FACTORIZACION POR EL METODO DEL FACTOR COMUN PROBLEMAS RESUELTOS

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Factorización por el método del factor común
Se recomienda utilizar este método cuando todos los términos del polinomio tienen uno o más factores comunes. Estos factores pueden ser monomios o polinomios.
1. Factor común monomio
Cuando los términos de un polinomio tienen uno o varios factores numéricos o literales que aparecen en todos ellos, se dice que tales factores forman un factor común. Así, por ejemplo, el polinomio 3×2 + 12x tiene los factores 3 y x comunes a los dos términos, formándose así el monomio “3x” como factor común.
Los polinomios que tienen un factor común pueden factorizarse como una aplicación de la propiedad distributiva, así:
3×2 + 12x = 3x · x + 3x · 4 = 3x (x+4)

El factor común monomio sobre los enteros se determina fácilmente hallando el M.C.D. de los coeficientes de todos los términos del polinomio dado, el cual será el coeficiente del factor común, y escribiendo a continuación de él las variables comunes con el menor exponente con que aparecen en el polinomio.
Luego, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio común. Los resultados se escriben dentro de un signo de agrupación, o sea, paréntesis, corchetes o llaves.
Ejemplo 1: Factorizar 6×3 – 15×2
Resolución:
1º Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 6 y 15.
Así:
6 – 15 3
2 – 5 Þ M.C.D. (6 y 15) = 3
2º El menor exponente con que aparece la variable “x” es 2, o sea x2 por lo tanto, el factor común es: 3×2.
Luego: 6×3 – 15×2 = 3×2 ( – )

2 Dividimos 6×3 ¸3×2 = 2x
2 Dividimos 15×2 ¸3×2 = 5
\ 6×3 – 15×2 = 3×2(2x – 5)

Ejemplo 2: Factorizar 2x2y + 6xy2 – 8x2y2
Resolución:
1º Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 2; 6 y 8.
Así:
2 – 6 – 8 2
1 – 3 – 4
Þ M.C.D. (2; 6 y 8) = 2
2º El menor exponente con que aparece la variable “x” es 1 y el menor exponente con que aparece la variable “y” es 1.
Por lo tanto, el factor común es: 2xy
Luego:
2x2y+6xy2-8x2y2= 2xy( + – )
2 Dividimos 2x2y ¸ 2xy = x
2 Dividimos 6xy2 ¸ 2xy = 3y
2 Dividimos 8x2y2¸ 2xy = 4xy
\ 2x2y+6xy2 – 8x2y2 = 2xy(x+3y – 4xy)

Ejemplo 3: Factorizar:
12x3y2z3 – 15x2yz3 – 6x2y3z4 + 9x3y5z3
Resolución:
1º Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 12; 15; 6 y 9, así:
12 – 15 – 6 – 9 3
4 – 5 – 2 – 3
Þ M.C.D. (12; 15; 6 y 9) = 3
2º El menor exponente con que aparece la variable “x” es 2, el menor exponente con que aparece la variable ”y” es 1 y el menor exponente con que aparece la variable “z” es 3.
Por lo tanto, el factor común es: 3x2yz3
Luego: 12x3y2z3 – 15x2yz3 – 6x2y3z4 + 9x3y5z3 = 3x2yz3 ( – – + )

2 Dividimos 12x3y2z3 ¸ 3x2yz3 = 4xy
2 Dividimos 15x2yz3 ¸ 3x2yz3 = 5
2 Dividimos 6x2y3z4 ¸ 3x2yz3 = 2y2z
2 Dividimos 9x3y5z3 ¸ 3x2yz3 = 3xy4
\ 12x3y2z3 – 15x2yz3 – 6x2y3z4 + 9x3y5z3 = 3x2yz3 (4xy-5-2y2z + 3xy4)
Ejemplo 4: Factorizar:
Resolución:
En este caso sólo contamos con la variable común “y”, siendo su menor exponente 2, o sea, y2.
Luego, la expresión dada se puede escribir así:

\

Ejemplo 5: Factorizar 2,4ab3 – 1,8a2b + 0,9ab
Resolución:
1º Hallar el M.C.D. de 2,4; 1,8 y 0,9 como si se trataran de números enteros así:
24 – 18 – 9 3
8 – 6 – 3
Þ M.C.D. (24; 18 y 9) = 3
2º El menor exponente con que aparece la variable “a” es 1, o sea, a y el menor exponente con que aparece la variable “b” es 1, o sea, b.
Por lo tanto el factor común es: 3ab
Luego:
2,4 ab3 – 1,8 a2b + 0,9 ab = 3ab( – + )

2 Dividimos 2,4ab3: 3 ab = 0,8b2
2 Dividimos 1,8 a2b: 3 ab = 0,6a
2 Dividimos 0,9ab: 3 ab = 0,3
\ 2,4ab3 – 1,8a2b + 0,9ab = 3ab(0,8b2 – 0,6a + 0,3)

Ejemplo 6: Factorizar 7x2a – 14xa+3 + 7xa
Resolución:
La expresión dada se puede escribir así:
7x2a – 14xa+3 + 7xa = 7xa · xa – 7·2xa · x3 + 7xa
7x2a – 14xa+3 + 7xa = 7xa · xa – 7xa · 2 x3 + 7xa
7x2a – 14xa+3 + 7xa = 7xa (xa – 2×3+1)
2. Factor común polinomio
En el caso de que el polinomio tenga un factor común polinomio de dos o más términos, para factorizarlo se procede en la misma forma como en el caso anterior, o sea, aplicando la propiedad distributiva.
ab + ac = a(b+c)
Ejemplo 1: Factorizar 5a(x – y) + 10b2(x – y)
Resolución:
1º Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 5 y 10.

2º El menor exponente del polinomio común (x – y) es 1.
Luego: 5a(x – y) + 10b2(x – y) = 5(x – y)( + )

2 Dividimos 5a(x – y) ¸ 5(x – y) = a \ 5a(x – y) + 10b2(x – y) = 5(x – y)(a+2b2)
2 Dividimos 10b2(x – y) ¸ 5(x – y) = 2b2
Ejemplo 2: Factorizar: 6×3(n – 1)3 – 12×2(n – 1)4 + 9×4(n – 1)2
Resolución:

2º El menor exponente de la variable común “x” es 2, o sea, x2 el menor exponente del polinomio común (n – 1) es 2; o sea, (n – 1)2
Luego:
6×3(n – 1)3 – 12×2(n – 1)4 + 9×4(n – 1)2 = 3×2(n – 1)2 [ – + ]

2 Dividimos 6×3(n – 1)3 ¸ 3×2(n – 1)2 = 2x(n – 1)
2 Dividimos 12×2(n – 1)4 ¸ 3×2(n – 1)2 = 4(n – 1)2
2 Dividimos 9×4(n – 1)2 ¸ 3×2(n – 1)2 = 3×2
\ 6×3(n – 1)3 – 12×2(n – 1)4 + 9×4(n – 1)2 = 3×2(n – 1)2 [2x(n – 1) – 4(n – 1)2 + 3×2]

Ejemplo 3: Factorizar: -m – n + x (m + n)
Resolución:
La expresión dada se puede escribir así:
-m – n + x(m + n) = -(m + n) + x(m + n) ;
el factor común es: (m + n)
= -1(m+n) + x(m + n)
= (m + n) (-1 + x)
\ -m – n + x(m + n) = (m+n) (x – 1)

Ejemplo 4: Factorizar: x(3a – 2b) – 3a + 2b
Resolución:
La expresión dada se puede escribir así:
x(3a – 2b) – 3a + 2b = x(3a – 2b) – (3a – 2b);
el factor común es: (3a – 2b)
= x(3a – 2b) – 1(3a – 2b)
= (3a – 2b) (x – 1)
\ x(3a – 2b) – 3a + 2b = (3a – 2b) (x – 1)

Ejemplo 5: Factorizar: 3m(a – b + c) -2n(b – a – c)
Resolución:
La expresión dada se puede escribir así:
3m(a – b+c) -2n(b-a-c) = 3m(a – b+c) + 2n(a – b+c)
3m(a – b+c) – 2n(b – a – c) = (a – b+c)(3m+2n)
\ 3m(a – b+c) -2n(b – a – c) = (a – b+c)(3m+2n)

Ejemplo 6: Factorizar:
P(a; b; c) = abc+ab+ac+bc+a+b+c+1
Resolución:
Agrupamos los términos de la manera siguiente:
P(a; b; c) = (abc+ab)+(ac+bc)+(a+b)+(c+1)
= ab(c+1)+c(a+b)+(a+b)+(c+1)
= (c+1)[ab+1]+(a+b) [c+1]
= (c+1)[ab+1+a+b]
= (c+1) · [a(b+1)+(b+1)]
= (c+1) · (b+1) [a+1]

Ejercicio 1 Factorizar:
a) 7x+7y e) nx + nz i) 12x + 4 m) -2 + 8z
b) 12x – 6y f) mx – my j) a2x – a2y n)
c) 9a – 9b g) x2 – x2y k) -x2y – 4×2 ñ) 0,4x – 0,4y
d) 8z+8y h) y3 + ny3 l) -6 – 18y o) 12n5m4 – 18n3m7

Factores enteros, racionales e irracionales
Observa los siguientes ejemplos:
2 Los números 24 y 35 se pueden escribir de la siguiente manera:
24 = 4 × 6 35 = 7 × 5

2 Pero, el número 24 también se puede escribir así:
24 = 24 =
Factor de una expresión algebraica
Observa los siguientes productos:

2 (3×2)(4×5) = 12×7 Þ

2 (a+3)(a+5) = a2+8a+15 Þ
Luego:
Una expresión algebraica es un factor de una segunda expresión algebraica, si existe una tercera que multiplicada por la primera da como resultado la segunda expresión.
Factor común
Llámese factor común a la expresión que está contenida en cada uno de los términos del polinomio dado. Generalmente el factor común es el máximo común divisor, pero no siempre, sino según lo exija la aplicación o circunstancia.
Ejemplo:
Según la propiedad distributiva la expresión 5×2 + 5x se puede escribir así:
5×2 + 5x = 5x · x + 5x · 1 = 5x (x+1)

2. Factorización
Podrás observar a continuación distintos casos de polinomios que han sido factorizados.
2 5a + 5b = 5(a+b)
2 49 – 25×2 = (7 +5x) (7 – 5x)
2 m2 + 6m + 9 = (m+3)(m+3) = (m+3)2
2 34×2 + 68x2y – 51x3y2 = 17×2 (2 + 4y – 3xy2)
2 ab – ay + bx – xy = (a+x)(b-y)
Polinomios primos o irreductibles
Los conceptos de polinomios primos o compuestos son similares a los de números primos o compuestos.
Observa los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1: El polinomio de primer grado:
P(x) = 2x – 3
Se puede descomponer de infinitas maneras en un producto de un polinomio de grado cero (término independiente) por un polinomio de grado 1, veamos:
2x-3 = 3
En el producto

De todas las descomposiciones que podemos obtener nos interesa especialmente aquella en que el polinomio de primer grado tiene como coeficiente principal an = 1. En este caso a1 = 1
2

El polinomio cuyo término principal tiene coeficiente an = 1 se llama polinomio normalizado y todos los demás son los polinomios asociados a él.
En este caso:
es un polinomio normalizado.
; etc., son polinomios asociados a

Ejemplo 2: El polinomio: P(x) = x2 – 9 se puede descomponer en el producto de dos polinomios de primer grado.
Como (x+3)(x – 3) = x2 – 9
Entonces P(x) = x2 – 9 = (x+3)(x – 3)

(x+3) y (x – 3) son polinomios normalizados. Si cada polinomio de primer grado se puede descomponer de infinitas maneras, el polinomio x2 – 9 se puede descomponer de infinitas maneras, veamos:
x+3= 2.
x – 3 = 2.
Combinando las descomposiciones de (x+3) con las de (x – 3) se obtienen infinitas descomposiciones de x2 – 9.
Por ejemplo:
P(x) = x2 – 9 = 2
= -6
O bien:
P(x) = x2 – 9 = -3
=
Resumiendo:
1. 2x – 3 se puede descomponer de infinitas maneras, en el producto de un polinomio de grado cero por un polinomio de grado 1.
P(x) = Q(x) · R(x), siendo:

2. x2 – 9 se puede descomponer de infinitas maneras, en el producto de dos polinomios de grado 1, por una constante.
P(x) = Q(x) · R(x), siendo:

En el segundo caso el polinomio P(x) = x2- 9 se ha descompuesto en el producto de dos polinomios Q y R de grado positivo (mayor que cero) y menor que el grado de P.
Decimos entonces que el polinomio x2- 9 es compuesto o reductible o no primo.
En el ejemplo 1, el grado de Q no es positivo (grado de Q = 0)
y el grado de R no es menor que el grado de P.
Entonces, decimos que 2x – 3 es un polinomio primo o irreductible.

Definición:
Un polinomio P(x) se llama primo o irreductible cuando no se puede descomponer en un producto de polinomios de grado positivo, menor que el grado de P. En caso contrario se dice que el polinomio es compuesto o reductible o no primo.

Un polinomio compuesto P(x) es aquel que se puede descomponer en un producto de dos polinomios Q(x) y R(x) de grado menor positivo.
P(x) = Q(x) · R(x), siendo

Otros ejemplos:
Transformar los siguientes polinomios en un producto de un polinomio de grado cero por otro polinomio.