FACTORIZACION EJERCICIOS DE TERCERO DE SECUNDARIA EN WORD

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I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Expresa un polinomio como una multiplicación indicada de factores primos.
• Identifica un factor primo sobre un determinado campo numérico.
• Comprende que la factorización es el proceso contrario a la multiplicación
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II) COMENTARIO PREVIO
Desde tiempos muy lejanos en todo argumento matemático estuvo presente siempre, la teoría de números los cuales se apoyan en la parte algebraica, como una necesidad para facilitar la resolución de las ecuaciones polinómicas surgen los diversos procedimientos de transformación de polinomios a los cuales se les denomina FACTORIZACIÓN, en el cual se busca expresar un polinomio como una multiplicación indicada de otros polinomios de menor grado.

Recordemos que en la multiplicación algebraica se aplica la propiedad distributiva, de la siguiente manera.

Por medio de la factorización podremos restituir los factores de una expresión que se obtuvo de la ejecución de una multiplicación, veamos:

De lo expuesto concluimos que la factorización es el procedimiento recíproco al establecido por la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y/o sustracción.

En este capítulo desarrollamos el tema con algunos conceptos de los números reales, polinomio irreductible, factor primo, así como los criterios para poder factorizar polinomios sobre determinados conjuntos numéricos

III. CONTENIDO TEÓRICO

DEFINICIÓN
Es el proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de polinomios primos, denominados Factores primos, dentro de un conjunto numérico.

FACTOR PRIMO
Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción.

Ejemplo:

a) Factorizando en el conjunto Q.

Existen 2 factores primos en Q

b) Factorizando en el conjunto R

f(x) = (x2 + 7) (x2 – 7)

Existen 3 factores primos en R

c) Factorizando en C, tendremos:

f(x) = [x2 – ( i)2 ] (x+ ) (x – )

Existen 4 factores primos en C

OBSERVACIONES:
Generalmente el conjunto numérico a utilizarse será el de los racionales, salvo se indique lo contrario.
NUMERO DE FACTORES PRIMOS
El número de factores primos depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En los racionales el número de factores primos se calcula contando los factores de la base.

Ejemplos:

a)
F(x) = (x+1) (x2–x+1)
 Tiene 2 factores primos

b)
P(x) = (x–12) (x+2) (x+2)(x–5)3
 Tiene 3 factores primos

NUMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO
Dado el polinomio “P” , el cual luego de ser factorizado totalmente se expresa así:

Siendo A, B y C sus factores primos; el número de factores del polinomio P, se calcula de la manera siguiente:

Ejemplo:
Sea P(x)= (x–1)2 (x+2) (x–5)3
N° factores = (2+1) (1+1)(3+1)

NUMERO DE FACTORES COMPUESTOS
Las Factores compuestos resultan de la combinación de los Factores primos:
Ejemplo:

P(x,y) = x2y , tienen los sgtes, factores .

Por lo tanto;
x2y: tiene 6 factores y 3 factores compuestos.

Cálculo de manera directa: P(x,y) = x2y
N° factores = (2+1)(1+1) = 6
N° Fact. compuesto = 6 – 2 – 1= 3

FACTORES ALGEBRAICOS
Se denomina así, aquel que por lo menos tiene, o presenta una variable.

Ejemplos explicativos:
01. F(x) = (x+1)2 (x–4)3.
Hallar el número de Fact. algebraicos

Solución

* N° Fact = (2+1) (3+1) = 12

* N° Fact Algebraicos = 12– 1 = 11

P(x) =

Por tanto colocamos los factores primos del 6, de la siguiente manera:

Luego:

= (1+1) (1+1) (1+1) (2+1) =

Factores Primos del N° 6 = 2 . 3

N° de Divisores del 6 = (1+1) (1+1) = 4

Por lo tanto :

N° Fact. Algebraicos=N° Fact totales – N° Divisores
del número 6

Reemplazando:

N° Fact Algebraoicos = 24 – 4

MÉTODOS DE LA FACTORIZACIÓN

A) FACTOR COMÚN MONOMIO Y/O POLINOMIO

Se utiliza cuando todos los términos del polinomio tienen un factor que le es común. El factor común puede ser un monomio o un polinomio.

Ejemplo:
– Factorizar:

=
– Factorizar :

P(x,y,z)=(x – y + z) a + (y – x – z) b
= (x – y + z) a – (x – y + z) b
=

B) MÉTODO DE AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Consiste en agrupar los términos del polinomio por binomios, trinomios, que luego de descomponerlos a su vez en dos factores, aparece algún factor común a todas las agrupaciones realizadas.

Ejemplos explicativos:

1) Factorizar:

F(a,b,c)= abc+ab+ac+bc+a+b+c+1

Solución:

Agrupando en la forma indicada.

F = ab (c+1) + ( +b+1)

F = (c+1) [a(b+1)+(b+1)]

Extrayendo Factor común del corchete (b+1)

2) Factorizar :

Solución .

•Agrupando convenientemente:

A(x,y) = x6 (x+y)+ x4 y2 (x+y)+ x2 y4 (x+y)+y6 (x+y)

•Extrayendo Factor común:

A(x,y)=(x+y) ( )
A(x,y)=(x+y) [x4 (x2+y2)+ y4 (x2+y2)]

Extrayendo el Factor común: (x2 + y2) dentro del corchete.

Observe que:

(*)Existen 3 factores primos : (x,y) , (x2+42) y (x4+y4)

(*)Presenta 1 Factor Lineal : (x+y)

(*)Presenta 1 Factor cuadrática: (x2 +y2)

C) MÉTODO DE LAS EQUIVALENCIAS
Consiste en aplicar las equivalencias o productos notables de manera directa o inversa, es decir, del producto pasar a los factores. Veamos algunos Ejemplos explicativos:

1. Factorizar

N = x6 – x4 + 2×2 – 1

Solución:
Agrupando los tres últimos términos y extrayendo el signo(–).

N = x6 – ( )
N=x6 – …… Diferencia de cuadrados

2. Factorizar:
P(a,b,c,d) =

Solución:
P(a,b,c,d)=
P(a,b,c,d)= Diferencia de
cuadrados .

D) MÉTODO DEL ASPA SIMPLE

Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma general:

El método consiste en descomponer los términos extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos produzca el término central, siendo los factores las sumas horizontales.

Ejemplo Explicativos

1. Factorizar : 8×2 – 22x + 15

Solución:

8×2 – 22x + 15

4x – 5 = – 10x +
2x – 3 = – 12x
-22x

 Los factores son: (4x – 5) (2x – 3)

2. Factorizar : abx2 + (a2 + b2)x + ab

Solución :

abx2 + (a2 + b2)x + ab
ax +b = b2 x +
bx +a = a2 x
x(a2 + b2)
 Los factores son: (ax + b) (bx + a)

E) MÉTODO DEL ASPA DOBLE

Se emplea para factorizar polinomios que tiene la sgte. forma general

Pasos:

1° Se trazan 2 aspas simples entre los términos:
, además

2° Si faltaran términos se completarán con ceros
3° Se traza un aspa grande entre los extremos
4° Se verifican las aspas simples y el aspa grande
5° Se forman factores como el método anterior (horizontalmente)

Ejemplos explicativos
1) Factorizar :
A(x,y) = 3×2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1
Solución :

Comprobaciones :
(I) : (3x) y + x (y) = 4xy
(II) : y (1) + y (1) = 2y
(III) : 3x (1) + x (1) = 4x

Finalmente :

 (3x + y + 1) (x + y + 1)

F. MÉTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar polinomios de 4to. grado de la forma general.
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
Pasos :
1° Se aplica un aspa simple en los términos extremos : (Ax4  E)

2° El resultado se resta del término central : Cx2
3° Expresar las diferencias en dos factores y colocarlos debajo del término central.

4° Luego se aplican dos aspas simples, y se toman horizontalmente.

Ejemplos explicativos

1) Factorizar : A(x) = x4 + 5×3 + 9×2 + 11x + 6

Solución :

Se observa que :

(I) (2) (x2 + x2(3) = 5×2
. luego : 9×2 (término central) – 5×2 = 4×2
. se descompone 4×2 en 2 factores : (4x) (x)

(II) x2(4x) + x2(x) = 5×3

(III) 4x(2) + x(3) = 11x

Finalmente :

A(x) = (x2 + 4x + 3) (x2 + x + 2)

G. CRITERIO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado y de una sola variable que aceptan factores binomios de la forma (ax  b).

Cero de un Polinomios : Es el valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de anular (valor numérico cero) a determinado polinomio.

Ejemplo:

Sea : F(x) = x3 + 3x – 4

Para x = 1
F(1) = 13 + 3(1) – 4 = 0

 1 será un “cero” de F

Regla para calcular los posibles ceros de un polinomio

Posibles ceros =

Ejemplos explicativos

1. Factorizar : P(x) = x3 – 11×2 + 31x – 21

Solución :

P.C. =  1 ,  3 ,  7,  21

Para x = 1, se anula, luego tendrá un factor (x – 1) determinando el otro factor por la Regla de Ruffini

P(x) = (x – 1) (x2 – 10x + 21)

P(x) = (x – 1) (x – 7) (x – 3)

2. Factorizar : Q(x) = x3 – x – 6

Solución :

P.C. =  1 ,  3 ,  6

Para x = 2, se anula, entonces tendrá un factor (x – 2). Luego por la Regla de Ruffini

Q (x) = (x – 2) (x2 + 2x +3)

PRACTICA DE CLASE

01. Factorizar. M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b2 e indicar un factor primo.

a) a + b + 2 b) b – 2 c) a + b – 4
d) a + 2 e) b + 2

02. Señalar un factor primo, luego de factorizar:

P(x) = x2 + (b + c + 2d)x + d2 + (b + c)d + bc

a) x + b + d b) x + 2d c) x + d + b + c
d) x + c e) x – 2c

03. Señalar un factor primo de:

H(x) = (2×2 + x – 1)2 – (x2 – 3x – 5)2

a) 3×2 + 2x – 6 b) (x – 2)2 c) 3×2 – 2x – 6
d) (x + 2)2 e) x – 2c

04. Factorizar:

P(a; b; c) = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 + 8 abc

a) (a2 + b2 + c2) (a + b + c)
b) (ab + ac + bc) (a + b + c)
c) (a + b ) (b + c) (c + a)
d) (a – b) (b – c) (c – a)
e) (ab + ac + bc) (a – b + c)

05. Indicar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes, después de factorizar:
M ( x) = x4 + 4×2 + 16

a) x2 + x – 2 b) x2 +2 x – 4 c) x2 + x – 8
d) x3 + 8 e) x2 + 2x + 4

06. ¿Cuántos divisores primos posee:
T (a; b) = (a2 + b2 – 6ab)2 – 4ab (a + b)2 ?

a) 2 b) 5 c) 4
d) 3 e) 6

07. Indicar el número de factores irreductibles de:

P(x; y; z)=x4 y2 z7 + x y2 z7 + 3×2 y2 z7 + 3×3 y2 z7

a) 4 b) 3 z7 c) 2
d) 5 e) 1
08. Indicar un factor primo de:

P (x; y; z) = [(x – y + z) (x – y – z) + 1]2 – 4(x – y)2

a) x + y + z + 1 b) x – y + z + 1 c) x – y + z
d) x – y + z + 2 e) z + y – z + 2

09. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es término de un factor primo de:

F (x; y) = 1 + 2×2 – (6x2y2 + 4x3y + y4 + 4xy3)

a) – x2 b) 2xy c) y2
d) 2×2 e) -y2

10. Obtener la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio.

H (x) = x3 – x2 – 17x + 33

a) -3 b) -6 c) -7
d) -5 e) -8

11. Factorizar:

M (z) = z2 (z8 + 1) + z6 + (z2 – 1) ( 1 + z2 + z4)

y dar como respuesta el número de factores primos

a) 2 b) 4 c) 5
d) 3 e) 6

12. Señalar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes en:

P (x) = x4 – 4×3 + 11×2 – 14x + 10

a) x2 + 3x + 2 b) x2 – 2x + 5 c) x2 – 4x – 2
d) x2 + 4x + 2 e) x2 – 2x + 2

13. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo de:

P(x) = (1 + x2) (1 – x2)2 + (x – x2)2

a) 2 b) 4 c) 1
d) 5 e) 3

14. Factorizar e indicar el factor primo cúbico de:

P (x) = x5 – x4 + 2×2 – 2x + 1
a) x3 + x + 1 b) x3 + x2 + 1
c) x3 + x + x2 – 1 d) x3 – x + 1
e) x3 – x2 + 1

15. Del polinomio

P (a; b) = a4 + 5bc2 – a2b – a2c2 – 2b2 – 2c4

decir si es verdadero o falso con respecto a las proposiciones siguientes:

I. Tiene 3 factores primos
II. Tiene 2 factores primos cuadráticos
III. La mayor suma de coeficientes de un factor primo es 2 -2c2 ; 0 < c < 1. a) VVV b) VFF c) FVF d) FVV e) VVF 16. Factorizar F(a;b;c)=(a+b+c)2+(a+b-c)2+4c(a+b)+5(a+b+c)+ 2 e indicar el factor primo de mayor término independiente. a) 2a + 2b + 2c + 1 b) a + b + c - 2 c) 2a + 2b + c - 1 d) a + b + c + 2 e) 2a + 2b + 2c - 1 17. Factorizar y obtener la suma de factores primos del polinomio. P (x; y) = (x + 2y)2 - 2xy (3x - 4xy + 6y) a) x2 + 4y2 b) 2x2 + 2xy + 8y2 c) x2 - 4y2 d) 2x + 4y - 6xy e) 2x2 - 2xy + 8y2 18. Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo de: P (x; y) = 6x2n - 4y2n + 7 + 5xnyn +3yn - 17xn a) 0 b) 2 c) 12 d) 1 e) 6 19. Con respecto al polinomio: P(a;b;c)= b3 (a-c2) + c3 (b-a2) + a3 (c-b2) + abc (abc-1). Señalar el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes: I. Un factor primo es a2 - b II. Un factor primo es a2 + b III. a - c2 no es un factor primo a) VVF b) VFV c) VFF d) VVV e) FFF 20. Mencionar un factor primo del polinomio: a) b) c) d) e) TAREA DOMICILIARIA 01. Indicar un factor de: S(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )2 - x5 a) x4 + x3 + x2 + x + 1 b) x9 + 1 c) x5 + 1 d) x3 + x2 + x + 1 e) x4 + 1 02. Si x2 - 5x + 6 es un factor de: P(x)=x4 - 9x2+x+mx+n, hallar el valor de n / m a) 1 b) -3 c) 10 d) -5 e) 3 03. Siendo b + 1 y a - 1 cuadrados perfectos, factorizar M(x)=x6-(a + b+1)x4 +(ab+2a-1)x2 - a +b - ab +1 y señale aquél que no es un factor de M(x). a) b) c) d) x2 - 1 e) x2 + 1 - a 04. Con respecto al polinomio P(z) = z6 - 9z4 + 16z3 - 9z2 +1 Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones: I. Un factor primo es z2 + 4z + 1 II. Un factor algebraico es (z - 1)3 III. Tiene sólo 2 factores primos mónicos a) VVV b) FVF c) VVF d) VFV e) FFF 05. Indicar aquel polinomio que no es factor de: Q(x;y) = x3 + 2x2y - 4xy2 - 8y3 - x + 2y a) x - 2y b) x + 2y + 1 c) x - 1 + 2y d) x + 2y e) x2 -1 + 4y (x + y) 06. Luego de factorizar: P(x) = x5 + x4 + x2 + x + 2 Indique el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones: I. Un factor primo es x3 + x + 1 II. Un factor primo es x2 - x + 1 III. La suma de coeficientes de un factor primo mónico es 1. a) VVV b) VFV c) FFV d) VFF e) VFF 07. Señalar un factor de: P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6 a) x-1 b) x-2 c) 2x -1 d) 3x2 -7x + 2 e) 3x + 1 08. Luego de factorizar S(x; y; z) = (3x + y - 5z)5+(2z - y - 2x)5 + (3z - x)5 Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I. Un factor primo es 2x + y - 2z II. La suma de 2 factores primos es 2x + y  2z III. Un factor primo es 3x + y + 5z a) VVV b) VVF c) VFV d) VFF e) FVF 09. Indicar el valor de verdad con respecto al polinomio: P(x) = x(x  1) (x + 2) (x  3) + 8 I. Tiene 2 ceros racionales. II. Tiene 3 factores primos mónicos. III. Tiene 2 factores cuadráticos. a) VVV b) VVF c) VFV d) VFF e) FVF 10. Luego de factorizar: P(x) = (2x + 1)7 + 4x(x + 1) + 2 Indicar un factor primo cuadrático. a) 4x2 + x + 1 b) x2  5x + 1 c) 4x2 +x+3 d) 2x2 + x + 12 e) 4x2 + 6x + 3 PRÁCTICA DE CLASE 01. Un polinomio lineal se relaciona mediante: x 0 1 P(x) 4 9 Entonces el valor de ; será: a) - 1 b) 1 c) 0 d) – 3/5 e) 11/5 02. Dado un polinomio: P(x)=x3 – 1000x2 – 1002x+999 Determine el valor de P(1001) a) - 3 b) - 2 c) - 1 d) 0 e) 1 03. Sea el polinomio: P(x)=(ax - 1)(a2x - 1)(a3x - 1)...(an-1.x - 1) Halle: a) b) c) d) e) 04. Sabiendo que “P” es un polinomio cuyo término independiente es cero. Halle ; sabiendo que: = kx - 8 a) x+1 b) 2x+2 c) 4x+4 d) 8x+8 e) 16x+16 05. En la expresión matemática: Halle: a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 06. Dada la expresión matemática: f(x)= ; x  1 Halle: f(2) . f(4) . f(6) . ... . f(24) a) - 25 b) - 24 c) 24 d) 25 e) 50 07. Sea el polinomio: P(x)= ax2+bx+c; donde: P(1)= P(3)=0 y P(2)=2 Entonces: “a – b + c”, será: a) - 20 b) - 16 c) - 12 d) - 8 e) - 4 08. Cuanto deberá suma a y b a fin de que para cualquier valor de “x”, se establezca la relación: 15+2x = a(2x - 3) – b(3x - 5) a) 91 b) 87 c) 75 d) 55 e) 36 09. Identifique el termino independiente del polinomio “P”, si este es mónico y cumple con: a) - 1 b) 2 c) 10 d) 15 e) 24 10. Si un polinomio se relaciona mediante: mientras que otro con: Conozca el valor de: a) 19 b) 15 c) 12 d) 10 e) 7 11. El polinomio: P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e; es tal que: P(0)= 0; P(-1)=6 y P(x)=P(1-x) Determine el valor de: 2c - b a) 2a b) 3 - a c) 4 d) 5 e) 6 12. Dado el polinomio: P(x)=3x – 2 ¿Para que valor de “m”, se establecerá que: ? a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2 13. En la expresión tal que x  1. Si cada “x” es sustituido por: , la expresión que se logra obtener será: a) x b) 1/x c) d) e) Se indefine 14. Si: P(x, y)= es un monomio halle a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) - 3 15. Si el polinomio indicado: Q(x)=x2x - 3+mxm - 2 - m3 - x5 - m Es completo. ¿Cuál es su estructura? a) x2+x – 6 b) x2 - x - 7 c) x3 - x2+3x - 27 d) x3 - x2+2x - 8 e) x3+4x2 - x - 64 16. Sabiendo que: x3+2x2 - 1  (x+1)[Ax2+B(x - 1))] Calcule: A . B a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3 e) – 1/4 17. Dada la expresión . Entonces: a) - x b) x c) 1+x d) e) 18. En un polinomio dependiente de dos variables, homogéneo, ordenado y completo respecto a cada una de ellas, se sabe la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál será su grado de homogeneidad? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 19. Si: . Se verifica para todo para todo “x” Esto ocurrirá cuando “a” tome los valores de: a) {- 2, 3} b) {2,- 3} c) {2, 3} d) {- 2 , - 3} e) {- 3, - 2, 5, 3} 20. Dado: . Calcular: Determine: a) 5 b) - 2 c) 4 d) - 1 e) 0 PRACTICA N° 02 01. Efectúe : a) 12 b) 24 c) 6 d) 48 e) N.A. 02. Si: a+b= y ab = 3 entonces : (a - b)2 es : a) 6 b) - 7 c) - 9 d) 12 e) 10 03. Deducir el producto xy a partir del sistema de ecuaciones : x3 + y3 = 56 ; x+y=2 a) - 8 b) 6 c) - 6 d) - 12 e) 8 04. Encuentre el valor de : si el valor numérico de: J = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1) (x2 - x + 1) es 63. a) 2 b) - 2 c) d) 3 e) N.A. 05. Calcular : + Si : a) 13 b) 15 c) 18 d) 12 e) 55 06. Efectuar : M = 8 436 9762 - 8 436 9752 a) 18 673 901 b) 16 738 591 c) 16 873 951 d) 14 863 951 e) 26 873 951 07. Calcular : R = (176 446) (176 444) - (176 447) (176 443) a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 08. Si: x + x-1 = 3. Calcular el valor de : P = a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/4 09. Si : x - x-1 = 1. Calcular : x4 + x-4 a) 3 b) 9 c) 7 d) 12 e) 15 10. Si: x + x-1 = . Halle : A = x5 + x-5 a) 5 b) c) 0 d) - 2 e) 5 11. Calcule el valor de : = Si x = + a) 50 b) 23 c) 50 d) 25 - 2 e) N.A. 12. Encuentre el valor de : S = a) 256 b) 128 c) 64 d) 32 e) 18 13. Si : a + b + c = 3 = 9 Calcular : E = a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 14. Si : a + b + c = 3 = 9 Obtener : N = (a+b)(b+c)(a+c) a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 15. Siendo : xy = 1, calcular el valor de “m” en: +  + +4m a) 2 b) 4 c) 6 d) 1/2 e) 1/4 16. Conociendo que: ax+by=8; ay - bx = 6; a2+b2=5 Calcular : x2+y2 a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25 17. Hallar el valor de : M = a) a+1 b) a2+1 c) a4+1 d) a8+1 e) a4 - 1 18. Si : + =8bc Calcular : - a) 1 b) 2 c) 1/2 d) ab e) 1/4 19. Reducir : N = (a + b + c)2 + (a + b - c)2 - 4(a - b)2 + 2(a + b + c) (a + b - c) a) 0 b) 4ab c) 8ab d) -1 e) 18ab 20. Reducir : (a+b+c)3-(a+b)3-3(a+b)(a+b+c)c a) a3 b) b3 c) c3 d) 2a3 e) 2b3 PRACTICA N° 03 01. Proporcionar el residuo de dividir : Rpta : .......................... 02. Proporcionar el residuo de dividir : Rpta : .......................... 03. Halle el resto de dividir : entre (x+a) Rpta : .......................... 04. Encontrar el residuo de la siguiente división: Rpta : .......................... 05. Proporcionar el residuo de la división mostrada: Rpta : .......................... 06. Hállese el residuo de la siguiente división: ; n  N* Rpta : .......................... 07. ¿Cuál es el residuo que se obtiene al efectuar la siguiente división: Rpta : .......................... 08. Proporcionar el residuo de la siguiente división : Rpta : .......................... 09. Proporcionar el residuo de dividir : Rpta : .......................... 10. Encontrar el residuo de dividir entre Rpta : .......................... 11. Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente por (x+3), (x+2) y (x+1) se obtiene el mismo resto8 y al dividirlo por (x+4) se obtiene como resto 20. Rpta : .......................... 12. Encontrar un polinomio P(x) de 2do grado, que sea divisible en forma separada por (x-2) (x+1) cuya suma de coeficientes sea de -6. Rpta : .......................... 13. Encontrar un polinomio de 3er grado que sea divisible en forma separada por (x+2) y (x+1) sabiendo además que la suma de sus coeficientes es 24 y que su término independiente es 2. Rpta : .......................... 14. Encontrar el resto de dividir un polinomio P(x) entre (2x-1), si se sabe que el término independiente del cociente es 5 y además P (0) = 18. Rpta : .......................... 15. Si un polinomio P(x) se divide entre , se obtiene como resto un polinomio de tercer grado cuya suma de coeficientes es 3. Hallar el residuo de dividir el polinomio original por (x – 1). Rpta : .......................... 16. Un polinomio entero en “x” al ser dividido por (x-1) y por (x-2) separadamente proporcionan residuos 6 y 8 respectivamente. ¿Qué expresión se debe restar al polinomio para que al dividirlo entre [(x-1)(x-2)] el cociente resulte exacto. Rpta : .......................... 17. Si : origina un cociente notable cuyo segundo término es . Calcular “-” Rpta : .......................... 18. Calcular el valor de “” para que la división notable: origine un cociente notable. Rpta : .......................... 19. Simplificar : T = Rpta : .......................... 20. Si el tercer término del cociente de: tiene como valor numérico para x=2. Calcular el valor de “” Rpta : .......................... PRACTICA N° 04 01. Determine al dividir: Determine la suma de los coeficientes del cociente obtenido a) 0 b) – 7 c) 2 d) – 1 e) 5 02. Si dividimos: ; {a; b}  Z obtendremos como cociente y residuo polinomios no constantes mónicos de coeficientes reales; además se sabe que el residuo es un monomio halle: a + b a) 13 b) 11 c) 15 d) 9 e) 10 03. El resto de la división: Es el polinomio R(x) = 3x - 3. Calcule a) - 1 b) 0 c) - 2 d) 3 e) N.A 04. En la siguiente división: La suma de coeficientes del cociente es 1093, calcular “n” a) 3 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5 05. Halle el resto de la siguiente división: a) 30x+77 b) 31x+77 c) - 31x+77 d) x+11 e) - 31x -77 06. Halle el resto: a) 611 - 610x+1 b) 610 - 611x - 1 c) 610 +611x+1 d) 511 - 510x - 1 e) 611 - 1 07. Halle el resto en: Siendo n  N a) 1 - x b) 1 + x c) d) e) 0 08. Halle el resto en la siguiente división: a) 0 b) 1 - x c) 1 + x d) 1 + e) - 1 09. Al dividir el polinomio p(x) entre (x - 1) y luego entre (x - 2) se obtiene el mismo resto 4, además p(x) es divisible entre (x - 3). Calcular el término independiente p(x) si es de 3º y además cp es 2. a) - 1 b) - 3 c) - 12 d) - 7 e) - 8 10. Sea p(x) un polinomio mónico de 3º si p(x) es divisible entre (x+2) y también entre (x+3) y además al dividir p(x) entre ( - 1) el resto es 17x+19. Calcular p(0) a) 10 b) 17 c) 2 d) 12 e) 6 11. Calcule “m” para que la división: a) 5 b) 6 c) d) 10 e) 8 12. Al dividir: se obtiene como cociente : Halle: a + b + c + d a) 34 b) 30 c) 21 d) 8 e) 50 13. Luego de dividir: Calcule la suma de los coeficientes del cociente obtenido a) - 140 b) - 156 c) - 175 d) - 144 e) - 136 14. Calcular a+b+c, si el resto de dividir: entre es : a) 18 b) 20 c) 15 d) 19 e) 92 15. Halle el resto en la siguiente división: donde n = 4º a) x+2 b) - x + 1 c) - x - 1 d) x+1 e) x - 1 PRACTICA N° 05 01. Con respecto al polinomio: a(x – 1) – b(1 – x) + cx – c señale verdadero o falso: I) a + b + c es un factor II) x + 1 es un factor III) solo tiene 2 factores primos a) VVF b) VFV c) FVV d) FFF e) VVV 02. Al descomponer en dos factores la expresión: (a – 5) (a – 6) (a – 7) + (a – 5) (a – 6) – (a – 5) El resultado del producto de los valores absolutos de los términos no literales es: a) 157 b) 165 c) 156 d) 175 e) 105 03. Factorizar: (n2 + n-1)2 + (2n + 1)2, e indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos. a) 3 b) – 1 c) 4 d) 2 e) – 2 04. Factorizar: (a – b)2 (x – y)2 + 2ab(x – y)2 + 2xy (a2 + b2) indicando la suma de sus factores primos: a) a2 + b2 + x2 + y2 b) a2 + 2b + 2x2 + y2 c) 2a2 + b2 + x2 + 3y2 d) a2 + b2 + 3x2 + y3 e) a2 + b2 + x3 + 3y2 05. Indicar la suma de los factores primos de: C = a2 + a – b2 + b – c2 – c + 2b a) 2a + 1 b) a + b + c c) a + 2b + c d) a –b + c e) a 06. Factorizar: a4 – a3 – 7a2 + a + 6, indicando uno de sus factores: a) a +3 b) a-2 c) a+1 d) a2+1 e) a2+2 07. ¿Cuál no es un factor de (1 + mx)2 – (m+x)2 a) 1 + m b) 1 + x c) 1 – x d) 1 – m e) m + x 08. El polinomio: 3x3 – 21x + 18, al factorizar tiene la forma: a(x –b) (x – c) (x – d), donde b < c < d. Calcular: a – b + c – d a) 7 b) – 7 c) 9 d) 5 e) 6 09. El número de factores primos de: x3y2 + y3z2 – x3z2 – y5, es: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 10. Hallar el número de factores primos de: 64a7b – ab7 a) 3 b) 4 c) 6 d) 5 e) 7 11. Indicar el término independiente de uno de los factores primos del trinomio. P(x,y)  (x + y + 3)2 + 7x + 7y + 31 a) 2 b) 7 c) 8 d) 3 e) 39 12. Reconocer un factor del polinomio: 6a2 – 11ab + 4b2 – 8ª + 14b – 8 a) 3a + 4b – 2 b) 3a - 2b + 4 c) 2a - 2b + 1 d) 2a + 4b – 1 e) 3a - 4b + 2 13. Un factor de: a(a – 1) + a3 – 1 es: a) 1 – a b) a+1 c) a + 2 d) a - 2 e) a 14. Dar la suma de los factores primos de: P(x) = x4 – 5x2 + 4 a) x2 + 2 b) x2 + 5x c) 4x d) 3x+7 e) N.a. 15. Luego de factorizar: R(x) = x3 + x2 + x + 1 Se obtiene un factor de la suma (ax2 + b) Halle Ud. “a + b” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16. Hallar la suma de los factores primos de: x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc) x + abc a) x + a + 2b + c b) 2x + 2a + 2b c) 3x + a + b + c d) 2x + 2ª + 2b + 2c e) x + 3a + 2b + c 17. Si (x + 1) es un factor de x2 + cx – 2 y (2x – 1) es un factor de dx2 + 5x – 4, entonces el valor de d/c es: a) 1/2 b) 4 c) –1/2 d) – 6 e) 6 18. Los trinomios: 2x2 + ax + b y 2x2 + bx + 3 admiten un factor común de la forma: 2x + c. Calcular el valor de (a – b)c a) – 3 b) 2 c) 6 d) – 2 e) 3 19. Factorizar en “z” al polinomio: P(x) = x6 + 4x5 – 21 x4 – 20x2 – 4 a) (x3 + 7x2 – 2) (x3 – 3x2 + 2) b) (x4 + 2) (x3 – 3x – 2) c) (x3 + 7x – 2) (x3 – x – 2) d) (x3 + 7x2 + 2) (x4 – 2) e) (x3 + 7x2 + 2) (x3 – 3x2 – 2)