FACTORIZACION EN POLINOMIOS SIMETRICOS Y ALTERNADOS PROBLEMAS RESUELTOS

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Polinomio simétrico
Es el polinomio de dos o más variables que no se altera al intercambiar cualquier
par de variables en forma simultánea.
TEOREMAS
1. De la adición, sustracción
y multiplicación de polinomios
simétricos resultan
polinomios simétricos.
11. De la multiplicación de un
polinomio simétrico por
otro alternado resulta otro
polinomio alternado.
III. Si un polinomio simétrico
se anula para alguna de sus
variables, se anulará para
todas sus variables.
IV. Si un polinomio se anula
para una variable igual
a otra, se anulará para esa
misma variable igual a las
demás.
• Nota
Ejemplo
Sea G(x;y; z)=S ( x 3+ y 3+ z3 ) +2xyz.
Resolución
Elegimos arbitrariamente dos variables y; z y las intercambiamos
G(x; z;y)=S(x3 +z3 +l )+2xzy
=s(x3+l+~)+2xyz
Podemos observar que el polinomio no ha sufrido ningún cambio.
Por lo tanto, G(x;y; z) es simétrico.
Polinomio alternado
Es el polinomio de dos o más variables que solo cambia de signo al intercambiar
cualquier par de variables de manera simultánea.
Ejemplo
3 3 Sea R(x; y)=x – y .
Resolución
Sl· cam b’l amos x por y, reC,l procamente se o b tI.e ne R( Y; x)=y 3- x 3= – (x 3- y 3) ;
de donde R(y;x) =- R(x;y). Por lo tanto, R(x;y) es alternado.
Procedimiento para factorizar
l. Se verifica si el polinomio es simétrico o alternado.
2. Buscaremos factores binomios haciendo una variable igual a otra o a su
negativo.
3. Se establece la identidad de polinomios teniendo presente la simetría.
Ejemplos
l. Factorice el polinomio
5(x;y; z)=x2(y-z)+/(z-x)+¿(x-y)
Resolución
Nótese que al intercambiar cualquier par de varibles, el polinomio
5 altera su signo.
Es decir: 5(x; y; z)= – 5(y; x; z)
Así el polinomio es alternado de grado 3.
Además, para x=y se tiene 5(y; y; z)=O
~ (x- y) es un factor de 5.
Análogamente, (y-z); (z- x) son factores de 5.
Luego 5(x;y; z)= (x- y)(y-z)(z-x).
2. Factorice el polinomio
M(a; b; e)=a 3 e+e 3b + b3a -a 3b – b3 e-e3 a.
Resolución
Si intercambiamos cualquier par de variables, el polinomio solo
alterna el signo.
Así M(a; b; e)=-M(b; a; e)’
Entonces, el polinomio es alternado; además, para a=b se tiene
M(b; b; e)=O ~ (a-b) es un factor de M. Luego, por polinomios alternados,
los otros factores son