FIGURAS BIDIMENSIONALES Y TRIDIMENSIONALES EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 6–SEXTO AÑO PDF

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triángulos , cuadriláteros
, prismas , pirámides
otras figuras tridimensionales
, Figuras bidimensionales
y tridimensionales
La idea importante Las figuras bidimensionales y tridimensionales se pueden
clasificar de acuerdo con sus propiedades geométricas.
Investiga
Busca ejemplos de figuras planas y de cuerpos
geométricos en el perfil de la ciudad de
Valparaíso. Luego traza el perfil de tu ciudad en
una hoja de papel. Incluye diversas figuras planas
y cuerpos geométricos. Describe las propiedades
de tus figuras.
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Valparaíso es la segunda ciudad más importante de Chile a
nivel administrativo. A mediados del siglo XIX era el
principal centro comercial y financiero del país. Se
caracteriza por ser una ciudad que se expande desde los
cerros hacia el mar y en ella viven aproximadamente
1 734 917 personas (Censo 2012).
DATO
BREVE
Capítulo 13 225
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO PREPARACIÓN
triángulo isósceles Un triángulo que tiene
exactamente dos lados congruentes.
triángulo escaleno Un triángulo que no tiene lados
congruentes.
triángulo equilátero Un triángulo que tiene tres
lados congruentes.
triángulo acutángulo
base
triángulo equilátero
triángulo isósceles
red
triángulo obtusángulo
paralelogramo
poliedro
prisma
pirámide
rombo
triángulo rectángulo
triángulo escaleno
trapecio
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar
con éxito el capítulo 13.
u Medir y clasificar ángulos
Clasifica cada ángulo. Escribe agudo, recto u obtuso.
1. 2. 3. 4.
u Caras de los cuerpos geométricos
Da el nombre de la figura plana correspondiente a la cara sombreada de cada cuerpo geométrico.
5. 6. 7.
8. 9. 10.
Aprende
7 cm
superior
frontal
lateral
15 cm
2 cm
75 cm
75 cm
75 cm 75 cm
75
cm
75
cm
75 cm P Q
R
S U
T
1 Repaso rápido
LECCIÓN
226
PROBLEMA Para el proyecto final de la clase de diseño, Daniel usó
un cubo de espuma con aristas de 75 cm cada una para hacer un
banco. Cubrió cada una de las seis caras con tela. ¿Cuánta tela usó
Daniel para cubrir todo el cubo?
Puedes usar la fórmula para el área de un cuadrado y hallar la
superficie de un cubo. La superficie A, es la suma de las áreas de
cada superficie de un cuerpo geométrico.
Halla el producto.
1. 11 · 4 · 5 2. 16 · 3 · 4
3. 12 · 6 · 3 4. 20 · 10 · 5
5. 9 · 5 · 2
Vocabulario
superficie cubo
paralelepípedo
Área total
OBJETIVO: hallar la superficie de cubos y paralelepípedos.
Ejemplo 1 Usa una red para hallar el área total.
Como en el cubo cada cara es un cuadrado, usa la fórmula A 5 l2.
Área de la cara P : A 5 752 5 5 625
Como cada cara de un cubo tiene las mismas dimensiones, las caras Q a U
tienen la misma área que la cara P. El área total de un cubo es la suma de
las áreas de sus caras o 6 veces el área de una cara.
At 5 6 · 5 625 5 33 750
Entonces, Daniel usó 33 750 cm2 de tela para cubrir el cubo de espuma de estireno.
• ¿Qué pasaría si cada arista del cubo de espuma de estireno midiera la mitad
de la longitud original? ¿Cuánta tela usaría Daniel?
Para hallar el área total, At, de un paralelepípedo, recuerda que las caras opuestas
tienen la misma área.
Ejemplo 2 Halla el área total del paralelepípedo.
Usa la fórmula A 5 la.
caras frontal y trasera: 2 · l · a 5 2 · 15 · 7 5 210
caras superior e inferior: 2 · l · a 5 2 · 15 · 2 5 60
caras izquierda y derecha: 2 · l · a 5 2 · 7 · 2 5 28
At 5 210 1 60 1 28 5 298
Entonces, el área total es de 298 cm2.
Multiplica por 2 para incluir
las caras opuestas.
Halla la suma.
1 cm
20 cm
5,5 cm
Capítulo 13 227
Ejemplo 4 Halla el área total del paralelepípedo.
Ejemplo 3 Halla el área total del paralelepípedo.
Las figura corresponde a un paralelepípedo de base rectangular. Para encontrar
el área total, separaremos las caras del cuerpo geométrico.
Las cara roja se repite dos veces,
entonces, el área es:
110 cm² 1 110 cm² 5 220 cm²
Finalmente con la cara verde.
5,5 cm² 1 5,5 cm² 5 11 cm²
Lo mismo ocurre con la cara azul.
20 cm² 1 20 cm² 5 40 cm²
Área total 5 40 cm² 1 11 cm² 1 220 cm²
Entonces, el área total del paralelepípedo es 271 cm².
Paralelepípedos
Un paralelepípedo es un prisma de seis caras, cuyas caras opuestas son paralelogramos
iguales y paralelos.
Hasta el momento hemos trabajado con dos paralelepípedos especiales, el cubo
y el prisma rectangular.
¿Es posible separar las caras de un cubo para calcular su área?
7 cm
La figura 3D corresponde a un cubo, que también es un paralelepípedo, pero
de base cuadrada. Para encontrar el área total, separaremos sus caras.
En este caso todas las caras tienen las mismas dimensiones, por lo tanto:
Área total 5 49 cm² 1 49 cm², 49 cm² 1 49 cm², 49 cm² 1 49 cm²
Entonces, el área total del paralelepípedo de base cuadrada es 294 cm².
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
11 cm
superior
frontal
lateral
21 cm
5 cm
2 m
2 m
2 m
2 cm
0,5 cm
0,5 cm
1 cm 15
8 cm
3 cm
4 cm 12
12
5 cm
5 cm
5 cm
3 m
5 m
8 m
3 m 12,5 m
9,3 m
94 2 m
1 m
3 2
1 m
228
1. Halla el área total del prisma rectangular (paralelepípedo).
área de las caras frontal y trasera 2 · j · j 5 j
área de las caras superior e inferior 2 · j · j 5 j
área de los lados izquierdo y derecho 2 · j · j 5 j
Suma para hallar el total de las áreas de todas las caras.
Halla el área total.
2. 3. 4. 5.
Halla el área total.
7. 8. 9. 10.
6. Explica cómo se halla el área total de un cubo que tiene 3 cm de lado.
Halla el área total de cada cubo, cuyos lados miden la longitud dada At.
11. At 5 15 m 12. At 5 3,5 cm 13. At 5 4 1__
2
km 14. At 5 50 m
15. Calcula el área total de un paralelepípedo cuyos
ángulos son rectos y sus dimensiones son 4 cm,
8 cm y 12 cm.
17. Halla un objeto con forma de prisma
rectangular. Mide el objeto y redondea la
medida al centímetro más próximo. Estima el
área total redondeada al centímetro cuadrado
más próximo.
16. Benjamín quiere construir un nuevo acuario
de vidrio, con tapa en forma de prisma recto
para sus tortugas marinas. Las medidas son 60
cm de ancho, 70 cm de largo y 50 cm de alto.
¿Cuántos cm2 de vidrio usará Benjamin para su
acuario?
18. Mide una caja de leche y calcula cuánto material
tetra pack se necesita para fabricarla.
Comprensión de los Aprendizajes
Práctica adicional en la página 238, Grupo A
10 cm
6 cm
6 cm
3 cm
6 cm
Capítulo 13 229
19. Para la clase de diseño, Luisa pintó un viejo baúl rectangular de madera
que mide 21 cm de longitud, 11 cm de ancho y 5 cm de altura. ¿Cuánto
mide la superficie que pintó?
20. DATO BREVE El edificio Costanera Center
es el edificio más alto de Chile; mide 300 m de
longitud, 250 m de ancho y 303 m de altura.
Halla el área total del edificio. DATO: El área total
no incluye el subterráneo del edificio.
21. Para un proyecto del curso,
Daniela cubre los lados de 5 floreros con forma
de cubo de lado 26 cm. Explica los pasos que
debe seguir Daniela para calcular cuánto papel
necesita.
GEOMETRÍA Para hallar el área total de una figura compleja, debes
descomponerla en figuras más sencillas y determinar el área total de cada figura.
Ejemplo Halla el área total de la figura de la derecha.
Entonces la superficie total de la figura es 198 cm2 + 90 cm2 = 288 cm2.
Halla el área total de la figura.
22. Un cuadrilátero tiene lados opuestos que
son paralelos y congruentes. ¿Qué tipo de
cuadrilátero podría ser?
23. ¿Cuál es el área de un rectángulo que mide
9 metros de longitud y 7 metros de ancho.
24. ¿Cuál es el área total de un cubo que mide
2,4 centímetros de lado?
A 5,76 cm2 C 23,04 cm2
B 13,824 cm2 D 34,56 cm2
25. Juan pintará las paredes, el techo y la puerta
de una habitación rectangular sin ventanas que
mide 14 m por 15 m por 8 m. ¿Cuál es el área
total que pintará?
6 cm
6 cm
6 cm
La superficie que se debe considerar del cubo es 198 cm2.
cubo
Halla el área de una cara.
6 · 6 = 36 cm2
Multiplica por 6 para calcular la
superficie total. 6 · 36 = 216.
Resta la superficie de la cara que
comparte con el paralelepípedo
más pequeño que está al lado.
216 – (6 · 3) = 216 – 18 = 198 cm2.
Halla la superficie de todas las
caras rectangulares excepto la
que está pegada al cubo, es
decir:
A = 2 · (4 · 3 + 4 · 6) + 6 · 3
= 2 · (12 + 24) + 18
= 2 · 36 + 18 = 72 + 18 = 90 cm2.
La superficie total de las caras
que se consideran es de 90 cm2.
4 cm
6 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
9 cm
3 cm
Aprende
cm 22 1
cm 44 1
cm 32 1
ancho
longitud
altura
2 cm
4 cm
3 cm
2 cm
4 cm
3 cm
Repaso rápido
2
LECCIÓN
230
El volumen es el número de unidades cúbicas necesarias para ocupar
un espacio determinado. El volumen se mide en unidades cúbicas. En
la siguiente actividad, se explora el volumen.
¿Cuántos metros cuadrados
de baldosas se necesitan para
cubrir un piso cuadrado cuyos
lados miden 3 metros?
Vocabulario
volumen
Volumen de los cubos y paralelepípedos
OBJETIVO: estimar y calcular el volumen de cubos y paralelepípedos.
Actividad
Materiales ■ red de un paralelepípedo ■ cinta adhesiva
■ tijeras ■ cubos de 1 centímetro
• Recorta la red. Dóblala a lo largo de las líneas
punteadas y pega los lados para formar una caja abierta.
• Estima cuántos cubos caben en la caja. Luego, coloca
tantos cubos como puedas en la caja.
• ¿Crees que el número de cubos que colocas en la caja es el
volumen real de ella o una estimación? Explica.
Observa el siguiente paralelepípedo. En la base hay una capa de cubos de 1 centímetro. Para
completar la capa inferior se necesitan 8, o 4 · 2, cubos de 1 centímetro. El paralelepípedo
completo tiene 3 capas de 8 cubos cada una. Se necesitan 24 cubos, o 4 · 2 · 3, cubos para
completar el paralelepípedo.
Observa la tabla. Observa la relación entre la longitud, el ancho, la altura y el
volumen de estos tres paralelepípedos.
La relación entre las dimensiones y el volumen de un paralelepípedo se puede escribir
Volumen 5 longitud · ancho · altura o V 5 lah. La fórmula V 5 Bh también se puede usar para
hallar el volumen de un paralelepípedo. En esta fórmula, B es igual a l · a, porque l · a es igual
al área de la base de paralelepípedo y h es la altura del paralelepípedo.
Longitud Ancho Altura Volumen
4 3 4 48
5 3 3 45
8 4 3 96
Fórmulas para hallar el volumen de un paralelepipedo
V 5 lah V 5 Bh
2 cm
8 cm
3 cm
2 cm
8 cm
3 cm
5 cm
2 1
_
2 cm
3,5 cm
1 cm
3
1
5,4 cm
Capítulo 13 231
Ejemplo 1 Halla el volumen.
V 5 Bh, donde B 5 l • a Escribe la fórmula.
V 5 (8 • 3) • 2 Reemplaza B por 8 • 3 y h por 2. Multiplica.
V 5 48
Ejemplo 2 Halla el volumen.
Ejemplo 2
V = l · a · h Escribe la fórmula
V = 9 · 5 · 12 Reemplaza cada valor en la fórmula.
V = 9 · (5 · 12) Asocia el valor del ancho y el de la altura
porque su producto es un múltiplo de 10 y
será más fácil calcular el otro producto.
V = 9 · 60 Calcula el producto
V = 540 cm3.
Entonces, el volumen del paralelepípedo es 540 cm3.
Entonces, el volumen del paralelepípedo es de 48 cm3.
Recuerda que las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación
permiten que el volumen anterior se pueda calcular multiplicando la
superficie de la base por la altura, o la superficie de alguna de las caras
laterales por el largo o el ancho, según corresponda.
• Explica qué debes hacer para calcular el volumen de un
cuerpo si las medidas están expresadas en fracciones,
decimales y enteros.
¿En qué se parecería este procedimiento al del cálculo
del área de la figura de al lado?
Práctica independiente y resolución de problemas
4 cm
8 cm
4 cm
5 m
9 m
6 m
32 m
21 m
50 m
x
6 cm
15 cm 12 m
8 m
x
5 2 cm
1
5 2 cm
1
5 2 cm
1
8 cm 6 cm
x
0,8 cm
0,8 cm
1,6 cm
15 cm
10 cm
25 cm
232
4. Explica cómo se calcula el volumen de un paralelepípedo.
Halla el volumen.
1.
2. 3.
Calcula el volumen.
5. 6. 7.
8. 9. 10.
V 5 576 cm3 V 5 1 140 cm3 V 5 480 m3
11. El centro para jóvenes tiene una piscina
rectangular para niños pequeños que mide 5 m
de longitud y de ancho y 1,5 m de profundidad.
¿Cuántos metros cúbicos de agua se necesitan
para llenar la piscina?
12. En la clase de carpintería se necesita construir
una caja rectangular para regalo que tenga un
volumen de 88 cm3. Si la longitud es de 8 cm y
el ancho es de 5 1_ 2 cm, ¿qué altura debe tener la
caja para regalo?
V 5 Bh
5 15 · 10 · 25
5 j
Calcula la longitud desconocida.
Práctica con supervisión
4 cm
3 cm
2 cm
Práctica adicional en la página 238, Grupo B
6 cm
4 cm
12 cm
Comprensión de los aprendizajes
Capítulo 13 233
CAMBIAR LAS DIMENSIONES El paralelepípedo de la derecha mide 12 cm de
altura, 6 cm de longitud y 4 cm de ancho.
1. ¿De qué manera cambiaría el volumen del paralelepípedo si cada dimensión
se redujera a la mitad?
13. Halla un objeto con forma de paralelepípedo. Mide el objeto y redondea
la medida al centímetro más próximo. Estima el volumen redondeado al
centímetro más próximo.
14. Halla el área total y el volumen de un cubo cuyos lados
miden 1 1_ 2 metros. Describe la diferencia entre el área total
y el volumen.
15. Calcula la superficie del paralelepípedo de la figura.
16. ¿Cuál es el error? Los estudiantes calcularon que el
volumen de un cajón de arena que mide 6 m de longitud, 5 m de ancho y
3 m de profundidad es de 30 m3. Halla su volumen y corrige su error.
2. ¿De qué manera cambiaría el volumen del paralelepípedo si la altura
y la longitud se duplicaran y el ancho permaneciera igual?
3. ¿De qué manera cambiaría el volumen del paralelepípedo si la altura se
redujera a la mitad, la longitud se duplicara y el ancho permaneciera igual?
4. Explica de qué manera podrías cambiar todas las dimensiones del
paralelepípedo para hacer un nuevo prisma rectangular con el mismo volumen.
17. Escribe un enunciado con palabras para la
siguiente ecuación: 17 5 n 1 9.
18. ¿Cuál es el volumen de una canasta rectangular
que mide 20 centímetros de longitud,15,6
centímetros de ancho y 30,4 centímetros de
altura?
A 9 484,8 cm3
B 2 788,48 cm3
C 948,48 cm3
D 66 cm3
19. Ordena de mayor a menor: 3,508; 3,58; 3,08; 3,85.
20. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo?
A 1 500
B 450
C 45
D 38
12 m
8 m
x
15 cm 10 cm
3 cm
¿Qué otros tipos de
representaciones crees que
puedes usar para resolver
problemas?
234
Se puede usar una representación para
determinar si dos figuras son congruentes.
¿Son congruentes las figuras azul y amarilla?
Se puede usar una representación para
resolver ecuaciones.
José coloca 3 libros en el estante de arriba de
su librero. Si el estante tiene capacidad para
7 libros, ¿cuántos libros más necesita José
para completar el estante? Resuelve la
ecuación x 1 3 5 7 para hallar la solución.
Se puede usar una representación
para hallar el área total.
Un prisma rectangular mide 8 cm de
longitud, 6 cm de ancho y 4 cm de altura.
Halla el área total del prisma.
Aprende la estrategia
Hacer una representación te puede ayudar a ver una solución de un problema.
Puedes usar una representación para resolver diferentes tipos de problemas.
Estrategia: hacer una representación
OBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia hacer una representación.
3
LECCIÓN
Como _6_ 48 5 1 _ 8 , también
puedes decir que la
caja pequeña tiene 1_ 8
del volumen de la
caja grande.
Destreza
de lectura
Capítulo 13 235
• Identifica los detalles del problema.
• ¿Hay información que no usarás? Si es así, ¿cuál es?
Usa la estrategia
PROBLEMA Los rompecabezas vienen en cajas de diferentes tamaños. Para una
compañía, una caja grande de rompecabezas mide 6 cm de longitud, 4 cm de
ancho y 2 cm de altura. Una caja pequeña de rompecabezas tiene la mitad de las
dimensiones que la caja grande. ¿Cuál es la diferencia entre el volumen de la caja
más grande y el volumen de la caja más pequeña?
• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema?
Puedes hacer una representación para resolver el problema.
• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema?
Haz un modelo de cada caja. Compara los volúmenes.
Cuenta los cubos para hallar el volumen de cada caja. Ahora,
compara los volúmenes.
caja grande
_ __________ caja pequeña 5 48
___ 6
5 8
__ 1
Entonces, el volumen de la caja grande es de 48 cm3
u 8 veces mayor que el volumen de la caja pequeña.
• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?
Resolución de problemas con supervisión
Resolución de problemas • Práctica de estrategias
236
3 cm
3 cm
5 cm
6 cm
8 cm
12 cm
1. Como parte de una actividad para recaudar fondos, los estudiantes
venden mezcla para pan de trigo integral en cajas de 3 cm de ancho,
3 cm de longitud y 5 cm de altura. Los estudiantes también pueden
vender la mezcla para pan en una caja cuyas dimensiones son el doble
de las de la caja original. ¿Qué diferencia hay entre el volumen de la caja
más pequeña y el volumen de la caja más grande?
Primero, determina las dimensiones de la caja más grande.
ancho: 3 · 2 5 j cm
longitud: 3 · 2 5 j cm
altura: 5 · 2 5 j cm
Luego, usa cubos de un centímetro para hacer una representación de
cada caja.
Por último, compara el volumen de la caja más pequeña con el de la
caja más grande.
2. ¿Qué pasaría si la altura y el ancho de la nueva caja de mezcla para
pan de trigo integral fueran el doble de las de la caja original? ¿Qué
diferencia habría entre el volumen de la caja nueva y el de la caja
original?
3. En otra actividad para recaudar fondos, los estudiantes vendieron galletas
de avena para perros en cajas como la que se muestra a la derecha. Si
también vendieron galletas para perros con sabor a carne en cajas que
tenían la mitad de la longitud y del ancho, pero la misma altura, ¿cuál
sería el volumen de la caja de galletas con sabor a carne?
Haz una representación para resolver los problemas.
4. Para el puesto de la feria, Liliana necesita llenar con maní una caja rectangular que mide 10 cm de
longitud, 10 cm de altura y 15 cm de ancho. ¿Cuántos centímetros cúbicos de maní necesita Liliana?
5. Jacinta también quiere vender cajas de pasas con las cajas de maní de Liliana. Cada caja de pasas mide
10 cm de longitud, 5 cm de altura y 15 cm de ancho. ¿Cuál es la diferencia entre el volumen de la caja
de maní y el volumen de la caja de pasas?
6. Razonamiento Melisa quiere hacer un lazo de 15 cm de longitud. Tiene lazos de 7 cm, 10 cm y
12 cm de longitud. ¿Cómo puede usar estos lazos para que midan 15 cm de longitud?
7. Andrea está construyendo una torre para decorar. Usa 4 cubos. Coloca uno sobre el otro y pinta la
parte externa de la pila, pero no la base. ¿Cuántas caras de los cubos están pintadas?
8. Una caja rectangular de palomitas de maíz mide 10 cm por 5 cm por 2 cm.
Explica cómo usarías un modelo para hallar el volumen de la caja.
2,5 cm 5 cm 10 cm 20 cm
ESTRATEGIA
de resolución
de problemas
ESTRATEGIAS
Capítulo 13 237
Práctica de estrategias mixtas
Del 9 al 13, usa el diagrama de las cajas para regalo. Cada caja
para regalo es un cubo.
9. Compara el volumen de la cuarta caja para regalo con el de la
segunda caja para regalo. ¿Cuál es la relación entre ellas?
10. Carla quiere usar la tercera caja para regalo para guardar un
regalo de cumpleaños. Decide envolverla con papel de regalo.
Si tiene 750 cm2 de papel de regalo, ¿tiene suficiente papel
para cubrir la caja? Explica.
11. Plantea un problema Vuelve a leer el problema 10. Escribe
y resuelve un problema similar usando una caja diferente y
cambiando la cantidad de papel de regalo que tiene Carla.
12. Pablo va a llenar la tercera caja para regalo con palomitas de
maíz saborizadas. Las palomitas de maíz saborizadas vienen en
bolsas que contienen 150 cm3 de palomitas y cuestan $ 275
cada una. ¿Cuánto dinero tendrá que gastar Pablo para llenar
la caja?
13. Julia quiere apilar las cajas para regalo debajo de una mesa
que mide 3 metros de altura. ¿Podrá acomodar todas las cajas
debajo de la mesa?
14. Nicolás, Roberto, Valentina y Martina abren sus
regalos. Una niña no abre el suyo ni primera ni última.
Roberto abre el suyo antes que Nicolás. Martina abre
el suyo justo antes de que Nicolás abra el de él. ¿En
qué orden abrieron sus regalos?
15. Problema abierto Imagina que debes diseñar una
caja para regalo rectangular. Halla las dimensiones
de la caja, que tendrá un área total mayor que
500 cm2 y un volumen menor que 900 cm3. Haz un
dibujo de tu caja para regalo.
ESFUÉRZATE
Como parte de una actividad para recaudar fondos, los estudiantes venden cajas de frutos secos que
miden 3 cm de longitud, 2 cm de ancho y 5 cm de altura.
16. Rosa tiene $ 5 000 para gastar en papel de regalo
para cubrir las cajas. El papel de regalo cuesta
$ 380 por rollo y cada rollo cubrirá 216 m2. Si
los estudiantes venden 398 cajas, ¿tiene Rosa
suficiente dinero para comprar el papel de regalo?
17. Los estudiantes compraron frutos secos por
$ 6 000 el kg. Una de las cajas contiene 0,25 kg
por cada 10 cm. ¿Cuánto deben cobrar los
estudiantes por cada caja para obtener una
ganancia de $ 1 000 por caja?
Hacer un diagrama o dibujo
Hacer una representación o una
dramatización
Hacer una lista organizada
Buscar un patrón
Hacer una tabla o gráfico
Predecir y probar
Trabajar desde el final hasta el
principio
Resolver un problema más sencillo
Escribir una ecuación
Usar el razonamiento lógico
6 cm
238
19 cm
5 cm
7 cm
3,8 m
3,8 m
3,8 m
1. 2. 3. 4.
5. La altura de una caja es de cuatro veces su longitud. La longitud es de 5 cm
más que el ancho. El ancho es de 10 cm. Halla el área total.
6. Un cubo tiene un área total de 2 400 m2. ¿Cuál es la longitud de cada arista?
18 mm
7 mm
11 mm 5,7 cm
4,2 cm
3,1 cm
Grupo B Halla el volumen.
1. 2. 3.
8. Un macetero mide 30 cm de longitud, 15 cm de ancho y 15 cm de altura.
¿Cuántos centímetros cúbicos de tierra se necesitan para llenar el macetero?
9. Una caja de cereal mide 10 cm de longitud, 5 cm de ancho y 15 cm de altura.
¿Cuál es el volumen de la caja de cereal?
4 cm
5 cm
cm 3 12
8 cm
8 cm
6 cm
6 cm
Grupo A Halla el área total.
5 cm
2 cm
4 cm
5 cm
5 cm
Relaciona cada cuerpo geométrico con su red.
4. 5. a) b)
5 cm
5 cm
8 cm
5 cm
2 cm
12 cm 6 cm
Práctica adicional
x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
y m
3z m
2x m 2y m
z m
3x m
3x cm
4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
x cm
z cm 2yz cm mm
x cm
x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
y m
3z m
2x m 2y m
z m
3x m
3x cm
4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
x cm
z cm 2yz cm mm
x cm
x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
2x m 2y m
z m
3x m
3x cm
4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
mm
x cm
x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
y m
3z m
2x m 2y m
z m
3x m
3x cm
4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
x cm
z cm 2yz cm mm
x cm
x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
y 3z m
2x m 2y m
z m
3x m
3x 4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
x cm
z cm 2yz cm mm
x cm
x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
y m
3z m
2x m 2y m
z m
3x m
3x cm
4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
x cm
z cm 2yz cm mm
x cm
x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
y m
3z m
2x m 2y m
z m
3x m
3x cm
4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
x cm
z cm 2yz cm mm
x cm
x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
y m
3z m
2x m 2y m
z m
3x m
3x cm
4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
x cm
z cm 2yz cm mm
x cm
x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
y m
3z m
2x m 2y m
z m
3x m
3x cm
4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
x cm
z cm 2yz cm mm
x cm
x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
y m
3z m
2x m 2y z m
3x m
3x cm
4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
x cm
z cm 2yz cm mm
x cm
x z z x + z x + z z 2
2
z x z x x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
y m
3z m
2x m 2y m
z m
3x m
3x cm
4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
x cm
z cm 2yz cm mm
x cm
x m
y m
z m
y cm
z cm x + y m
z m
y m
3y m x m
y + z m
y m
3z m
2x m 2y m
z m
3x m
3x cm
4z cm
cm
y_
2
x_
2
z mm
2y mm
x cm
z cm 2yz cm mm
x cm
x y z
Capítulo 13 239
¿Cuál es mi volumen?
SALIDA
LLEGADA
Cada jugador elige una moneda y la coloca en
la SALIDA.
El primer jugador lanza tres dados y los coloca
en los cuadrados marcados x, y y z que aparecen
abajo. El número que muestra cada dado
representa el valor de esas variables.
El jugador usa los valores para hallar el volumen
de la figura del tablero donde está su moneda.
Las respuestas deben redondearse a la parte
entera más próxima.
El otro jugador comprueba la respuesta. Si
la respuesta es correcta, el jugador mueve su
moneda un espacio. Si la respuesta es correcta
o incorrecta, el turno pasa al siguiente jugador.
El primer jugador que alcance la LLEGADA y halle
el volumen correcto de la figura que está en la
LLEGADA es el ganador.
Cómo se juega
Jugadores
2 jugadores
Materiales
• 3 dados
• 2 monedas diferentes
26 m
12,4 m
12,4 m
12,3 cm
12,3 cm
12,3 cm 50 m
15 m
12 m
39 mm
24 mm
67 mm
9,1 m
9,1 m
9,1 m
240
Repaso/Prueba del capítulo 13
Repasar el vocabulario y los conceptos
Elige el mejor término del recuadro.
1. La suma de las áreas de cada superficie de un cuerpo geométrico se
llama ______________ .
2. El número de unidades cúbicas necesarias para ocupar un espacio
determinado se llama ______________ .
Repasar las destrezas
Halla el área total.
VOCABULARIO
cilindro
área total
volumen
Resuelve.
12. La caja de arena de un parque mide 5,5 m de
longitud, 3 m de ancho y 0,75 m de profundidad.
¿Cuántos metros cúbicos de arena se necesitan
para llenar la caja?
3. 4. 5.
Halla el volumen.
6. 7. 8.
Halla la longitud desconocida.
9. 10. 11.
13. Explica cómo podrías hallar el
volumen de una caja de zapatos utilizando lo
que ya has aprendido.
5 cm
cm 3 12
cm 3 12
V 5 9 823 cm3 V 5 175 000 m3 V 5 160 cm3
Repasar la resolución de problemas
47 cm
11 cm
x
50 m
50 m
x 8 cm
4 cm
x
Enriquecimiento • Cambiar las dimensiones
Paula y Adán tienen un negocio de frutos secos. Ellos querían duplicar la
cantidad de frutos secos que podían vender en cada caja; entonces,
aumentaron las dimensiones de la caja de 10 cm de ancho, 30 cm de
longitud y 20 cm de altura a 20 cm de ancho, 60 cm de longitud y 40 cm de
altura. ¿Duplicaron Paula y Adán el volumen de la caja al duplicar sus
dimensiones?
Halla y compara los volúmenes de la caja original con los de la caja nueva.
Caja original
V 5 10 · 30 · 20 Escribe la fórmula.
V 5 6 000 cm3 Reemplaza B y h.
Multiplica.
Caja nueva
V 5 20 · 60 · 40 Escribe la fórmula.
V 5 4 800 000 cm3 Reemplaza B y h.
Multiplica.
Compara: caja nueva
c_a_j_a_ o_r_i_g_in_a_ l 5 9 __6_
12 5 8 __
1 5 8
Entonces, el volumen de la caja nueva es 8 veces
el volumen de la caja original, no el doble de ella.
3 cm
4 cm
1 cm
6 cm
8 cm
2 cm
F
F
t
r u t
t a d o o
o
s
s
s ecos
s
r ut os
s
s e c o
o
o
s
s
t t a d
5 cm 2 cm 10 cm
4 cm
7 cm 14 cm 21 cm
18 cm
9 cm
5 cm 2 cm 10 cm
4 cm
7 cm 14 cm 21 cm
18 cm
9 cm
Agrándalas
Halla y compara los volúmenes de los dos cuerpos geométricos.
3. Desafío Compara el volumen de los tres cubos. ¿Existe un patrón matemático que
defina el aumento del volumen en funcion de los lados?
Piénsalo
¿De qué manera cambiaría el volumen de un paralelepípedo si se triplican
sus dimensiones? Explica tu respuesta con un ejemplo.
Agrandar cuerpos geométricos
5 cm 2 cm 10 cm
4 cm
7 cm 14 cm 21 cm
18 cm
9 cm
1. 2.
Capítulo 13 241
242
9. ¿Cuál es el volumen de un paralelepípedo que
mide 12 m de ancho, 30 m de longitud y 45 m
de altura?
A 16 200 m3 C 4 500 m3
B 8 100 m3 D 87 m3
1. Un paralelepípedo mide 4,5 cm de ancho. La 5. Respecto de los teselados, es correcto decir:
longitud es el doble del ancho. La altura es
tres veces el ancho. ¿Cuál es el volumen del
paralelepípedo?
A 20,25 cm3
B 91,125 cm3
C 121,5 cm3
D 1 093,5 cm3
2. El área de un triángulo es de 24 cm2. Si la base
mide 6 cm, ¿cuál es la altura?
A 4 cm C 8 cm
B 6 cm D 10 cm
3. ¿Cuál es la transformación isométrica que
corresponde a un giro en un plano?
A Rotación
B Traslación
C Reflexión
D Simetría
4. ¿Cuál es la superficie de un paralelepípedo
que mide 14 cm de ancho, 25 cm de longitud
y 12 cm de altura?
A 568 cm2
B 1136 cm2
C 2 252 cm2
D 4 200 cm2
A Las figuras que se repiten en los teselados
tienen la misma área, pero son de distintas
formas.
B Las figuras que se repiten en los teselados
tienen la misma forma, pero son de distinto
tamaño.
C Las figuras geométricas mantienen la forma
y tamaño en todo el teselado.
D Se forman solo por la rotación de una o
más figuras geométicas.
6. El perímetro del siguiente pentágono es de
6 1_ 4 m. ¿Cuál es la longitud desconocida?
A 1 1__
8
m
B 2 1__
4
m
C 5 1__
8
m
D 6 1__
4
m
12 1 m
24 1 m
4 3
m
x
8 5
m
7. ¿Cuál es el área de un cuadrado que mide
26 metros de lado?
A 52 m2 C 338 m2
B 104 m2 D 676 m2
8. El perímetro de un rectángulo es de 320 cm. Si
el ancho es de 100 cm, ¿cuál es la longitud?
A 220 cm C 60 cm
B 120 cm D 3,2 cm
Repaso/Prueba de la unidad
Capítulo 13 243
14. ¿Cuál es la figura geométrica en la que se basa
el teselado?
10. En el patrón que muestra la figura,
si el lado del cada triángulo mide 2 cm,
¿qué perímetro tendrá la novena figura?
A 9 cm
B 25 cm3
C 27 cm
D 54 cm
11. El volumen del siguiente paralelepípedo es de
2 880 cm3. ¿Cuál es la longitud desconocida?
A 9 cm
B 32 cm
C 320 cm
D 2 844 cm
20 cm
16 cm
x
12. ¿Con qué figura es posible teselar una
superficie?
A Triángulo
B Octógono
C Decágono
D Semicircunferencia
13. ¿Qué figura tiene el área más grande?
A Un cuadrado cuyos lados miden 20 cm.
B Un rectángulo cuya base mide 26 cm
y que mide 37 cm de altura.
C Un paralelogramo cuya base mide 44 cm y
que mide 40 cm de altura.
D Un triángulo cuya base mide 59 cm y que
mide 49 cm de altura.
A Pentágono
B Rectángulo
C Cuadrado
D Rombo
16. El área de un triángulo es de 435 cm2. Si la
altura es de 20 cm, ¿cuánto mide la base?
20. El perímetro de un rectángulo se puede
hallar usando las fórmulas P 5 2l 1 2a o
P 5 l 1 a 1 l 1 a. Explica por qué se pueden
usar ambas fórmulas para hallar el perímetro.
21. Determina el área de cada rectángulo y cada
triángulo sombreados.
15 cm
7 cm
25 mm
49 mm
15. ¿Cuál es el perímetro de un área de tierra
rectangular que mide 1,2 km de ancho y
2,5 km de longitud?
Escribe una V si es verdadero o una F si es falso cada
enunciado.
17. ______ Para que un ángulo sea complementario
con otro ángulo, la suma de ambos debe ser igual
a 90°.
18. ______ Los ángulos adyacentes tienen en común
un rayo, el vértice y miden lo mismo.
19. ______ La expresión “el doble de un número es
igual al triple de 8” en ecuación es 2x = 24.
A L M A N A Q U E P A R A E S T U D I A N T E S
244
¡Castillos de arena!
Desde hace 29 años, se celebra en Viña del
Mar un importante concurso de castillos de
arena. Más de 8 playas, desde Viña del Mar a Concón
participan en la organización del evento.
Al concurso acuden familias chilenas, equipos
formados por amigos, pareja de pololos y turistas.
Algunos participantes tardan hasta dos días en
realizar su obra.
La Municipalidad de Viña del Mar reparte
importantes premios entre los ganadores: $ 700 000
para el primer ganador, $ 500 000 para el segundo y
$ 300 000 para el tercero.
Usa los datos sobre la competencia para responder a las preguntas.
1 En el concurso de castillos de arena se asigna una zona cuadrada
de aproximadamente 3 metros por 3 metros a los equipos para
trabajar. ¿Cuál es el área de cada zona?
2 Si compiten 12 equipos, ¿cuánta cinta se necesita para marcar las
zonas de competición?
3 Imagina que el ganador del primer puesto del concurso de castillos
de arena usó una zona de 1,5 metros por 2 metros.
Halla el área de la zona.
4 Plantea un problema Imagina que las torres de una escultura de
arena tienen forma de paralelepipedo. Usando esta información,
escribe y resuelve un problema similar al problema 3.
De aquí y
de allá
Resolución
de problemas
Unidad 3 245
Construir castillos
de arena
N
El estadounidense Kirk Rademaker
diseña esculturas de arena y participa
en concursos de todo el mundo.
Este castillo de arena con aspecto
mecánico fue construido por él.
Haz un diseño de una escultura de arena.
1 Dibuja tu diseño. ¿Qué cuerpos geométricos usarás para
hacer tu escultura? Escribe las dimensiones de cada
cuerpo de la escultura.
2 Halla el área de la base de cada figura y la cantidad
total de espacio que ocupará tu escultura.
3 Halla el perímetro de la zona que necesitarás para hacer
tu escultura. Recuerda dejar espacio alrededor de la
zona para construir y observar.
4 Halla el volumen de arena que necesitas para construir cada sección. ¿Cuánta arena
necesitarás para hacer toda la escultura?
5 Un periodista de un periódico local vino a entrevistarte. Escribe la forma en que
describirás tu escultura, su temática y por qué lo elegiste. Menciona el tamaño de la
escultura y el tiempo que te llevó construirla.
o necesitas ser un experto para construir un castillo
de arena. Para hacer castillos de arena sencillos, lo único
que necesitas es un cubo y una pala. Llena el cubo con arena
mojada y presiónala hasta que quede firme. Esto te permitirá
moldearla y hacer formas. Con cuidado, da vuelta el cubo y
luego retíralo de la arena. Así obtendrás tu primera figura
de arena. Apila más figuras para formar paredes y torres.
Cuando tu castillo esté listo, usa una pala para hacer detalles
como ventanas, puertas y otros elementos decorativos. Los
escultores de arena profesionales usan herramientas
especiales para alisar los lados y hacer pequeños detalles.