FIGURAS CONGRUENTES Y PLANO CARTESIANO EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 5–QUINTO AÑO PDF

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Hacer gráficos de pares ordenados,Taller de resolución de problemas
Destreza: información relevante o irrelevante,Figuras 2D y sus elementos,Figuras 3D y sus elementos, Manos a la obra: Figuras congruentes, Manos a la obra: Rotación,Simetría,Traslación
, Geometría – Medición
Relación de triángulos equiláteros y su perímetro
4 triángulos 6 triángulos
2 triángulos
perímetro = 24 cm
perímetro = ? perímetro = ?
perímetro = 30 cm
6
3 triángulos
 Las piedras preciosas y semipreciosas
se encuentran en la Tierra en forma
de piedras amorfas y opacas.
 Las caras planas, llamadas facetas, se
cortan con precisión para dar formas
tridimensionales a las gemas.
 Las gemas de colores se usan en
diseños de joyería en los que se
incorporan líneas y ángulos
simétricamente.
¿Qué conceptos matemáticos ves en Matemática en Contexto?
¿Qué clase de polígonos puedes identificar en las joyas que
se muestran?
Copia y completa el cuadro usando lo que sabes de perímetros.
REPASO DEL VOCABULARIO Cuando aprendiste sobre
líneas, ángulos y figuras geométricas, aprendiste las siguientes
palabras. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática
en Contexto?
perímetro Medida del contorno de una figura
geométrica.
polígono Figura plana cerrada.
área Superficie interior de una figura plana.
Matemática en Contexto
Capítulo 8 187
CAPÍTULO
8
Órbitas del transbordador espacial
Días de vuelo,
Órbitas,
3
48
x
y
4
64
5
80
6
96
7
112
Figuras congruentes y
plano cartesiano
Investiga
Imagina que estás a bordo del transbordador
espacial y has registrado los datos dados a la
derecha. Representa gráficamente los datos en
una cuadrícula de coordenadas. Describe la
relación entre los días de vuelo y las órbitas, y
di cuántas órbitas se completarían en los otros
días de vuelo dados.
El observatorio Cerro
Paranal está ubicado en el
cerro del mismo nombre,
en Antofagasta. Está regido
por el ESO (Observatorio
Europeo Austral). Posee el
telescopio más poderoso
del planeta y logra captar
a un hombre paseando
por la Luna. Además de las
observaciones astronómicas,
también colabora en el
seguimiento de cohetes y
satélites.
Cerro Paranal
La idea importante El plano cartesiano se puede usar para representar
gráficamente y ecuaciones.
DATO
BREVE
188
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que
se necesitan para completar con éxito el capítulo 10.
C Usar el plano cartesiano/Hacer gráficos
de pares ordenados
Usa los pares ordenados para identificar cada punto
de la cuadrícula.
1. (9,9) 2. (8,7) 3. (7,6)
4. (2,3) 5. (6,2) 6. (5,6)
7. (7,3) 8. (0,5) 9. (1,8)
10. (4,4) 11. (3,7) 12. (2,1)
13. (5,9) 14. (10,4) 15. (9,1)
C Patrones numéricos
Continúa el patrón. Escribe la regla.
16. 18; 16; 14; _____; 10. La regla es: ______________
17. 20; 22; 24; ____; 28. La regla es: __________________
18. 6; 12; 24; _____; 96. La regla es:____________________
19. ____; 15; 45; 135; 405. La regla es: ____________________
eje de la y
x
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
D
E
F
G
H
J
K
L
M
N
O
P
eje de la
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
plano cartesiano eje x
función eje y
tabla de funciones coordenada x
par ordenado coordenada y
origen traslación
congruentes simetría
rotación
PREPARACIÓN
par ordenado Un par de números que se usan para
ubicar un punto en el plano cartesiano.
eje x La recta numérica horizontal en un plano
cartesiano.
eje y La recta numérica vertical en un plano
cartesiano.
eje xde la
eje yde la
Capítulo 8 189
Aprende
x
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
eje de la
(5,7)
eje de la
álgebra
Hacer gráficos de pares ordenados
OBJETIVO: hacer gráficos e identificar puntos en el primer cuadrante del
plano cartesiano usando pares ordenados.
Un mapa se usa para hallar puntos de ubicación y la relación de un
punto de ubicación con otro. Esta relación y la relación de un objeto
con otro se pueden mostrar en un plano cartesiano.
Benjamín recorre 16 cuadras
hacia el sur, 17 cuadras hacia
el oeste y 12 cuadras hacia el
sur. ¿Cuántas cuadras recorre
Benjamín?
Vocabulario
par ordenado
eje x
eje y
coordenada x
Un plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas coordenada y
perpendiculares. La recta numérica horizontal se llama
eje x. La recta numérica vertical se llama eje y. Cada punto de una
cuadrícula de coordenadas puede ubicarse usando un
par ordenado de números, (x,y).
Para llegar al punto A, comienza donde se intersecan
las rectas numéricas, en (0,0). En un par ordenado, el
primer número es la coordenada x. La coordenada x
indica la distancia a la cual debe moverse en dirección
horizontal desde (0,0). El par ordenado del punto A
tiene una coordenada x de 3.
El segundo número en un par ordenado, o coordenada y,
indica la distancia a la cual debe moverse en dirección
vertical. El punto A tiene una coordenada y de 2. El par
ordenado (3,2) da la ubicación del punto A.
• ¿Qué par ordenado da la ubicación de la Estación
Mapocho?
Ejemplo Marca en la gráfica el par ordenado (5,7).
Comienza en (0,0).
Mueve 5 unidades hacia la derecha.
Mueve 7 unidades hacia arriba.
Marca el punto.
• El punto (0,6) está en uno de los ejes. ¿En cuál de los ejes está?
10
9
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1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Eje de la x
Eje de la y
Museo de
Bellas Artes Estación
Mapocho
Idea matemática
El eje x y el eje y se
intersecan en el punto (0,0).
Los puntos que están en
el eje x tienen un 0 en la
coordenada y. Los puntos
que están en el eje y tienen
un 0 en la coordenada x.
1
LECCIÓN
190
Comprensión de los aprendizajes
Práctica adicional en la página 208, Grupo A
1. Usa el plano cartesiano. Comienza en (0,0). Mueve
6 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. ¿Qué
punto está en (6,2)?
Usa el plano cartesiano. Escribe un par ordenado
para cada punto.
2. D 3. G 4. C
Grafica y rotula los siguientes puntos en un plano cartesiano.
5. X (9,0) 6. Y (6,8) 7. Z (4,10)
8. Explica cómo escribir el par ordenado para el punto K en el
plano cartesiano.
24. ¿Qué número se representa gráficamente en
la recta numérica?
0 1 2 3 4 5 6 7
25. ¿Cuál es la longitud de un segmento que une
los puntos (5,1) y (10,1)? Grafica para resolver.
26. ¿Cuántas caras contendrá la plantilla de un
cubo?
27. El punto (5,0):
A no es un par ordenado C está en el origen
B está en el eje de la x D está en el eje
de la y
Usa el plano cartesiano anterior. Escribe un par ordenado para cada punto.
9. B 10. H 11. F 12. J 13. A 14. E
Grafica y rotula los siguientes puntos en un plano cartesiano.
15. J (1,1) 16. K (0,4) 17. L (2,5) 18. P (5,2) 19. S (6,0)
USA DATOS Para 20–22, usa el mapa.
20. ¿Qué par ordenado da la ubicación del Parque Quinta Normal?
21. El Parque Forestal está ubicado en el punto A en el mapa
cuadriculado. ¿Qué par ordenado da la ubicación del Parque Forestal?
22. Razonamiento ¿Qué ubicación está 2 unidades al oeste y
4 unidades al norte del Parque O’Higgins?
23. Explica por qué el orden es importante cuando se
grafica un par ordenado en un plano cartesiano.
x
y
10
9
8
7
6
5
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3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
eje de la
eje de la
Parque
Araucano
Parque Padre
Hurtado
Parque
Quinta
Normal
Parque
O’Higgins
A
y
x
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
eje de la
eje de la
A
B
D
K
F
J
I G
H
E
C
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
Capítulo 8 191
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cine
Biblioteca
eje de la y
eje de la x
Usa la destreza
PROBLEMA Marcos está haciendo un mapa de su vecindario
en un plano de coordenadas para sus nuevos vecinos. Están
buscando la escuela.
Marcelo les dijo que la tienda de zapatos estaba ubicada en las coordenadas
(6,2). El cine está ubicado 5 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo de
la tienda de zapatos. La biblioteca está ubicada 2 unidades a la derecha y 3
unidades hacia arriba del cine. La escuela tiene la misma coordenada x que la
tienda de zapatos y la misma coordenada y que la biblioteca. ¿Dónde está la
escuela?
A veces un problema contiene la información que necesitas para una pregunta
pero no para otra. Debes decidir qué información es relevante, o necesaria, para
resolver el problema.
Destreza: información relevante
o irrelevante
OBJETIVO: resolver problemas usando la destreza información relevante o irrelevante.
Piensa y comenta
Para resolver a y b, usa el mapa ilustrado arriba. Menciona la información
relevante y resuelve los problemas.
a. La coordenada y de la casa de Marcelo es 3 unidades mayor que la zapatería. La
coordenada x de su casa es menor en 2 unidades que la de la biblioteca. ¿Cuáles
son las coordenadas de la casa de Marcelo?
b. La tienda de mascotas se trasladó de su ubicación anterior en (2, 2). La nueva
ubicación tiene la misma coordenada x que la biblioteca y está directamente a la
derecha del cine. ¿Dónde está la tienda de mascotas?
2
LECCIÓN
192
Aplicaciones mixtas
USA DATOS Para 1–3, usa el mapa. Menciona la información
relevante y resuelve los problemas.
1. Pamela marcó en un mapa la ubicación de sus restaurantes
favoritos. El Rincón de la Hamburguesa está ubicado en las
coordenadas (2,1). El Deli de Juan está 5 cuadras directamente
al norte del Rincón de la Hamburguesa. Tazón de Pasta está
ubicado 4 cuadras al este del Deli de Juan. La Pizzería de Cata
tiene una coordenada y que está 2 cuadras al sur del Deli de
Juan y una coordenada x que está 1 cuadra al este del Rincón
de la hamburguesa. ¿Cuáles son las coordenadas de la Pizzería
de Cata?
Piensa: ¿Qué necesitas hallar?
Las coordenadas de la Pizzería de Cata.
¿Qué datos son relevantes para resolver el problema?
Las coordenadas del Rincón de la hamburguesa y las coordenadas del Deli
de Juan.
Rincón de la hamburguesa: (2,1) Deli de Juan: (2,) Pizzería de Cata: (,)
4. Daniela empezó a caminar a las 11:00 a.m.
Caminó 2 cuadras hacia el norte, 3 cuadras
hacia el este, 2 cuadras hacia el sur y 3 cuadras
hacia el oeste. Caminó durante 34_ de hora.
¿Qué figura forma el camino que recorrió?
6. El club de jardinería necesita 50 plantas. Si
15 plantas cuestan $4 695, ¿cuánto pagaría
el club de jardinería por las 50 plantas?
7. Sara usó un plano de
coordenadas para planear su jardín. Plantó
rosales en un cuadrado alrededor de su jardín.
Cada lado del cuadrado mide 5 cm de largo. Si
1 unidad en el plano de coordenadas es igual
a 1 centímetro y el centro del cuadrado está en
el punto (6,6), ¿dónde están los 4 vértices del
cuadrado? Explica cómo lo sabes.
5. Martín y Lucas son hermanos. La suma de
sus edades es 22 años y la diferencia de sus
edades es de 2 años. Martín es mayor que
Lucas. ¿Cuántos años tiene cada niño? Explica
cómo sabes que tu respuesta es correcta.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Rincón de la
Hamburguesa
eje de la y
eje de la x
2. ¿Qué pasaría si la Pizzería de Cata estuviera
directamente al sur de Tazón de Pasta y
directamente al oeste del Rincón de la
Hamburguesa? ¿Cuáles serían entonces las
coordenadas de la Pizzería de Cata?
3. Inés quiere abrir un restaurante que está
5 cuadras al sur de Tazón de Pasta y 3 cuadras
al este del Rincón de la Hamburguesa. ¿Cuáles
serían las coordenadas de su restaurante?
Resolución de problemas con supervisión
Capítulo 8 193
Aprende
Figuras 2D y sus elementos
OBJETIVO: identificar los elementos básicos que forman una figura 2D.
En los cursos anteriores conociste los triángulos, cuadrados,
rectángulos, todas figuras planas de dos dimensiones, figuras 2D.
Además conociste los elementos básicos de la geometría como puntos
de intersección, lados, vértices y segmentos.
Ejemplo
Nombra los vértices y lados del cuadrado ABC
3
LECCIÓN
Una recta se intersecta con
otra en un punto. Dicho
punto se denomina punto de
intersección.
Vocabulario
puntos de intersección
segmentos
vértices
lados
figuras 2D
Vértices: A, B, C, D
Lados: AB, BC, CD, DA
En un cuadrado, los lados opuestos
son paralelos: AB no se intersecta
con CD . Los lados consecutivos son
perpendiculares: AB y BD forman un
ángulo de 90º.
Identificamos los segmentos AB, BC y CA , que
llamaremos lados del triángulo y los puntos A,
B y C, que llamaremos vértices del triángulo.
Los vértices del triángulo son los puntos de
intersección de los segmentos. Los lados también
se pueden identificar con una letra minúscula
que corresponde al vértice opuesto: (a, b, c)
En el siguiente triángulo, identificamos los puntos y los segmentos que utilizaron para dibujarlo.
En general, a toda figura cerrada que se forma con la unión de segmentos la llamaremos polígono.
A B
A B
C D
C
b a
c
194
Práctica con supervisión
Comprensión de los aprendizajes
Práctica adicional en la página 208, Grupo B
15. Dibuja una figura 2D e identifica sus lados y sus vértices.
16. ¿Cuántos lados tiene la figura? y, ¿cuántos vértices? Nómbralos.
17. Razonamiento. ¿Es importante el orden en que nombremos los vértices y los lados de una figura 2D?
Práctica independiente y resolución de problemas
Identifica los vértices y los lados de cada una de figuras siguientes:
Identifica los vértices y los lados de cada una de figuras siguientes:
1. 2. 3. 4.
8. 9. 10. 11.
5. En cada una de las figuras anteriores, identifica pares de lados paralelos, si los hay.
6. De las figuras 1 a la 4, ¿hay alguna donde identifiques lados perpendiculares? Explica cuáles son.
7. Comenta. ¿Qué observas en las figuras 2, 3 y 4?
12. En cada una de las figuras anteriores, identifica pares de lados paralelos, si los hay.
13. De las figuras 8 a la 11, ¿hay alguna donde identifiques lados perpendiculares? Explica cuales son.
14. ¿Qué observas en la figura 10 si la comparas con las otras?
Capítulo 8 195
Aprende
Figuras 3D y sus elementos
OBJETIVO: identificar los elementos básicos que forman una figura 3D.
En la lección anterior identificaste ciertas características de las figuras
2D por ejemplo cuándo sus lados son paralelos o cuándo sus lados son
perpendiculares.
Si unimos algunas de estas figuras 2D a través de sus lados,
formaremos una figura 3D.
En estas figuras 3D reconoceremos las caras, los vértices y las aristas.
Las figuras 3D cuyas caras son polígonos se
llaman poliedros y las que tienen alguna cara
curva se llaman cuerpos redondos.
En los poliedros podemos distinguir algunas
caras paralelas. Por ejemplo
4
LECCIÓN
Vocabulario
figuras 3D
vértices
caras
aristas
La línea donde se
encuentran dos caras
es una arista.
Todas las figuras 2D se
denominan caras.
El punto donde se
encuentran varias
aristas es un vértice.
Bases
ΔABC // ΔDEF
Una figura 2D formada
por segmentos es un
polígono.
A
D
B
C
F
E
Estos poliedros se llaman prismas y las caras paralelas
serán sus bases. Las caras laterales serán siempre
rectángulos.
Si las caras son triángulos, entonces forman una
pirámide. Esta figura 3D no tiene caras ni aristas
paralelas.
196
Comprensión de los aprendizajes
Práctica adicional en la página 208, Grupo C
19. ¿Qué figuras 2D componen las caras de una pirámide de base cuadrada?
20. Marisol compró 30 dulces a $ 200 cada uno. ¿Cuánto dinero gastó Marisol en total?
21. Luis tiene un bloque de 2 bases triangulares y 3 caras rectangulares. ¿Qué figura 3D tiene Luis?
Práctica independiente y resolución de problemas
Identifica las caras, las aristas y los vértices en cada una de las figuras 3D.
Para 15 – 18 usa la foto que se ve a la derecha:
5. 6. 7. 8. 9.
A. B. C. D.
10. 11. 12. 13.
14. ¿Qué forma se ve en la base de la estructura?
15. ¿Qué forma se ve en la estructura lateral?
16. ¿Cuántas caras, cuántas aristas y cuántos vértices tiene
la estructura?
17. ¿Qué nombre tiene esta figura 3D?
18. ¿Cuál es el error? Mario dice que se
puede dar el nombre de una figura 3D si se sabe el
número de caras que tiene. Describe el error de Mario.
Práctica con supervisión
Identifica las caras, las aristas y los vértices en cada una de las figuras 3D.
1. 2. 3. 4.
Capítulo 8 197
5
Investiga
Figuras congruentes Repaso rápido
OBJETIVO: identificar figuras congruentes.
Identifica la figura:
1. 2.
3. 4.
5.
Vocabulario
congruente
Materiales ■ papel punteado ■ tijeras ■ regla
Puedes colocar una figura sobre otra para ver si coinciden. Si
coinciden son figuras congruentes.
Dibuja las parejas
de figuras en
papel punteado.
Recorta cada
pareja. Muévelas
de cualquier
manera para
comprobar si
coinciden.
En otra hoja de papel punteado, dibuja dos figuras
que creas que van a coincidir. Recorta una y
comprueba si las figuras coinciden.
Sacar conclusiones
1. ¿Cómo moviste las figuras para comprobar si
coinciden?
2. Explica en qué se parecen y en qué se diferencian las
parejas que coinciden.
3. ¿Qué puedes concluir acerca de las parejas de
figuras que coinciden?
4. Ampliación Escribe un grupo de instrucciones que
expliquen cómo se dibujan dos figuras en papel
punteado que tengan el mismo tamaño y forma,
pero que después de girarlas, estén en direcciones
diferentes.
198
Relacionar
Practicar
Figuras Congruentes o no congruentes
Ambos segmentos miden 1 centímetro de largo. Tienen la
misma longitud y la misma forma. Son congruentes.
Los círculos tienen la misma forma, pero sus diámetros son
de diferentes longitudes. Los círculos no son del mismo
tamaño. No son congruentes.
F y G miden 90. Los ángulos son del mismo tamaño
y forma. Coincidirán exactamente cuando uno se coloque
sobre el otro. Son congruentes.
Los pentágonos tiene la misma forma, pero son de tamaños
diferentes. No son congruentes.
Las imágenes de las pelotas de fútbol parecen ser de la
misma forma y tamaño. Son congruentes.
A
B
C
D
F G
Las figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma son congruentes.
Di si las dos figuras son congruentes o no congruentes.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Para los ejercicios 7 y 8, usa los polígonos U,V, W, X e Y.
¿Cuáles son algunos objetos
en la sala de clases que son
congruentes o no congruentes?
9. Explica si la afirmación
todos los círculos son congruentes es
verdadera o falsa. Puedes incluir un dibujo
en tu explicación.
7. ¿Qué parejas de polígonos son congruentes?
Explica.
8. ¿Qué parejas de polígonos no son
congruentes? Explica.
A B C D E
Capítulo 8 199
Investiga
Repaso rápido
en el sentido de
las manecillas del reloj
en sentido contrario a
las manecillas del reloj
Rotación
OBJETIVO: relacionar las medidas de ángulos con 1_4 , 1_2 , 3_4 y giros completos.
Nombra cada ángulo. Escribe
agudo, obtuso o recto.
1. 2.
3. 4.
5.
Materiales ■ 2 tiras de papel ■ sujetadores de papel
Puedes hacer girar tiras de papel para explorar la relación
entre giros y medidas de ángulos.
Los rayos de un círculo se pueden girar en el sentido de las manecillas
del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Abre la tira de papel para formar
un ángulo de 908.
¿Es este un giro de 1
_ 4 , 1
_ 2 , 3
_ 4 o un giro completo?
Abre la tira de papel 1
_ 4 de giro
más para formar un ángulo de 1808.
¿Es este un giro de 1
_ 4 , 1
_ 2 , 3
_ 4 o un giro completo?
Haz otro giro de 1
_ 4 para formar un ángulo
de 2708.
¿Es este un giro de 1
_ 4 , 1
_ 2 , 3
_ 4 o un giro completo?
Gira la tira de papel 1
_ 4 para finalizar el círculo.
¿Es este un giro de 1
_ 4 , 1
_ 2 , 3
_ 4 o un giro completo?
Sacar conclusiones
1. ¿Cuántos grados hay en un giro completo?
2. ¿Cuántos giros de 1
_ 4 se necesitan para hacer un giro completo?
3. Síntesis Explica la relación entre las medidas de ángulos
y giros.
6
200
Relacionar
Practicar
1000g
2.2 lb
2
8 6
10
14
1lb 2
4oz 6
8
10 12oz
14
2lb 2oz 0
12oz
4oz1000g
100g
200g
300g
400g600g
700g
800g
900g
500g
8
9
10
11 12
7 6 5
4
3
2
1
8
9
10
11 12
7 6 5
4
3
2
1
8
9
10
11 12
7 6 5
4
3
2
1
Di si los rayos en el círculo muestran un giro de 1
_ 4 , 1
_ 2 , 3
_ 4 o un giro
completo. Después, identifica el número de grados que se han
girado los rayos en el sentido de las manecillas del reloj o en
sentido contrario a las manecillas del reloj.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
Puedes relacionar giros y ángulos medidos en grados con las manecillas
del reloj. Las manecillas del reloj representan los rayos de un ángulo. Cada
minuto que marca el reloj representa 68.
15 minutos de tiempo
transcurrido.
15 • 68 5 908
El minutero ha
girado 908.
30 minutos de tiempo
transcurrido.
30 • 68 5 1808
El minutero ha
girado 1808.
Explica en qué se parecen un
ángulo de 270° en un círculo a
un giro de 3_4 y a un período de
45 minutos en un reloj.
Di si la figura ha sido girada 90º, 180º, 270º o 360º
en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido
contrario a las manecillas del reloj.
9.
13.
10.
14.
11.
15.
12.
16.
17. Explica cómo el resultado de un giro de 90˚ en
el sentido de las manecillas del reloj puede parecer el resultado de un giro
de 270˚ en sentido contrario a las manecillas del reloj.
45 minutos de tiempo
transcurrido.
45 • 68 5 2708
El minutero ha
girado 2708.
Capítulo 8 201
Aprende
Repaso rápido
Paso Paso Paso Paso
7
LECCIÓN
Simetría
OBJETIVO: identificar simetría axial y rotacional en figuras geométricas.
PROBLEMA La simetría se puede encontrar en todo nuestro
alrededor. Existe en la naturaleza, el arte, la arquitectura y la música.
Un tipo de simetría que se encuentra en las figuras geométricas es la
simetría axial. Este letrero está en las colinas de Hollywood, California.
¿Qué letras en el letrero de Hollywood muestran simetría axial?
Una figura tiene simetría axial si se puede doblar a lo largo
de una línea de manera que las dos mitades coincidan
exactamente, haciendo que ambas partes sean absolutamente
congruentes.
Usa bloques de patrón
o papel punteado para
hacer la letra W.
Actividad 1 Explora la simetría axial.
Materiales ■ bloques de patrón ■ papel ■ tijeras
Traza la W. Recorta por el trazo. Dobla por el trazo.
Las dos partes de la W doblada coinciden exactamente.
Por lo tanto, la W tiene simetría axial. Ya que ambas partes coinciden entre sí, por lo que también
se denominan congruentes.
La H tiene 2 ejes
de simetría.
La O tiene 2 ejes
de simetría.
La L tiene 0 ejes
de simetría.
La Y tiene 1 eje
de simetría.
La D tiene 1 eje
de simetría.
Por lo tanto H, O, Y, W y D tienen simetría axial.
Laura necesita dos fichas
congruentes para un diseño.
¿Cuáles fichas parecen ser
congruentes?
Vocabulario
simetría axial
simetría rotacional
202
Paso Paso Paso
X
X
Simetría axial
Más sobre simetría
Una figura tiene simetría si se puede rotar sobre un punto central y conservar la misma apariencia en por
lo menos dos posiciones. Por lo tanto, al rotar la figura, esta mantiene su forma o es congruente con la
figura inicial. Se dice, entonces que la figura tiene simetría rotacional.
Este es un giro de 1
_4 , un cuarto
de giro, o 90 alrededor de un
punto.
Este es un giro de 1
2_ , medio
giro, o 180 alrededor de un
punto.
Este es un giro de 3
4_ , tres
cuartos de giro, o 270
alrededor de un punto.
Actividad 2 Explora la simetría.
Materiales ■ papel de trazar ■ bloques de patrones
Traza cada bloque de patrón.
Coloca el trazo sobre el bloque
de patrón. Pon una X en el tope
del trazo.
Mantén los puntos centrales
juntos y gira el trazo para ver si
coincide exactamente en otra
posición.
Registra el número de veces
que la figura empareje en
otra posición hasta que la X
aparezca en el tope del trazo.
Si la X coincide en más de una
posición, la figura tiene simetría
rotacional y su resultado es una
figura congruente con la original
previa al giro.
Ningún eje
de simetría
El edificio
torre
Entel en
Santiago
tiene
simetría
axial, pero
no tiene
simetría
central.
La forma de la Isla
de Pascua en el
mapa no tiene ejes
de simetría.
Ejemplos Describe la simetría que parece tener cada figura.
Capítulo 8 203
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
A B
C D
Di si la figura parece tener simetría axial. ¿Por qué?
7. 8. 9. 10.
Traza cada figura. Después, dibuja el eje o ejes de simetría.
11. 12. 13. 14.
Dibuja cada figura que tenga lo siguiente.
Después, dibuja el eje o los ejes de simetría.
15. 0 ejes de simetría 16. 1 eje de simetría 17. 2 ejes de simetría 18. Simetría central
1. En la figura se muestra un eje de simetría. Traza la figura en
papel punteado y dibuja otros 3 ejes de simetría.
Di si la figura parece tener simetría axial, ¿Por qué?
2. 3. 4. 5.
6. Explica cómo se puede decidir si una figura
tiene simetría axial.
USA LOS DATOS Para los ejercicios 19 a 21,
usa las figuras.
19. ¿Cuál figura parece tener 6 ejes de simetría?
20. ¿Cuáles figuras parecen tener simetría
cuando se giran 908, 1808, 2708 y 3608?
21. ¿Cuál figura parece tener el mayor número
de ejes de simetría?
204
Comprensión de los aprendizajes
26. ¿Qué movimiento realiza un auto que avanza
por una calle?
A traslación C simetría central
B rotación D simetría axial
27. ¿Cuál describe mejor la simetría en la letra M?
A horizontal C central
B vertical D medio giro
28. ¿Qué tipo de líneas se encuentran en una
esquina de un cuadrado?
29. 864 : 6 5
30. ¿Cuál describe mejor la simetría en la letra Z?
A horizontal C central
B vertical D medio giro
Kirigami
Materiales ■ papel ■ tijeras
Origami es el arte de doblar papel y después recortarlo para
hacer objetos ornamentales o diseños. Estos diseños fueron
hechos doblando el papel una vez.
Dobla una hoja de papel por la mitad y después por la mitad
otra vez en el primer doblez. Recorta un hoyo en la forma que desees a
través del doblez.
Usa lo que sabes acerca de la simetría para predecir cómo se verá
el diseño. Después abre el papel. ¿Era correcta tu predicción?
22. Razonamiento ¿Cómo puedes terminar este
diseño de manera que tenga por lo menos un
eje de simetría?
24. Halla dos palabras que tengan un eje de
simetría horizontal.
23. ¿Cuál es el error? Ignacio dice que todos los
polígonos regulares no tienen eje de simetría.
Describe y corrige su error.
25. Elige y dibuja una figura con
por lo menos dos ejes de simetría. Después
escribe instrucciones que expliquen cómo se
hallan los ejes de simetría.
Predice cómo se verá la figura cuando se desdoble el papel.
Comprueba doblando y recortando.
1. 2. 3. 4.
Capítulo 8 205
Aprende
8
LECCIÓN
Traslación
OBJETIVO: trasladar figuras.
PROBLEMA En Curicó, el cine se encuentra ubicado en el punto
A(1,1). La biblioteca en el punto B(3,4) y la farmacia en el punto
C(5,19). Quieren cambiar la ubicación de cada uno a otros puntos
de la ciudad.
¿Cuál es la nueva ubicación del mall, la plaza y la
farmacia si los trasladan 6 lugares a la derecha?
En cada par ordenado indica la
coordenada solicitada.
1. (3,2) x
3. (4,7) x
5. (9,2) y
2. (3,3) y
4. (7,0) y
Práctica con supervisión
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cine
Biblioteca
eje de la y
eje de la x
Contesta las siguientes pregunta:
1. Al unir los puntos A, B y C, ¿qué figura se forma?
2. Al unir los puntos de la nueva ubicación, ¿qué forma
tiene la nueva figura?
3. ¿Cómo es el tamaño de ambos triángulos?
Relaciona el siguiente concepto:
Mover una figura de una posición a otra nueva sin
perder la forma (figuras congruentes) y tamaño se llama
traslación.
Ejemplo: la estrella se ha traslado en dirección diagonal y
sigue manteniendo la forma y el tamaño.
Di si las dos figuras fueron trasladas o no. Explica tu respuesta.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Figura 1
Figura 2
La figura 1 es congruente con la figura 2.
Vocabulario
traslación
206
Práctica independiente y resolución de problemas
Di si las dos figuras fueron trasladas o no. Explica tu respuesta.
Traslada cada figura en la indicación dada y dibuja su nueva posición sin perder la forma y tamaño.
Comprensión de los Aprendizajes
11. Estima la diferencia entre 39,346 y 26,844.
12. Ana gastó $ 1 347 y Marco gastó $ 987. ¿Cuánto dinero gastaron en total?
13. ¿Qué número del par ordenado (7,6) es la coordenada x?
14. Representa gráficamente el par ordenado (3,9) en un plano cartesiano.
7. Tres unidades a la derecha.
8. Cuatro unidades hacia abajo.
9. Tres unidades hacia arriba y tres unidades a la derecha.
10.
Dibuja un plano cartesiano de 10 · 10 y traslada el triángulo ABC de coordenadas A(1,1); B(3,5), C(4,2)
3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices del
triangulo? Dibuja el nuevo triángulo A´B´C´. ¿Las figuras son congruentes? ¿Por qué?
Capítulo 8 207
Grupo A Escribe un par ordenado para cada punto. Usa la cuadrícula.
1. punto J 2. punto M 3. punto T
4. punto K 5. punto F 6. punto L
Usa una cuadrícula para representar cada par ordenado.
7. (4,2) 8. (0,5) 9. (2,1) 10. (1,0)
11. (5,3) 12. (4,1) 13. (3,3) 14. (0,0)
Práctica adicional
Grupo D Di si la figura parece tener simetría axial.
1. 2. 3. 4.
Grupo B Identifica los lados y los vértices de cada figura.
1.
2.
Grupo C Pinta las caras basales de las figuras 3D.
1. 2. 3. 4.
Observa las figuras y contesta.
5. ¿Cuántos vértices y caras laterales tienen?
6. ¿Cuántas aristas tienen cada figura?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
F
K
J
T
L
M
eje de la
eje xde la
y
Lados. ¿Cuántos hay?
Lados ¿Cuántos hay?
Vértices. ¿Cuántos hay?
Vértices. ¿Cuántos hay?
A
E
B
D
F C
E D
A B
C
Figura A Figura B Figura C
208
V
Grupo E
1. Dibuja un plano cartesiano de 10 · 10 y traslada el cuadrado de coordenadas
A(2,4), B(6,4), C(2,8) y D(6,8) 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo.
Determine las nuevas coordenadas del cuadrado.
2. Escribe dos ejemplos de movimientos de traslación en la vida real. Por ejemplo, el
movimiento que realiza un ascensor.
3. Observa la siguiente figura:
4. Determina las coordenadas de los vértices del triángulo.
5. Si a la figura se le aplica una traslación de 3 unidades a la derecha y 2 unidades
hacia arriba. ¿Cuáles serían las coordenadas de los nuevos vértices?
6. Si luego se le aplica una traslación de 1 unidad hacia la izquierda y 2 unidades
hacia abajo. ¿Cuáles serían las coordenadas de los nuevos vértices?
A B
C D
E F
Traza cada figura. Después, dibuja el eje o ejes de simetría.
5. 6. 7. 8.
Para los ejercicios 9 – 13, usa las figuras A a F.
9. ¿Qué figuras parecen tener 6 ejes de simetría?
10. ¿Qué figuras no parecen tener simetría
cuando se giran 1808?
11. ¿Qué figuras parecen tener simetría
cuando se giran 908?
12. ¿Qué figura parece tener más ejes de simetría?
13. ¿Qué figura no parece tener simetría axial?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
Capítulo 8 209
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S
M
T
R
C
A
B
eje de la y
eje de la x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
eje de la y
eje de la x
A
B
C
Comprueba el vocabulario y los conceptos
Elige el mejor término del recuadro.
1. Un ____________ es un par de números que se usan para ubicar un punto
en una cuadrícula de coordenadas.
2. El punto donde se intersecan las dos líneas se llama el ____________ , o (0, 0).
Comprueba tus destrezas
Escribe un par ordenado para cada punto. Usa la figura dada (fig. A).
3. punto S 4. punto M 5. punto T
6. punto A 7. punto B 8. punto C
Usa la figura dada y responde (fig. B).
¿Qué figuras son congruentes? Explica cómo lo sabes.
Halla una regla para completar la tabla.
10.
11.
Comprueba la resolución de problemas
Resuelve.
12. Un mapa del barrio muestra que las
coordenadas del parque son (2,4).
La coordenada y del parque es igual a la
coordenada y de la Municipalidad. Y la
coordenada x del parque es el doble de
la coordenada de x de la municipalidad. ¿Cuáles
son las coordenadas de la Municipalidad?
Repaso/Prueba del capítulo 8
13. Imagina que hay planes para
construir un nuevo parque en el lado opuesto
del pueblo. ¿Qué pasaría si el nuevo parque
se construyera 5 unidades a la derecha y
8 unidades arriba del parque existente en el
Ejercicio 11? Explica dónde estaría ubicado el
nuevo parque.
Vocabulario
par ordenado
origen
eje de la x
x
y
4
12
3
9
2 1 0
0
x
y
4
4
3
5
2
6
x 1 0
y
4
12
3
9
2 1 0
0
x
y
4
4
3
5
2
6
1 0
eje xde la
eje xde la
eje yde la eje yde la
Figura A
Figura B
210
Capítulo 8 211
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Un cuadrado, un rectángulo,
un paralelogramo, un rombo y un trapecio son tipos de cuadriláteros.
3. 4.
En cada ejemplo de abajo, parte del cuadrilátero está oculto al otro lado de la
línea negra.
Ejemplo
Identifica algunos de los posibles cuadriláteros que esta figura podría ser.
• La figura tiene un ángulo recto. Los únicos
cuadriláteros que tienen ángulos rectos son
los cuadrados y los rectángulos.
Por lo tanto, la figura podría ser un cuadrado o un rectángulo.
cuadrado rectángulo paralelogramo rombo trapecio
Enriquecimiento • Los cuadriláteros
¿Es un rombo un paralelogramo?
¿Cuántos ejes de simetría tiene? Explica.
Capítulo 18 211
Inténtalo
Dibuja la figura simétrica al otro lado del eje de simetría.
1. 2.
Números y operaciones
Comprensión de los aprendizajes
x 2 3 4 ……
y 5 7 9 …..
1. La suma de 0,894 + 8 es:
A 8,902 C 1,694
B 1,908 D 8,894
4. El valor posicional del dígito subrayado es:
1 2 5 9 8 7 6 8
A 5 UM C 5 CM
B 5 Umi D 5 Cmi
10. ¿Cuántos vértices y lados tiene respectivamente
la figura?
5. El orden de mayor a menor de estos números
decimales es:
0,347; 14,207; 14,027; 0, 437
A 0, 347; 0,437; 14,027, 14,207
B 14,207; 14,027; 0,437; 0,347
C 0, 347; 14,207; 14,027; 0,437
D 14,207; 14,027; 0,347; 0,437
6. Al restar 2,007 – 0,339 resulta:
A 1, 668
B 1,866
C 0,346
D 2,668
2. Al restar – resulta:
A C
B 1 D
3. Al ordenar 2 , 1 , 2
resulta:
A 2 < 2 < 1 C 1 < 2 < 2 B 1 < 2 < 2 D 2 < 1 < 2 Patrones y álgebra 7. El par ordenado que sigue en la tabla es: A (5,3) B (3,5) C (5,4) D (5,11) 9. El patrón 18,24,30,36 y _____. Se completa con: A 42 B 12 C 48 D 60 8. La regla de la secuencia numérica 10,100,1 000,10 000 es: A Sumar 10 B Multiplicar por el mismo número C Multiplicar por 1 D Multiplicar por 10 8 9 2 5 2 3 2 3 5 9 5 9 2 3 3 5 3 5 3 5 2 3 5 9 5 9 5 9 2 3 3 5 3 5 5 4 5 36 3 4 A 5 vértices y 10 lados B 10 vértices y 10 lados C 10 vértices y 5 lados D Es un semicírculo, no tiene vértices ni lados 212 12. ¿Qué transformación se efectuó a la figura 1 para obtener la figura 2? figura 1 figura 2 A Traslación B Simetría central C Simetría axial D Rotación 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P Q S R eje de la y eje de la x Tienda de mascotas Tienda de comestibles Juguetería Tienda de computación eje xde la eje yde la 15. ¿Cuántos libros más leyó en noviembre que en septiembre? A 1 C 3 B 2 D 4 Geometría – Medición Datos y probabilidades Para las preguntas 14 y 15 utiliza el siguiente gráfico de barras que muestra el número de libros que leyó Claudia durante cuatro meses: 14. ¿Cuántos libros en total leyó Claudia? A 5 C 11 B 8 D 12 Libros leídos por Claudia sep oct nov dic mes número de libros 5 4 3 2 1 0 16. El siguiente mapa muestra las ubicaciones de 4 tiendas diferentes. ¿Qué tienda está ubicada en (2,2)? A Tienda de mascotas B Tienda de computación C Tienda de comestibles D Juguetería 13. ¿En cuál de las siguientes opciones la línea NO es un eje de simetría? A C B D 11. ¿Qué coordenadas indican el origen? A (3,3) B (2,2) C (1,1) D (0,0) Capítulo 8 213