FACTORIZACION POR ASPA SIMPLE PROBLEMAS RESUELTOS

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Factorización empleando el método del aspa
1. Factorización de un trinomio de la forma: x2 + bx + c
Todo trinomio de esta forma se descompone en un producto de dos factores binomios (x+p)(x+q), en los cuales el primer término “x” es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (ya ordenado) y los segundos términos “p” y “q” son aquellos cuya suma algebraica sea igual al coeficiente del segundo término y el producto de ellos, o sea, “pq” sea el último término, llamado término independiente (c).

En todas las aspas que estudiaremos,
los factores se toman en forma
horizontal, después de comprobar
en aspa los términos centrales.
Corolario
Todo polinomio cuadrático en
una variable si es factorizable,
debe admitir el criterio del
aspa simple. Si no admite aspa
simple, es porque no es factorizable
sobre Q.
En resumen: Siendo: p + q = b, y
x2 + bx + c = (x + p)(x + p) p · q = c

Ejemplo 1: Factorice el trinomio: x2 + 7x + 12
Resolución:
x2 + 7x + 12 = (x + p)(x + q) Þ Siendo: p + q = 7 y
p · q = 12, escribimos los pares de factores positivos de 12
Tenemos que:
12 = 1 ´ 12; 12 = 3 ´ 4; 12 = 6 ´ 2; de estos pares de factores debemos elegir uno de los que cumpla la condición que p + q = 7. Este par como puede observarse, es el formado por los números 3 y 4, luego:
x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)

El proceso seguido en cada factorización anterior sobre trinomios se puede efectuar aplicando el método del aspa.

Método del aspa
1) Se descompone el primer término del trinomio (x2) en dos factores. De cada factor sale una flecha y forma un aspa ( )

2) Se descompone el término independiente (12) en dos factores, a estos factores llegan las flechas, para determinar el signo de dichos factores basta fijarse en el signo del segundo término del trinomio. Si el signo del segundo término es positivo los dos factores binomios son sumas. Ahora si el tercer término (término independiente) es negativo, los factores binomios serán uno suma y el otro diferencia. (Se coloca el signo del segundo término al mayor producto obtenido al multiplicar en aspa).
3) Por último se multiplican los factores obtenidos como indican las flechas. Si esta suma es igual al segundo término del trinomio, entonces termina la factorización y los factores que corresponden al trinomio son los binomios considerados en su posición horizontal.
(En caso que la suma sea diferente al segundo término del trinomio, se ensaya con otros factores).

Ejemplo 2: Factorizar x2 – 8x + 15
Resolución:
x2 – 8x + 15

x -3 Þ -3x
x -5 Þ-5x +
-8x
\ x2 – 8x + 15 = (x –
2. Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c
Cuando el coeficiente del primer término de un trinomio no es la unidad, para factorizar se emplea el siguiente desarrollo.
Ejemplo: Factorizar 2a2 + 7a + 3
Resolución:
Para factorizar se hará como sigue:
1) Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término indicando dicha multiplicación en el segundo término, para conservar su coeficiente.

Siendo 2a2 + 7a + 3 se multiplica cada término por 2, obteniendo:
2 · 2a2 + 2 · 7a + 2 · 3 = 4a2 + 2 · 7a + 6

2) Se extrae la raíz cuadrada del primer término de esta última expresión, lo cual nos servirá como primer término de los dos factores binomios:

3) Se buscan dos números tales que multiplicados den el tercer término ya multiplicado y cuya suma sea el coeficiente no multiplicado del segundo término.
Producto = 6 = 6 × 1 ;
Suma = 7 = 6 + 1
4) Se forman los dos factores binomios con los términos así encontrados, o sea, con la raíz cuadrada como primer término de cada uno de los binomios y con los números encontrados como los segundos términos.
(2a + 6)(2a + 1)
5) Se divide el producto indicado de dichos factores binomios entre el coeficiente del primer término, para anular la multiplicación anterior:

6) Se extrae el factor común en uno o en los dos factores binomios, según el caso, para la simplificación:

7) Se simplifica, el producto de los dos factores binomios que queda en la factorización del trinomio es:
2a2 + 7a + 3 = (2a + 1)(a+3)

Otra forma de factorizar estos trinomios es utilizando el método del aspa estudiado en el caso anterior.
2a2 + 7a + 3

2a +1 Þ + a
a +3 Þ +6a
+7a

\ 2a2 + 7a + 3 = (2a + 1)(a+3)

Ejemplo 2: Factorizar: 3×2 + 19x – 14
Método multiplicando y dividiendo por el coeficiente del primer término:
1) Multiplicamos por 3:
3(3×2) + 3(19x) – 3(14) = (3x)2 + 19(3x) – 42
2) Factorizando, obtenemos:
(3x)2 + 19(3x) – 42 = (3x + 21)(3x – 2)
3) Dividimos entre 3:
Para factorizar completamente un polinomio real en “x”, se aconseja seguir los pasos siguientes:
1º Analizar si tiene un factor común monomio.
2º Determinar si es una diferencia de cuadrados, una diferencia de cubos o una suma de cubos.
3º Analizar si es un trinomio cuadrado perfecto.
4º Si no es un trinomio cuadrado perfecto, determinar si es de la forma: x2 + bx + c; o de la forma: ax2 + bx + c, siendo: a ¹ 1.
5º Si el polinomio tiene cuatro o más términos, determinar si es posible agrupar sus términos de modo que tengan un factor común.
6º Asegurarse que cada factor es primo y luego comprobar el trabajo realizado multiplicando los factores.