas. La respuesta es 4
9
de las manzanas.
Razonamiento Del 39 al 42, escribe siempre, a veces o nunca en cada enunciado.
39. El denominador de una fracción equivalente es
menor que el denominador de la fracción original.
41. El numerador de una fracción en su mínima
expresión es mayor que el numerador de una
fracción equivalente.
40. El denominador de una fracción equivalente
es un múltiplo del denominador de la fracción
original.
42. Puede escribirse una fracción equivalente para
cualquier fracción.
28
Comprensión de los Aprendizajes
RAZONAMIENTO Puedes usar lo que sabes acerca de las relaciones numéricas y
las fracciones equivalentes para encontrar las incógnitas.
Ejemplo ¿Cuáles son los valores de a y b en 4_ 5 5 a _ b
?
Usa las pistas para hallar los valores de a y b.
1. _3__
10
5 _ a_
b
2. _4a_ 5 _b _
6
Pista 1: La suma de los dígitos de a es igual a 9. Pista 1: a es un múltiplo de 3 menor que 30.
Pista 2: a y b son números de dos dígitos Pista 2: b es un número primo.
menores que 65.
3. _5_
7
5 _ a_
b
4. _a_
9
5 _1 _6_
b
Pista 1: a y b son números pares mayores que Pista 1: Los factores de b son 1, 2, 3, 4, 6, 9,
10 y menores que 30. 18 y 36.
Pista 2: La suma de a y b es igual a 48. Pista 2: a y b son múltiplos de 4.
Pista 1: Tanto a como b son mayores que 10 y
menores que 20.
Según la pista 1, a y b pueden ser 11, 12, 13,
14, 15, 16, 17, 18 o 19.
Como _a b debe ser equivalente a 4 _ 5 , a es 12 y b es 15.
Pista 2: Tanto a como b son
múltiplos de 3.
Según las pistas 1 y 2, a y b
pueden ser 12, 15 o 18.
48. Raúl ganó $ 13 250 cortando el pasto del jardín.
Una soga cuesta $ 6 950. ¿Cuánto dinero tendrá
Raúl después de comprar la soga?
49. Calcula el valor de la expresión algebraica
m212 para m 5 51.
50. Escribe una fracción para la parte sombreada.
51. Juan ahorra 9
15
de lo que gana cada semana.
¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente
a 9
15
?
A 1
5
B 18
45
C 3
5
D 8
3
52. Un pastel se corta en 16 porciones. Se comen
cuatro porciones. ¿Qué fracción representa,
como fracción reducida a su mínima expresión, la
cantidad de pastel que sobra?
A 12
16
B 3
4
C 1
3
D 4
16
Una variable es una
letra o un signo
que representa uno
o más números.
Las letras y los
signos x, y, a, b y
 son ejemplos de
variables.
Recuerda
Capítulo 2 29
Aprende
Fracciones y números mixtos
OBJETIVO: escribir fracciones como números mixtos y números mixtos
como fracciones.
Escribe la fracción como
fracción equivalente.
1. 2__1_
27
2. 2__4_
40
3. 3__3_
77
4. 2__7_
36
5. 7__2_
84
Vocabulario
número mixto
Usa un diagrama.
Usa la multiplicación y la suma.
Entonces, 2 1_ 4 5 9 _ 4 .
Puedes usar la división para escribir una fracción mayor que 1 como un número
mixto o un número natural.
Ejemplo 2 Escribe 2_6_ 10 como número mixto en su mínima expresión.
Dado que 2_6_ 10 puede leerse como 26 dividido entre 10, divide el
numerador entre el denominador.
Usa el resto como el numerador y el divisor como el denominador.
Escribe la fracción como fracción en su mínima expresión.
Entonces, 2_6_ 10 5 2 6 __ 10 5 2 3 _ 5 .
Multiplica el denominador de la parte fraccional por la parte
del número natural. Luego suma el numerador. El resultado
es el nuevo numerador. Usa el mismo denominador.
Cuenta los cuartos sombreados. Hay nueve
cuartos o 9_ 4 .
1. Observa la representación. Escribe el número representado como un número
mixto y como una fracción. Luego escribe cada uno en palabras.
Escribe el número mixto como fracción.
2. 6 1_3 3. 1 3_4 4. 3 2_5 5. 1 6. 5 1_2 7. 2 1_8
Un número mixto, como 2 1_4 , es un número representado por un número
natural mayor que 0 y una fracción entre 0 y 1. Los números mixtos
también pueden representarse con una fracción mayor que uno. Las
fracciones mayores que uno, como 6
5
, suelen llamarse “fracciones
impropias”.
Ejemplo 1 Escribe 2 1_ 4 como fracción.
Práctica con supervisión
2
LECCIÓN
26 : 1052
22_0_ 6
2_1
4
5 (4 · 2)
______
4
1 1_
4
5 8 1 1 _____ 4 5 9 _
4
_____ _ _________ _
7
16
30
Comprensión de los aprendizajes
44. ¿Cuál es el máximo común divisor de
12 y 24?
45. Escribe un número mixto para la parte
sombreada.
46. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyos
lados miden 5 centímetros de longitud?
47. Juan compró 3 3_4 kg de frutos secos surtidos y
los dividió en porciones de 1_8 de kg. ¿Cuántas
porciones de frutos secos surtidos obtuvo?
A 8 B 15 C 24 D 30
Escribe la fracción como número mixto en su mínima expresión o como número natural.
8. 14
5
9. 45
10
10. 56
8
11. 19
6
12. 64
16
13. 55
20
14. Explica cómo usar el resto y el divisor cuando se utiliza
la división para escribir una fracción como número mixto.
Escribe el número mixto como fracción.
15. 4 5_8 16. 7 2_3 17. 5 5_6 18. 11 1_4 19. 12 4_5 20. 3 _17_0
21. 2 1_2 22. 8 3_5 23. 5 _13_0 24. 6 3_8 25. 3 3_4 26. 2 1_2
Escribe la fracción como número mixto en su mínima expresión o como número natural.
27. 1 __7_
3
28. 4 __4_
8
29. 4 __5_
12
30. 4__1_
18
31. 6 __5_
5
32. 8 __5_
25
33. 3 __2_
7
34. 6 __0_
4
35. 3 __4_
4
36. 6 __6_
8
37. 2 __3_
3
38. 3__9_
6
39. DATO BREVE En un eclipse total de luna, la Tierra impide que la luz solar directa llegue a
la Luna. El eclipse total de luna más largo de los próximos 90 años tendrá lugar en el año 2018
y durará 1 h. Escribe 1 como fracción y usa la fracción para hallar cuántos minutos
durará el eclipse.
40. El eclipse total de luna más largo desde 1900
tuvo lugar en el año 2000 y duró 107 minutos.
Escribe 107 minutos en horas como fracción y
como número mixto.
USA LOS DATOS Del 42 a 43, usa la receta.
42. Para preparar un batido de durazno, Leo tiene solo
una taza para medir de 1_4 . Escribe la cantidad de cada
ingrediente, salvo de plátanos, como una fracción
en cuartos.
43. Imagina que Leo tiene solo una taza de 1_8 para medir.
Anota la cantidad de rodajas de durazno como una
fracción en octavos.
41. ¿Cuál es el error? Pilar volvió a
expresar 2 5_7 como 1_77_ . Describe cuál es su error
y escribe la respuesta correcta.
Práctica independiente y resolución de problemas
11
15
11
15
Capítulo 2 31
Aprende
0 9 1
10
155
10
3
10
7
10
1
10
4
10
6
10
8
10
Idea matemática
Los valores aumentan a medida que
se va hacia la derecha en la recta
numérica. Los valores disminuyen a
medida que se va hacia la izquierda.
Comparar y ordenar fracciones
y números mixtos
OBJETIVO: comparar y ordenar fracciones y números mixtos.
Para comparar fracciones con el mismo denominador, compara los
numeradores, porque cada parte es del mismo tamaño. Para comparar
fracciones con el mismo numerador, compara los denominadores.
Mismo denominador Mismo numerador
2_ 3
Dos de tres partes iguales
es mayor que una de tres
partes iguales. Entonces, 2
3
> 1
3
.
Para comparar números mixtos, compara los números naturales y
luego las fracciones. Puedes usar múltiplos comunes para comparar
y ordenar las fracciones y los números mixtos con distintos denominadores.
1_ 3
2_ 3
Dos de tres partes iguales es mayor
que dos de cinco partes iguales.
Entonces, _2_
3 . _ 2_ 5 .
2_ 5
Ejemplo 1
En Chiloé anualmente se realiza la fiesta del ajo. Las trenzas
de ajos ganadoras el año pasado pesaban 5 1_ 2 kg, 5 2_ 3 kg, 5 5_ 8 kg.
Ordena las trenzas de ajo de mayor a menor peso.
Los números naturales son iguales. Entonces, compara las
fracciones. Escribe fracciones equivalentes con el mismo
denominador y luego compara los numeradores.
5 1_ 2 5 5 12 __ 24 5 2 _ 3 5 5 16 __ 24 5 5 _ 8 5 5 15 __ 24 Piensa: 24 es un múltiplo común
de 2, 3 y 8.
Como 5 1_2_ 24 , 5 15 __ 24 , 5 16 __ 24 , el orden de las trenzas de menor a
mayor es 5 1_ 2 kg, 5 5 _ 8 kg, 5 2 _ 3 kg.
También puedes usar una recta numérica para comparar y ordenar
las fracciones.
Ejemplo 2 Ordena , y 7 de mayor a menor.
10
2
10
1
10
Ubica los números en la recta numérica. _7_ 10 está a la derecha de
1_ 2 y 1 _ 2 está a la derecha de 2 _ 5 .
Escribe dos múltiplos
comunes para cada par
de números.
1. 6, 8 2. 10, 15
3. 7, 8 4. 6, 2
5. 9, 5
Entonces, el orden de mayor a menor es _7_ 10 , 2 __ 10 , 1 __ 10 .

7. Explica cómo usar la recta numérica para ordenar 2_3 ; 1_2 y 1_11_2 de mayor a menor.
Compara. Escribe ,, . o 5.
8. 1 __
2
 1__1_
12
9. _7__
15
 _7__
10
10. 7 __
9
 4__
9
11. 7 1__
3
 6 2__
3
12. 1 2__
5  1 1__
3
Ordena de mayor a menor.
13. 5 __
7
; 5__
6
; _5__
12
14. 4 __
7
; _4__
10
; 4__
5 15. 1 3__
4
; 5__
7 ; 13 __
5 16. 3 _7__
10
; 31 __
6
; 32 __
5
17. 3 __
7
; 5__
6
; 2__
3
18. 1 __
2
; 2__
9
; 1__1_
18
19. 1 7__
8
; 6__
7 ; 1 _9__
10
20. 5 5__
8
; 5 _7__
10
; 53 __
4
21. La semana pasada, Amalia y José compraron cada uno 2 kg de semillas de girasol. A Amalia le
quedan 1 1_3 kg y a José, 1 2_5 . ¿quién ha consumido más semillas de girasol?
22. Razonamiento Halla una fracción que esté entre 3_4 y 5
_6 .
23. Explica cómo hallar qué número es menor, 4_5 o 5
_6 . Luego muestra la comparación
con símbolos.
24. ¿Qué es menor: 24 • 3 o 23 • 4?
25. Si n 5 3, ¿cuál es el valor de 5 • (n 2 3)?
26. ¿Cuál es el máximo común divisor de 66, 36 y
18?
27. ¿Qué número hace que la expresión
2_3 ,  , 1 1_8 sea verdadera?
A 1__1_
20
C 1 1__
3
B 7__
9
D 1 1__
5
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
a Un comerciante compró una guitarra clásica
en $ 28 440 y la vendió a $ 41 238. ¿Cuál
fue su porcentaje de ganancia?
a) 35%
b) 40%
c) 45%
d) 50%
e El 15% de los asistentes a un congreso de
Filosofía son extranjeros. De estos, el 25%
proceden de Europa. Si el congreso consiguió
reunir 640 participantes, ¿cuántos de
los extranjeros no proceden de Europa?
a) 72
b) 65
c) 60
d) 56
b Cuatro pasteles de lúcuma contienen 200 g
de azúcar en total. ¿Cuántos gramos de
azúcar contienen 12 pasteles semejantes
a los anteriores?
a) 500 g
b) 600 g
c) 700 g
d) 800 g
f Patricia comió la misma cantidad de dos
tortas del mismo tamaño que preparó su
madre. De la de merengue se comió
3
4
4
6
3
6
4
12
3
12
3
5
4
12
1
3
.
Si la torta de piña se dividió en 15 partes
iguales, ¿cuántas de ellas se comió?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
c Laura repartió
3
4
4
6
3
6
4
12
3
12
3
5
4
12
1
3
de sus dulces en partes
iguales entre sus 3 hermanos. ¿Qué fracción
de los dulces tocó cada uno?
a)
3
4
4
6
3
6
4
12
3
12
3
5
4
12
1
3
b)
3
4
4
6
3
6
4
12
3
12
3
5
4
12
1
3
c)
3
4
4
6
3
6
4
12
3
12
3
5
4
12
1
3
d)
3
4
4
6
3
6
4
12
3
12
3
5
4
12
1
3
g Un padre repartió $ 12 000 entre sus tres
hijos. Las
3
4
4
6
3
6
4
12
3
12
3
5
4
12
1
3
partes las dio al mayor, las
3
4
4
6
3
6
4
12
3
12
3
5
4
12
1
3
al del medio y el resto al menor. ¿Cuánto
dinero recibió este último?
a) $ 800
b) $ 900
c) $ 1 200
d) $ 4 000
d El equipo de fútbol femenino de nuestro país
jugó 24 partidos el año anterior, consiguiendo
8 triunfos y 10 derrotas. ¿Qué porcentaje de
los partidos empató?
a) 15%
b) 25%
c) 30%
d) 35%
h El número de habitantes de una comuna era
de 128 562 y en 30 años aumentó a 321 405.
¿Cuál fue el porcentaje de aumento?
a) 250%
b) 220%
c) 180%
d) 150%