FACTORIZACION POR DIVISORES BINOMIOS PROBLEMAS RESUELTOS

Share Button






Factorización empleando el método de los divisores binomiCos
Este método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única condición fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado.
Determinación de los posibles ceros de un polinomio:
· Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, los posibles ceros, estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo.
Ejemplo: Si P(x) = x3 + 2×2 – 5x – 6
Sus posibles ceros del polinomio estarán dados por los divisores del término independiente 6, siendo dichos divisores: ± 1 ; ± 2 ; ± 3 y ± 6
Evaluando:
· Para: x = 1 P(1) = (1)3 + 2(1)2 – 5(1) – 6
P(1) = 1 + 2 – 5 – 6 = -8 ¹ 0
· Para: x = -1 P(-1) = (-1)3 + 2(-1)2 – 5(-1) – 6
P(-1) = -1 + 2 + 5 – 6 = 0
Como: x = -1 anula al polinomio P(x), entonces: x = -1 lo igualamos a cero;
O sea: x+1 = 0, siendo “(x+1)” un factor del polinomio P(x).
· Para: x = 2 P(2) = (2)3+2(2)2-5(2)-6
P(2)= 8+8-10 – 6 = 0
Como x=2 anula el polinomio P(x), entonces x=2 lo igualamos a cero, o sea x-2 = 0, siendo (x-2) un factor
· Para: x=-2 P(-2) = (-2)3+2(-2)2-5(-2)-6 = 4¹0
· Para: x = 3 P(3) = (3)3+2(3)2-5(3) – 6
P(3) = 27+18-15-6 = 24 ¹ 0
· Para: x = -3 P(-3) = (-3)3 + 2(-3)2-5(-3)-6
P(-3) = -27+18+15-6 = 0
Como: x = -3 anula al polinomio P(x), entonces: x = -3, lo igualamos a cero, o sea: x+3 = 0, siendo “(x+3)” un factor del polinomio P(x).
· Para: x = 6 P(6) = (6)3+2(6)2-5(6)-6 = 252 ¹ 0
· Para: x = -6 P(-6) = (-6)3+2(-6)2-5(-6)-6 = -120 ¹ 0
Luego, los factores del polinomio:
P(x) = x3+2×2-5x-6 son: “(x+1)”; “(x-2)” y “(x+3)”
\ P(x) = x3 + 2×2 – 5x – 6 = (x + 1)(x – 2)(x + 3)
· Si el primer coeficiente del polinomio es diferente de la unidad, los posibles ceros estarán expresados por:

Ejemplo: Si P(x) = 2×3 – 5×2 + x + 2

Término independiente
Coeficiente del término de mayor grado
Para hallar los posibles valores de los divisores de un polinomio se toma un divisor del numerador y se les combina con los del denominador.
Procedimientos a seguir para factorizar:
1° Se determinan los ceros del polinomio.
2° Se deduce el factor que da lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de la divisibilidad algebraica: Si un polinomio P(x) se anula para x = a ó P(a) = 0, entonces dicho polinomio tendrá un factor (x – a).
3° El otro factor se determina utilizando la regla de Ruffini, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio, por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado (cuarto grado, para poder aplicar el aspa doble especial o de segundo grado que es más sencillo de factorizar).
Ejemplo 1 Factorizar: P(x) = 2×3 – 5×2 + x + 2
Resolución:

Evaluando:
· Para: x = 1 P(1) = 2(1)3 – 5(1)2 + (1) + 2
P(1) = 2 – 5 + 1 + 2 = 0
Como: x = 1 anula al polinomio P(x), entonces: x = 1, lo igualamos a cero, o sea: x – 1 = 0, siendo “(x – 1)” un factor del polinomio P(x).
Luego, hallamos otro factor aplicando la regla de Ruffini.
· Dividimos el polinomio: P(x) = 2×3-5×2+x+ 2 entre el factor hallado “(x-1)”

\ Cociente: 2×2 – 3x – 2
Sabemos que:

= (2x + 1)(x – 2)(x – 1)
\ 2×3 – 5×2 + x + 2 = (2x + 1)(x – 2)(x – 1)
Ejemplo 2 Factorizar: 30×3 + 19×2 – 1
Resolución:
=
Evaluando:
· Para: x = 1 30(1)3+19(1)2-1 = 30+19-1 = 48 ¹ 0
\ (x-1) no es factor del polinomio
· Para: x = -1 = 30(-1)3+19(-1)2-1 = -30+19-1 = -12 ¹ 0
\ (x+1) no es factor del polinomio.
· Para: = 0
\ sí es un factor del polinomio
Luego, hallamos otro factor aplicando la regla de Ruffini:
Dividimos el polinomio:
30×3+19×2-1 entre el factor hallado , ordenando y completando el polinomio dividendo se obtiene:
30×3+19×2+0x-1

\ Divisor: 30×2 + 4x – 2
Sabemos que:

30×3 + 19×2 – 1 = 2(15×2 + 2x – 1)

\ 30×3 + 19×2 – 1 = (3x + 1)(5x – 1)(2x + 1)

Ejemplo 3 Factorizar: 3×4 + 2×3 – x2 + x + 1
Resolución:

Evaluando:
· Para: x = 1 3 (1)4 + 2 (1)3- (1)2 + (1) + 1= 3 + 2 – 1+ 1 + 1 = 6 ¹ 0
\ (x-1) no es factor del polinomio.
· Para: x = -1 3 ( – 1)4 + 2 ( – 1)3- ( -1)2+( -1)+1= 3 – 2 – 1 – 1 + 1 = 0
\ (x+1) sí es factor del polinomio
Luego, hallamos otro factor aplicando la regla de Ruffini.
Dividimos el polinomio:
3×4+2×3-x2+x+1 entre el factor hallado “(x+1)”

\ Cociente: 3×3 – 1×2 + 0x + 1 = 3×3 – x2 + 1
Sabemos que:

\ 3×4 + 2×3 – x2 + x + 1 = (x + 1)(3×3 – x2 + 1)
Factorizar los polinomios siguientes:
a) x3 + 6x – 7 d) 2×3 – 16×2 + 34x – 20 g) x4 – x3 – 6×2 + 4x + 8 j) x4+3×3-3×2-11x-6
b) x3 – 8×2 + 17x – 10 e) 2×3 + 3×2 – 3x – 2 h) x3 + 2×2 – 5x – 6
c) 9×3 + 3×2 – 24x + 12 f) 2×3 + 3x + 5 i) 12×5-8×4-13×3+9×2+x-1
Clave de respuestas
a) (x – 1)(x2 + x + 7) d) 2(x – 1)(x – 2)(x – 5) g) (x + 1)(x + 2)(x – 2)2 j) (x – 2)(x + 3)(x + 1)2
b) (x – 1)(x – 2)(x – 5) e) (x – 1)(x + 2)(2x + 1) h) (x + 1)(x – 2)(x + 3)
c) 3(x – 1)(x + 2)(3x – 2) f) (x + 1)(2×2 – 2x + 5) i) (x + 1)(x – 1)(3x + 1)(2x – 1)2