FACTORIZACION POR FACTOR COMUN MONOMIO PROBLEMAS RESUELTOS

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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO CON FACTOR COMUN MONOMIO
Métodos de Factorización
El fin primordial de la factorización es transformar un polinomio en un producto de dos o más factores.
Aunque no haya reglas fijas y bien determinadas para la factorización de un polinomio, podemos considerar algunos ejemplos típicos, según los cuales haremos algunas afirmaciones.
Llámese factor común a la expresión que está contenida en cada uno de los términos del polinomio dado. Generalmente el factor común es el máximo común divisor, pero no siempre, sino según lo exija la aplicación o circunstancia.
Lo mencionado, podemos resumirlo en el siguiente esquema:
A continuación estudiaremos los siguientes casos de factorización:
Factorización de un polinomio con factor común monomio
Factor común monomio es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado, está formado por el M.C.D. de los coeficientes y las letras comunes elevadas a su menor exponente.
Ejemplo 1 Sacar factor común de: 8x2y + 6x3yz – 10xy2w
Resolución:
1) Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 8; 6 y 10
8 – 6 – 10 2
4 – 3 – 5

2) El menor exponente con que aparecen las variables comunes “x” e “y” son 1 para la variable “x” y 1 para la variable “y”, por lo tanto, el factor común es: 2xy
Luego: 8x2y + 6x3yz – 10xy2w = 2xy( + – )
factor común
* Dividimos 8x2y :2xy = 4x
* Dividimos 6x3yz : 2xy = 3x2z
* Dividimos 10xy2w : 2xy = 5yw
\ 8x2y + 6x3yz-10xy2w = 2xy(4x+3x2z-5yw)
El factor común monomio
Se determina hallando el M.C.D. (máximo común divisor) de los coeficientes de todos los términos del polinomio dado, el cual será el coeficiente del factor común y escribiendo a continuación de él, las variables comunes con el menor exponente con que aparecen en el polinomio.
Luego, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio común. Los resultados se escriben dentro de un signo de agrupación, o sea paréntesis, corchetes o llaves.
Ejemplo 2 Factorizar: 2,4ab3 – 1,8a2b – 0,9ab
Resolución:
Hallando el M.C.D. de los coeficientes, tomándolos como si fueran números enteros (sin considerar)
24 – 18 – 9 3
8 – 6 – 3

El menor exponente con que aparece la variable común “a” es 1, y el menor exponente con que aparece la variable “b” es 1. Por lo tanto, el factor común es: 3ab.
Luego: 2,4ab3 – 1,8a2b – 0,9ab = 3ab ( – – )
Factor común
* Dividimos 2,4 ab3: 3ab = 0,8b2
* Dividimos 1,8a2b : 3ab = 0,6a
* Dividimos 0,9ab : 3ab = 0,3
\ 2,4ab3 – 1,8a2b – 0,9ab = 3ab(0,8b2 – 0,6a – 0,3)
Ejemplo 3 Factorizar: x3 – 2xy + x2
Resolución:
En este caso los coeficientes del polinomio son: 1; 2 y 1, siendo su M.C.D. igual a 1, veamos:
1 – 2 – 1 1
1 – 2 – 1

El menor exponente de la variable común “x” es 1, por tanto, el factor común es: 1x = x
x3 – 2xy + x2 = x( – + )
Factor común
* Dividimos x3 : x = x2
* Dividimos 2xy : x = 2y
* Dividimos x2 : x = x

\ x3 – 2xy + x2 = x(x2 – 2y + x)
Ejemplo 4 Factorizar:
12x3y2z3 – 15x2yz3 – 6x2y3z4 + 9x3y5z3
Resolución:
Hallamos el M.C.D. de los coeficientes: 12; 15; 6 y 9
12 – 15 – 6 – 9 3
4 – 5 – 2 – 3
El menor exponente con que aparece la variable común “x” es 2, la variable común “y”, el menor exponente es 1 y la variable común “z”, el menor exponente es 3. Por lo tanto, el factor común es: 3x2yz3.
Luego:
12x3y2z3-15x2yz3-6x2y3z4+9x3y5z3 = 3x2yz3(4xy-5-2y2z+3xy4)
Factor común
* Dividimos 12x3y2z3 : 3x2yz3 = 4xy
* Dividimos 15x2yz3 : 3x2yz3 = 5
* Dividimos 6x2y3z4 : 3x2yz3 = 2y2z
* Dividimos 9x3y5z3 : 3x2yz3 = 3xy4
\ 12x3y2z3-15x2yz3-6x2y3z4+9x3y5z3 = 3x2yz3(4xy-5-2y2z+3xy4)
Ejemplo 5 Factorizar:
Resolución:
La expresión dada se puede escribir así:

Factor común
* Dividimos
* Dividimos
* Dividimos

Ejemplo 6 Factorizar: 6x3a – 12x2a+1 – 18xa
Resolución:
Hallamos el M.C.D. de los coeficientes: 6; 12 y 18
6 – 12 – 18 2
3 – 6 – 9 3
1 – 2 – 3
El menor exponente con que aparece la variable común “x” es a, o sea: xa por tanto, el factor común es 6xa
Luego: 6x3a – 12x2a+1 – 18xa = 6xa ( – – )
Factor común
* Dividimos 6x3a :6xa = x2a
* Dividimos 12x2a+1 : 6xa = 2xa+1
* Dividimos 18xa : 6xa = 3
\ 6x3a-12x2a+1-18xa = 6xa(x2a-2xa+1-3)