FACTORIZACION DE UN TRINOMIO POR SUMAS Y RESTAS – QUITA Y PON , CAMBIOS DE VARIABLE Y ARTIFICIOS PROBLEMAS RESUELTOS

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Factorización de un trinomio por suma y resta (quita y pon)
Se basa en el siguiente principio: Si a una expresión se le suma y se le resta una misma expresión, la expresión inicial no varía.
Ejemplo 1 Factorizar: x4 + 4y4
Resolución:
1) Extraemos las raíces cuadradas de cada término, así:

2) Sumamos y restamos este doble producto para completar el trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.) y además obtener una diferencia de cuadrados.
Así:
x4+4y4 = (x2+2y2)2-(2xy)2; por diferencia de cuadrados
= [(x2 + 2y2) + (2xy)][(x2 + 2y2) – (2xy)]
\ x4 + 4y4 = (x2 + 2y2 + 2xy)(x2 + 2y2 – 2xy)
Ejemplo 2 Factorizar: x4 + 2×2 + 9
Resolución:

1) Extraemos las raíces cuadradas de los términos extremos, así:

2) Como en la expresión: x4+2×2+9 hay 2×2, bastará sumar y restar: 4×2 para así completar los 6×2
Así: x4 + 2×2 + 9 = x4 + 2×2 + 4×2 + 9- 4×2

x4+2×2+9 = (x2+3)2-(2x)2 ; por diferencia de cuadrados
x4+2×2+9 = [(x2+3)+(2x)][(x2+3)-(2x)]
\ x4+2×2+9 = (x2+2x+3)(x2-2x+3)
Ejemplo 3 Factorizar: x4 + x2 + 1
Resolución:
En este caso los 3 términos son cuadrados perfectos, de modo que al escoger lo hacemos convenientemente:
1) Extraemos las raíces cuadradas de los términos extremos, así:

2) Como en la expresión: x4+x2+1 tiene x2, bastará sumar: x2 para completar así los 2×2. (Lógicamente también restamos)
Así: x4+x2+1 = x4+x2+x2+1-x2
x4+x2+1 = – x2
= (x2 + 1)2 – x2 ; por diferencia de cuadrados
= [(x2 + 1) + x][(x2 + 1) – x]
\ x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)

Factorizar los polinomios siguientes:
a) 4×4 + y4 d) 4m4 + 3m2 + 9 g) 36m4 + 15m2n2 + 4n4
b) 4a4 + 81 e) 16×4 + 4×2 +1 h) 9×4 + 2×2 + 1
c) a4 + a2b2 + b4 f) 4×4 + 3×2 + 1 i) 9×4 + 8x2y2 + 4y4
Clave de respuestas
a) (2×2+y2+2xy)(2×2+y2-2xy) d) (2m2+3m+3)(2m2-3m+3) g) (6m2+3mn+2n2)(6m2-3mn+2n2)
b) (2a2+6a+9)(2a2-6a+9) e) (4×2+2x+1)(4×2-2x+1) h) (3×2+2x+1)(3×2-2x+1)
c) (a2+ab+b2)(a2-ab+b2) f) (2×2+x+1)(2×2-x+1) i) (3×2+2y2+2xy)(3×2+2y2-2xy)